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PROBLEMAS RESUELTOS CINEMÁTICA
RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA
1. Una partícula se encuentra en la posición (4, 2, -2) m y en 10 segundos se traslada a la
posición (8, 12, 20) m. Su velocidad media es:
a) 0.4i + 1.2j - 1.2k (m/s)
b) 4i + 10j + 22k "
c) 12i + 10j - 22k "
d) 1.2i + j - 2.2k "
e) 0.4i + j + 2.2k "
Solución:
Expresemos la posición de la partícula en término de sus coordenadas cartesianas y
llamemos por r1 y r2 al vector posición que las identifica.
r1 = 4i + 2j – 2k
r2 = 8i +12j + 20k
t
rr
tvm
12r
mv
= 10
22410108 kjikji
mv
= kjikji
2,24,010
22104 m/s
2. La velocidad media y la rapidez media, para un mismo intervalo de tiempo, tienen igual valor
cuando:
I. La partícula se mueve en línea recta con velocidad constante
II. La partícula se mueve en línea recta y regresa a su posición inicial
III. El desplazamiento y la longitud de la trayectoria son iguales.
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d) I y II
e) I y III
Solución:
La velocidad media y la rapidez media tienen el mismo valor sólo cuando el
desplazamiento de la partícula tiene la misma magnitud que la longitud de la
trayectoria. Esto ocurre cuando la partícula se mueve en línea recta y en la misma
dirección, no necesariamente con velocidad constante. Florencio Pinela C.
C
B A
3. Una partícula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3, -2, 1)m, al punto p2 de
coordenadas (10, 8, 7)m. Si en el punto p1 la partícula tenía una velocidad de V = 2i + 4j m/s.
El ángulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partícula es:
a) 27,4º
b) 34,1º
c) 56,8º
d) 65,2º
e) 71,4º
Solución:
Nos piden el ángulo formado entre el vector velocidad en el punto p1 y el vector
desplazamiento entre los puntos p1 y p2. Utilicemos la definición del producto escalar
entre el vector velocidad y el vector desplazamiento. Necesitamos conocer el módulo de
los dos vectores y expresar el vector desplazamiento en función de sus componentes
ortogonales.
r = r2 – r1
r2 =10i + 8j + 7k
r1 = 3i –2j +k
r =(10i + 8j + 7k) – (3i –2j +k)
r = 7i +10j + 6k
r = 185 , (m)
V = 2i + 4j
V = 20 , (m/s)
CosVrVr
Vr
VrCos
Cos = 20185
4014
= 27,4
4. Una partícula describe la trayectoria mostrada en la figura, el tramo AB es horizontal
y BC un tramo de circunferencia de 10 m de radio. Determine el módulo de la
velocidad media de la partícula entre los puntos A y C sabiendo que ésta se mueve con
rapidez constante de 8 m/s y tarda 10 s en realizar el recorrido.
a) 3.4 m/s
b) 4.4 m/s
c) 5.2 m/s
d) 6.2 m/s
e) 8.0 m/s
C
B A
Solución:
La velocidad media se define como la relación entre el desplazamiento y el tiempo
empleado. El desplazamiento es el vector que parte del punto A y se dirige hasta el
punto C.
Para calcular el desplazamiento necesitamos conocer la magnitud del tramo AB.
Sabemos que la rapidez de la partícula es de 8 m/s, la rapidez representa la relación
entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, con la rapidez y el tiempo podemos
determinar la longitud de la trayectoria, esto es la longitud del tramo AB y la longitud
de las ¾ de circunferencia.
V = 10
2*¾ rAB
t
d
80 = AB + 15
AB = 32,87 m
r = (32,87 + 10)i + 10j
r = 42,87 i + 10j
10
1087,42 ji
t
r= 4,287 i + j
El módulo de la velocidad media será 4,4 m/s
5. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son falsos?
I.- El módulo de la velocidad media no puede ser mayor a la rapidez media. Correcto!!
II.- Un cuerpo puede experimentar desplazamiento positivo cuando su velocidad media es
negativa. Falso!!. El signo del desplazamiento corresponde al signo de la velocidad media.
III.- La velocidad media y la aceleración media vectorialmente tienen la misma dirección.
Falso!!!. La dirección de la velocidad media corresponde a la dirección del desplazamiento. La
dirección de la aceleración corresponde a la dirección del vector “cambio de velocidad”
IV.- Un cuerpo con aceleración positiva experimentará siempre desplazamientos positivos.
Falso!!. No necesariamente, los cuerpos pueden desplazarse en dirección contraria a la
aceleración.
V.- En el movimiento rectilíneo uniformemente variado, la aceleración media es una constante.
Correcto!!!.
a) II, III, IV
b) III, IV, V
c) I, II, III, IV
d) I, III, IV e) Todas son falsas. Florencio Pinela C.
6. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si
para todo el recorrido la rapidez media y la velocidad media son de 20 m/s y 10 m/s
respectivamente. Determine los valores de x y xo
x(m) xo(m) x(m)
a) 50 -150
b) 50 -100 x
c) 200 -150
d) 100 -100
e) 200 -100
0
10 t(s)
- xo
Solución:
Observando el gráfico notamos que la partícula a t=0 parte del punto –xo y se mueve
en dirección positiva llegando hasta el punto x, luego regresa (invierte la dirección de
movimiento) y se detiene en el origen a los 10 segundos.
Rapidez Media = 2010
2
10
tan xxoxxxo
t
ciadis
xo + 2x = 200
Velocidad Media = 1010
xo
t
entodesplazami
xo = 100
100 + 2x = 200
x = 50 m
xo + 2x = 200
xo + 2(50) = 200
xo = 100 m. (-)
Florencio Pinela C.
x
0 -xo x desplazamiento
7. Una partícula tarda 5s en ir de la posición a hasta la posición b, como se indica en la
figura. El módulo de la velocidad media de la partícula es
a) 1.95 m/s z
b) 1.75 “ b
c) 1.5 “
d) 1.25 “
e) Falta indicar la trayectoria 8m
de la partícula.
a y
5m
x 10m
Solución:
Encontremos los vectores posición inicial y posición final para luego determinar el
vector desplazamiento.
z
b
8m
a y
5m
x 10m
ra = 2,5i + 5j
rb = 10j + 8k
Desplazamiento = r = rb - ra
r = (10j + 8k) – (2,5i + 5j)
r = -2,5i +5j + 8k
Velocidad Media = mv
= r / t
Velocidad Media = - 0,5 i + j + 1,6k
mv
= 222 6,115,0 = 1,95 m/s
Florencio Pinela C.
8. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la rapidez
media y la velocidad media para todo el recorrido son de 20 m/s y 5 m/s
respectivamente, los valores de V1 y V2 son:
V1 (m/s) V2(m/s)
a) 15.5 12.3
b) 24.6 22.0
c) 21.5 18.5
d) 18.7 22.5
e) 10.5 15.5
Solución:
En el gráfico velocidad versus tiempo el área bajo la curva representa el
desplazamiento. Velocidad positiva desplazamiento positivo, velocidad negativa
desplazamiento negativo. Recuerde que la distancia es una cantidad escalar y carece de
signo.
El desplazamiento neto será:
s = 10 V1 - 5 V2
La distancia total recorrida será:
d = 10 V1 + 5 V2
Velocidad media = s / t
Rapidez media = d/ t
s / t = 5 = (10 V1 - 5 V2)/15
d/ t = 20 = (10 V1 + 5 V2 )/15
Formamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
75 = 10 V1 - 5 V2
300 = 10 V1 + 5 V2
Resolviendo este sistema de ecuaciones encontramos: V1 = 18,7 m/s y V2 = 22,5 m/s
15 10
V1
V2
v (m/s)
t (s)
Desplazamiento positivo
Desplazamiento negativo
V
t
0
9. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si durante
los 10 primeros segundos su velocidad media es cero y su rapidez media 10 m/s.
La velocidad inicial de la partícula es
a) 15 m/s
b) 20 m/s
c) 25 m/s
d) 30 m/s
e) 35 m/s
Solución:
Si la velocidad media es cero, el desplazamiento positivo (amarillo) y el desplazamiento
negativo (azul) deben tener la misma magnitud. Los triángulos deben ser iguales y
simétricos.
El desplazamiento neto será:
s = ½ Vo(5) – ½ Vo(5) = 0
La distancia total recorrida será:
d = ½ Vo(5) + ½ Vo(5)
d = 5 Vo
Rapidez media = d/ t
d/ t = 10 = 5Vo/10
Vo = 20 m/s
Florencio Pinela C.
V(m/s)
t(s)
0
V(m/s)
t(s)
10
Vo
-Vo
5
PROBLEMAS PROPUESTOS CINEMÁTICA
RAPIDEZ MEDIA Y VELOCIDAD MEDIA
1. Una partícula se encuentra a t=0 en un punto de coordenadas (-5, 6, 10)m y se
mueve con velocidad media de 3i – 2j m/s durante cinco segundos. La posición de
la partícula a los cinco segundos es.
a) ( 10, -10, 4 )m
b) ( 15, 10, -10 )m
c) ( 10, -4, 10 )m
d) ( 5, 6, 10 )m
e) ( 15, -10, 0 )m
2. Un helicóptero parte y sube verticalmente 100 m. De aquí vuela horizontalmente
hacia el este 200 m y finalmente vuela horizontalmente hacia el norte 200 m. El
desplazamiento del helicóptero fue
a) 100 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m
3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Durante los primeros
cinco segundos la velocidad media de la partícula fue de 50 m/s. Determine la velocidad media
de la partícula hasta el instante en que adquiere la mitad de su velocidad inicial.
V(m/s) a) 20.0 m/s b) 30.3 “ 60
c) 44.7 “
d) 47.1 “
e) 50.0 “
vo
5 8 t(s)
3. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta (el gráfico no se
encuentra a escala). Si la velocidad media durante los 10 primeros segundos es
cero, el valor de la rapidez media durante este intervalo es:
a) 6 m/s
b) 10 m/s
c) 15 m/s
d) 20 m/s
e) 60 m/s
Florencio Pinela C.
-20
0 10 0
v(m/s)
t(s) 3
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una partícula describe una trayectoria no rectilínea, entonces:
I. la partícula está acelerada. Correcto!!. Sólo el hecho que la partícula cambie la
dirección del vector velocidad, esta estará acelerada.
II. si la rapidez es constante su aceleración será cero. Falso!!!.Esto sería cierto si la
trayectoria fuera rectilínea y la partícula no invierta la dirección de movimiento.
