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ECUACIONES DE LA RECTAԦ
Para determinar la ecuación de una recta son necesarios dos elementos.
Si conocemos un punto de la recta y un vector director Ԧ podremos obtener las siguientes ecuaciones de la recta…
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ECUACIONES DE LA RECTA
ECUACIÓN VECTORIAL
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ECUACIÓN CONTINUA
Ԧ
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Ԧ
Las coordenadas del punto también son las coordenadas del vector con origen en el origen decoordenadas…
… y extremo en el punto . Este vector se denomina:
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ԦԦ
El vector director Ԧ tiene coordenadas (
…que son precisamente las coordenadas del punto extremo del vector equipolente aԦ con origen en el
origen de coordenadas.
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DATOS
Ԧ
Ԧ
A partir de estos datos queremos obtener las coordenadas de cualquier punto de la recta.
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Ԧ
Ԧ
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Ԧ
Ԧ
Para ello nos fijamos que las coordenadas ( , ) del punto son
también las coordenadas de su vector de posición .
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Ԧ
Ԧ
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Ԧ
Ԧ
Queremos determinar las coordenadas del a partir de las coordenadas
de los vectores y Ԧ utilizando las operaciones con vectores.
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Ԧ
Ԧ
Podemos considerar el vector equipolente a Ԧ que tiene su origen en el punto y multiplicarlo por un número real λ para que su extremo se sitúe sobre el punto
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Ԧ
Ԧ
λ ∙ Ԧ
λ ∙
λ ∙
λ ∈ ℝ
De este modo tenemos que la suma + λ ∙ Ԧ es precisamente el vector
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Ԧ
Ԧλ ∙
λ ∙
λ ∈ ℝ0 ∈ ℝ
Por ejemplo, si el escalar λ = 0 Tenemos que el punto coincide con el punto .
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Ԧ
λ ∈ ℝ∈ ℝ0 > 𝜆
Ԧλ ∙
λ ∙
Si multiplicamos por un escalar λ < 0 obtenemos los puntos de la rectasituados al otro lado del punto .
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
λ ∙
𝜆 ∈ ℝ
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
λ ∙𝜆 ∈ ℝ
λ ∙
La ecuación vectorial de la recta podemos verla en coordenadas y realizar las operaciones del miembro derecho:
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
𝜆 ∈ ℝλ ∙ λ ∙
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
λ ∙ λ ∙𝜆 ∈ ℝ
De este modo obtenemos una igualdad entre dos vectores que equivale a que ambas coordenadas son iguales entre si.
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
λ ∙
λ ∙𝜆 ∈ ℝ
Llegamos a dos ecuaciones que también dependen del parámetro 𝜆 ∈ ℝ
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝλ ∙
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
λ ∙Podemos ahora tomar la primera de estas ecuaciones y despejar el parámetro λ .
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
λ- .. y obtenemos λ
igualado a un cociente
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
λ-
λ ∙
Podemos despejar el parámetro λtambién en la segunda ecuación.
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
λ-
λ-
Y tendríamos que el parámetro λ es igual a dos cocientes…
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ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
λ-
λ-
…Y estos dos cocientes han de ser iguales dando lugar a la siguiente ecuación:
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ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Ԧλ ∙
ECUACIÓNES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
λ ∙λ ∙ 𝜆 ∈ ℝ
--Todos los puntos( , ) que satisfagan esta ecuación son puntos de la recta.
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Ԧ
EJEMPLOPodéis repetir los pasos que hemos dado en forma teórica con el siguiente ejemplo que dejamos como ejercicio:
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Ԧ
Ԧλ ∙EJEMPLO
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Ԧ
λ ∙EJEMPLO
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ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙ λ ∈ ℝ
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ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙λ ∙
λ ∙ λ ∈ ℝ
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λ ∙ λ ∙
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙ λ ∈ ℝ
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λ ∙ λ ∙
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙ λ ∈ ℝ
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λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
∙
∙
λ ∈ ℝ
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝλ
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ-
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA
λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ-
λ
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA
λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ-
λ
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA
λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ-
λ-
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ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA
λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
λ-
λ-
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ECUACIÓNCONTINUADE LA RECTA
ECUACIÓNESPARAMÉTRICASDE LA RECTA
λ
λ
ECUACIÓNVECTORIALDE LA RECTA
λ ∙
λ ∈ ℝ
--