7/26/2019 Ejercicios Resueltos Angulos en Posicion Normal
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EJERCICIOS RESUELTOS: TRIGONOMETRÍA Abraham Gironda Surco
Si estás ansioso de brillar en la línea de la alta estética de hombres de rara cultura debesapropiarte de las palabras más trascendentales y plantarlas por todas partes.
1Angulos en posiciON NORMAL
1. RESUMEN CONCEPTOS BASICOS.
Primero .- Un ángulo en posición normal se define como aquel ángulo posicionado en unSCR cuyo vértice coincide con el origen del Sistema y su lado inicial coincide con el
sentido positivo del eje x y el lado final con el radio vector que une el origen y cualquier
punto del plano.
Cualquier punto del plano es definido analíticamente como el par ordenado ( ,) donde la
primera componente " " es llamada la abscisa del punto y la segunda componente " " es
llamada ordenada del punto.
Segundo .- Las RTs de un ángulo en posición normal se definen de la siguiente manera:
=
seno(á ó ) = sin =
coseno(á ó ) = cos =
tangente(á ó ) = tan =
cosecante(á ó ) = csc =
secante(á ó ) = sec =
cotangente(á ó ) = cot =
Tercero.- Los signos de las RTs en los cuatro cuadrantes son:
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Si estás ansioso de brillar en la línea de la alta estética de hombres de rara cultura debesapropiarte de las palabras más trascendentales y plantarlas por todas partes.
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1. Del siguiente gráfico, calcular :
= √ 10sin 12cot
Primero.- Interpretamos el problema
Del gr áfico:
- Sabemos que la abscisa es 1 y la
ordenada es -3.
Segundo.- Calculamos el radio vector y el valor de E.
=
1 (
3)
= √ 1 9 = √ 10
= √ 10 ·−√ 12 · − = 3 4 = 1
2. De la figura, calcular tan
Primero.- Interpretamos el problema.
Abscisa = 1-x
Ordenada = 2x
Radio = √ 17
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3Segundo.- Calculamos el valor de x y la tangente.
√ 17 = (1 ) (2 ) → 17 = 1 2 4
5 2 16 = 0
Resolviendo por el ASPA simple: = ; = 2
tan = 12 = 1 22 ∗2 = 1
4
3. Si cos = 0,3̂ y .
Calcular: = tan sec
Primero.- Interpretamos el problema.
Si pertenece al segundo cuadrante, el coseno es negativo, luego:
cos = 0,3̂ = 13 =
=
Asumimos, = 1; = 3
Segundo.- Con la información dada realizamos los cálculos.
= → = 3 ( 1) = √ 10
Finalmente, = √ −
− = 10 3 =
4. Si: ∈ y |csc| 4sin = 0. Calcular = sin √ 3cos
|csc| = 4sin6
Primero.- Interpretamos el problema.
Al pertenecer al cuarto cuadrante, su ordenada es negativa, luego:
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4|csc| = csc = 4sin6 → csc = 4sin6
csc = 4∗12 = 2 = 2
1 = =
Asumimos, = 2; = 1
Segundo.- Realizamos los cálculos respectivos.
= → ( 2) = 1 → 4 = 1
= √ 3
= 12 √ 3 ∗√ 32 = 12 32 = 1
5. Una raíz de la ecuación: 2 3 = 0 es un valor de “ tan”, si
. Calcular: = √ 10(sin cos).
Primero.- Interpretamos el problema.
El ángulo pertenece al tercer cuadrante por lo tanto su abscisa y su
ordenada son cantidades negativas.
Segundo.- Realizamos los cálculos.
2 3 = 0 → = 3; = 1
Suponiendo que el valor es 3, entonces: tan = 3 = −− = −
− = −− = ⋯ ..
Luego, = 1; = 3 → = ( 1) ( 3) → = √ 10
Finalmente, = √ 10 −√
−√ = √ 10 −
√ = 4
6. Calcular: = 25sin tan, a partir de la figura mostrada:
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Primero.- Interpretamos el problema.
Para el ángulo sus coordenadas son = 24; = 7; y para el ángulo
negativo sus coordenadas son = 4; = 8 Segundo.- Realizamos los cálculos.
= 24 7 = 25; = ( 4) ( 8) = 4√ 5
Finalmente, = 25 ∗ −− = 7 2 = 9
7. Señale los signos de:
= °− °° ° y = ° °− °
°+ °
Primero.- Interpretamos el problema.
Debemos ubicar el cuadrante de cad a ángulo y verificar su signo.
Segundo.- Realizamos los cálculos.
140º pertenece al segundo cuadrante, por lo tanto su abscisa es negativa y:
sin140° > 0;cos140° < 0
La diferencia es positiva, es decir: sin140° cos140° > 0
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6El ángulo 260º pertenece al tercer cuadrante, luego tan260° > 0
El ángulo 300º pertenece al cuarto cuadrante, luego tan300° < 0
El producto
tan300°tan260° < 0
Finalmente el cociente M será negativo por la ley de signos
De forma análoga para el caso de R
8. El valor numérico de la expresión:
sin180° 2cos180° 3sin270° 4cos270° 5sec180°
Primero.- Interpretamos el problema.
Los ángulos considerados son cuadrantales, podemos utilizar tablas o
simplemente la imaginación pero no calculadoras.
sin180° 2cos180° 3sin270° 4cos270° 5sec180°
= 0 2 ∗( 1) 3 ∗( 1) 4∗0 5 ∗( 1) 6 ∗( 1) = 2 3 5 6 =
9. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en el orden dado:
sin523 cos25
3 ; sin325 cot22
3
Primero.- Interpretamos el problema.
Los ángulos están medidos en radianes porque llevan el valor de ,
entonces expresaremos las cantidades racionales en números mixtos.
Segundo.- Realizamos los cálculos.
523 = 1713 = 17 13 = 16 113
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7Luego, sin = sin 16 1 = sin 16 = sin > 0
cos253 = cos 8
3 = cos3 > 0
El producto es positivo. De forma análoga se hace el segundo caso.
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE.
1. Señale el valor de sin120°
sin120° = sin(90° 30°) = cos30° = √ 32
2. Calcule: = tan150° ∗ sin315° = tan(180° 30°)∗sin(360° 45°)
= ( tan30°) ∗( sin45°) = √ 33 ∗√ 2
2 = √ 66
3. Determina el valor de cos1200°
1200° = 3 ∗360° 120°
cos1200° = cos(3 ∗360° 120°) = cos120° = cos(90° 30°) = sin30° = 1
2
4. Hallar el valor de = sin( 30°) tan( 53°)
= sin30° tan53° = 12
43 =
3 86 = 11
6
5. Hallar el valor de tan
tan173 = tan 6 3 = tan3 = √ 3
6. Del gráfico, calcule el valor de tan.
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Primero.- Interpretamos el problema.
Los segmentos señalados con un punto son de la misma medida
(congruentes)
tan(360° ) = 33 4 = 37
tan = 37 → =