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Ecuaciones en Derivadas Parciales 1 / 58
Ecuaciones en Derivadas Parciales
Rafael Ramírez Ros
20 de diciembre de 2019
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 2 / 58
Tres ecuaciones importantes
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 3 / 58
Tres ecuaciones importantes
Abreviaturas
EDP = Ecuación en derivadas parcialesCI = condición inicialCF = condiciones de fronteraPVI = Problema de valor inicialPVF = Problema de valor en la fronteraSEV = Subespacio vectorialVAP = Valor propioFUP = Función propia1er/1a/1o = Primer/primera/primero2a/2o = Segunda/segundo
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 4 / 58
Tres ecuaciones importantes
Ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante)
La ecuación de la cuerda vibrante de longitud L es
utt − c2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t ∈ R,
donde:t ∈ R es el tiempo;x ∈ (0,L) es el punto de la cuerda;La función incógnita u = u(x , t) es el desplazamientovertical respecto la posición de equilibrio;c2 > 0 es un parámetro que será interpretado como lavelocidad a la que viajan las ondas; yF (x , t) es la fuerza externa por unidad de masa.
utt es la segunda derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos cuerdas de longitud infinita: x ∈ R.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 5 / 58
Tres ecuaciones importantes
Ecuación del calor 1D
La ecuación del calor 1D asociada a la “pared infinita” deespesor L es
ut − k2uxx = F (x , t), x ∈ (0,L), t > 0,
donde:t ≥ 0 es el tiempo (no negativo, pues la evolución detemperatura es un fenómeno no reversible);x ∈ (0,L) denota un “plano infinito” de la pared;La función incógnita u = u(x , t) es la temperatura;k2 > 0 es un parámetro que depende del material; yF (x , t) representa los focos/sumideros de calor.
ut es la primera derivada parcial respecto t .uxx es la segunda derivada parcial respecto x .Esta ecuación es homogénea cuando F (x , t) ≡ 0.También consideramos espesor infinito: x ∈ R.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 6 / 58
Tres ecuaciones importantes
Estados estacionarios 1D (“1D steady states”)
Un estado estacionario es una solución que no dependedel tiempo:
u(x , t) = v(x).
Dada u(x , t) = v(x), vemos que
utt = c2uxx ⇔ ut = k2uxx
⇔ v ′′(x) = 0⇔ v(x) = mx + n, para algunos m,n ∈ R.
Es decir, los únicos estados estacionarios de una cuerdavibrante no sometida a fuerzas externas y de una “paredinfinita” sin focos ni sumideros de calor internos son losestados (desplazamiento o temperatura) lineales.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 7 / 58
Tres ecuaciones importantes
Ecuación de Laplace/Poisson
El Laplaciano de una función u = u(x , t), donde t ∈ R yx = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, es
∆u = ux1x1 + · · ·+ uxnxn .
Dado un conjunto D ⊂ Rn y una función G : D → R, lacorrespondiente ecuación de Poisson es
∆u = G(x), u = u(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D.
Esta ecuación es homogénea y se denomina ecuación deLaplace cuando G(x) ≡ 0.Nos centraremos en el caso 2D:
uxx + uyy = G(x , y), (x , y) ∈ D ⊂ R2,
donde G : D → R está definida en un dominio D ⊂ R2.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 8 / 58
Tres ecuaciones importantes
Ondas y calor multidimensionales
La ecuación del ondas asociada a un cuerpo elásticoD ⊂ Rn es
utt − c2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t ∈ R,
donde c2 > 0 es un parámetro que depende del material.La ecuación del calor asociada a un cuerpo D ⊂ Rn es
ut − k2∆u = F (x , t), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, t > 0,
donde k2 > 0 es un parámetro que depende del material.Estas ecuaciones son homogéneas cuando F (x , t) ≡ 0.Si F = F (x) no depende de t , los estados estacionariosu = u(x) son las soluciones de la ecuación de Poisson:
∆u = −F (x)/c2 en la ecuación de ondas; y∆u = −F (x)/k2 en la ecuación del calor.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 9 / 58
Condiciones iniciales y de frontera
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 10 / 58
Condiciones iniciales y de frontera
Condiciones iniciales
Consisten en fijar el estado del problema en el instanteinicial t = 0.Ondas: Fijamos el desplazamiento y la velocidad iniciales.Calor: Fijamos la temperatura inicial.Laplace/Poisson: No fijamos nada, pues son problemasestáticos.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 11 / 58
Condiciones iniciales y de frontera
Condiciones de frontera
Consisten en fijar la interacción del objeto (cuerda, pared,etcétera) con el medio que lo rodea.En el caso 1D con x ∈ [0,L], hay cinco tipos:
Dirichlet: u(0, t) = a(t) y u(L, t) = b(t).Neumann: ux (0, t) = α(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 1: u(0, t) = a(t) y ux (L, t) = β(t).Mixtas 2: ux (0, t) = α(t) y u(L, t) = b(t).Periódicas: u(0, t) = u(L, t) y ux (0, t) = ux (L, t).
