EII405 Investigación de operaciones
1
Programación Lineal
La programación lineal es el área de la IO que se ocupa de problemas en donde el modelo matemático que se formula es expresado en términos de funciones lineales.
EII405 Investigación de operaciones
2
Problema tipoUn gerente de producción debe decidir cuantos bolsos y mochilas fabricar, para obtener la máxima ganancia.
Se sabe que por cada mil bolsos producidos se obtiene una ganacia de $ 3 millones, y por cada mil mochilas producidas se obtiene una ganacia de $ 5 millones.
Para fabricar mil bolsos se necesita 1 pieza de tela roja y 3 piezas de tela azul, y para fabricar mil mochilas se requieren 2 piezas de tela verde y 2 piezas de tela azul.
Además, se sabe que se dispone de 4 piezas de tela roja, 12 piezas de tela verde, y 18 piezas de tela azul.
EII405 Investigación de operaciones
3
Problema tipoResumiendo, se tiene la siguiente situación:
Bolsos Mochilas Cant. Disp.
Consumo (1)
Tela Roja 1 4
Tela Verde 2 12
Tela Azul 3 2 18
Ganancia (2) 3 5
(1) Consumo en piezas de tela por mil unidades producidas
(2) Ganacia en millones de $ por cada mil unidades
EII405 Investigación de operaciones
4
Modelo matemáticoTiene 3 componentes principales:
1.- Definir las variables de decisión
X : miles de bolsos producidosY : miles de mochilas producidas
2.- Definir la Función Objetivo del problema
Maximizar Ganancia (en MM$):
Max Z = 3 x + 5 y
EII405 Investigación de operaciones
5
Modelo matemático3.- Definir las restricciones que posee el problema que se
está modelando
En el ejemplo, el consumo de tela necesario para producir los bolsos y mochilas debe ser menor o igual que la cantidad de tela disponible:
Tela Roja X 4
Tela Verde 2 Y 12
Tela Azul 3 X + 2 Y 18
4.- Además, las cantidades a producir de bolsos y mochilas deben ser mayores o iguales que cero ( X 0 e
Y 0)
EII405 Investigación de operaciones
6
Modelo matemáticoResumiendo se tiene el siguiente problema:
MAX Z = 3 x1 + 5 x2
s.a. x1 4
2 x2 12
3 x1 + 2 x2 18
x1 , x2 0
En donde X e Y se han reemplazado por X1 y X2
EII405 Investigación de operaciones
7
Modelo General de Programación Lineal
MIN/MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
s.a.a11x1 + a12x2 +... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 +... + a2nxn b2
a31x1 + a32x2 +... + a3nxn b3
...am1x1 + am2x2 +... + amnxn bm
xi 0 con i:1.. n
En terminos generales, se utilizará el siguiente modelo de programación lineal
EII405 Investigación de operaciones
8
Componentes del modelo
MIN/MAX z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
en donde :
xj : variable de decisión
cj : contribución de xj a la función objetivo
con j = 1 hasta n (cant. de variables de decisión)
1. Funcion objetivo (F.O.):
EII405 Investigación de operaciones
9
Componentes del modelo
a11x1 + a12x2 +... + a1nxn b1
a21x1 + a22x2 +... + a2nxn b2
a31x1 + a32x2 +... + a3nxn b3
...am1x1 + am2x2 +... + amnxn bm
en donde :
a ij : consumo del recurso i por la actividad jbi : disponibilidad del recurso i
con i = 1 hasta m (cant. de recursos)
2. Restricciones:
EII405 Investigación de operaciones
10
Componentes del modelo
Corresponden a los “datos” del problema, cuyos valores son conocidos.
Los valores de los parámetros permiten que el modelo represente las condiciones del problema real.
Los parámetros son:
cj aij bi
que ya han sido explicados
3. Parámetros:
EII405 Investigación de operaciones
11
Propiedades de los PPL’s
Algunas propiedades básicas que se aumen en la formulación de PPL’s:
Linealidad. Divisibilidad. No presencia de incertidumbre. No negatividad.
EII405 Investigación de operaciones
12
Propiedades de los PPL’s
Linealidad.
