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3. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Ahora resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor, por su
utilidad y sencillez iniciaremos con la resolucin de ecuaciones lineales y de coeficientes
constantes.Problemas de valor inicial y de valor en la frontera.
Para una ecuacin diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n, es:
Resolver: )()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
. (1)
Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1 , . . . , y(n-1)(x0) = yn-1
Donde y0 , y1 , . . . , yn-1,son constantes arbitrarias. Recuerde que, para un problema como
este, se busca una funcin definida en algn intervalo I que contenga a x 0, y que satisfaga la
ecuacin diferencial y las condiciones iniciales n especificadas en x0.
En el caso de una ecuacin lineal de segundo orden, una solucin de
)()()()( 012
2
2 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa =++
Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1
Es una funcin definida en I cuya grafica pasa por (x0,y0) y tal que la pendiente de la curva
en el punto es el numeroy1.
Ecuaciones Homogneas.
Una ecuacin diferencial lineal de orden n de la forma:
0)()(...)()( 011
1
1 =++++
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n . .(2)
Se llama homognea, mientras que una ecuacin:
Ejemplo 1 Solucin nica de un problema de valor inicial
El problema de valor inicial 07'"5'"3 =++ yyy , y(1) = 0, y(1) = 0, y(1) = 0 tiene
la solucin trivial y = 0. Como la ecuacin de tercer orden es lineal con coeficientes
constantes, se satisfacen todas las condiciones, en consecuencia, y = 0 es la nica
solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
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)()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
(3)
Donde g(x) no es idnticamente cero, se llama no homognea.
Nota. Para evitar repeticiones intiles en el resto de esta seccin, estableceremos las
siguientes hiptesis importantes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las
ecuaciones lineales (2) y (3): En un intervalo I;
Los coeficientes ai(x), i = 0,1,2 n son constantes
El lado derecho, g(x), es continuo
an(x) 0 para toda x en el intervalo
Dependencia e independencia lineales.
Los siguientes dos conceptos son bsicos para el estudio de las ecuaciones
diferenciales lineales.
Es fcil entender estas definiciones en el caso de dos funcionesf1(x) y f2(x). Si las funciones
son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen constantes c1 y c2, no siendo
ambas nulas, tales que para toda x del intervalo
0)()(2211 =+ xfcxfc
Por lo tanto, si suponemos c1 0, se infiere que
)()( 21
21 xf
c
cxf =
Esto es,si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un
mltiplo constante de la otra. Recprocamente si para alguna constante c2 se tiene que
)()( 221 xfcxf = , entonces (-1) 0)()( 221 =+ xfcxf
Definicin 3.0.1 Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x),,fn(x) es
linealmente dependienteen un intervalo I si existen constantes c1, c2,
cn, no todas ceros, tales que
0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se considera que es linealmente
independiente.
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para toda x en algn intervalo. Por lo tanto las funciones son linealmente dependientes
puesto que al menos una de las constantes (a saber c1 = -1) no es nula. Se concluye que dos
funcionesson linealmente independientes cuando ninguna es un mltiplo constante de
la otra en un intervalo.
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),. . ., fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si
al menos una funcin puede expresarse como combinacin lineal no trivial de las restantes
funciones.
Soluciones de ecuaciones diferenciales
Ante todo, nos interesan, las funciones linealmente independientes o, con ms
precisin las soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal.
Aunque siempre podemos recurrir a la definicin 5.3a, sucede que el asunto de si las n
soluciones, nyyy ,...,, 21 de una ecuacin diferencial lineal de orden n como la ecuacin
(2) son linealmente independientes se puede establecer mecnicamente recurriendo a un
determinante.
Definicin 3.0.2 Wronskiano.
Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x),,fn(x)posee al menos n-1 derivadas. Si
el determinante
Ejemplo 2
Las funciones f1(x) = sen(2x) y f2(x) = sen(x) cos(x), son linealmente dependientes en
el intervalo de - < x < , puesto que
0)cos()()2( 21 =+ xxsencxsenc
Se satisface para x real si elegimos c1 = y c2 = -1. (Recuerde la identidad
trigonomtricasen(2x) = 2 sen(x)cos(x).)