Comentarios sobre las funciones a(t), b(t), α(t) y β(t):Son datos del problema.Suelen ser funciones constantes.Diremos que las condiciones de frontera son homogéneascuando sean idénticamente cero.Ondas: Cuerda de guitarra⇒ a(t),b(t) ≡ 0.Calor: α(t), β(t) ≡ 0⇔ aislamiento térmico perfecto.
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Condiciones iniciales y de frontera
Ejemplos de problemas
1 Ondas 1D homogénea con condiciones de Dirichletconstantes:
[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t ∈ R[2a CF] u(L, t) = b t ∈ R
2 Calor 1D homogéneo con condiciones de Dirichletconstantes:
[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 13 / 58
Condiciones iniciales y de frontera
Más ejemplos de problemas
3 Calor 1D homogéneo con condiciones de Neumann:[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = α(t) t > 0[2a CF] ux (L, t) = β(t) t > 0
4 Poisson 2D en un cuadrado de lado 2L con condiciones deDirichlet homogéneas:
[EDP] uxx + uyy = xy x ∈ (−L,L) y ∈ (−L,L)[1a CF] u(−L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[2a CF] u(L, y) = 0 y ∈ (−L,L)[3a CF] u(x ,−L) = 0 x ∈ (−L,L)[4a CF] u(x ,L) = 0 x ∈ (−L,L)
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Condiciones iniciales y de frontera
Flujo de calor
Dada u(x , t) una solución del problema 3, sea
u(t) =1L
∫ L
0u(x , t)dx
la temperatura promedio en el instante t .La derivada de esta función es
u′(t) =1L
∫ L
0ut (x , t)dx =
k2
L
∫ L
0uxx (x , t)dx
=k2
L[ux (x , t)
]x=Lx=0 =
k2
L(β(t)− α(t)
),
luego la diferencia β(t)− α(t) cuantifica la tasa devariación de la temperatura promedio u(t).Consecuencia: α(t) = β(t)⇒ u′(t) ≡ 0⇒ u(t) ≡ u(0).
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La cuerda vibrante infinita
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 16 / 58
La cuerda vibrante infinita
Fórmula de D’Alembert
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante infinita[EDP] utt = c2uxx x ∈ R t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ R[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ R
donde el desplazamiento inicial f (x) y la velocidad inicialg(x) son datos conocidos.Este PVI tiene una única solución que viene dada por
u(x , t) =12(f (x + ct) + f (x − ct)
)+
12c
∫ x+ct
x−ctg(s)ds.
La aceleración inicial es utt (x ,0) = c2uxx (x ,0) = c2f ′′(x).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 17 / 58
VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 18 / 58
VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Definiciones
Consideramos los PVFs lineales homogéneos de 2o orden[EDO] y ′′ + p1(λ)y ′ + p0(λ)y = 0[1a CF] α0y(a) + α1y ′(a) = 0[2a CF] β0y(b) + β1y ′(b) = 0
donde:x ∈ [a,b] es la variable independiente;y = y(x) es la función incógnita;Los puntos a y b son la frontera del intervalo [a,b];los coeficientes αi , βi y pi (λ) son datos; yλ ∈ R es un parámetro.
