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TrabajoFinalEcuacionesDiferenciales
Ordinarias
SeminariodeEcuacionesDiferencialesOrdinarias
FacundoRamón
RESUMEN
ResolucióndeunsistemadeecuacionesdiferencialesdeprimerordenpormétododeRungeKuttade4toordenconSoftwareMatLabR2010a
UniversidadNacionaldeTresdeFebrero
IngenieríadeSonido
2doCuatrimestre2011
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ObjetivoElobjetivodeltrabajoesobtenerelvalordelasfunciones!!(!)e!!(!)en! = 0.5
partiendodelsiguientesistemadeecuacionesdiferencialesordinariasdeprimer
ordenconvaloresiniciales.
!!! !
!"= −20!! + 10!! + 100
!!! !
!"= 10!! − 20!!
!! 0 = !! 0 = 0
(1)
Querespondealcomportamientodelacorrientedelsiguientecircuito.
E=100[v],R=10[Ω]yL=1[h].
DesarrollodelcódigoSeutlizóelmétodoRungeKuttade4toorden.Primeroserealizóuncódigosimple
con un únicoloop for que resuelve el sistema y luego se lo comparó con lafunciónODE45delalibreríadeMatLab.
Elprimercódigodefineenlavariablehelpasodeladiscretización,yluegodefine
elvalorinicialdelosvectoresi1 ei3segúnlainformacióndelenunciado.Los
vectoresi1ei3seránlosvaloresdelacorrienteenfuncióndeltiempoalfinalizar
elalgoritmo.Posteriormente,ingresaenunloopforenelquesecalculanlosk1,
k2,k3yk4delasfuncionesi1ei3,yseobtieneelsiguientevalordei1ei3,
habiendodadosaltosdefinidosporh.Deestamanera,amedidaqueelloop for
avanzasegeneranlosvectoresi1 ei3quecontienen,enlaposición0.5/h,el
valorde!!(!)e!!(!)en! = 0.5segundos.
Elsegundocódigoprecisalageneracióndeunafunción,enestecasollamadafun,enlacualsedeclaranelsistemadeecuacionesquesequiereresolverylosvalores
inicialesdelproblemay,pormediodelafunciónODE45,seobtienenlosvectores
deseados.
Enamboscasossegraficalasolución.Seeligióunintervaloderesoluciónde0a1
segundoenamboscasos.
Yporúltimo,sesolicitaelvalordelasfuncionesfunciones!!(!)e!!(!)en! = 0.5
paracomprarlosresultadosentreambosmétodos.
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Códigosyresultados
Código1%% Runge Kutta de Orden 4 h=0.01; %Paso
i1(1)=0; %Condición inicial para i1 i3(1)=0; %Condición inicial para i2
%Generación de los vectores i1 e i3 for i=1:1/h
k11=-20*i1(i)+10*i3(i)+100; k31=10*i1(i)-20*i3(i);
k12=-20*(i1(i)+1/2*k11*h)+10*(i3(i)+1/2*k31*h)+100; k32=10*(i1(i)+1/2*k11*h)-20*(i3(i)+1/2*k31*h);
k13=-20*(i1(i)+k12*h)+10*(i3(i)+k32*h)+100; k33=10*(i1(i)+k12*h)-20*(i3(i)+k32*h);
k14=-20*(i1(i)+k13*h)+10*(i3(i)+k33*h)+100; k34=10*(i1(i)+k13*h)-20*(i3(i)+k33*h);
i1(i+1)=i1(i)+(h/6)*(k11+2*k12+2*k13+k14); i3(i+1)=i3(i)+(h/6)*(k31+2*k32+2*k33+k34);
end
%Ploteo y=0:h:1; %Vector de referencia plot(y,i1,'b-',y,i3,'r-.') grid
%Resultados
valor1=i1(0.5/h) valor2=i3(0.5/h)
Elcódigoentregalossiguientesvalores.
valor1 = 6.6263valor2 = 3.2929
Esdecir,!! 0.5 = 6.6263e !! 0.5 = 3.2929.Yseobtieneelsiguientegráfico.
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Código2%%Función para ODE45 function dy=fun(t,y)
dy=zeros(2,1); dy(1)=-20.*y(1)+10.*y(2)+100; dy(2)=10.*y(1)-20.*y(2);
%%Resolución con funciones de MatLab error=odeset('RelTol',1e-4);
[T,Y]=ode45(@fun,[0 1],[0 0],error);
plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.') grid
k=0; for i=1:length(T)
if T(i)<=0.5 k=k+1
end
end Y(k+1,:)
Elcódigoentregalossiguientesvalores:
valor1 = 6.6345
valor2 = 3.3012
Muysimilaresalosentregadosporelcódigo1.Ytambiéndevuelveungráfico
similar.
ComprobaciónanalíticaDadoquela fuentedelcircuitoesde tensióncontinua, los inductoresnoofrecen
resitenciateóricaalpasodelacorriente,porlotantolacorrientefinaldelcircuito
(superadoelestadoestacionario) dependeúnicamentedelvoltajede lafuentey
losvaloresdelasresistencias.
Laresistenciatotaldeestecircuitoesde15[Ω]y latensión100[v],entoncespor
Ley de Ohm, la corriente total del circuito es de 6,66[A]. Por Ley de Kirchhoff
tenemos que!! = !! + !! y, como ambas ramas tienen iguales resistencias, se
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deduceque!! =!,!! !
!= 3,33[ !].En0.5segundoselcircuitoprácticamentellegaa
su estado estacionario y las corrientes semantienen en esos valores hasta que
varíelafuente.
BibliografíaMatLabR2010a,MatlabGettingStartedGuide,TheMathworksInc.2010
Seminario de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Material y apuntes del
seminario,UNTREF,Ing.DeSonido2011
DennisG.Zill,Ecuacuinesdiferencialesconaplicacionesdemodelado6taedición,
Ed.Thomson,1997
Tabladecontenido
Objetivo....................................................................................................................1
Desarrollodelcódigo.................................................................................................1
Códigosyresultados..................................................................................................2Código1........................................................... .................................................................. ..........................................2Código2........................................................... .................................................................. ..........................................3
Comprobaciónanalítica.............................................................................................3
Bibliografía................................................................................................................4