Ejemplo 3
Las funciones f1(x) = x + 5, f2(x) = x + 5x, f3(x) = x -1 y f4(x) =
linealmente dependientes en el intervalo 0 < x < ya que f2(x) se puede escomo una combinacin lineal de f1(x), f3(x) y f4(x). Observe que:
)(0)(5)(1)(4312xfxfxfxf ++=
xxxxxxf 50)1(5)5(1)(2
2 +=+++= , en todo intervalo (0, )
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W(f1(x), f2(x),,fn(x)) =
)1()1(2
)1(
1
''
2
'
1
21
...
......
...
...
n
n
nn
n
n
fff
fff
fff
en donde las primas representan derivadas, no es cero por lo menos en un punto del
intervalo I, entonces las funciones f1(x), f2(x),,fn(x) son linealmente independientes en el
intervalo.
El determinante anterior se designa por W(f1(x), f2(x),,fn(x)) y se llama wronskiano* de
las funciones.
*
Debe su nombre a Joszef Maria Hone Wronski (1778-1853), quien naci enPolonia, fue educado en Alemania y pas la mayor parte de su vida enFrancia. Mas filsofo que matemtico, la nica contribucin notable deWronski a las matemticas fue el determinante que se acaba de definir.
Ejemplo 4
Las funciones f1(x) = sen2x y f2(x) = 1- cos(2x) son linealmente dependientes en
- < x < , (por qu):
Solucin: Para verificar esto se observa que W(f1(x), f2(x)) = 0, demostrmoslo
W(sen2x, 1- cos(2x)) =)2(2cos2
)2cos(12
xsenxsenx
xxsen
= 2sen2x sen(2x) 2 senx cosx + 2 senx cosx cos(2x)
= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos(2x)]
= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos2x sen2x]
= sen(2x)[ sen2x + cos2x 1] = 0
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Principio de Superposicin
El teorema siguiente se conoce como principio de superposicin.
Teorema 3.0.1 Sean y1, y2, . . ., yksoluciones de la ecuacin diferencial lineal homogneade orden n (2) en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal
kkycycycy +++= ...2211 ,
En donde los ci, i = 1, 2, 3,k son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el
intervalo.
a) Si y1(x) es una solucin de una ecuacin diferencial lineal homognea, entonces un
mltiplo constante de ella, y = c1y1(x), tambin es una solucin.
b) Una ecuacin diferencial lineal homognea siempre tiene la solucin trivial y = 0.
Lo anterior es fcilmente comprobable con los siguientes ejemplos:
Ejemplo 6
Demostrar que las funciones y1 = x2 y y2 = x
2 ln x, son soluciones de la ecuacin
homognea de tercer orden 04'2"'3
=+ yxyyx en el intervalo 0 < x < .
Solucin: Por el principio de superposicin, la combinacin lineal
y = c1 x2 + c2 x
2 ln x
tambin es una solucin de la ecuacin en el intervalo.
Demostracin. Si y = c1 x2 + c2 x
2 ln x
Entonces y= 2 c1 x + c2 x + 2c2 x ln x , y = 2 c1 + c2 + 2c2 ln x + 2c2
Por consiguiente: y = (2c1 + 3c2) + 2c2 ln x y y =x
c22 ;
Ejemplo 5
Para f1(x) =xm
e 1 , f2(x) =xm
e 2 , m1 m2
W(xm
e1
,xm
e2
) = xmxm
xmxm
emem
ee
21
21
21
= (m2 m1))( 21 xmxme
+ 0
Para todo valor real de x. Por lo tanto f1 y f2 son linealmente independientes en
cualquier intervalo del eje x.
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Sustituyendo en la ecuacin diferencial 04'2"'3
=+ yxyyx , tendremos:
0)ln(4)ln22(22 2
2
2
122123 =++++ xxcxcxxcxcxcx
x
cx
De donde; 0ln44ln4242 222122222122 =++ xxcxcxxcxcxcxc
Soluciones de ecuaciones no-homogneas.
Se definir ahora la solucin general de una ecuacin diferencia lineal no-homognea.
