Download - Ecuaciones parametricas
Geometría analítica y algebra
FAC
ULTA
D D
E IN
GE
NIE
RIA
Y A
RQ
UIT
EC
TU
RA
DE
PA
RTA
ME
NT
O D
E C
IEN
CIA
S
Docente: Miguel Valverde Morales
2012- 0
Ecuaciones Paramétricas
Lógica - Miguel Valverde Fecha
Objetivo:
1. Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas.
2. Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas.
3. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Introducción
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
• Imagina que una particula se mueve a lo largo de la curva C.
– Es imposible escribir C
como una función de la
forma y = f(x).
– Ya que al trazar una recta
vertical corta en más de
un punto al gráfico.
Introducción
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
• Sin embargo las coordenadas x e y de la particula son funciones del tiempo.
Por tanto, podemos escribir
x = f(t) and y = g(t).
Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I el conjunto de pares ordenados (f(t),g(t)) es una curva plana, C. Las ecuaciones
x = f(t) y y= g(t)
Son ecuaciones paramétricas de C y t es el parámetro
Definición de curva plana
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Ejemplo 1: Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
Trazado de una curva
2 4 , 2 32
tx t y t y
Solución: Asignado valores a t en el intervalo las ecuaciones paramétricas conducen a los puntos (x, y) que se muestran en la siguiente tabla
t -2 -1 0 1 2 3
x 0 -3 -4 -3 0 5
y -1 -1/2 0 1/2 1 3/2
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
0;4,2 ttytx
Grafique la curva plana representada por las ecuaciones paramétricas
Eligiendo algunos valores de t y hallamos el correspondiente x e y
t x y
0 002 004
Los valores de t son mayores o igual a cero
yx,
0,0
1 4.112 414 4,2
0,0
4,2
2 222 824 8,2
3 4.232 1234
8,2
12,6
12,6
Observamos el recorrido de la particula. La orientación es la dirección en el tiempo
Curso - Docente Fecha
Eliminación del parámetro
Ecuaciones paramétricas
Despejar t de una de las ecuaciones
Sustituir en la otra ecuación
Ecuación rectangular
2 4
2
x t
ty
2t y 2
2 4x y 24 4x y
La ecuación x = 4y2 – 4 representa una parábola con eje horizontal y vértice (-4,0)
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Ajustar el dominio después de la E.P.
Dibujar la curva representada por las ecuaciones1
11
tx y
tt
y
Eliminar el parámetro y ajustar el dominio de la ecuación rectangular resultante
Solución: Despejar t de la ecuación para x
1
1x
t
2 1
1x
t
2
2
1 xt
x
Sustituyendo t en la ecuación de y
22
2
1 11 1 1
11 11
ty x
xt tx
21y x
A partir de la ecuación rectangular se puede reconocer que la curva es una parábola que se abre hacia abajo y su vértice es (0,1)
La ecuación rectangular y = 1 – x2, está definida para todo numero real x; sin embargo, de la ecuación paramétrica para x se observa que la curva está definida sólo para t >-1.
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Lógica - Miguel Valverde Fecha
Identidades para eliminar el parámetro
122 CosSen
2 2 1Sec Tg
Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Lógica - Miguel Valverde Fecha
Eliminación del parámetro ángulo
Trace la curva representada por
3 4 , 0 2x cos y sen yEliminando el parámetro
Solución: Despejando
3 4
x ycos sen y
2 2 1Cos Sen Usando la identidad:
2 2
13 4
x y
2 2
19 16
x y
Ecuaciónrectangular
Lógica - Miguel Valverde Fecha
El Tiempo como parámetro
La trayectoria de un proyectil se modela con las ecuaciones paramétricas
20 0( cosθ) ( senθ) 16x v t y h v t t y
Donde
: es la velocidad inicial (pies/segundo) : es el ángulo con la horizontalh : es la altura desde el suelo
0v
0v
h
y
x
(x(t),y(t))
Suponiendo que Miky golpea una pelota de golf con una velocidad inicial de 150 pies por segundo y un ángulo de 30º respecto de la horizontala) Encuentre las ecuaciones paramétricas que describen la
posición de la pelota en función del tiempo.b) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire? c) ¿Cuándo alcanza su altura máxima? Determine la altura
máxima de la pelota.d) Determine que distancia viaja la pelota por el aire.e) Represente el movimiento de la pelota.
Tiro parabólico