La función trivial y(x) ≡ 0 siempre es solución.Los VAPs son los valores de λ ∈ R para los cuales existensoluciones no triviales, las cuales se denominan FUPs.Un VAP es simple (o doble) cuando dim{FUPs} = 1 (o 2).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 19 / 58
VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Una EDOLH de 2o orden a CC
La solución general de la EDOLH de 2o orden a CC
y ′′ = λy , λ ∈ R,
es:
yh(x) =
c1 cosµx + c2 sinµx , si λ = −µ2 < 0,c1 + c2x , si λ = 0,c1 coshµx + c2 sinhµx , si λ = µ2 > 0,
donde c1, c2 ∈ R son constantes libres.yh(0) = 0⇔ c1 = 0.y ′h(0) = 0⇔ c2 = 0.En el caso λ = µ2 > 0, también se puede usar que
yh(x) = c1e−µx + c2eµx , c1, c2 ∈ R.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 20 / 58
VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
Cinco PVFs importantes
1 PVF Dirichlet: y ′′ = λy , y(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: yn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2 PVF Neumann: y ′′ = λy , y ′(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: yn(x) = cos(nπx/L)
}con n ≥ 0.
3 PVF mixto 1: y ′′ = λy , y(0) = y ′(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2
FUPs: yn(x) = sin((n + 1/2)πx/L
) }con n ≥ 0.
4 PVF mixto 2: y ′′ = λy , y ′(0) = y(L) = 0.VAPs: λn = −(n + 1/2)2π2/L2
FUPs: yn(x) = cos((n + 1/2)πx/L
) }con n ≥ 0.
5 PVF periódico: y ′′ = λy , y(−L) = y(L), y ′(−L) = y ′(L).VAPs: λn = −(nπ/L)2 (doble)FUPs: cn(x) = cos(nπx/L), sn(x) = sin(nπx/L)
}n ≥ 1
y además λ0 = 0 es un VAP simple de FUP c0(x) ≡ 1.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 21 / 58
Separación de variables
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 22 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 23 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R
donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) = 4 sin(πx/L)− sin(3πx/L) es la posición inicial;g(x) ≡ 0 es la velocidad inicial (partimos del reposo);Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 24 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
u(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI anterior.Es decir, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′′(t) = utt = c2uxx = c2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′′(t)c2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor c2 en la segunda fracción.]2a CI: ut (x ,0) = 0 para todo x ∈ (0,L)⇒ T ′(0) = 0.1a CF: u(0, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (0) = 0.2a CF: u(L, t) = 0 para todo t ∈ R⇒ X (L) = 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 25 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Modos normales
Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2o problema: T ′′(t) = λc2T (t) = −(ncπL )2T (t), T ′(0) = 0.
Soluciones: Tn(t) = cos(ncπt/L), con n ≥ 1.Modos normales:
un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
), n ≥ 1.
El modo normal un(x , t) es una onda estacionaria conn + 1 nodos (puntos que no se mueven) cuya amplitudvaría periódicamente con periodo τn = 2L/nc y frecuencia$n = 1/τn = nc/2L.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 26 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Ondas estacionarias (“Standing waves”)
Ondas estacionarias para n = 4,3,2,1.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 27 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Fourier (por inspección directa)
La superposición de los infinitos modos normales
u(x , t) =∞∑
n=1
bnun(x , t) =∞∑
n=1
bn sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
)es solución de la parte homogénea del PVI original, dondelos infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea
∞∑n=1
bn sin(nπx/L) = u(x ,0) = f (x)
= 4 sin(1πx/L) + (−1) sin(3πx/L)
determinamos los valores de bn por inspección directa:
b1 = 4, b3 = −1, bn = 0 para n 6= 1,3.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 28 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) = 4u1(x , t)− u3(x , t)
= 4 sin(πx
L
)cos
(cπtL
)− sin
(3πx
L
)cos
(3cπt
L
).
Interpretaciones:1 Con el actual desplazamiento inicial, la solución obtenida
es la superposición de solo dos modos normales: u1(x , t) yu3(x , t), luego solo oiríamos las frecuencias $1 y $3.