III. si la rapidez es constante su velocidad media lo será también. Falso!!. La rapidez y la
velocidad media son iguales en magnitud sólo cuando la partícula se mueve en línea
recta.
a) I y II son verdaderos
b) I y III son verdaderos
c) Solo I es verdad
d) I, II y III son verdaderos
e) I, II y III son falsos
2. Para una partícula moviéndose en línea recta, ¿cuál(es) de (el) los siguientes casos no es
posible?
a) Desplazamiento negativo con aceleración positiva.
b) Rapidez media menor que la velocidad media.
c) Rapidez media mayor que la velocidad media
d) Desplazamiento nulo con aceleración cero.
e) Desplazamiento positivo con aceleración media cero.
a) El gráfico de la derecha muestra un movimiento
Con aceleración positiva. El área bajo la curva
representa el desplazamiento, en este caso desplaza- miento negativo. Si es posible!
b) La velocidad media iguala en magnitud a la rapidez
media solo en el caso en que la partícula se mueva en
línea recta y en la misma dirección, por lo tanto la
rapidez media es siempre mayor o igual que la
velocidad media. No es posible!
c) Si es posible!!!.
d) No es posible!!. Si la aceleración es cero, la velocidad es constante. Si la velocidad
es constante el desplazamiento no puede ser cero.
e) Si es posible!!. Si la partícula se mueve en línea recta y su aceleración es cero,
significa que su velocidad es constante. Si la velocidad es constante su desplazamiento
puede ser positivo o negativo. Florencio Pinela C.
V
t
3. Dos partículas se aceleran desde el reposo al mismo instante a razón de 5 m/s2 y 3 m/s2
respectivamente. Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La distancia
que estaban separadas al instante de partir fue:
a) 50 m
b) 100 m
c) 125 m
d) 150 m
e) 200 m
Solución:
Si las partículas parten del reposo con diferente aceleración, y se encuentran luego de
viajar una determinada distancia. Las partículas debieron haber partido de diferente
posición , llevando ventaja en distancia (xo) la partícula con menor aceleración.
Instante t = 0, en que parten
A B
5 m/s2 3 m/s2 x
x = 0
xo
Instante t, en que se encuentran
(la posición final de las dos partículas es la misma)
x = 0
xA = xB
Posición final de una partícula.
x = xo + Vo t + ½ a t2
Posición final de la partícula A:
x = xo + Vo t + ½ a t2
xA = 0 + 0 + ½ 5 (10)2
xA = 250 m
Posición final de la partícula B:
xB = xo + Vo t + ½ a t2
xB = xo + 0 + ½ 3(10)2
xB = xo + 150
La posición final de las dos partículas es la misma; xA = xB
250 = xo + 150
xo = 100 m Florencio Pinela C.
4. El gráfico representa el movimiento de dos partículas A y B que viajan con
aceleraciones aB y aA en línea recta. La relación entre aB y aA es:
a) 6
b) 5 25 c) 4 d) 3 e) 2
Solución:
En este problema aplicaremos el concepto de que la pendiente de una curva en el plano
velocidad versus tiempo representa la aceleración.
La pendiente de la curva A es:
aA = tt
52025
la pendiente de la curva B es:
aB = tt
30525
aB/ aA =
t
t5
30
= 6
5. Los movimientos de dos cuerpos “A” y “B” en línea recta se encuentran representados
en la gráfica. El tiempo t que transcurre desde el instante que parten hasta que ambos
cuerpos se encuentran en la misma posición es:
a) 6 s
b) 5 s 10
c) 4 s
d) 3 s
e) 2 s
Solución:
20
A
v (m/s)
t
B
0
-5
t (s)
2
t 1
-2
x (m)
t (s)
A
B
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad, por lo tanto estamos en
presencia de un movimiento rectilíneo con velocidad constante.
De acuerdo a los datos del gráfico, el cuerpo A al instante t = 0 se encuentra en la
posición inicial x = -2m, después de un segundo pasa por el origen y luego de t
segundos se encuentra en la posición x = 10m.
Con esta información podemos determinar la pendiente de la curva (VA) y el tiempo
que tarda en llegar a la posición xA =10m.
Posición del cuerpo A al instante t 0
xA = xo + VA t + ½ a t2
xA = xo + VA t
la velocidad VA la obtenemos del gráfico (pendiente).
VA = 2 m/s
xA = xo + VA t
10 = -2 + 2 t
t = 6s
6. El gráfico que se muestra representa la variación de la velocidad en el transcurso del
tiempo para una partícula que se mueve en línea recta y que se encuentra en el origen al
instante t =0. Para el intervalo de tiempo mostrado, la máxima distancia que la
partícula se aleja del origen es
v(m/s)
a) 250 m 20
b) 500 m
c) 350 m
d) 150 m 0 30 40 t(s)
e) 100 m 5 10 20
-20
Solución:
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración y el área bajo la curva el
desplazamiento.
De acuerdo al grafico, la partícula experimenta desplazamiento positivo durante los
primeros 20 segundos, y luego regresa (desplazamiento negativo) durante los siguientes
20 segundos.
El desplazamiento positivo es:
5*20/2 + 5*20 + 10*20/2
= 250 m
1
-2
El desplazamiento negativo es:
10*20/2 + 10*20/2
= 200 Florencio Pinela C.
La partícula se aleja 250 metros y luego regresa 200 metros. Se nos pregunta la
máxima distancia que la partícula se aleja del origen, la respuesta es lógica, esta
distancia corresponde al desplazamiento positivo.
250 metros
7. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición, los vehículos se
aceleran en direcciones contrarias. ¿Cuál de los siguientes gráficos
representaría mejor el movimiento de los dos vehículos?
x x x
t t
t
x x
t t
Solución:
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano posición versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la velocidad.
Si los vehículos parten del reposo, la pendiente de la curva al instante t = 0 debe ser
igual a cero. El único gráfico que cumple esta condición es el e).
Ratifiquemos el resultado a partir de la segunda condición, “los vehículos se aceleran
en direcciones contrarias”. Acelerarse en direcciones contrarias significa que los
vehículos incrementarán su velocidad positivamente el uno y negativamente el otro. El
gráfico e) es el único que cumple esta condición.
Florencio Pinela C.
(a) (b) (c)
(d)
(e)
9. Dos vehículos parten del reposo y de la misma posición moviéndose en línea recta, el uno se
acelera a razón de 2 m/s2 y el otro a 4 m/s2. Si los vehículos se encuentran después de haber
viajado 1000 m. ¿Después de cuánto tiempo que salió el primero partió el segundo?.
a) 3.15 s
b) 9.26 s
c) 6.26 s
d) 11.30 s
e) 10.62 s
Solución:
En este problema podemos calcular el tiempo que emplearía en recorrer los 1000
metros cada uno de los vehículos. Por supuesto que será mayor el del vehículo que
viaja acelerado a 2 m/s2, la diferencia entre estos dos tiempos es el intervalo de tiempo
que debería tomar “ventaja” éste vehículo.
Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 2 m/s2 en recorrer los 1000 metros.
0
x = Vo t + ½ a t2
t1 = a
x2
t1 = 31,62 s
Tiempo que le toma al vehículo que viaja a 4 m/s2 en recorrer los 1000 metros.
x = Vo t + ½ a t2
t2 = a
x2
t2 = 22,36 s
¿Después de cuánto tiempo que salió el primero parte el segundo?.
Es la diferencia entre estos dos tiempos: 9,26 s
10. Un bloque resbala sobre un plano como se indica en la figura. El bloque al deslizarse:
a) su velocidad y aceleración aumentan b) su velocidad aumenta y su aceleración es constante
c) su velocidad aumenta y su aceleración disminuye
d) su velocidad y aceleración disminuyen
e) su velocidad disminuye y su aceleración es constante
Florencio Pinela C.
11. La ecuación del movimiento de una partícula en línea recta viene dada por la siguiente
expresión x = 4t2 + 2t + 8, donde x está en metros y t en segundos, el desplazamiento, la
velocidad y la aceleración de la partícula al cabo de 2 segundos son
Desplazamiento (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2)
a) 32 16 8
b) 32 2 4
c) 28 18 8
d) 20 16 8
e) 20 18 8
Solución:
De acuerdo a la expresión de la posición, podemos determinar por comparación los
valores de: la posición inicial ( xo), la velocidad inicial (Vo) y la aceleración( a)
x = 4t2 + 2t + 8
x = xo + Vo t + ½ a t2
xo = 8 m
Vo = 2 m/s
a = 8 m/s2
Con esta información determinemos el desplazamiento a los 2s.
x = Vo t + ½ a t2
x = 2(2) + ½ (8)(2)2
x = 20 m.
Calculemos ahora la velocidad a los 2s.
V = Vo + a t
V = 2 + 8(2)
V = 18 m/s
La aceleración a los 2s.
El movimiento es con aceleración constante, por lo tanto la aceleración es la misma
para cualquier instante de tiempo, a = 8 m/s2
Florencio Pinela C.
12. Un móvil recorre 300 m en 20 segundos con aceleración constante. Si la velocidad al
terminar su recorrido es de 20 m/s, la velocidad con la que empezó su movimiento es:
a) 0
b) 5 m/s
c) 10 m/s
d) 12 m/s
e) 15 m/s
solución:
Una de las ecuaciones útiles para resolver problemas de cinemática es:
x = tVV o
2
La que representa el área bajo la curva (trapecio) del plano velocidad versus tiempo,
esta ecuación involucra cuatro de los cinco términos utilizados en cinemática, no
contempla la aceleración. De acuerdo a la información dada en este problema, es la
ecuación ideal.
Vo = Vt
x2
Vo = 2020
300*2
Vo = 10 m/s
13. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. En el instante
correspondiente al punto A (intersección de las rectas), de los siguientes enunciados:
I. Las partículas tienen la misma velocidad. Falso!!. Este es un gráfico posición versus tiempo.
II. Las partículas se encuentran. Correcto!!. En ese instante las partículas tienen la misma
posición
III. Las partículas experimentaron el mismo desplazamiento. Falso!!. Las partículas se mueven
en direcciones contrarias.
a) Solo I es correcto
b) Solo II es correcto
c) I y II son correctos
d) I y III son correctos
e) Todos son correctos
Florencio Pinela C.
A
x (m)
t (s) 0
V
V
Vo
t t
14. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. El instante en que las
partículas tienen la misma velocidad es:
a) 8,5 s
b) 8,0 s
c) 7,5 s
d) 7,0 s
e) 6,5 s
Solución:
Cuidado!!. Fíjese en las coordenadas del gráfico, éste es un plano velocidad versus
tiempo. En este plano la pendiente representa la aceleración.
Llamemos (1) a la partícula con aceleración positiva y (2) a la partícula con
aceleración negativa. Sea t el instante en que las partículas tienen la misma velocidad.
V1 = Vo1 + a1 t
V2 = Vo2 + a2 t
V1 = -10 + a1 t
V2 = 20 + a2 t
Los valores de la aceleración la determinamos del gráfico a partir de la pendiente.
a1 =5
10 = 2 m/s
2
a2 = 210
20m/s
2
V1 = V2
-10 + a1 t = 20 + a2 t
-10 + 2 t = 20 +(-2) t 4 t = 30
t = 7,5 s Florencio Pinela C.
t (s)
v (m/s)
0 5 10
20
-10
V (1)
t
(2)
t
15. Dos vehículos se mueven en línea recta con velocidad constante y en la misma dirección,
con velocidades de 20 m/s y 30 m/s. Si al instante t=0 los vehículos están separados 200 m y si
uno de ellos le da alcance al otro. ¿En cuánto tiempo lo logra?
a) 20.0 s
b) 16.6 s
c) 10.6 s
d) 6.6 s
e) 4.0 s
Solución:
Si los vehículos se mueven con velocidad constante y diferentes, y además se
encuentran separados una cierta distancia. Para que uno de ellos (1) le de alcance al
otro (2), el que viaja a mayor velocidad (1) debe encontrarse atrás.
Posición inicial t = 0, de los vehículos
(2)
(1) 30 m/s 20 m/s
x =0
200 m
Posición de los vehículos al instante t en que le da alcance
20 m/s
x =0
x1 = x2
La posición del vehículo (1) al instante t es: 0
x1 = xo + Vo t + ½ a t2
x1 = xo + Vo t
x1 = 0 + 30 t
La posición del vehículo (2) al instante t es: 0
x2 = xo + Vo t + ½ a t2
x2 = xo + Vo t
x2 = 200 + 20 t
El instante en que los vehículos se encuentran es:
x1 = x2
30 t = 200 + 20 t
10 t = 200
Florencio Pinela C. t = 20 s
30 m/s
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si la velocidad media de una partícula que se mueve en línea recta es cero,
entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es verdadera?
a) La velocidad de la partícula, en algún instante, será cero.
b) La aceleración de la partícula es positiva en un tramo y negativa en el otro tramo.
c) El desplazamiento de la partícula es igual a la distancia total recorrida.
d) La velocidad de la partícula es constante.
e) La velocidad media de la partícula será cero, solamente si ésta no se mueve.
2. Dos vehículos A y B se mueven con velocidad constante y en la misma dirección;
VA= 15 m/s y VB= 20 m/s. Si los vehículos se encuentran separados 100 m.¿ Qué
aceleración deberá imprimir el vehículo A para que le de alcance al vehículo B al cabo
de 10 segundos?
a) 1,0 m/s2
b) 2,0 m/s2
c) 3,0 m/s2
d) 4,0 m/s2
e) 5,0 m/s2
3. Dos partículas A y B se encuentran en las posiciones indicadas en la figura a t =0. Si
las partículas se mueven con velocidades de 20 m/s y 10 m/s respectivamente. ¿Cuál
es la distancia total recorrida por las partículas al instante de encontrarse?
A B
-200 0 100 x(m)
a) 400 m.
b) 500 m.
c) 700 m.
d) 900 m.
e) 1200 m.
4. Para el problema 3, si en la posición indicada la partícula A se acelera a razón de
2m/s2, mientras B continúa con velocidad constante.¿ Qué distancia se habrá desplazado
A en el instante que le da alcance a B.
a) 260 m.
b) 290 m.
c) 340 m.
d) 392 m.
e) 430 m.
5. Un auto se mueve con velocidad constante de 20 m/s acercándose a una intersección donde
existe un semáforo. En el instante en que el vehículo se encuentra a 80m de la intersección, el
semáforo cambia a rojo. El conductor reacciona y aplica los frenos dos segundos después de ver
la luz roja, deteniéndose 4 segundos después. El auto se detendrá
a) 20 m antes del semáforo
b) 20 m después del semáforo
c) 40 m antes del semáforo
d) 40 m después del semáforo
e) exactamente bajo el semáforo
6. Dos partículas parten al mismo instante desde el origen de un sistema de coordenadas. La una
parte en dirección vertical con rapidez constante de 4 m/s. La otra parte desde el reposo y se
mueve en dirección perpendicular a la anterior con una aceleración de 8 m/s2 durante los
primeros 4s, para luego continuar moviéndose con velocidad constante. Desde el instante en que
partieron, al cabo de cuánto tiempo las partículas estarán separadas 0.15 km.
a) 2.2 s.
b) 3.3 s.
c) 4.4 s.
d) 5.5 s.
e) 6.6 s.
7. La gráfica x-t representa el movimiento de dos partículas en línea recta. A los cinco
segundos las partículas están separadas 5 metros. ¿ Cuál es la velocidad de la partícula
2, si la velocidad de la partícula 1 es 1 m/s.? .
a) 1 m/s
b) 2 m/s
c) 3 m/s
d) 4 m/s
e) 5 m/s
0
8. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si a
los nueve segundos la partícula se encuentra en la posición x = 20m. la posición de la
partícula a t=0 es v(m/s)
a) -45 m 20
b) -25 m
c) -20 m
d) -10 m 6 9 t(s)
e) 0 o
20
5
5
x (m)
t (s)
1
2
9. Un automóvil viaja con una rapidez inicial v se para en un intervalo de tiempo t. Si la
desaceleración durante este intervalo t es constante ¿Cuál de las siguientes afirmaciones
es correcta para dicho intervalo?
a) La distancia recorrida es vt/2
b) La rapidez media es vt
c) La aceleración es -v/2t
d) La distancia recorrida es vt2/2
e) La velocidad media es vt/2
10. Un cuerpo con aceleración constante tiene una velocidad de 8 m/s al instante t = 5s
y una velocidad de 26 m/s para el instante t = 8s, la aceleración y la velocidad media de
la partícula para el intervalo de tiempo indicado fueron
Aceleración media Velocidad media
a) 6 m/s2 17 m/s
b) 6 " 11,3 "
c) 9 " 17 "
d) 9 " 11,3 "
e) 12 " 17 "
11. Una partícula parte del origen de coordenadas y se desplaza hacia un punto P con
velocidad media 20 i m/s en 10 segundos, a continuación experimenta un
desplazamiento de (25 i + 30 j) m durante un tiempo de 5 segundos hasta un punto Q.
La velocidad media de la partícula durante los 15 segundos fue
a) 200 i m/s
b) 250 i + 300 j "
c) 45 i + 30 j "
d) 5 i + 30 j "
e) 15 i + 2 j "
12. En relación a la definición de aceleración ¿ cuál de las siguientes alternativas es
FALSA?
a) Si un cuerpo moviéndose en línea recta con velocidad constante, cambia la dirección de su
movimiento, el cuerpo experimentará aceleración.
b) Un cuerpo con velocidad negativa puede tener aceleración positiva.
c) El vector aceleración siempre se encuentra en la dirección de movimiento de un cuerpo.
d) Un cuerpo con aceleración positiva puede tener desplazamiento nulo.
e) Un cuerpo con aceleración negativa puede tener desplazamiento nulo.
13. Una partícula describe una trayectoria circular de 50 cm de radio, moviéndose con
rapidez constante de 200 m/s . El módulo de la aceleración media entre los puntos a y b
es
a) 509 m/s2
b) 1018 “
c) 2036 “
d) 25464 “ a b
e) 50929 “
14. Un automovilista viaja a 20 m/s cuando observa que un semáforo situado a 150
m delante de él cambia a rojo. El semáforo está en rojo durante 10 segundos. Si
desea cruzar el semáforo en el instante en que cambia a verde sin detenerse,
calcular la desaceleración uniforme que requiere el automóvil y la velocidad del
automóvil cuando pase el semáforo.
a)
150 m
15. Una partícula parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2. La distancia
recorrida por la partícula en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 2s y t
= 3s es.
a) 3 m
b) 4 m
c) 5 m
d) 9 m
e) 13 m
16. La función de posición de una partícula es: x(t) = 16 t2 - 4 t. La velocidad media
de la partícula para el intervalo comprendido entre t = 1s y t = 2s, es
a) 12 m/s
b) 34 m/s
c) 44 m/s
d) 56 m/s
e) 68 m/s
a) -1 m/s2, 5 m/s
b) -1 m/s2, 10 m/s
c) -1 m/s2, 10 m/s
d) -2 m/s2, 0
e) -2 m/s2, 10 m/s
17. La ecuación de un determinado movimiento viene dado por la siguiente
expresión x= 4t2
+ 2t + 8 (S.I.), calcúlese la distancia al origen, la velocidad y la
aceleración al cabo de 2 segundos.
Distancia (m) Velocidad (m/s) Aceleración (m/s2)
a) 32 16 8
b) 32 2 4
c) 8 18 8
d) 8 2 8
e) 32 18 8
18. Dos partículas se encuentran en reposo y en la misma posición. Si a t=0 se aceleran en
direcciones contrarias encontrándose separadas 150 m al cabo de 5 s. Determine la
magnitud de su aceleración sabiendo que uno de ellos se acelera el doble que la otra.
a) 2 m/s2 4 m/s
2
b) 3 m/s2 6 m/s
2
c) 4 m/s2 8 m/s
2
d) 5 m/s2 10 m/s
2
e) 6 m/s2 12 m/s
2
19. Dos vehículos viajan en la misma dirección en una carretera plana y horizontal, en
un instante, al que llamaremos t = 0 uno de los vehículos que se mueve con velocidad
constante de 100 Km/h se encuentra a 1 Km de la meta. El otro vehículo viene detrás a
una distancia de 500 m y con velocidad constante de 90 Km./h. ¿ Qué aceleración
debería imprimir este vehículo para que de alcance al primero al momento de llegar a la
meta’.
a) 0.93 m/s2
b) 1.2 “
c) 1.8 “
d) 2.2 “
e) 3.5 “
20. Un carro parte del punto A desde el reposo con una aceleración de 2 m/s2. En ese mismo
instante un segundo carro pasa por el punto B con velocidad constante de 10 m/s. Si después de
20 segundos la distancia de separación entre los carros es de 100 m, la distancia entre los
puntos (A,B) en que ellos parten es:
a) 100 m
b) 200 m
c) 300 m
d) 400 m
e) 500 m
A B
21. Un automóvil parte del reposo y se acelera uniformemente a 10 m/s2 para pasar
dos semáforos consecutivos que se encuentran separados 200 m. Si el vehículo
tarda 4s en pasar los dos semáforos, determine la distancia a la que se
encuentra el primer semáforo del punto de partida.
