Ecuaciones y FactorizaciónEcuaciones y Factorización

Por: Por: Víctor FloresVíctor Flores Karina MuñozKarina Muñoz Edgar Allan Romero Edgar Allan Romero Mario RomoMario Romo

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ÍndiceÍndicePensemos en EcuacionesPensemos en EcuacionesLo que es una ecuación.Lo que es una ecuación.Lo que necesitamos saber para poder resolverlaLo que necesitamos saber para poder resolverlaRazón de usar operaciones contrariasRazón de usar operaciones contrariasEjemplo de operaciones de Primer gradoEjemplo de operaciones de Primer gradoEjemplo de ecuaciones de Segundo gradoEjemplo de ecuaciones de Segundo gradoPensemos en FactorizaciónPensemos en FactorizaciónInterrogantes sobre FactorizaciónInterrogantes sobre FactorizaciónElementos que necesitamos para FactorizarElementos que necesitamos para FactorizarEjemplos de FactorizaciónEjemplos de FactorizaciónDiferentes cosas de FactorizaciónDiferentes cosas de FactorizaciónFactorización de trinomios cuadrados perfectosFactorización de trinomios cuadrados perfectos

Ejercicios

Ejercicios

Ecuaciones Ecuaciones

No te predispongas a no saber hacer algo No te predispongas a no saber hacer algo que ni siquiera has intentado…seguro que es que ni siquiera has intentado…seguro que es

más fácil de lo que imaginabas.más fácil de lo que imaginabas.

Ecuación:Ecuación: Una igualdad que existe entre dos miembros, Una igualdad que existe entre dos miembros, que se verifica para encontrar los valores de una incógnita que se verifica para encontrar los valores de una incógnita

(variable), comúnmente x. (variable), comúnmente x.

1er miembro = 2do miembro 1er miembro = 2do miembro ¿¿Cómo se resuelve?Cómo se resuelve?

Despejando la incógnita (dejarla sola en un miembro) para hallar Despejando la incógnita (dejarla sola en un miembro) para hallar su valor (en el otro miembro) que hace cierta la igualdad. su valor (en el otro miembro) que hace cierta la igualdad.

¿Qué necesitamos saber para ¿Qué necesitamos saber para poder resolverla?poder resolverla?

Leyes de los signos Leyes de los signos (para multiplicaciones (para multiplicaciones

y divisiones):y divisiones):

+ = + ++ = + ++ = - -+ = - - - = + -- = + - - = - +- = - +

Operaciones contrarias:Operaciones contrarias:

+ = + = -- X = X = ÷÷ nn√ a = a√ a = ann

Y por último ¡ganas!

¿Pero qué pasa con la operación ¿Pero qué pasa con la operación contraria? contraria?

Ejemplo: x + 3 = 4 Ejemplo: x + 3 = 4

Forma abreviada: Forma completa:Forma abreviada: Forma completa:

X = 4 X = 4 – 3– 3 X +3 X +3 – 3– 3 = 4 = 4 – 3– 3

X = 1 X = 1 X = 1 X = 1

Ecuación de primer grado:Ecuación de primer grado:(X + 4 – 5)(8)(X + 4 – 5)(8)= 9

22

(X + 4 – 5)(8)= 9(2)

(X + 4 – 5)(8)= 18

X + 4 – 5 = 18

8

X + 4 – 5 = 2.25

X + 4 = 2.25 + 5

X + 4 = 7.25

X = 7.25 – 4

X = 3.25

Comprobación ((3.25) + 4 – 5)(8)((3.25) + 4 – 5)(8)= 9 222.25(8)2.25(8)= 9 222.25(8) 2.25(8) = 9(2)2.25(8) 2.25(8) = 1818 18 = 18Comprobado

Ecuación de segundo grado Ecuación de segundo grado (X(X²² + 4 – 8)(10) + 4 – 8)(10)= 20 22(X(X²² + 4 – 8)(10) + 4 – 8)(10)= 20(2)(X(X²² + 4 – 8)(10) + 4 – 8)(10)= 40XX²² + 4 – 8 + 4 – 8= 40 10XX²² + 4 – 8 + 4 – 8= 4XX²² + 4 + 4 = 4 + 8XX²² + 4 + 4 = 12XX²² = 12 – 4 XX²² = 8X X = √8X = 2.8

Comprobación:((2.8)((2.8)²² + 4 – 8)(10) + 4 – 8)(10)= 20 22 (8 + 4 – 8)(10)(8 + 4 – 8)(10)= 20 22 4(10)4(10)= 20 22 4040= 20 22 20 = 20

Comprobado

FactorizaciónFactorización

¿Dónde hemos escuchado la palabra factor ¿Dónde hemos escuchado la palabra factor antes?antes?