2 Con un desplazamiento inicial más general, pero aúnpartiendo del reposo, la solución sería la superposición deinfinitos modos normales cuyas infinitas frecuencias sonlos múltiplos de la “frecuencia natural” $ = c/2L, pues
$n = n$.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 29 / 58
Separación de variables
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Otra interpretación
La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica
un(x , t) = sin(nπx
L
)cos
(ncπt
L
)= pn(x +ct) +qn(x−ct),
donde pn(x) = qn(x) = sin(nπx/L)/2.Escribimos la superposición de modos normales como
u(x , t) =∞∑
n=1
bnun(x , t) = p(x + ct) + q(x − ct)
donde p(x) = 12∑∞
n=1 bnpn(x) = 12∑∞
n=1 bnqn(x) = q(x).Interpretación: Toda solución es la superposición de dosondas del mismo perfil viajando en sentidos opuestos avelocidad c. La onda de perfil p(x) (respectivamente, q(x))se desplaza hacia la izquierda (respectivamente, derecha).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 30 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 31 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = a t > 0[2a CF] u(L, t) = b t > 0
donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Fijamos temperaturas constantes en ambos extremos;Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 32 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Homogeneización
Sea v(x) = a + (b − a)x/L el único estado estacionarioque cumple las dos CFs.El cambio de variables
w(x , t) = u(x , t)−v(x) = “distancia” al estado estacionario
transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wt = k2wxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] w(x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] w(0, t) = 0 t > 0[2a CF] w(L, t) = 0 t > 0
donde g(x) = f (x)− v(x).Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 33 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
w(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′(t) = wt = k2wxx = k2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′(t)k2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: w(0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (0) = 0.2a CF: w(L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X (L) = 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 34 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Modos normales
Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Dirichlet: X ′′(x) = λX (x), X (0) = X (L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = sin(nπx/L)
}con n ≥ 1.
2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).
Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:
wn(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
), n ≥ 1.
El modo normal wn(x , t) es una onda con n + 1 nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.Los modos altos tienden más rápidamente a cero.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 35 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Fourier (para una temperatura arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
w(x , t) =∞∑
n=1
bnwn(x , t) =∞∑
n=1
bne−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes bn están libres.Al imponer la condición no homogénea
∞∑n=1
bn sin(nπx
L
)= w(x ,0) = g(x), x ∈ [0,L],
vemos que bn son los coeficientes del desarrollo deFourier en senos de g(x) en el intervalo [0,L], luego
bn =2L
∫ L
0g(x) sin
(nπxL
)dx , n ≥ 1.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 36 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) = v(x) + w(x , t) = v(x) +∑∞
n=1 bnwn(x , t)
= a +b − a
Lx +
∞∑n=1
bne−n2k2π2t/L2sin(nπx
L
).
Como limt→+∞wn(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que
limt→+∞
u(x , t) = v(x) = a + (b − a)x/L.
Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al único estado estacionario
que cumple las dos CFs constantes.2 La pared tiende al estado estacionario más rápido cuando
es más delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 37 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Dirichlet constantes
Fourier (para una temperatura concreta)
Si la temperatura inicial es f (x) = x/L + v(x), entonces
g(x) = f (x)− v(x) = x/L.
Integrando por partes obtenemos los anteriorescoeficientes de Fourier
bn =2L2
∫ L
0x sin
(nπxL
)dx =
2(−1)n+1
nπ, n ≥ 1.
Por tanto, la solución final es
u(x , t) = a+b − a
Lx+
2π
∞∑n=1
(−1)n+1
ne−n2k2π2t/L2
sin(nπx
L
).
La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 38 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 39 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Descripción del PVI
Consideramos el PVI de calor 1D[EDP] ut = k2uxx x ∈ (0,L) t > 0[CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[1a CF] ux (0, t) = 0 t > 0[2a CF] ux (L, t) = 0 t > 0
donde:L > 0 es el espesor de la “pared infinita”;k2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) es una temperatura inicial arbitraria;Aislamos térmicamente la pared del medio por completo;La única ecuación no homogénea está en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 40 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
u(x , t) = X (x)T (t)
de la parte homogénea del PVI original.O sea, imponemos que la función u(x , t) = X (x)T (t) 6≡ 0cumpla las tres ecuaciones que están en negro:
EDP: X (x)T ′(t) = ut = k2uxx = k2X ′′(x)T (t), luego
X ′′(x)
X (x)=
T ′(t)k2T (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el factor k2 en la segunda fracción.]1a CF: ux (0, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(0) = 0.2a CF: ux (L, t) = 0 para todo t > 0⇒ X ′(L) = 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 41 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Modos normales
Al separar las cuatro ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable x y un 2o problema en la variable t .PVF Neumann: X ′′(x) = λX (x), X ′(0) = X ′(L) = 0.