a) 80 m
b) 45 m
c) 35 m
d) 20 m
e) 18 m
22. La posición de una partícula en el tiempo está dada por: x =10 + 8t – t2, en donde t esta
en segundos y x en metros. ¿Qué distancia recorre la partícula durante los primeros 6
segundos de su movimiento?
a) 12 m
b) 20 m
c) 22 m
d) 26 m
e) 30 m
23. Para el problema anterior, la velocidad media en el mismo intervalo de tiempo fue:
a) 2.0 m/s
b) 3.3 m/s
c) 3.7 m/s
d) 4.0 m/s
e) –3.7 m/s
24. Una partícula parte del reposo y realiza un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado. Durante los primeros 15 segundos tiene una velocidad media de 20 m/s. La
velocidad de la partícula a los 10 segundos fue
a) 15.4 m/s
b) 20.0 m/s
c) 26.7 m/s
d) 32.6 m/s
e) 40.0 m/s
25. Dos vehículos A y B viajan en direcciones contrarias con velocidades de 80 Km/h y
120 Km/h respectivamente. Si al instante t=0 cuando los vehículos se encuentran
separados una distancia de 1 Km, el vehículo B frena deteniéndose al cabo de 15
segundos. ¿Cuál es la distancia que separa los vehículos en el instante en que B se
detiene? El vehículo A mantiene su velocidad
a) 500 m
b) 450 m
c) 417 m
d) 407 m
e) 397 m
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
CAÍDA LIBRE
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una piedra se suelta desde la terraza de un edificio de 80 m de altura. Dos
segundos después se lanza una segunda piedra desde la misma posición ¿Con
qué velocidad inicial se debería lanzar la segunda piedra, para que dé alcance a
la primera justo en el instante en que ésta llega al suelo?
a) 38,2 m/s
b) 35,8 m/s
c) 33,6 m/s
d) 32,1 m/s
e) 29,2 m/s
Solución:
Si llamamos t1 al tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo, el objeto
que se lanza deberá tardar dos segundos menos en llegar al suelo para darle alcance y
por supuesto, debe ser lanzado con una determinada velocidad.
Determinemos el tiempo que tarda el objeto que se suelta en llegar al suelo.
Escojamos nuestro sistema de referencia
de tal forma que todas las cantidades
vectoriales que apuntan hacia abajo
sean positivas.
y = Voy t + ½ g t2
Si el objeto se suelta, Voy = 0
y = ½ g t2
g
yt
2
8,9
80*2t
t = 4,04 s
Por lo tanto, el objeto que se lanza deberá recorrer los 80 metros en 2,04 segundos.
Determinemos la velocidad inicial con la que deberíamos lanzarlo.
Florencio Pinela C.
Voy =0
80 m g y = +80 m
+
+
y = Voy t + ½ g t2
80 = Voy (2,04) + ½ (9,8)(2,04)2
(2,04) Voy = 59,6
Voy = 29,2 m/s
2. Un cohete se acelera desde el reposo a razón de 5 m/s2. Al cabo de 10 segundos
se le termina el combustible. La altura máxima a la que llegará el cohete es
a) 250,0 m
b) 377,5 m
c) 397,0 m
d) 405,5 m
e) 425,5 m
Solución:
Desde que el cohete parte hasta que alcanza su altura máxima, el cohete experimenta
dos movimientos diferentes. El primero en el que lleva una aceleración hacia arriba de
5 m/s2 durante 10 segundos (instante en que se le termina el combustible), y el segundo
en el que lleva una aceleración hacia abajo de 9,8 m/s2 hasta que llega a su altura
máxima. Es importante anotar que en el instante en que se termina el combustible, el
cohete sigue ascendiendo, ya que en ese instante tenía una determinada velocidad (V)
(velocidad a los 10 segundos), luego por acción de la gravedad, esta velocidad
disminuye continuamente hasta hacerse cero, cuando llega a la altura máxima.
Florencio Pinela C.
Voy
y
a =5 m/s2
V
y1
Determinemos el desplazamiento y1 y la velocidad
del cohete a los 10 segundos.
y1 = Vo t + ½ a t2
y1 = ½ a t2
y1 = ½(5)(10)2
y1 =250 m
V = Vo + a t
V = 0 + 5(10)
V = 50 m/s
+
Vo=0
3. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia arriba
desde la terraza de un edificio de altura h. El valor de h es:
a) 76.8 m
b) 56.4 m
c) 50.6 m
d) 40.8 m
e) 20.4 m
Solución:
Suponemos que el objeto es lanzado desde la terraza y tarda 6 segundos en llegar al
piso del edificio.
Recuerde que el área bajo una curva en el plano velocidad versus tiempo representa el
desplazamiento. El área positiva (superior) representa el desplazamiento del objeto
desde la terraza del edificio hasta alcanzar la altura máxima. El área negativa
(inferior) representa el desplazamiento del objeto desde la altura máxima hasta llegar
al piso. Lo que significa que la diferencia entre estos desplazamientos (áreas) sería la
altura del edificio.
Recuerde además que la pendiente de esta curva representa la aceleración (-9,8 m/s2).
Conociendo este valor podemos determinar, usando el gráfico, el tiempo que tarda el
objeto en llegar a la altura máxima(t) y la velocidad con que impacta el piso (-V).
0
20
6
v (m/s)
t (s)
Determinemos ahora el desplazamiento
del cohete desde el instante en que se
acaba el combustible (inicial) hasta el
instante en que alcanza la altura
máxima (final) y2 .
Calculemos primero el tiempo que tarda
en llegar a la altura máxima
Vfinal = Vinicial +g t
0 = 50 + (-9,8) t
t = 5,1 s
y2 = Vinicial t + ½ g t2
y2 = 50(5,1) + ½(-9,8)(5,1)2
y2 = 127,6 m
La altura máxima a la que llegará el
cohete es
y1 + y2 = 377,6 m
Vfinal=0
Vinicial =50m/s
g = - 9,8 m/s2
y2
+
Determinación del valor de t.
La pendiente de la recta es el valor de la gravedad
8,920
t
t = 2,04 s
Determinación de V, la velocidad de impacto con el piso.
La pendiente de la recta es el valor de la gravedad
8,96 t
V
V = 9,8(6-2,04)
V = 38,8 m/s
Con estos valores podemos calcular las áreas de los triángulos (desplazamientos)
V
20
t 6
-V
t
Desplazamiento positivo ( y1)
Desplazamiento negativo ( y2)
y1
y2
Determinación de y1
y1 = t(20/2)
y1 = 2,04(20/2)
y1 = 20,4 m
Determinación de y2
y2 = (6-t)(38,8/2)
y2 = 3,96(38,8/2)
y2 = 76,8 m
La altura del edificio es: 56,4 m
4. El gráfico representa el movimiento de un cohete lanzado verticalmente con aceleración
a. Después de 10 segundos de haber partido se apagan los motores. La aceleración del
cohete mientras los motores estuvieron prendidos es:
a) 7.2 m/s2
b) 6.2 m/s2
c) 4.9 m/s2
d) 2.5 m/s2
e) El gráfico no es correcto
Solución:
Recuerde que en un gráfico velocidad versus tiempo, la pendiente representa la
aceleración y el área bajo la curva el desplazamiento.
La pendiente del primer tramo (entre 0 y 10 segundos) es positiva y representa la
aceleración del cohete mientras los motores están prendidos. La pendiente del segundo
tramo (entre 10 y 15 segundos) es negativa y representa la aceleración de la gravedad
desde el instante en que se apagan los motores.
A partir del gráfico podemos determinar la aceleración del cohete mientras los motores
están prendidos, si llegáramos a determinar la velocidad en el instante en que se
apagan los motores.
La velocidad en el instante en que se apagan los motores la podemos determinar,
conociendo que la pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de
la gravedad.
La pendiente de la recta entre los 10 y 15 segundos es la aceleración de la gravedad:
8,95
Vm/s
2
V = 49 m/s
Con este valor de velocidad vamos a determinar la pendiente de la recta entre t=0 y 10
segundos, pendiente que representa la aceleración del cohete.
a = V/10 = 4,9 m/s2
Florencio Pinela C.
15 0
v (m/s)
t (s)
15 0
v (m/s)
t (s) 10
V
5. Un objeto se lanza desde la terraza de un edificio de 50 m de altura con una
velocidad de 40 m/s y hacia arriba. Determine el tiempo que tardará el objeto en
pasar por un punto ubicado a 20 m por debajo del punto de partida.
a) 8.6 s.
b) 8.9 s.
c) 9.6 s.
d) 10.2 s.
e) 10.8 s.
Solución:
Si el objeto es lanzado desde la terraza (posición inicial), y pasa por un punto ubicado
20 metros más abajo después de un tiempo t, significa que el objeto ha experimentado
un desplazamiento de 20 m ( ó – 20 m), dependiendo del sistema de referencia. Si
tomamos nuestro sistema de referencia considerando como positiva todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia arriba, tenemos:
El tiempo que tarda el objeto en adquirir un desplazamiento de –20 m
y = Vo t + ½ a t2
-20 = 40 t + ½ (- 9,8) t2
-20 = 40 t – 4,9 t2
Tenemos que resolver la siguiente ecuación de segundo grado.
4,9 t2 – 40t – 20 = 0
t = )9,4(2
)20)(9,4(440)40( 2
t = 8,9
63,4440
t = 8,6 s Florencio Pinela C.
+Vo
+
y = -20 m
-g
desplazamiento
6. Un astronauta en cierto planeta lanza una esfera verticalmente hacia arriba con una
velocidad de 72 km./h y encuentra que regresa a su punto de partida en 7 segundos. El
valor de la aceleración de la gravedad en este planeta es
a) 1,2 m/s2
b) 2,8 m/s2
c) 5,7 m/s2
d) 9,5 m/s2
e) No se puede determinar
Solución:
Si la esfera es lanzada hacia arriba y vuelve al mismo punto, significa que ha
experimentado un desplazamiento nulo durante los 7 segundos que la esfera permanece
en movimiento. Consideremos nuestro sistema de referencia hacia abajo positivo
72 km/h = 20 m/s
y = Vo t + ½ a t2
0 = -20(7) + ½ a(7)2
a = 5,71 m/s2
7. Un cuerpo se lanza verticalmente y hacia arriba, pasa dos veces por un mismo punto
ubicado a 8.6 m desde el suelo en un intervalo de tiempo de 3 segundos. La velocidad
inicial del cuerpo es:
a) 30 m/s b) 25 m/s c) 20 m/s d) 14 m/s e) 10 m/s
Solución:
Si un objeto se lanza verticalmente hacia arriba
pasa por un punto y al volver pasa nuevamente
por el mismo punto, la magnitud de la velocidad
del objeto en ese punto es la misma cuando sube
y cuando baja, además el desplazamiento es nulo.