En las multiplicaciones, cuando escuchamos que el orden de los factores no altera el productoEn las multiplicaciones, cuando escuchamos que el orden de los factores no altera el producto

¿Por lo tanto factores son?¿Por lo tanto factores son?Aquellos valores que aparecen en una Aquellos valores que aparecen en una multiplicación.multiplicación.

¿Que es factorización?¿Que es factorización? Descomponer un polinomio en el producto de dos o mas factores. Factorizar algo es escribirlo como una multiplicación. Descomponer un polinomio en el producto de dos o mas factores. Factorizar algo es escribirlo como una multiplicación.

Monomio:Monomio: expresión algebraica con un único expresión algebraica con un único

término constituida por las siguientes partes. término constituida por las siguientes partes.

Ejemplo;Ejemplo; --33XX²²

Signo: Signo: - - Coeficiente: Coeficiente: 33Literal o variable: X Literal o variable: X Grado: Grado: 2 2

¿Qué es un polinomio?¿Qué es un polinomio?

Ejemplos de factorizaciónEjemplos de factorización

6X6X² ² Se puede factorizar de las Se puede factorizar de las

siguientes manerassiguientes maneras::(3)(2)(X²) (3)(2)(X²) (6X)(X) (6X)(X) (6X²)(1) (6X²)(1)

(-3)(2)(-X)(X) (-3)(2)(-X)(X) (3)(2)(X)(X)(3)(2)(X)(X)

Diferentes casos de factorizaciónDiferentes casos de factorizaciónEjemplos: Ejemplos:

Factor de un monomio: Factor de un monomio:

15X= (3)(5)(X)15X= (3)(5)(X)

FactorFactor común: común:

8X³ - 4X² + X= X(8X² - 4X + 1)8X³ - 4X² + X= X(8X² - 4X + 1)

Diferencia de cuadrados: Diferencia de cuadrados:

X² - 16= (X+4)(X-4) X² - 16= (X+4)(X-4)

Factorización Trinomio cuadrado perfecto:Factorización Trinomio cuadrado perfecto:XX²² + + 2X2X + + 11 COMPROBAMOS SI ES UN TCP:COMPROBAMOS SI ES UN TCP:

•Verificamos que el Verificamos que el primerprimer y y

tercer tercer termino tengan raíz cuadrada termino tengan raíz cuadrada

exacta. exacta.

*Ahora verificamos que la *Ahora verificamos que la sumasuma de la de la

raíz cuadrada del raíz cuadrada del primerprimer y y tercertercer término término

sea igual alsea igual al dobledoble del del segundo segundo término. término.

¿CÓMO FACTORIZAMOS EL TCP?¿CÓMO FACTORIZAMOS EL TCP?

XX²² + + 2X2X + + 1 1 = (x + 1)²= (x + 1)(x + 1)= (x + 1)²= (x + 1)(x + 1)*Abrimos paréntesis *Abrimos paréntesis

*Escribimos dentro la raíz cuadrada del *Escribimos dentro la raíz cuadrada del primerprimer término. término.

*Ponemos el signo que hay entre el*Ponemos el signo que hay entre el primer primer y y segundosegundo término. término.

Escribimos la raíz cuadrada del Escribimos la raíz cuadrada del tercertercer término. término.

EjerciciosEjercicios

1) Resuelve las siguientes multiplicaciones:1) Resuelve las siguientes multiplicaciones:(-3X)(5X)=(-3X)(5X)= (9X²)(6X-4X²)=(9X²)(6X-4X²)=X(X²-6X+X)=X(X²-6X+X)=

2) ¿Qué notaste?2) ¿Qué notaste?

3) Factor de un monomio: 3) Factor de un monomio:

Resuelve 12XResuelve 12X²=²=

4) Factor4) Factor común: común:

Resuelve 9XResuelve 9X³ - 6X² + 3X= ³ - 6X² + 3X=

5) Diferencia de cuadrados: 5) Diferencia de cuadrados:

ResuelveResuelve 25x² - 256= 25x² - 256=

6) 6) Completa lo siguiente:Completa lo siguiente:

8X8X² ² X X

Signo: Signo: Signo: Signo:

Coeficiente: Coeficiente:Coeficiente: Coeficiente:

Literal o variable: Literal o variable: Literal o variable: Literal o variable:

Grado: Grado: Grado: Grado: