1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a

coordenadas polares

a. (2, 8)

r = √𝑥2 + 𝑦2 = √22 + 82 = √20 = 4,47

𝜃 = tan−1 8

2 = tan−1 4 = 75,9°

a.- Coordenadas polares (4,47, 75,9°)

b. (-5, -6)

r = √(−5)2 + (−6)2= √61 = 7,81

𝜃 = tan−1 −6

−5= tan−1 1,2 = 50°

b. -Coordenadas polares (7,81, 50°)

c. (√2 ,1

5)

r = √(√2)2

+ (1

5)

2

= √51

25= 1,42

𝜃 = tan−11

5

√2 = tan−1 1

5√2= 8°

c.- coordenadas polares (1,42, 8°)

2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar r= 1+ sin∅

Tomamos el área comprendida entre θ = 0 ; θ = π

a. A1= 2∫1

2 r2 π

0dθ

A1= 2∫1

2 (1 + sen θ)2π

o d𝜃

A1= 2∫1

2 (1 + 2 𝑠𝑒𝑛∅ + 𝑠𝑒𝑛2 𝜋

0𝜃) 𝑑𝜃

A1= ∫ 𝑑𝜃𝜋

0+ 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛

𝜋

0𝜃𝑑𝜃 + ∫

1−𝑐𝑜𝑠𝜃

2 𝑑𝜃

𝜋

0

A1= 𝜃|0 𝜋 − 2 𝑐𝑜𝑠𝜃|0

𝜋 + 1

2𝜃 |0

𝜋 − 1

2 𝑠𝑒𝑛𝜃|0

𝜋

A1= 𝜋 − 0 − 2[cos 𝜋 − cos 0] +1

2[𝜋 − 0] −

1

2 [𝑠𝑒𝑛 𝜋 − 𝑠𝑒𝑛 0]

A1= 𝜋 − 2(−1 − 1) +𝜋

2−

1

2(0)

A1= 𝜋 + 4 +𝜋

2

A1 = 3

2𝜋 + 4

El ejercicio anterior esta correspondido entre los 𝜃 valores

θ = π ; θ = 3

2π

𝐴2=

1

2∫ (1 + sen θ)2

32

𝜋

𝜋

𝐴2= 1

2[𝜃|𝜋

32

𝜋− 2 𝑐𝑜𝑠𝜃|𝜋

32

𝜋+

1

2𝜃|𝜋

32

𝜋−

1

2 𝑠𝑒𝑛𝜃|𝜋

32

𝜋]

𝐴2= 1

2[

3

2𝜋] − [𝑐𝑜𝑠 (

3

2𝜋) − 𝑐𝑜𝑠 𝜋]+

1

4[

3

2𝜋 − 𝜋] −

1

4[𝑠𝑒𝑛 (

3

2𝜋) 𝑠𝑒𝑛 𝜋]

𝐴2= 1

4𝜋 − 1 +

1

16𝜋 +

1

4

𝐴2=

5

16𝜋 −

3

4

3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a

coordenadas polares:

a. (2,𝜋

4)

b. (−8,3𝜋

2)

c. (−1

2,

5𝜋

4)

Nota: al momento de la realización me puede dar cuenta de que el enunciado

estaba mal por lo tanto lo realiza de tal forma: de polares a rectangulares

a. (2,𝜋

4) → 𝑟 = 2 ; 𝜃 =

𝜋

4

cos 𝜃 = 𝑥

𝑟 → 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑥 = 2 . cos (

𝜋

4) = 1,41

𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑦

𝑟→ 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 2 𝑠𝑒𝑛

𝜋

4= 1,41

a.- coordenadas rectangulares (1,41 ; 1,41)

b. (−8,3𝜋

2)

𝑟 = −8 ; 𝜃 = 3𝜋

2

𝑥 = cos 𝜃 = −8 . cos3𝜋

2= 0

𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −8 . 𝑠𝑒𝑛 3𝜋

2= 8

b.- coordenadas cartesianas (0, 8)

c. (−1

2,

5𝜋

4)

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 = −1

2 𝑐𝑜𝑠 (

5𝜋

4) = 0,35

𝑦 = −1

2 𝑠𝑒𝑛 (

5𝜋

4) = 0,35

c.- coordenadas rectangulares (0,35 ; 0,35)

4. Calcular el área que encierra la cuerva de ecuación polar r = 4cos (2𝜃)

𝐴 = 2 ∫1

2𝑟2 𝑑𝜃

𝜋

0

𝐴 = ∫ (4 cos 𝜃)2 𝑑𝜃𝜋

0

𝐴 = ∫ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑑𝜃𝜋

0

𝐴 = 16 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑑𝜃 𝜋

0

= 16 ∫ (√1 + cos 2 𝜃

2)

2𝜋

0

𝑑𝑥 = 16 ∫1 + 𝑐𝑜𝑠2

2

𝜋

0

𝑑𝜃

𝐴 = 8 ∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃)𝑑𝜃 = 8 (∫ 𝑑𝜃𝜋

0

+ ∫ cos 2𝜃 𝑑𝜃𝜋

0

)𝜋

0

𝐴 = [𝜃|0𝜋 +

1

2𝑠𝑒𝑛2𝜃|0

𝜋]

𝐴 = [(𝜋 − 0) +1

2(𝑠𝑒𝑛2𝜋 − 𝑠𝑒𝑛20)] = 8𝜋

5. Transformar la siguiente ecuación e variable polar a rectangulares r =

2cos(3𝜃)

Multiplicando ambos lados por r

𝑟(𝑟) = 𝑟(2 cos(3𝜃))

𝑟2 = 2 𝑟 𝑐𝑜𝑠(3𝜃)

Tenemos que 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 sustituyendo tenemos

𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑟 cos(3𝜃)

𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑥

𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 = 0

𝑥2 −2

2𝑥 + 12 − 1 + 𝑦2 = 0

(𝑥 − 1)2 + 𝑦2

6. Transformar la sigues de variables rectangulares a variable polares

𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥 + 𝑦)2

𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2)

𝑥2 − 2𝑦2 = 4(𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦)

Tenemos que 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

x = cos𝜃 ; y = r sen𝜃

Sustituyendo en la ecuación tenemos

(𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − 2(𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃)2 = 4(𝑟2 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑟2𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 4𝑟2 + 4𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑟2. (𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃) 4𝑟2(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 2𝑠𝑒𝑛2 = 4(1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 . 𝑠𝑒𝑛𝜃)