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EJERCICIOS AREAS Y VOLUMENES
Ejercicio 1
Calcular el area encerrada por x = 3 − y2y una recta normal en el punto P (2, 1)
Solucion:
Necesitamos conocer la ecuacion de la rectanormal en el punto P y para conocerla primerovamos a calcular la pendiente de la rectatangente en dicho punto.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Fig. 1: Grafica de la funcion x = 3− y2
Derivamos implıcitamente la funcion
∂
∂x
(x = 3− y2
)(1)
1 = −2yy′ (2)
y′ = − 1
2y(3)
Ahora, si evaluamos la derivada en el punto Pnos da como resultado la pendiente de la rectatangente en ese punto
mt = −1
2(4)
Con este resultado podemos saber cual es lapendiente de la recta normal sabiendo que paraque dos rectas sean perpendiculares el productode sus pendientes debe ser igual a menos uno
mtmn = −1 (5)
Con lo que la pendiente de la recta normal es
mn = 2 (6)
Con esta pendiente y el punto P podemos cono-cer la recta normal con la siguiente ecuacion
y − y1 = m(x− x1) (7)
Con lo cual tenemos la ecuacion de la recta nor-mal en el punto P.
y = 2x− 3 (8)
0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
Fig. 2: Grafica de la funcion x = 3−y2, la rectatangente en el punto P y la recta normal en elpunto P
Ahora necesitamos saber el otro punto dondese intersecta la recta normal y la curva, esto seencuentra igualando las dos funciones. Con locual tenemos la ecuacion de la recta normal enel punto P.
3− y2 =y + 3
2(9)
-1 1 2 3x
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
y
Fig. 3: Area entre las dos funciones
Lo que nos lleva a la siguiente ecuacion
2y2 + y − 3 = 0 (10)
Pero ya conocemos una raız, ası que dividimosentre y-1
2y2 + y − 3
y − 1= (y − 1)(2y + 3) (11)
UAM Azcapotzalco - Calculo Integral 1
EJERCICIOS AREAS Y VOLUMENES
Lo que significa que y = −3/2 es la ordenada delpunto de interseccion, con lo cual ya podemoscalcular el area entre las dos funciones.
∫ 1
− 32
(−y2 − y
2− 3
2+ 3) dy
=1
2(3y − y2/2− (2y3)/3)
∣∣∣∣1− 3
2
=125
48u2
(12)
Ejercicio 2
Obtener el volumen del paraboloidex2 + y2 = z, acotado por el plano z = 10como un solido de revolucion.
Solucion:
Fig. 4: Grafica del paraboloide z = x2 + y2 y elplano z = 10
Lo primero que vamos hacer es encontrar unafuncion a la cual vamos a revolucionar alrededordel eje z, esto se hace haciendo x = 0 o y = 0,en este caso escogeremos la segunda.
z = x2 (13)
Como vamos a rotar la funcion z = x2 nece-sitamos la funcion en terminos de z, ası nuestrafuncion queda como
x =√z (14)
V =
∫ d
c
π[R(z)]2 dz (15)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x
2
4
6
8
10
z
Fig. 5: Grafica del la funcion z = x2 y z = 10
V =
∫ 10
0
π√z2dz =
πz2
2
∣∣∣∣100
= 50πu3 (16)
Fig. 6: Grafica del solido de revolucion z = x2
y z = 10
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