Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden 1

Ecuacin diferencial ordinaria de primer ordenUna ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una ecuacin diferencial ordinaria donde intervienenderivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condicin inicial, sepueden encontrar expresadas en forma explcita:

(1a)

o en su forma implcita:(1b)

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones de variables separablesSi mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuacin diferencial en la siguiente forma:

(2a) se dir que es una ecuacin diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuacin setendr una nica variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro:

(2b)

Ecuaciones homogneasSe dice que una ecuacin es homognea si la funcin f(x, y) es fraccionaria y adems el grado de los polinomios denumerador y denominador son los mismos. Por ejemplo:

sera homognea ya que todos los trminos de ambos polinomios son de grado 3. As se procede dividiendo tantonumerador como denominador por o en funcin de qu cambio haga ms simple su resolucin. Llegados aeste caso segn la eleccin se puede optar por uno de los dos cambios anlogos, que son:

o bien

As se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendolas u(x,y) por su valor como funcin que se ha establecido.El caso anterior puede generalizarse a una ecuacin diferencial de primer orden de la forma:

(3a)

introduciendo la variable u = y/x; la solucin de la anterior ecuacin viene dada por:

(3b)

Ecuacin diferencial ordinaria de primer orden 2

Ecuaciones lineales de primer ordenLa ecuacin diferencial lineal de primer orden tiene la forma:

(4a)

Y la solucin de la misma viene dada por:(4b)

En el caso particular y , la solucin es:(4c)

Ecuacin diferencial de BernoulliUna ecuacin de Bernoulli es aqulla que tiene la forma:

(5a)

Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solucin para > 1 viene dada por:

(5b)

Vase tambin Sistema de ecuaciones diferenciales