VAPs: λn = −(nπ/L)2
FUPs: Xn(x) = cos(nπx/L)
}con n ≥ 0.
2o problema: T ′(t) = λk2T (t) = −(nkπL )2T (t).
Soluciones: Tn(t) = exp(−n2k2π2t/L2), con n ≥ 1.Modos normales:
un(x , t) = Xn(x)Tn(t) = e−n2k2π2t/L2cos(nπx/L), n ≥ 0.
El modo normal u0(x , t) ≡ 1 es constante.El modo normal un(x , t), n ≥ 1, es una onda con n nodoscuya amplitud tiende a cero cuando t → +∞.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 42 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (para una temperatura arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
u(x , t) = a0u0(x , t)/2 +∑∞
n=1 anun(x , t)
= a0/2 +∑∞
n=1 ane−n2k2π2t/L2cos
(nπxL
)es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes an están libres.Al imponer la condición no homogénea
a0/2 +∑∞
n=1 an cos(nπx
L
)= u(x ,0) = f (x), x ∈ [0,L],
vemos que an son los coeficientes del desarrollo deFourier en cosenos de f (x) en el intervalo [0,L], luego
an =2L
∫ L
0f (x) cos
(nπxL
)dx , n ≥ 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 43 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Solución & interpretaciones
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) =a0
2+∞∑
n=1
ane−n2k2π2t/L2cos
(nπxL
).
Como limt→+∞ un(x , t) = 0 para todo n ≥ 1, vemos que
limt→+∞
u(x , t) =a0
2=
1L
∫ L
0f (x)dx = f .
Interpretaciones:1 La temperatura siempre tiende al promedio f de la
temperatura inicial f (x).2 La pared tiende al promedio más rápido cuando es más
delgada (L pequeña) o más conductiva (k2 grande).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 44 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Un “flashback”
Calculamos el promedio en [0,L] de los modos normales:
u0(t) :=1L
∫ L
0u0(x , t)dx =
1L
∫ L
0dx = 1,
un(t) :=1L
∫ L
0un(x , t)dx =
e−n2k2π2t/L2
L
∫ L
0cos
(nπxL
)dx = 0.
El promedio de u(x , t) = a02 u0(x , t) +
∑∞n≥1 un(x , t) es:
u(t) =1L
∫ L
0u(x , t)dx =
a0
2u0(t) +
∞∑n≥1
anun(t) =a0
2= f .
Por tanto, u(t) ≡ f se mantiene constante, como ya vimosal estudiar el flujo de calor en la página 14, pues nuestrasdos CFs cumplen ux (0, t) = ux (L, t).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 45 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (por inspección directa)
Supongamos que la temperatura inicial es
f (x) = 5 cos2(2πx/L) =52
+52
cos(4πx/L).
Al imponer la condición no homogénea
a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx/L) = u(x ,0) = f (x) =52
+52
cos(4πx/L)
determinamos los valores de an por inspección directa:
a0 = 5, a4 = 5/2, an = 0 para n 6= 0,4.
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , t) =52
+52
e−16k2π2t/L2cos
(4πx
L
).
![Page 46: Ecuaciones en Derivadas Parciales · Ecuaciones en Derivadas Parciales 2/58 Tres ecuaciones importantes Índice 1 Tres ecuaciones importantes 2 Condiciones iniciales y de frontera](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022033121/5ead144c900347182d4fec36/html5/thumbnails/46.jpg)
Ecuaciones en Derivadas Parciales 46 / 58
Separación de variables
Calor 1D + CF Neumann homogéneas
Fourier (para una temperatura concreta)
Advertencia: Si la temperatura inicial es f (x) = sin(πx/L),no vemos los coeficientes an del desarrollo de Fourier encosenos por inspección directa.La fórmula 2 sinα cosβ = sin(α + β) + sin(α− β) implica
an =2L
∫ L
0sin(πx
L
)cos
(nπxL
)dx =
{0, n impar,−4
(n2−1)π , n par.