Una solucin general para la ecuacin diferencial lineal no-homognea, siempre se
compone de: yGral = yc + yp
Del teorema 3.1, la combinacin lineal )(...)()()( 2211 xycxycxycxy kkc +++= ,
La cual es la solucin general de (2), se le llama funcin complementaria de la ecuacin(3). Cualquier funcin yp que no contiene parmetros arbitrarios y que satisface a la
ecuacin (3), se llama solucin particular de la ecuacin. En otras palabras, la solucin
general de la ecuacin diferencial lineal no-homognea es:
YGral = funcin complementaria + cualquier solucin particular
Elaboracin de una segunda solucin a partir de una solucin conocida.
Reduccin de Orden.
Uno de los hechos ms interesantes e importantes en el estudio de las ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar una segunda solucin a
partir de una solucin conocida. Supngase que y1(x) es una solucin distinta de cero de la
ecuacin:
0)()()( 012
2
2 =++ yxadx
dyxa
dx
ydxa . . . . . . . . . .(1)
El proceso que utilizaremos para encontraruna segunda solucin y2(x)consiste en reducir
el orden de la ecuacin (1), transformndola en una ecuacin de primer orden. Por ejemplo
es fcil verificar que y1 = ex, satisface a la ecuacindiferencial y y = 0. Si intentamos
determinar una solucin de la forma y = u(x) ex entonces:
y= u(x) ex + u(x) ex
y = u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex
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y y = [u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex ]- u(x) ex = 0
y- y = ex [u(x) + 2u(x)] = 0
Puesto que ex 0, por lo que esta ltima ecuacin requiere que: u(x) + 2u(x) = 0
Si sustituimos w(x) = u(x), entonces w(x) = u(x), la ecuacin anterior se transforma en
w(x) + 2w(x) = 0, utilizando el factor integrante e2xpuede escribirse:
0][ 2 =wedx
d x
Integrando ambos lados se obtiene cwex =][ 2
O sea w(x) = c1 e-2x por lo que u(x) = c1 e
-2x
De esta manera u(x) = 221
2ce
c x +
y2 = u(x)ex
Eligiendo c2 = 0 y c1 =-2, se obtiene la segunda solucin
y2 = e-x
Puesto que el W(y1, y2) 0 para toda x en - < x <
En consecuencia la expresin para y es efectivamente la solucin general de la ecuacin
dada.
Caso General.
Supngase que se divide entre a2 (x) la ecuacin (1) se transforma en
0)(')(" =++ yxQyxPy . . . . . . . (2)
donde : P(x) y Q(x) son continuas en algn intervalo I, supngase que y1 es una solucin
conocida de la ecuacin (2) en I y que y1 0 para toda x del intervalo. Si definimos a
y2 = u(x)y1 , se tiene
y= u(x)y1 + u(x)y1
y = u(x)y1
+ 2u(x)y1
+ u(x)y1
y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)y1 + 2u(x)y1
+ u(x)y1+ P(x)[u(x)y1
+ u(x)y1] +
Q(x) u(x)y1 ,
factorizando trminos semejantes tenemos:
y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)[y1 + P(x)y+Q(x)y] +y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0
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cero
por lo tanto: y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0 haciendo u(x) = w(x)
y1w(x)+[2y1+P(x)y1]w(x) = 0 . . . . . . . . . . (3)
Obsrvese que la ecuacin (3) es lineal y tambin de variables separables, aplicando esta
ltima tcnica resulta:
0)(21
'
1 =++ dxxPdxy
y
w
dw
+=+ cdxxPyw )(ln2ln 1
+= cdxxPwy )(ln2
1
Aplicando la funcin exponencial a ambos lados de la igualdad tenemos:
= dxxP
ecwy
)(
1
2
1
Y como w(x) = u(x), w(x) = u(x) =2
1
)(
1y
ec
dxxP
integrando de nuevo tenemos: +
=
22
1
)(
1)( cdxy
ecxu
dxxP
; y por lo tanto como
y2 = u(x)y1 1221
)(
112 ycdxy
eycy
dxxP
+
=
Eligiendo c2 = 0 y c1 = 1, se encuentra que una segunda solucin de la ecuacin (2) es
dxxy
exyy
dxxP
=
)()(
2
1
)(
12
. . . . . . .(4)
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Ejercicios seccin 3.0
Dados los siguientes ejercicios determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.