Si el objeto tarda 3 segundos en pasar por el
mismo punto.
Vfinal = Vinicial + g t
- V = V + (-9,8)3
2 V = 29,4
V = 14,7 m/s
Vo(-)
Posición inicial
Posición final
V
-V
y=8,6 m Vo
-
Con este valor de velocidad podemos determinar la velocidad con la que fue lanzado el
objeto.
V2 =
2
oV + 2g y 2
oV = V2 - 2g y
2
oV = (14,7)2 – 2(-9,8)8,6
2
oV = 197,96
Vo = 14 m/s
8. Desde un globo que está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s se suelta un
cuerpo para que caiga libremente. Si tarda 20 segundos en llegar al suelo, la
altura a la que estaba el globo en el instante de soltar el cuerpo es:
a) 960 m
b) 1260 m
c) 1660 m
d) 1960 m
e) 2960 m
Solución:
Desde el instante y posición en que el objeto se suelta, hasta el instante y posición en
que toca el suelo (20 segundos), la magnitud de este desplazamiento ( y) representa la
altura a la que se encontraba el globo en el momento de soltarse el objeto.
Cuidado!!!. Aunque el cuerpo se suelta, recuerde que éste se encuentra en movimiento
junto con el globo, es decir, que en el momento de soltarlo, el objeto se movía hacia
arriba con una velocidad de 50 m/s (con respecto al suelo) Vglobo = Vinicial del objeto
Consideremos nuestro sistema de referencia de tal forma que todas las cantidades
vectoriales que apunten hacia abajo sean positivas.
y = Vo t + ½ g t2
Florencio Pinela C.
y
Vglobo=50 m/s
Vinicial
+
g
y = -50(20) + ½ (9,8)(20)2
y = 960 m
9. Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente y hacia arriba
un objeto con una velocidad de 20 m/s. Al mismo instante y desde la calle se lanza otro
objeto en forma vertical con una velocidad de 30 m/s . Los objetos se encontraran al
cabo de
a) 2 s
b) 3 s
c) 4 s
d) 5 s
e) 6 s
solución:
Si los objetos se encuentran, significa que en ese instante tendrán la misma posición,
independiente del sistema de referencia. Tomemos el piso como nuestro sistema de
referencia, y consideremos que todas las cantidades vectoriales que apuntan hacia
arriba son positivas.
Llamemos “ y” a la posición en que los objetos se encuentran, la que será la misma
tanto para el objeto (1) como para el objeto (2), esto es y1 = y2.
y = yo + Vo t + ½ g t2
y1 = yo1 + Vo1 t + ½ g t2
y2 = yo2 + Vo2 t + ½ g t2
yo1 = Posición inicial del objeto (1)
yo2 = Posición inicial del objeto (2)
y1 = 50 + 20 t + ½ (-9,8) t2
y2 = 0 + 30 t + ½ (-9,8) t2
Para el instante en que se encuentran; y1 = y2
50 + 20 t – 4,9 t2 = 30 t – 4,9 t
2
10 t = 50
t = 5 s
50 m
Vo1= 20 m/s
Vo2=30m/s
y = y1 = y2
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
CAIDA LIBRE
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Un cohete impulsado por turbinas se acelera constantemente desde el reposo y en
dirección vertical a razón de 10 m/s2. A los 10 segundos después de su partida, las
turbinas se apagan repentinamente.
Determine la altura máxima a la que llega el cohete
a) 490 m
b) 510 m
c) 620 m
d) 1010 m
e) 1110 m
2. Determine el tiempo que tarda el cohete en volver al suelo
a) 20 s
b) 24,5 s
c) 34,5 s
d) 40,4 s
e) 44,5 s
3. Desde lo alto de un edificio de 75 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una esfera
con una velocidad inicial de 10 m/s. La velocidad inicial con que debe lanzarse verticalmente
hacia abajo otra esfera desde un edificio de 150 m de altura para que lleguen juntos al suelo si se
lanzan al mismo tiempo es:
a) 35 m/s b) 25 m/s c) 15 m/s d) 5 m/s e) no puede determinarse
4. Un cuerpo se suelta desde una altura H, se observa que los últimos 10 m los recorre en 1
segundo. Entonces la altura H es:
a) 25.8 m b) 19.6 m c) 17.2 m d) 14.5 m e) 11.3 m
5. Dos cuerpos de masas m y M, (M > m) se dejan caer desde el reposo y desde
diferentes alturas en caída libre. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?
a) El cuerpo de masa M experimentará un mayor incremento en su velocidad para
iguales intervalos de tiempo.
b) El cuerpo de masa m experimentará un mayor incremento en su velocidad para
iguales intervalos de tiempo.
c) El bloque de masa M experimentará mayor fuerza gravitacional y por tanto mayor
aceleración.
d) El incremento de velocidad para iguales intervalos de tiempo es el mismo para los
dos cuerpos.
e) Los dos cuerpos terminarán adquiriendo la misma velocidad.
6. Desde el mismo punto y a una altura h sobre el suelo se lanzan verticalmente dos cuerpos
simultáneamente con velocidades +Vo y –Vo. Entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es
falsa?
a) Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad.
b) El cuerpo que se lanza hacia abajo llega antes que aquel que se lanza hacia arriba.
c) Los cuerpos llegan al suelo a intervalo de (2 Vo/g) segundos.
d) El desplazamiento de ambos cuerpos es el mismo.
e) El cuerpo que es lanzado hacia abajo llega con mayor rapidez que el otro.
10. Dos objetos idénticos A y B caen desde el reposo desde alturas diferentes hasta llegar a
tierra. Si B tarda dos veces más que A para llegar a tierra, ¿cuál es la relación de las
alturas desde las que cayeron A y B? Despréciese la resistencia del aire.
a) 1 : 2
b) 1 : 2
c) 1 : 4
d) 1 : 8
e) 1 : 16
8. Un fuego artificial explosivo se dispara desde el suelo verticalmente hacia arriba y estalla a su
máxima altura directamente por encima de la cabeza de la persona que oye la explosión 1,5
segundos después de verla. La velocidad del sonido es 340 m/s. La velocidad de lanzamiento
del explosivo era
a) 66 m/s
b) 70 m/s
c) 80 m/s
d) 90 m/s
e) 100 m/s
9.Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el nivel de la calle con una
rapidez de 20 m/s y es atrapada por una persona desde una ventana que se encuentra a
12 m de altura. Si la pelota es atrapada cuando va de bajada, el tiempo que la pelota
estuvo en el aire fue
a) 0,73 s
b) 0,95 s
c) 2,24 s
d) 3,35 s
e) 3,90 s
10. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Determine el
desplazamiento del objeto durante el último segundo de su recorrido ascendente antes de llegar
a su altura máxima.
a) 2,2 m
b) 2,8 m
c) 3,6 m
d) 4,9 m
e) 9,8 m
11. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la terraza de un edificio de altura h con
una velocidad de 20 m/s. Si el objeto tarda 5 segundos en llegar a la planta baja del edificio, el
valor de h es:
a) 122,5 m
b) 100,0 m
c) 77,5 m
d) 55,0 m
e) 22,5 m
12. Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba. ¿Con qué velocidad debería ser lanzado
para que regrese a su punto de partida al cabo de 6 s?.
a) 20 m/s
b) 25 m/s
c) 30 m/s
d) 35 m/s
e) 40 m/s
13. Se lanza verticalmente una pelota alcanzando una altura máxima de 80 m, Dos segundos
después de haber sido lanzada la primera una segunda pelota es lanzada en la misma dirección,
de la misma posición y con la misma velocidad inicial. La distancia a la que se cruzan las
pelotas desde el punto de partida es
a) 80 m.
b) 75 m.
c) 60 m.
d) 45 m.
e) 25 m.
14. Un muchacho se encuentra en una ventana a 10 m del suelo y deja caer un objeto. Otro
muchacho ubicado en el suelo lanza al mismo instante otro objeto con una velocidad de 10 m/s.
La altura sobre el piso a la que se cruzan los objetos es:
a) 3,1 m
b) 3,5 m
c) 1.87 m
d) 6,1 m
e) 5,1 m
15. El gráfico representa el movimiento de un objeto lanzado verticalmente y hacia
arriba desde la terraza de un edificio. La altura del edificio es:
a) 20 m
b) 40 m
c) 60 m
d) 80 m
e) 160 m
16. Un objeto se suelta desde lo alto de un edificio de 60 m de altura, al mismo instante
se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba un segundo objeto. Se desea que los
objetos se encuentren a la mitad del edificio, la velocidad del segundo objeto es
a) 24.5 m/s
b) b) 22.3 m/s
c) c) 20.2 m/s
d) d) 18.5 m/s
e) e) 16.4 m/s
v (m/s)
t (s)
0
-60
20
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
MOVIMIENTO PARABÓLICO
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Desde una camioneta que se mueve con velocidad constante de 20 m/s sobre una
superficie horizontal, se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto con una
velocidad de 10 m/s. El desplazamiento horizontal que experimentará el objeto
hasta llegar al suelo es (desprecie el rozamiento del aire)
a) 10,2 m
b) 20,4 m
c) 30,6 m
d) 40,8 m
e) 51,0 m
Solución:
Si el objeto se lanza verticalmente hacia arriba, el desplazamiento horizontal del objeto
será el mismo que experimentará la camioneta moviéndose con velocidad constante. Ya
que al ir el objeto junto a la camioneta, la componente horizontal de la velocidad
inicial del objeto es igual a la velocidad de la camioneta.
Determinemos el tiempo que tarda el objeto en regresar al suelo.
El tiempo que tarda en volver al suelo, es el tiempo que tardaría un objeto lanzado
verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 10 m/s en experimentar un
desplazamiento nulo
y = Voy t + ½ g t2
Voy = 10 m/s
0 = 10 t - 4,9 t2
t(10 – 4,9t) = 0
t1 = 0 (instante en que parte)
t2 = 2,04 s (instante en que vuelve al piso)
10 m/s -
20 m/s
El tiempo lo podemos calcular también de la siguiente manera:
Si el objeto regresa al mismo punto de partida
(componente vertical del movimiento),
la velocidad en ese punto debe ser la misma
(en magnitud).