Por tanto, la solución final es
u(x , t) =2π− 4π
∞∑j=1
14j2 − 1
e−4j2k2π2t/L2cos
(2jπx
L
).
La serie es absolutamente convergente ∀x ∈ [0,L], ∀t > 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 47 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 48 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Descripción del PVI
Consideramos la ecuación de Poisson en un rectángulo:[EDP] uxx + uyy = 2y x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] u(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] u(x ,2π) = 2πx2 x ∈ (0, π)[3a CF] u(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] u(π, y) = f (y) y ∈ (0,2π)
donde:R = [0, π]× [0,2π] es el rectángulo;Fijamos el valor de la función incógnita u(x , y) en loscuatro lados de R, luego tenemos cuatro CFs de tipoDirichlet.f (y) es una CF arbitraria.Las tres ecuaciones no homogéneas están en rojo.
![Page 49: Ecuaciones en Derivadas Parciales · Ecuaciones en Derivadas Parciales 2/58 Tres ecuaciones importantes Índice 1 Tres ecuaciones importantes 2 Condiciones iniciales y de frontera](https://reader030.vdocuments.co/reader030/viewer/2022033121/5ead144c900347182d4fec36/html5/thumbnails/49.jpg)
Ecuaciones en Derivadas Parciales 49 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Homogeneización
La función de variables separadas v(x , y) = x2y cumple la[EDP], [1a CF], [2a CF] y [3a CF].El cambio de variables
w(x , y) = u(x , y)− v(x , y)
transforma el PVI original en el PVI homogeneizado[EDP] wxx + wyy = 0 x ∈ (0, π) y ∈ (0,2π)[1a CF] w(x ,0) = 0 x ∈ (0, π)[2a CF] w(x ,2π) = 0 x ∈ (0, π)[3a CF] w(0, y) = 0 y ∈ (0,2π)[4a CF] w(π, y) = g(y) y ∈ (0,2π)
donde g(y) = f (y)− v(π, y) = f (y)− π2y .Importante: El PVI transformado tiene una única ecuaciónno homogénea, marcada en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 50 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Separación de variables
Buscamos soluciones no triviales de la forma
w(x , y) = X (x)Y (y)
de la parte homogénea del PVI transformado.O sea, imponemos que la función w(x , y) = X (x)Y (y) 6≡ 0cumpla las cuatro ecuaciones que están en negro:
EDP: X ′′(x)Y (y) + X (x)Y ′′(y) = wxx + wyy = 0, luego
−X ′′(x)
X (x)=
Y ′′(t)Y (t)
= λ ∈ R.
[Es mejor poner el signo menos en la primera fracción.]1a CF: w(x ,0) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (0) = 0.2a CF: w(x ,2π) = 0 para todo x ∈ (0, π)⇒ Y (2π) = 0.3a CF: w(0, y) = 0 para todo y ∈ (0,2π)⇒ X (0) = 0.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 51 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Modos normales
Al separar las cinco ecuaciones anteriores obtenemos unPVF en la variable y y un 2o problema en la variable x .PVF Dirichlet: Y ′′(y) = λY (y), Y (0) = Y (2π) = 0.
VAPs: λn = −n2/4FUPs: Yn(y) = sin(ny/2)
}con n ≥ 1.