La función objetivo y las restricciones son lineales (exponente 1). Además, no hay multiplicación entre variables.
Divisibilidad.
Las variables de decisión pueden tomar valores fraccionarios.
No presencia de incertidumbre.
Los parámetros son conocidos con certeza.
• No negatividad.
Las variables de decisión son 0.
EII405 Investigación de operaciones
13
Resolución Gráfica de PPL
Cuando el problema se transforma en un modelo matemático con 2 variables de decisión, entonces es posible resolver gráficamente el problema.
EII405 Investigación de operaciones
14
Método gráfico
• Graficar la región de soluciones factibles.
• Obtener los puntos extremos de la región de soluciones factibles.
• Evaluar dichos puntos en la F.O. El óptimo estará en aquel punto que entregue una solución mayor o menor, según corresponda.
EII405 Investigación de operaciones
15
EjemploDado el problema anterior:
MAX Z = 3 x1 + 5 x2
s.a. x1 4
2 x2 12
3 x1 + 2 x2 18
x1 , x2 0
EII405 Investigación de operaciones
16
EjemploSe dibuja la región de puntos factibles. Para ello se grafican las restricciones.
62 4
6
4
2
x1
x2
x2 = 6
x1 = 4
3 x1 + 2 x2 = 18
Región Factible
EII405 Investigación de operaciones
17
EjemploDeterminada la región factible, se evalúan los puntos factibles en la F.O. y el de mejor valor es el punto óptimo.
62 4
6
4
2
x1
x2
(0,6)
Región Factible
(2,6)
(4,3)
(4,0)
(0,0)
Pto. Z(0,0) 0(0,6) 30(2,6
)36
(4,3) 27(4,0) 12
EII405 Investigación de operaciones
18
EjemploOtra forma posible, que evita tener que evaluar todos los punto es calculando el gradiente de la F.O y trazando sus curvas de nivel.
62 4
6
4
2
x1
x2
3 x1 + 5 x2 = 36
3 x1 + 5 x2 = 20
3 x1 + 5 x2 = 10
EII405 Investigación de operaciones
19
EjemploCon la región de puntos factibles dibujada, se trazan las curvas de nivel de la F.O.
62 4
6
4
2
x1
x2
3 x1 + 5 x2 = 36
3 x1 + 5 x2 = 20
3 x1 + 5 x2 = 10
Z=(3,5)
EII405 Investigación de operaciones
20
Importante
• Cada vez que el dominio (o región factible) sea cerrado y acotado, el problema tiene solución.
• De existir una solución, siempre se encontrará en un vértice.
• Cuando se está minimizando, las curvas de nivel se desplazan en sentido contrario a la maximización.
EII405 Investigación de operaciones
21
Múltibles solucionesSupongamos el siguiente ejemplo:
MAX Z = 6 x1 + 4 x2
s.a. x1 4
2 x2 12
3 x1 + 2 x2 18
x1 , x2 0
EII405 Investigación de operaciones
22
Múltibles solucionesEn este caso, al trazar las curvas de nivel vemos que son paralelas a una de las restricciones. Es decir, la pendiente de la F.O. es igual a la de una restricción.
Z=(6,4)
62 4
6
4
2
x1
x2
3 x1 + 2 x2 = 18
3 x1 + 2 x2 = k
Múltiples soluciones óptimas.
EII405 Investigación de operaciones
23
Región no acotada
Supongamos este otro ejemplo:
MAX Z = 5 x1 + 12 x2
s.a. x1 5
2 x1 - x2 2
x1 , x2 0
EII405 Investigación de operaciones
24
Región no acotadaEn este caso, al trazar las curvas de nivel vemos quepueden crecer infinitamente en la dirección de la gradiente. La región factible (o dominio) no es acotado.
1 5
6
4
2
x1
x2
Z=(5,12)
EII405 Investigación de operaciones
25
Región infactible
Dado el ejemplo:
MAX Z = 3 x1 + 5 x2
s.a. x1 5
x2 4
3 x1 + 2 x2 18
x1 , x2 0
EII405 Investigación de operaciones
26
Región infactiblePuede ser que la intersección de todas las restricciones de vacía. En este caso no existe región factible y el problema es infactible.
5
4
x1
x2