Vfinal = Vinicial + g t
-V = V + g t
t = -2V/g
t = - 20/-9,8
t = 2,04 s
Ahora podemos determinar el desplazamiento horizontal del objeto (el mismo
desplazamiento de la camioneta).
x = Vx t
x = 20*2,04 = 40,8 m
2. Un globo asciende con velocidad constante de 20 m/s. A los cinco segundos de
su partida se lanza desde el globo un objeto horizontalmente con una velocidad
de 10 m/s. El tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo desde el instante en
que fue lanzado es
a) 4,5 s.
b) 5,0 s.
c) 6,0 s.
d) 7,0 s.
e) 8,0 s.
Solución:
Florencio Pinela C.
V
-V
H
Voy = 20 m/s
Vox = 10 m/s
+
y g
Aún cuando el objeto se lanza horizontalmente, observe que este se mueve
verticalmente junto con el globo, es decir, el objeto describirá una trayectoria
parabólica donde los 10 m/s corresponde a Vox y los 20 m/s corresponde a Voy.
Para determinar el tiempo que tarda en llegar al suelo, necesitamos saber desde que
altura fue lanzado. Conociendo la altura, ya podremos calcular el tiempo que tarda el
objeto en experimentar un desplazamiento vertical igual en magnitud a la altura
determinada anteriormente.
Determinación de la altura desde donde fue lanzado el objeto.
H = Voy t; el globo asciende con velocidad constante
H = 20(5) =100 m
Determinación del tiempo que tarda el objeto en llegar al suelo.
Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.
Desde que el objeto parte hasta que llega al suelo experimenta un desplazamiento
vertical de 100 metros.
y = Voy t + ½ g t2
100 = - 20 t + 4,9 t2
4,9 t2 – 20 t – 100 = 0
t = )9,4(2
)100)(9,4(42020 2
t = 8,9
58,4820
t = 7,0 s
Florencio Pinela C.
La figura representa el movimiento parabólico de un proyectil y se
aplica a los problemas 3, 4, 5 y 6.
3. Utilizando los datos dados en la figura, la altura h desde donde fue lanzado el proyectil
es:
a) 75 m
b) 85 m
c) 95 m
d) 106 m
e) 120 m
Solución:
Determinemos el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo, este tiempo lo
encontramos conociendo el desplazamiento horizontal, y recordando que la
componente horizontal del movimiento parabólico es un movimiento rectilíneo
uniforme.
x = Vox t
Vox = Vo Cos 40
Vox = 72 m/s
t = 1000/72
t = 13,89 s
Tomemos como sistema de referencia el suelo y consideremos que todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo son positivas.
y = Voy t + ½ g t2
Voy = - Vo Sen40
Voy = - 60,4 m/s Florencio Pinela C.
1000 m
40º
Vo= 94 m/s
h
Vo
Voy
Vox
+
y = (-60,4)(13,89) + ½ (9,8)(13,89)2
y = 106,4 m
4. La altura máxima que alcanza el proyectil medida desde el punto donde fue lanzado es:
a) 186 m
b) 168 m
c) 148 m
d) 136 m
e) 126 m
Solución:
Cuando el objeto alcanza la altura máxima la componente de la velocidad en “y” es
cero (Vy = 0).
ygVV oyy 222
0 = (-60,4)2 + 2(9,8) y
y = - 186 m
la altura máxima alcanzada es de 186 m.
5. La rapidez del proyectil al llegar al suelo es:
a) 104,5 m/s
b) 89,0 m/s
c) 84,5 m/s
d) 76,0 m/s
e) 68,5 m/s
Solución:
Ya conocemos la componente horizontal de la velocidad del proyectil al llegar al suelo
(Vox), recordemos que la componente horizontal del movimiento parabólico es un
movimiento uniforme. Nos queda por determinar la componente vertical de la velocidad
al instante de impactar el suelo (Vy). Una vez conocida esta componente, podemos
utilizar el teorema de Pitágoras para calcular la velocidad del proyectil al impactar el
suelo.
Vy =Voy + g t
Vy = - 60,4 + (9,8)13,89
Vy = 75,7 m/s
V = 22
yox VV
V = 22 7,7572 = 104,5 m/s
Vox
Vy V
Vy = 0
y
Voy
Vox
Vox
6. Para el punto de altura máxima, los vectores que representan la velocidad, aceleración y
peso del objeto son:
Velocidad aceleración peso
a)
b) 0
c)
d) 0 0
e) 0
7. En un partido de fútbol un jugador cobra un tiro libre. Los gráficos representan los
movimientos de la pelota. Despreciando la resistencia del aire. La rapidez con que la
pelota llega al suelo es:
a) 31.2 m/s
b) 24.0 m/s
c) 25.0 m/s
d) 22.6 m/s
e) 20.2 m/s
0 0
Solución:
Los gráficos representan las diferentes posiciones de la pelota en “y” y en “x” con
respecto al tiempo.
Analicemos el gráfico “y” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón alcanza una
altura máxima de 19,6 m, y lo logra en 2 segundos.
Al analizar el gráfico “x” Vs t. Nos podemos dar cuenta que el balón experimenta un
alcance horizontal máximo de 20 metros en 4 segundos.
Para este tipo de parábola, la velocidad(magnitud) con que es disparado el balón es la
misma con la que impacta el suelo.
Determinemos la componente en “x”
de la velocidad inicial (Vox)
x = Vox t
Vox = x/t
Vox = 20/4 = 5m/s
Florencio Pinela C.
4 4
x(m) y(m)
19.6 20
t(s) t(s)
Determinemos la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy)
y = tVoy ½ g t2
y = tVoy ½ g t2
19,6 = oyV (2) - 4,9(2)2
oyV = 19,6 m/s
Vo = 22
oyox VV
Vo = 20,2 m/s
8. Un cuerpo se lanza describiendo una trayectoria parabólica. Cuando el objeto va
ascendiendo (posición A), los vectores que representan la fuerza resultante sobre el
objeto, velocidad del objeto y la aceleración son:
Fuerza Velocidad Aceleración
a)
b)
c)
d)
e)
9. El bloque de la figura parte del reposo desde la posición indicada. Si sobre el bloque de 40 kg
actúa una fuerza resultante F de 100 N (mientras se encuentra sobre la mesa) La distancia
horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es
a) 10.00 m. F
b) 8.94 m.
c) 7.14 m. 10 m
d) 6.32 m. 5 m
e) 5.02 m.
Solución:
Para determinar el desplazamiento horizontal que alcanza el bloque, tenemos que
determinar primeramente la velocidad del bloque en el instante que abandona la mesa.
A
-
Determinemos la velocidad del bloque en el instante de abandonar la mesa.
Si sobre el bloque actúa una fuerza resultante de 100 N, entonces su aceleración es:
F = m a
a = F/m
a = 100/40 = 2,5 m/s2
Si el bloque parte del reposo y se desplaza una distancia de 10 metros con una
aceleración de 2,5 m/s2, su velocidad final será:
xaVV o 222
)10)(5,2(20V = 7,07 m/s
Esta es la velocidad horizontal con la que el bloque abandona la mesa. Determinemos
el tiempo que el bloque tarda en llegar al suelo. Recordemos que el tiempo que tarda un
objeto lanzado horizontalmente en llegar al suelo, es independiente del valor de la
velocidad inicial, y solamente depende de la altura desde donde es lanzado, además,
este tiempo es el mismo que tardaría el objeto si fuese dejado caer desde el reposo
desde la misma altura.
y = Voy t + ½ gt2
Voy = 0
y = ½ gt2
t = g
y2
t = 8,9
)5(2= 1,01 s
La distancia horizontal que avanzará hasta llegar al suelo es:
x = Vox t
x = 7,07(1,01) = 7,14 m
Florencio Pinela C.
10. Con qué ángulo se debe lanzar un proyectil para que impacte horizontalmente en un blanco
situado a 5m de altura sobre una pared localizada a 10 m del punto de lanzamiento. La base de
la pared se encuentra al mismo nivel del punto de lanzamiento.
a) 15º
b) 30º
c) 45º
d) 60º
e) 75º
Solución;
Si el proyectil impacta la pared horizontalmente (Vy = 0), significa que lo hace cuando
alcanzó su altura máxima.
El tiempo que tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima es:
Vy = Voy - g t
t = Voy /g
las ecuaciones en “x” y en “y” para el punto de impacto son:
x = Vox t
y = Voy t – ½ g t2
Remplazando t en cada una de estas ecuaciones tenemos:
x = Vox (Voy /g)
y = Voy (Voy /g) – ½ g (Voy /g )2
x = Vox Voy /g
y = g
Voy
2
½ g
Voy
2
x = g
VV oyox
Florencio Pinela C. y = g
Voy
2
2
x = 10 m
y = 5 m
Vox
Vo
Vox
Voy
-
Dividiendo “y” para “x”, tenemos:
tan2
1
2
1
10
5
ox
oy
V
V
x
y
tan = 1
= 45
12. Los gráficos mostrados representan el movimiento de un proyectil en dos
dimensiones. El alcance máximo de este proyectil es
a) 12,2 m. Vy (m/s) Vx (m/s)
b) 10,2 m.
c) 8,4 m. 20
d) 6,5 m. 3
e) 4,6 m.
t(s) t(s)
Solución:
Observando los gráficos nos podemos dar cuenta que al instante de ser lanzado el
proyectil(t = 0), la componente en “y” de la velocidad inicial (Voy) es igual a 20 m/s, y
la componente en “x” de la velocidad inicial (Vox) es de 3 m/s, y constante durante
toda la trayectoria. Con esta información podemos determinar el alcance máximo del
proyectil.
Suponemos que el proyectil es lanzado y cae desde una superficie horizontal, en
consecuencia el desplazamiento vertical del proyectil es nulo. Consideremos todas las
cantidades vectoriales que apuntan hacia abajo negativas.
y = Voy t + ½ g t2
0 = Voy t - ½ g t2
Florencio Pinela C.
Vox = 3 m/s
Voy = 20 m/s
t = g
Voy2
t = 4,08 s
con este valor determinamos el alcance horizontal:
x = Vox t
x = 3(4,08) = 12,2 m
13. Un astronauta que está en un planeta extraño descubre que puede saltar una
distancia horizontal máxima de 30 m, si su rapidez inicial es de 10 m/s. La aceleración
de la gravedad en el planeta extraño es
a) 2.0 m/s2
b) 3.3 m/s2
c) 4.8 m/s2
d) 5.3 m/s2
e) 6.8 m/s2
Solución:
Si la distancia que puede saltar el astronauta es máxima, significa que el ángulo de
elevación con el que salta es de 45 grados.