1. 1;0'4'' 1 ==+ yyy 2.x
eyyyy2
1;04'4'' ==+
3.x
xeyyyy==++ 1;0'2'' 4. xyyy 4cos;016'' 1 ==+
5. xsenyyy 3;09'' 1 ==+ 6. xyyy cosh;0'' 1 ==
7.xeyyy
5
1;025'' == 8.3/
1;0'''6x
eyyyy ==+
9.4
12
22
;0167 xyydx
dyx
dx
ydx ==+ 10. Lnxy
dx
dy
dx
ydx ==+ 12
2
;0
Ejemplo 1
La funcin y1 = x2 es una solucin de x2y- 3xy+ 4y = 0. Hallar la solucin general en el
intervalo de 0< x
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3.1 Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes
Hemos visto que las ecuaciones lineales de primer orden ,0' =+ayy donde a es
una constante, tiene la solucin exponencialat
ecy= 1 en el intervalo (- < x < ); por
consiguiente, lo ms natural es determinar si existen soluciones exponenciales de las
ecuaciones lineales homogneas de orden superior en (- < x < ) del tipo:
0'"... 0121
1 =+++++
yayayayayan
n
n
n. . . . . . .
. .(1)
En donde los coeficientes niai ,...,1,0,.... = , son constantes reales y .0na Para nuestra
sorpresa, todas las soluciones de la ecuacin (1) son funciones exponenciales o estn
formadas por funciones exponenciales.
Ecuacin Auxiliar
Iniciaremos con el caso especial de de la ecuacin de segundo orden
0'" =++ cybyay .. . . . . . . . . (2)
Si probamos con una solucin de la forma mxey = , entonces despus de sustituir
,".......'2 mxmxemyymey == en la ecuacin
(2), se transforma en 02 =++ mxmxmx cebmeeam , o sea 0][2 =++ cbmamemx , como emx
nunca es cero para x real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la
ecuacin diferencial es cuando se elige m como una raz de la ecuacin cuadrtica
02 =++ cbmam . . . . . . . . . . . (3)
Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin
diferencial (2). Como las dos races de la ecuacin (3), son
a
acbbm
2
42
1
+= y a
acbbm
2
42
1
=
Habr tres formas de la solucin general de ecuacin (2) que corresponden a los tres casos
siguientes:
m1 y m2 son nmeros reales y distintos (b2 -4ac>0)
m1 y m2 son nmeros reales e iguales (b2 -4ac=0)
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m1 y m2 son nmeros complejos conjugados (b2 -4ac
0 son reales, e i2 =-1. No hay diferencia formal entre este caso y caso I; por ello
xixi ececy )(2)(
1
+ +=
xmxmececy 21
21+=
(5)
xmxmxececy 11
21+= (6)
(4)
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Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales
complejas. Con este objetivo se usa la formula de Euler.
isenei += cos , en que es un nmero real.
La consecuencia de esta formula es que
xisenxe xi +=cos y xisenxe xi = cos . . . . . . .(7)
En donde hemos empleado cos(- x) = cos x y sen(- x) = -sen x . Obsrvese que si
primero sumamos y despus restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos,
respectivamente
Comoxixi
ececy)(
2
)(
1
+ += es una solucin de la ecuacin (2) para cualquier
eleccin de las constantes c1 y c2 , tenemos que
xixi ececy )(2)(
1
+ += = xixxix eeceec + 21
y = ][ 21xixix ecece +
utilizando las igualdades (7) tenemos
y = )](cos)(cos[ 21 xisenxcxisenxcex ++
si agrupamos trminos semejantes tendremos
])(cos)[( 2121 xisenccxcceyx ++=
Haciendo (c1 + c2) = c1 y c1 c2)i = c2, tendremos la solucin general
]cos[ 21 xsencxceyx += (8)Ejemplo 1Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:
a) 03'5"2 = yyy , b) 02 5'1 0" =+ yyy , c) 07'4" =++ yyy
Solucin: A continuacin presentaremos las ecuaciones auxiliares, races y
soluciones generales correspondientes.
a) 3,2
1),....3)(12(35221
2 ==+= mmmmmm , de acuerdo con (4)
xx
ececy 3221 +=
b) ,5,....)5(2510 2122 ===+ mmmmm de acuerdo con (6)
xx xececy 525
1 +=
c) ,32,32,....074 212
imimmm =+==++ de acuerdo a la ecuacin (8)
con
=-2 = 3 33cos2 xsencxce x +=
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Ecuaciones de orden superior.
3. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Ahora resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor, por su
utilidad y sencillez iniciaremos con la resolucin de ecuaciones lineales y de coeficientesconstantes.
Problemas de valor inicial y de valor en la frontera.
Para una ecuacin diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n, es:
Resolver: )()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
. (1)
Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1 , . . . , y(n-1)(x0) = yn-1
Donde y0 , y1 , . . . , yn-1,son constantes arbitrarias. Recuerde que, para un problema como
este, se busca una funcin definida en algn intervalo I que contenga a x 0, y que satisfaga la
ecuacin diferencial y las condiciones iniciales n especificadas en x0.
En el caso de una ecuacin lineal de segundo orden, una solucin de
)()()()( 012
2
2 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa =++
Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1
Es una funcin definida en I cuya grafica pasa por (x0,y0) y tal que la pendiente de la curva
en el punto es el numeroy1.
Ecuaciones Homogneas.
Una ecuacin diferencial lineal de orden n de la forma:
0)()(...)()( 011
1
1 =++++
yxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n . .(2)
Ejemplo 1 Solucin nica de un problema de valor inicial
El problema de valor inicial 07'"5'"3 =++ yyy , y(1) = 0, y(1) = 0, y(1) = 0 tiene
la solucin trivial y = 0. Como la ecuacin de tercer orden es lineal con coeficientes
constantes, se satisfacen todas las condiciones, en consecuencia, y = 0 es la nica
solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.
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Se llama homognea, mientras que una ecuacin:
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
(3)
Donde g(x) no es idnticamente cero, se llama no homognea.
Nota. Para evitar repeticiones intiles en el resto de esta seccin, estableceremos las
siguientes hiptesis importantes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las
ecuaciones lineales (2) y (3): En un intervalo I;
Los coeficientes ai(x), i = 0,1,2 n son constantes
El lado derecho, g(x), es continuo
an(x) 0 para toda x en el intervalo
Dependencia e independencia lineales.
Los siguientes dos conceptos son bsicos para el estudio de las ecuaciones
diferenciales lineales.
Es fcil entender estas definiciones en el caso de dos funcionesf1(x) y f2(x). Si las funciones
son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen constantes c1 y c2, no siendo
ambas nulas, tales que para toda x del intervalo
0)()( 2211 =+ xfcxfc
Por lo tanto, si suponemos c1 0, se infiere que
)()( 21
21 xf
c
cxf =
Esto es,si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un
mltiplo constante de la otra. Recprocamente si para alguna constante c2 se tiene que
Definicin 3.0.1 Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x),,fn(x) es
linealmente dependienteen un intervalo I si existen constantes c1, c2,
cn, no todas ceros, tales que
0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente
dependiente en el intervalo, se considera que es linealmente
independiente.
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)()( 221 xfcxf = , entonces (-1) 0)()( 221 =+ xfcxf
para toda x en algn intervalo. Por lo tanto las funciones son linealmente dependientes
puesto que al menos una de las constantes (a saber c1 = -1) no es nula. Se concluye que dos
funcionesson linealmente independientes cuando ninguna es un mltiplo constante de
la otra en un intervalo.
Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),. . ., fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si
al menos una funcin puede expresarse como combinacin lineal no trivial de las restantes
funciones.
Soluciones de ecuaciones diferenciales
Ante todo, nos interesan, las funciones linealmente independientes o, con ms
precisin las soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal.
Aunque siempre podemos recurrir a la definicin 5.3a, sucede que el asunto de si las n
soluciones, nyyy ,...,, 21 de una ecuacin diferencial lineal de orden n como la ecuacin
(2) son linealmente independientes se puede establecer mecnicamente recurriendo a un
determinante.
Definicin 3.0.2 Wronskiano.
Ejemplo 2
Las funciones f1(x) = sen(2x) y f2(x) = sen(x) cos(x), son linealmente dependientes en
el intervalo de - < x < , puesto que
0)cos()()2( 21 =+ xxsencxsenc
Se satisface para x real si elegimos c1 = y c2 = -1. (Recuerde la identidad
trigonomtricasen(2x) = 2 sen(x)cos(x).)