2o problema: X ′′(x)− n2
4 X (y) = X ′′(x) + λX (x) = 0, juntoa la condición X (0) = 0.Soluciones: Xn(x) = sinh(nx/2), con n ≥ 1.[También podría ser Xn(x) = enx/2 − e−nx/2, con n ≥ 1.]Modos normales:
wn(x , y) = Xn(x)Yn(y) = sinh(nx/2) sin(ny/2), n ≥ 1.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 52 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (para una CF arbitraria)
La superposición de los infinitos modos normales
w(x , y) =∞∑
n=1
βnwn(x , y) =∞∑
n=1
βn sinh(nx/2) sin(ny/2)
es solución de la parte homogénea del PVI transformado,donde los infinitos coeficientes βn están libres.Al imponer la condición no homogénea∞∑
n=1
βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y), y ∈ [0,2π],
vemos que bn = βn sinh(nπ/2) son los coeficientes deldesarrollo de Fourier en senos de g(y) en [0,2π], luego
βn sinh(nπ/2) = bn =1π
∫ 2π
0g(y) sin(ny/2)dy , n ≥ 1.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 53 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (por inspección directa)
Si f (y) = π2y − 5 sin(3y), entonces
g(y) = f (y)− π2y = −5 sin(3y).
Al imponer la condición no homogénea∞∑
n=1
βn sinh(nπ/2) sin(ny/2) = w(π, y) = g(y) = −5 sin(3y)
determinamos los valores de βn por inspección directa:
β6 =−5
sinh(3π), βn = 0 para n 6= 6.
Por tanto, la solución del PVI original es
u(x , y) = x2y − 5sinh(3π)
sinh(3x) sin(3y).
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 54 / 58
Separación de variables
Poisson + CF Dirichlet
Fourier (para una CF concreta)
Advertencia: Si f (y) = 1, entonces g(y) = 1− π2y y novemos los coeficientes bn del desarrollo de Fourier ensenos por inspección directa.Integrando por partes obtenemos que
bn =1π
∫ 2π
0(1−π2y) sin
(ny2
)dy = 4π2 (−1)n
n+
2π
1− (−1)n
n.
Por tanto, la solución final es
u(x , y) = x2y +∞∑
n=1
bn
sinh(nπ/2)sinh(nx/2) sin(ny/2).
Nota: La serie es convergente ∀(x , y) ∈ R, pero no esabsolutamente convergente cuando x = π.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 55 / 58
Separación de variables
Otros problemas propuestos
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 56 / 58
Separación de variables
Otros problemas propuestos
Ondas 1D + CF Dirichlet homogéneas
Consideramos el PVI de la cuerda vibrante[EDP] utt = c2uxx x ∈ (0,L) t ∈ R[1a CI] u(x ,0) = f (x) x ∈ (0,L)[2a CI] ut (x ,0) = g(x) x ∈ (0,L)[1a CF] u(0, t) = 0 t ∈ R[2a CF] u(L, t) = 0 t ∈ R
donde:L > 0 es la longitud de la cuerda;c2 > 0 es un parámetro que depende del material;f (x) ≡ 0 es el desplazamiento inicial (cuerda en equilibrio);g(x) es una velocidad inicial arbitraria;Fijamos u = 0 en ambos extremos (como en una guitarra);La única ecuación no homogénea está en rojo.
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 57 / 58
Desarrollos de Fourier
Índice
1 Tres ecuaciones importantes
2 Condiciones iniciales y de frontera
3 La cuerda vibrante infinita
4 VAPs & FUPs de PVFs lineales homogéneos de 2o orden
5 Separación de variablesOndas 1D + CF Dirichlet homogéneasCalor 1D + CF Dirichlet constantesCalor 1D + CF Neumann homogéneasPoisson + CF DirichletOtros problemas propuestos
6 Desarrollos de Fourier
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Ecuaciones en Derivadas Parciales 58 / 58
Desarrollos de Fourier
Fourier completo: El desarrollo de f : [−L,L]→ R es
f (x) ∼ a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx
L
)+ bn sin
(nπxL
),
an =1L
∫ L
−Lf (x) cos
(nπxL
)dx , bn =
1L
∫ L
−Lf (x) sin
(nπxL
)dx .
Fourier en cosenos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es
f (x) ∼ a0
2+∞∑
n=1
an cos(nπx
L
), an =
2L
∫ L
0f (x) cos
(nπxL
)dx .
Fourier en senos: El desarrollo de f : [0,L]→ R es
f (x) ∼∞∑
n=1
bn sin(nπx
L
), bn =
2L
∫ L
0f (x) sin
(nπxL
)dx .
En los dos primeros casos, a0/2 = f = promedio de f .