Determinemos el tiempo que dura el salto.
x = Vox t
t = x /Vo Cos 45
t = 4,24 s; (tiempo de subida y bajada)
Con este tiempo podemos determinar la aceleración de la gravedad analizando la
componente vertical del movimiento.
0
Vy = Voy - G t
En esta ecuación “t” representa el tiempo de altura máxima (2,12 s).
G = Voy /t
G = Vo Sen45 / t
G = 3,3 m/s2
Florencio Pinela C.
_
14. El chorro de agua de la manguera en posición horizontal como se indica en la figura,
tiene un alcance de 4.0 m. Cuando el extremo de la manguera se inclina un ángulo de
30º el alcance horizontal del chorro de agua será
a) 4.8 m.
b) 5.4 m.
c) 6.5 m.
d) 7.2 m.
e) 8.0 m.
1.5 m
4.0 m
Solución:
Determinemos primeramente con los datos del problema la velocidad del chorro de
agua.
Si el chorro sale horizontalmente, el tiempo que le toma en llegar al suelo es:
t = g
h2
t = 8,9
)5,1(2= 0,55 s
Con este tiempo y el desplazamiento horizontal determinemos la velocidad del chorro
de agua:
Vo = x/t
Vo = 4/0,55 = 7,27 m/s
Determinemos ahora el alcance horizontal con el chorro a 30 de elevación.
Vo
1,5 m
x
Vo Cos30
Vo Sen30
+ y
Tomemos el suelo como nuestro sistema de referencia y determinemos el tiempo que
tarda el chorro en alcanzar un desplazamiento vertical de 1,5 m, cuando es lanzado con
una velocidad inicial vertical de -Vo Sen30 .
y = Voy t + ½ g t2
1,5 = -3,64 t + 4,9 t2
4,9 t2 -3,64 t – 1,5 = 0
t = )9,4(2
)5,1)(9,4(464,364,3 2
t = 8,9
53,664,3
t = 1,04 s
Con este tiempo podemos determinar el desplazamiento horizontal del chorro de agua:
x = Vox t
x = 7,27 Cos 30 (1,04)
x = 6,5 m
15. Desde un avión que vuela a 70 m de altura y que se mueve a una velocidad de 200 km/h se
suelta una bomba. Si el proyectil hace impacto sobre un automóvil que se desplaza a una
velocidad constante de 80 km/h, como se muestra en la figura. La distancia x inicial entre el
avión y el automóvil es:
a) 253 m
b) 230 m
c) 210 m
d) 154 m
e) 126 m
X
Solución:
Determinemos el desplazamiento horizontal del auto y del proyectil para poder calcular
la distancia X.
Si el avión vuela horizontalmente, el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo es:
g
ht
2
t = 8,9
)70(2= 3,78 s
Con este tiempo determinemos el desplazamiento del proyectil.
xp = Vavión (t)
Vavión= 200 km/h = 55,55 m/s
xp = 210 m
Calculemos ahora el desplazamiento del auto.
xa = Vauto t
Vauto= 80 km/h = 22,22 m/s
xa = 84 m
Por lo tanto la distancia X es de, 210 – 84 = 126 m.
Florencio Pinela C.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE-
MOVIMIENTO PARABÓLICO
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. La figura muestra la trayectoria de una pelota. En el punto A, de altura máxima,
seleccione la alternativa correcta:
a) La rapidez experimenta su menor valor.
b) La velocidad es cero, pero la aceleración no es cero.
c) La rapidez es menor que en C, pero mayor que en B.
d) La rapidez es menor que en B, pero la aceleración es mayor que en B.
e) En los puntos B y C, la velocidad es perpendicular a la aceleración.
2. Una esfera A se desliza con una velocidad constante de 15 m/s como se indica en la
figura. Determine la velocidad inicial y vertical que debería imprimirse a la esfera B
para impactar con la esfera A, suponiendo que se lanza en el mismo instante en que la
esfera A abandona la mesa.
a) 12 m/s
b) 10.4 m/s
c) 8.7 m/s
d) 3.3 m/s
e) 13.6 m/s
3. Se dispara un proyectil formando un ángulo con la vertical. Tres características de su
movimiento subsecuente son
I. la componente horizontal de la velocidad
II. la componente vertical de la velocidad
III. la aceleración
Despreciando la resistencia del aire, ¿qué característica(s) cambia(n) mientras la bala está en el
aire?
a) I solamente
b) II solamente
c) II y III solamente
d) I y II solamente
e) I y III solamente
A
B
C
A
B
4 m
5 m
4. Un basquetbolista lanza verticalmente hacia arriba un balón con una velocidad inicial v,
al mismo tiempo y con una velocidad inicial dos veces mayor un futbolista patea un
balón con un ángulo de elevación . Si los dos balones llegan al suelo al mismo
instante, el ángulo fue
a) 30º
b) 45º
c) 55º
d) 90º
e) no tiene solución.
5. Un helicóptero se mueve horizontalmente a una altura de 500 m y con velocidad de
50 m/s. Un objeto se lanza horizontalmente desde el helicóptero y perpendicular al
movimiento de él con una velocidad de 20 m/s. La distancia horizontal que avanzará el
objeto al llegar al suelo es
a) 202 m.
b) 505 m.
c) 544 m.
d) 620 m.
e) 707 m.
6. Un objeto se lanza describiendo una trayectoria parabólica como se indica en la figura.
Cuando el objeto pasa por el punto A, el diagrama de fuerzas que actúan sobre el objeto es: (no
considere el rozamiento)
(a) (b) (c) (d) (e)
7. Un helicóptero vuela horizontalmente con una velocidad de 200 km/h y a 200 m de altura.
Del helicóptero se lanza verticalmente y hacia abajo un objeto con una velocidad de 20 m/s. El
tiempo que tardará el objeto en llegar al suelo es:
a) 6,32 s
b) 6,12 s
c) 5,86 s
d) 5,35 s
e) 4,63 s
A
8. Un objeto se lanza horizontalmente desde una altura h como se indica en la figura. Si el
objeto experimenta un alcance horizontal de 100 m, la altura h es:
a) 36,4 m
b) 48,2 m
c) 54,4 m
d) 64,2 m
e) 72,6 m
9. Un proyectil es disparado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial de 100
m/s y un ángulo de elevación de 37º. El proyectil golpea una pared ubicada a una distancia d
medida desde el punto de lanzamiento. Si el proyectil impacta la pared horizontalmente, el
valor de d es:
a) 650 m
b) 490 m
c) 430 m
d) 390 m
e) 330 m
10. Un proyectil es disparado con una rapidez (Vo) de 30 m/s y un ángulo de inclinación ( ) de
45º como muestra la figura. ¿Cuánto tiempo tarda el proyectil en llegar al punto A?
Vo
a) 7,77 s
b) 6,02 s
c) 5.76 s
d) 3,22 s
e) 2,16 s 50 m
A
11. Un objeto se lanza horizontalmente con una velocidad Vo desde una altura ho
logrando un alcance horizontal xo. Si se cuadruplica la altura, y la velocidad de
lanzamiento se redujera a la mitad, el alcance horizontal sería:
a) la cuarta parte
b) la mitad
c) el mismo
d) el doble
e) cuatro veces mayor
h
v=30 m/s
100 m
12. Un objeto es lanzado desde una superficie horizontal con una velocidad inicial
de 20i + 30j (m/s). La altura máxima alcanzada por el objeto y el tiempo que
tarda en volver al suelo son:
a) 45.9 m ; 3.06 s
b) 40.1 m ; 2.01 s
c) 35.6 m ; 4.8 s
d) 30.2 m ; 5.2 s
e) 45.9 m ; 6.1 s
El siguiente enunciado se aplica a los problemas 13, 14 y 15
Un auto de competencia de alta velocidad parte del reposo y se acelera a razón de 10
m/s2. A los 5 s después de su partida el vehículo se incendia y el piloto es expulsado
automáticamente del vehículo en dirección vertical. El piloto cae al suelo a una
distancia de 200 m del punto de donde partió el vehículo (el piloto no lleva
paracaídas).
13. Determine la velocidad vertical con que fue expulsado el piloto
a) 2,45 m/s
b) 4,9 m/s
c) 9,8 m/s
d) 7,35 m/s
e) 12,25 m/s
14. Determine la velocidad con la que el piloto impacta el suelo
a) 95,0 m/s
b) 87,1 m/s
c) 76,3 m/s
d) 60,2 m/s
e) 50,5 m/s
15. Determine la altura máxima que alcanzó el piloto después de ser expulsado
a. 11,2 m
b. 8,4 m
c. 5,6 m
d. 2,8 m
e. 1,4 m
16. Se lanza un proyectil con un ángulo de elevación de 37º. En el punto más alto de
su trayectoria tiene una velocidad de 16 m/s. La componente vertical de la
velocidad inicial es
a) 9,8 m/s
b) 12,0 m/s
c) 14,4 m/s
d) 16,0 m/s
e) 20,0 m/s
17. En un parque de diversiones, una persona le apunta a un muñeco con un rifle de
aire. El ángulo de elevación es 30º y el blanco se encuentra a una distancia
horizontal de 5 m. En el instante que el proyectil sale del cañón del arma con
una velocidad de 10 m/s, el muñeco cae sin velocidad inicial. El tiempo que
tarda el proyectil en impactar el blanco es
a) 2,0 s
b) 1,0 s
c) 0,58 s
d) 0,43 s
e) no le pega al blanco
18. Si al disparar una pistola dos veces, primero con un ángulo de 1=30º y después con un
ángulo 2, el proyectil obtiene el mismo alcance horizontal. Entonces la relación entre sus
alturas máximas h2 / h1 es:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 2
e) 3
19. Se golpea una bola con un ángulo de elevación de 30º sobre una superficie horizontal. La
bola se mantiene en vuelo durante 4.5 s antes de volver a Tierra. Determine su velocidad
inicial.
a) 44,1 m/s
b) 22.05 m/s
c) 38.97 m/s
d) 34,0 m/s
e) 50,0 m/s
5 m
20. Un avión vuela a una altura de 1000 m con una aceleración de 0.5 m/s2. Al pasar
sobre el observador A lleva una velocidad de 150 m/s, en ese preciso instante deja caer
un objeto. La distancia a la que se encuentra el avión medida desde el observador en el
instante en que el objeto dejado caer llega al suelo es
a) 2050 m.
b) 2121 m .
c) 2345 m.
d) 2390 m.
e) 2480 m.