Ejemplo 3
Las funciones f1(x) = x + 5, f2(x) = x + 5x, f3(x) = x -1 y f4(x) =
linealmente dependientes en el intervalo 0 < x < ya que f2(x) se puede es
como una combinacin lineal de f1(x), f3(x) y f4(x). Observe que:
)(0)(5)(1)( 4312 xfxfxfxf ++=
xxxxxxf 50)1(5)5(1)(2
2 +=+++= , en todo intervalo (0, )
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Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x),,fn(x)posee al menos n-1 derivadas. Si
el determinante
W(f1(x), f2(x),,fn(x)) =
)1()1(2
)1(
1
''
2
'
1
21
...
......
...
...
n
n
nn
n
n
fff
fff
fff
en donde las primas representan derivadas, no es cero por lo menos en un punto del
intervalo I, entonces las funciones f1(x), f2(x),,fn(x) son linealmente independientes en el
intervalo.
El determinante anterior se designa por W(f1(x), f2(x),,fn(x)) y se llama wronskiano* de
las funciones.
*
Debe su nombre a Joszef Maria Hone Wronski (1778-1853), quien naci enPolonia, fue educado en Alemania y pas la mayor parte de su vida enFrancia. Mas filsofo que matemtico, la nica contribucin notable deWronski a las matemticas fue el determinante que se acaba de definir.
Ejemplo 4
Las funciones f1(x) = sen2x y f2(x) = 1- cos(2x) son linealmente dependientes en
- < x < , (por qu):
Solucin: Para verificar esto se observa que W(f1(x), f2(x)) = 0, demostrmoslo
W(sen2x, 1- cos(2x)) =)2(2cos2
)2cos(12
xsenxsenx
xxsen
= 2sen2x sen(2x) 2 senx cosx + 2 senx cosx cos(2x)
= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos(2x)]
= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos2x sen2x]
= sen(2x)[ sen2x + cos2x 1] = 0
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Sustituyendo en la ecuacin diferencial 04'2"'3
=+ yxyyx , tendremos:
0)ln(4)ln22(22 2
2
2
122123 =++++ xxcxcxxcxcxcx
x
cx
De donde; 0ln44ln4242 222122222122 =++ xxcxcxxcxcxcxc
Soluciones de ecuaciones no-homogneas.
Se definir ahora la solucin general de una ecuacin diferencia lineal no-homognea.
Una solucin general para la ecuacin diferencial lineal no-homognea, siempre se
compone de: yGral = yc + yp
Del teorema 3.1, la combinacin lineal )(...)()()( 2211 xycxycxycxy kkc +++= ,
La cual es la solucin general de (2), se le llama funcin complementaria de la ecuacin(3). Cualquier funcin yp que no contiene parmetros arbitrarios y que satisface a la
ecuacin (3), se llama solucin particular de la ecuacin. En otras palabras, la solucin
general de la ecuacin diferencial lineal no-homognea es:
YGral = funcin complementaria + cualquier solucin particular
Elaboracin de una segunda solucin a partir de una solucin conocida.
Reduccin de Orden.
Uno de los hechos ms interesantes e importantes en el estudio de las ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar una segunda solucin a
partir de una solucin conocida. Supngase que y1(x) es una solucin distinta de cero de la
ecuacin:
0)()()( 012
2
2 =++ yxadx
dyxa
dx
ydxa . . . . . . . . . .(1)
El proceso que utilizaremos para encontraruna segunda solucin y2(x)consiste en reducir
el orden de la ecuacin (1), transformndola en una ecuacin de primer orden. Por ejemplo
es fcil verificar que y1 = ex, satisface a la ecuacindiferencial y y = 0. Si intentamos
determinar una solucin de la forma y = u(x) ex entonces:
y= u(x) ex + u(x) ex
y = u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex
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y y = [u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex ]- u(x) ex = 0
y- y = ex [u(x) + 2u(x)] = 0
Puesto que ex 0, por lo que esta ltima ecuacin requiere que: u(x) + 2u(x) = 0
Si sustituimos w(x) = u(x), entonces w(x) = u(x), la ecuacin anterior se transforma en
w(x) + 2w(x) = 0, utilizando el factor integrante e2xpuede escribirse:
0][ 2 =wedx
d x
Integrando ambos lados se obtiene cwex =][ 2
O sea w(x) = c1 e-2x por lo que u(x) = c1 e
-2x
De esta manera u(x) = 221
2ce
c x +
y2 = u(x)ex
Eligiendo c2 = 0 y c1 =-2, se obtiene la segunda solucin
y2 = e-x
Puesto que el W(y1, y2) 0 para toda x en - < x <
En consecuencia la expresin para y es efectivamente la solucin general de la ecuacin
dada.