21. Un proyectil es lanzado desde una superficie plana y horizontal con una velocidad de ( 20 i
+ 10 j ) m/s. El alcance horizontal máximo del proyectil es
a) 90 m.
b) 80 m.
c) 70 m.
d) 60 m.
e) 40 m.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y CON
ACELERACIÓN CONSTANTE- ANÁLISIS DE
GRÁFICOS
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
1. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta. La relación de VB
para VA es:
a) 5
b) 3 c) 4 d) 1 e) 2
2. El movimiento de una partícula en línea recta se describe por el siguiente gráfico v vs t.
¿Cuál debe ser el valor de T para que la velocidad media de la partícula hasta ese instante sea
de 8 m/s?
a) 12 s
b) 15 s
c) 18 s
d) 20 s
e) 25 s
3. Para el gráfico v-t indicado, la velocidad media entre t=0 hasta el instante en que la
velocidad es igual a cero es
a) 5,03 m/s
b) 4.23 m/s
c) 18.33 m/s
d) 5.76 m/s
e) 8,33 m/s
x (m)
A
B
t (s)
-50
150
v (m/s)
t (s)
10
10 T
v (m/s)
t (s)
10
-10
10
20
Dado el gráfico v = f(t), ¿ cuál de los siguientes gráficos x = f(t) es el correcto?
v
t
0
x (a) x (b) x (c)
t t t
x x
(d) (e)
t t
4.Un automóvil viaja a 72 Km/h cuando el conductor aplica los frenos. Si el auto desacelera
uniformemente a la razón de 4.20 m/s2. ¿Qué tan lejos llega el vehículo antes de detenerse?
a) 15,0 m
b) 23.4 m
c) 47.6 m
d) 85,0 m
e) 94.3 m
5. Dos personas corren en una pista. Uno mantiene una rapidez constante de 4 m/s. El
otro, que es más rápido, arranca 6 segundos después que el primero y lo alcanza 20
segundos después. ¿Cuál fue la rapidez media del corredor más rápido desde el
instante que partió hasta que lo alcanzó al otro corredor?
a) 4 m/s
b) 5.2 m/s
c) 17.3 m/s
d) 26 m/s
e) 32 m/s
6. Un objeto se lanza sobre una superficie lisa como se indica en la figura. ¿Cuál de los
siguientes gráficos representaría mejor el movimiento del objeto?
7. Un ascensor se mueve hacia arriba a una velocidad constante de 3 m/s. Un foco se
suelta del techo del ascensor y cae hasta golpear el piso del mismo situado a 3 m. El
tiempo que se demora el foco hasta golpear el piso del ascensor es
a) 0,55 s
b) 0,78 s
c) 1,0 s
d) 1,28 s
e) 1,78 s
V
o
a) b)
c) d)
e) Ninguno es correcto
V
T
V
T
V
T
V
T
8. El movimiento de una partícula en línea recta está descrito por los gráficos
adjuntos
x(m) a(m/s2)
60
10
3 t t
El valor de la velocidad de la partícula al instante t=0 es
a) 20 m/s
b) 25 m/s
c) 30 m/s
d) 35 m/s
e) 40 m/s
9. ¿ Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor el movimiento del cohete
hasta alcanzar su altura máxima?
v v v v
t t t t
(a) (b) (c) (d)
10. Dos esferas de masa m1 y m2 se lanzan simultáneamente desde una mesa
horizontal de altura h, con velocidades horizontales v1 y v2 respectivamente
(v2>v1). De los siguientes enunciados, son falsos
I. Las dos esferas llegan al piso simultáneamente
II. La esfera de masa m2 tiene mayor alcance
III. La esfera de masa m2 llega primero al piso
IV. La esfera de masa m1 llega primero al piso porque tiene menor velocidad
a) Solo I
b) III y IV
c) Solo IV
d) I y III
e) Todos
11. Un bloque de masa m se lanza desde la parte inferior de un plano inclinado 18º
con una velocidad inicial Vo. Si los coeficientes de rozamiento estático y
cinético entre el bloque y la superficie son respectivamente 0,4 y 0,2. ¿Cuál de
las siguientes alternativas es correcta?
a) El bloque al subir se desacelera a razón de, g sen18º
b) El bloque regresa luego de llegar a la parte superior
c) El bloque se detiene luego de llegar a la parte superior
d) El bloque al subir y al bajar experimenta la misma aceleración
e) Para determinar si el bloque se detiene, se necesita conocer el valor de Vo
12. La aceleración que adquieren dos partículas, en función de la fuerza resultante aplicada
sobre ellas, se representa en la siguiente figura: a
Con respecto al gráfico se dan las siguientes afirmaciones:
A
I. la pendiente es igual a la masa de la partícula
II. el área bajo la gráfica representa el cambio de velocidad.
III. la partícula B presenta una mayor inercia que la partícula A B
De estas afirmaciones, son verdaderas:
Fr
a) sólo III
b) sólo II
c) sólo I
d) todas
e) ninguna
13. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. ¿En qué instante la
distancia recorrida por la partícula es el doble que su desplazamiento?
a) 6,1 s
b) 8,6 s
c) 13,7 s
d) 17,5 s
e) 19,6 s
t (s)
v (m/s)
5
20
-10
14. El diagrama posición-tiempo para un cuerpo de 2 kg que parte del reposo y del origen es el
que se muestra a continuación . Si sobre éste actúa una fuerza horizontal, el diagrama fuerza-
tiempo que mejor lo describe es:
F(N) F(N)
x(m)
(a) (b)
20
20 10
t(s)
t(s) 2 t(s)
2
F(N) F(N) F(N)
(d) (e)
(c)
10 2 t(s) 2
t(s)
t(s) 10 10
2
15. Un vehículo viaja con velocidad constante, repentinamente aplica los frenos. El gráfico
adjunto representa el movimiento del vehículo desde el instante en que aplicó los frenos. La
velocidad con que venía el vehículo es:
a) 15,0 m/s
b) 13,0 m/s
c) 11,0 m/s
d) 10,0 m/s
e) 8,0 m/s
x(m)
t(s)
0
30
4
16. Para el problema anterior determine el desplazamiento horizontal del objeto hasta el instante
de llegar al suelo.
a) 257,4 m
b) 297,2 m
c) 325,5 m
d) 339,9 m
e) 551,0 m
17. El gráfico representa el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba.
Determine el instante en que la partícula cambia la dirección de su movimiento.
a) 2,5 s
b) 3,0 s
c) 3,5 s
d) 4,0 s
e) 5,0 s
18. El gráfico de la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta.
Si la velocidad media para todo el recorrido fue nula, la distancia total recorrida
es
V(m/s)
a) 66.7 m.
b) 86.6 m. 20
c) 103.3 m.
d) 133.3 m.
e) 156.6 m. 10
0 t(s)
-10
19. El gráfico de la figura representa el movimiento de dos partículas en línea recta.
Si las partículas se encuentran al cabo de 10 segundos. La velocidad relativa de
las dos partículas (v1 – v2) a t=0 es
a) 5 m/s x(m)
b) 10 m/s 100 1
c) 12 m/s.
d) 15 m/s.
e) 18 m/s.
2
0 t(s)
2 0
20
v
(m/s)
t (s)
t(s)
v(m/s)
0 15 5
x(m)
t(s)
20. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta con velocidades de 15
m/s y 10 m/s respectivamente. Si a t=0 las partículas están separadas 100 m. El tiempo para el
cual las partículas se encuentran es:
a) 5.0 s
b) 10.0 s
c) 15.0 s
d) 20.0 s
e) 25.0 s
21. El gráfico mostrado en la figura representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si
a los 10 s su velocidad media fue nula y su rapidez media de 20 m/s. La velocidad a los 15 s es:
a) 40 m/s
b) 50 m/s
c) 60 m/s
d) 70 m/s
e) 80 m/s
22. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría el movimiento de una bola cuando
rebota horizontalmente entre dos paredes sin ninguna pérdida de energía?
x x
x x x
t t t
t t
(a) (b
)
(c)
(d
)
(e)
23. Un cuerpo se mueve según el gráfico de velocidad-tiempo indicado. La
velocidad media del cuerpo a lo largo de los primeros 30 segundos de
movimiento es:
a) 6.7 m/s
b) 0
c) -6.7 m/s
d) 13 m/s
e) 26 m/s
24. El gráfico mostrado representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si
la rapidez media para todo el recorrido es de 20 m/s. La velocidad media es
a) 5 m/s
b) 10 "
c) 15 "
d) 20 "
e) Falta información para resolver
el problema
25. El gráfico representa el movimiento de dos partículas en línea recta, si a t = 0 la
partícula A adelanta en 30m a la partícula B y las dos parten en ese mismo instante.
¿ En qué instante(s) las partículas se encontrarán? v(m/s)
a) 2.8 s. 20 A
b) 4.5 s.
c) 7.2 s.
d) tanto a) como b) son correctas.
e) tanto a) como c) son correctas 5 B
0 5 10
10 0
v (m/s)
20
-
20
20
t (s)
V(m/s)
0 20
t(s)
t(s)
26. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta con aceleración
constante. La aceleración de la partícula es
a) 2 m/s2
b) 4 "
c) 6 "
d) 8 "
e) 10 "
27. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta, con la
información que se da en él, la única solución posible para la ecuación de
movimiento de la partícula es:
a) x = 10 + 10t + 2t2
b) x = 10 + 10t
c) x = 10 + 2t2
d) x = 10 - 2t2
e) x = 10 + 10t - 2t2
28. El movimiento de dos partículas en línea recta se representa en el siguiente
diagrama. Se sabe que la partícula B partió desde el reposo con una aceleración
constante de 2 m/s2. La velocidad de la partícula A a los 10 segundos es:
a) 20,0 m/s
b) 15,0 "
c) 10,0 "
d) 7,5 "
e) 5,0 "
x (m)
t(s)
30
16
2 3
X(m)
60
10
0 5 t(s)
X(m)
B
A
100
0 20 t(s)
29. Una partícula que se mueve en línea recta lleva la velocidad que se indica en la
figura. Determine su rapidez media al cabo de 20 segundos.
a) 0
b) 10 m/s
c) 18 m/s
d) 28 m/s
e) 56 m/s
30. El gráfico representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si la partícula se
acelera a razón de 4 m/s2 y durante los 10 s experimenta un desplazamiento de 100 m. La
velocidad de la partícula a los 10 s es
v(m/s)
a) 10 m/s
v
b) 20 m/s
c) 30 m/s
d) 40 m/s t(s)
0 10
e) 50 m/s
vo.
40
0 I0 12 20
-40
V(m/s)