Caso General.
Supngase que se divide entre a2 (x) la ecuacin (1) se transforma en
0)(')(" =++ yxQyxPy . . . . . . . (2)
donde : P(x) y Q(x) son continuas en algn intervalo I, supngase que y1 es una solucin
conocida de la ecuacin (2) en I y que y1 0 para toda x del intervalo. Si definimos a
y2 = u(x)y1 , se tiene
y= u(x)y1 + u(x)y1
y = u(x)y1
+ 2u(x)y1
+ u(x)y1
y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)y1 + 2u(x)y1
+ u(x)y1+ P(x)[u(x)y1
+ u(x)y1] +
Q(x) u(x)y1 ,
factorizando trminos semejantes tenemos:
y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)[y1 + P(x)y+Q(x)y] +y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0
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cero
por lo tanto: y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0 haciendo u(x) = w(x)
y1w(x)+[2y1+P(x)y1]w(x) = 0 . . . . . . . . . . (3)
Obsrvese que la ecuacin (3) es lineal y tambin de variables separables, aplicando esta
ltima tcnica resulta:
0)(21
'
1 =++ dxxPdxy
y
w
dw
+=+ cdxxPyw )(ln2ln 1
+= cdxxPwy )(ln2
1
Aplicando la funcin exponencial a ambos lados de la igualdad tenemos:
= dxxP
ecwy
)(
1
2
1
Y como w(x) = u(x), w(x) = u(x) =2
1
)(
1y
ec
dxxP
integrando de nuevo tenemos: +
=
22
1
)(
1)( cdxy
ecxu
dxxP
; y por lo tanto como
y2 = u(x)y1 1221
)(
112 ycdxy
eycy
dxxP
+
=
Eligiendo c2 = 0 y c1 = 1, se encuentra que una segunda solucin de la ecuacin (2) es
dxxy
exyy
dxxP
=
)()(
2
1
)(
12
. . . . . . .(4)
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Ejercicios seccin 3.0
Dados los siguientes ejercicios determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.
1. 1;0'4'' 1 ==+ yyy 2.x
eyyyy2
1;04'4'' ==+
3.x
xeyyyy==++ 1;0'2'' 4. xyyy 4cos;016'' 1 ==+
5. xsenyyy 3;09'' 1 ==+ 6. xyyy cosh;0'' 1 ==
7.xeyyy
5
1;025'' == 8.3/
1;0'''6x
eyyyy ==+
9.4
12
22
;0167 xyydx
dyx
dx
ydx ==+ 10. Lnxy
dx
dy
dx
ydx ==+ 12
2
;0
Ejemplo 1
La funcin y1 = x2 es una solucin de x2y- 3xy+ 4y = 0. Hallar la solucin general en el
intervalo de 0< x
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3.1 Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes
Hemos visto que las ecuaciones lineales de primer orden ,0' =+ayy donde a es
una constante, tiene la solucin exponencialat
ecy= 1 en el intervalo (- < x < ); por
consiguiente, lo ms natural es determinar si existen soluciones exponenciales de las
ecuaciones lineales homogneas de orden superior en (- < x < ) del tipo:
0'"... 0121
1 =+++++
yayayayayan
n
n
n. . . . . . .
. .(1)
En donde los coeficientes niai ,...,1,0,.... = , son constantes reales y .0na Para nuestra
sorpresa, todas las soluciones de la ecuacin (1) son funciones exponenciales o estn
formadas por funciones exponenciales.
Ecuacin Auxiliar
Iniciaremos con el caso especial de de la ecuacin de segundo orden
0'" =++ cybyay .. . . . . . . . . (2)
Si probamos con una solucin de la forma mxey = , entonces despus de sustituir
,".......'2 mxmxemyymey == en la ecuacin
(2), se transforma en 02 =++ mxmxmx cebmeeam , o sea 0][2 =++ cbmamemx , como emx
nunca es cero para x real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la
ecuacin diferencial es cuando se elige m como una raz de la ecuacin cuadrtica
02 =++ cbmam . . . . . . . . . . . (3)
Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin
diferencial (2). Como las dos races de la ecuacin (3), son
a
acbbm
2
42
1
+= y a
acbbm
2
42
1
=
Habr tres formas de la solucin general de ecuacin (2) que corresponden a los tres casos
siguientes:
m1 y m2 son nmeros reales y distintos (b2 -4ac>0)
m1 y m2 son nmeros reales e iguales (b2 -4ac=0)
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m1 y m2 son nmeros complejos conjugados (b2 -4ac
0 son reales, e i2 =-1. No hay diferencia formal entre este caso y caso I; por ello
xixi ececy )(2)(
1
+ +=
xmxmececy 21
21+=
(5)
xmxmxececy 11
21+= (6)
(4)
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Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales
complejas. Con este objetivo se usa la formula de Euler.
isenei += cos , en que es un nmero real.
La consecuencia de esta formula es que
xisenxe xi +=cos y xisenxe xi = cos . . . . . . .(7)
En donde hemos empleado cos(- x) = cos x y sen(- x) = -sen x . Obsrvese que si
primero sumamos y despus restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos,
respectivamente
Comoxixi
ececy)(
2
)(
1
+ += es una solucin de la ecuacin (2) para cualquier
eleccin de las constantes c1 y c2 , tenemos que
xixi ececy )(2)(
1
+ += = xixxix eeceec + 21
y = ][ 21xixix ecece +
utilizando las igualdades (7) tenemos
y = )](cos)(cos[ 21 xisenxcxisenxcex ++
si agrupamos trminos semejantes tendremos
])(cos)[( 2121 xisenccxcceyx ++=
Haciendo (c1 + c2) = c1 y c1 c2)i = c2, tendremos la solucin general
]cos[ 21 xsencxceyx += (8)Ejemplo 1Ecuaciones diferenciales de segundo orden.
Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:
a) 03'5"2 = yyy , b) 02 5'1 0" =+ yyy , c) 07'4" =++ yyy
Solucin: A continuacin presentaremos las ecuaciones auxiliares, races y
soluciones generales correspondientes.
a) 3,2
1),....3)(12(35221
2 ==+= mmmmmm , de acuerdo con (4)
xx
ececy 3221 +=
b) ,5,....)5(2510 2122 ===+ mmmmm de acuerdo con (6)
xx xececy 525
1 +=
c) ,32,32,....074 212
imimmm =+==++ de acuerdo a la ecuacin (8)
con
=-2 = 3 33cos2 xsencxce x +=
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Ecuaciones de orden superior.
En general para resolver una ecuacin diferencial de orden n como la ecuacin (1),
debemos resolver una ecuacin auxiliar de tipo polinomial de grado n;
0...01
2
2
1
1=+++++ amamamama
n
n
n
n
De la solucin de esta ecuacin podemos obtener combinaciones de los casos I, II y III,
antes vistos, por lo que la solucin general se formar con la suma de todas las soluciones
dada por las diferentes races encontradas.
Ejercicios seccin 3.1
A) En los siguientes problemas determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.
1. 0'''4 =+yy 2. 0'5''2 = yy
3. 036'' = yy 4. 08'' = yy
5. 09'' =+ yy 6. 0''3 =+yy
7. 06''' = yyy 8. 02'3'' =+ yyy
9. 01682
2
=++ ydx
dy
dx
yd10. 02510
2
2
=+ ydx
dy
dx
yd
11. 05'3'' =+ yyy 12. 0'4'' =+ yyy
13. 02'5''12 = yyy 14. 0'2''8 =+ yyy
15. 05'4'' =+ yyy 16. 04'3''2 =+ yyy
17. 0'2''3 =++ yyy 18. 0'2''2 =++ yyy
19. 0'5''4''' = yyy 20. 0'''4'''4 =++ yyy
21. 0''' =yy 22. 0''5''' =+ yy23. 0'3''5''' =++ yyyy 24. 012'4''3''' =+ yyyy
25. 02''''' =+ yyy 26. 04''''' = yyy
27. 0'3''3''' =+++ yyyy 28. 08'12''6''' =+ yyyy