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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
Mg. Valverde Sandoval, Oscar
APLICACIONES GEOMÉTRICAS
CÁLCULO DE LOS SEGMENTOS
0 0 0 0 0
0
1: ' :
'T y y f x x x N y y x x
f x
000 0
0 0
0 0 0 0 0 0
: 0 ' '
: 0 x= ' '
f xyT Si y x x x
f x f x
N Si y y f x x f x f x x
0
0
0
0 0 0
;0'
C= ' ;0
f xA x
f x
f x f x x
20
0 0
0
2
0 0 0
:
t=d ; 1 ''
n=d ; 1 '
Por consiguiente
f xA P f x
f x
C P f x f x
0
t
0
n 0 0
:
S =d ;'
S =d ; '
Además
f xA B
f x
B C f x f x
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
3
2
EJEMPLO 1. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la normal en el
punto 2;1 de la curva descrita por:
1
3 1
12 2
tx
t
yt t
3
2
SOLUCIÓN:
12.......... 1
Hallamos el valor de t resolviendo las ecuaciones: 3 1
1 1.......... 22 2
t
t
t t
3
De la ecuación 2 , se obtiene : 1 , solo 1 satisface 14
t t t
71
7225 10
1
dydy dt
dxdx
dt
0 0
0 0
7:
10Por consiguiente :
10:
7
T y y x x
N y y x x
2 2
1;2 12
dy dy
dx y dx
2 20
0
0
2 2
0 0
0
t
0
n 0 0
2t= 1 ' 1 1 2 2
' 1
n= 1 ' 2 1 1 2 2
2S 2
' 1
S ' 2 1 2
f xf x
f x
f x f x
f x
f x
f x f x
; 1 cos en cada ;x t a t sen t y t a t x y
SOLUCIÓN: Calculamos y'
1 cos1 cos
dyt asen t sen tdy dtt t
dxdx ta tt
dt
2
2 1Tenemos: 1+ y' 1
1 cos
2
sen tt
t tsen
2
Ahora la longitud del segmento de tangente es:
1 cosy 1t= 1+ y' 2 tan
y' 2 2
21 cos
a tt t tt asen
sen t ttsen
t
2
Y la longitud del segmento de normal es:
1n= y 1+ y' 1 cos 2
2
2
tt t a t asen
tsen
2
t
La longitud de la subtangente es:
1 cosyS = 2 tan
y' 2 2
1 cos
a tt t tasen
sen tt
t
n
La longitud de la subnormal es:
yS = 1 cos 2
y' 1 cos
t sen ta t asen t
t t
0 0 0
00
0
2 2 2
0 0 0 0
Vamos a calcular la longitud del segmento normal
a la hiperbola en el punto: P = x ;y
Por derivación implícita se obtiene : 2 2 ' 0
Por lo tanto : '
Luego : 1 '
x yy
xy
y
n y y x y
0 0 0
2 2
0 0 0
Pero la distancia del punto P = x ;y al origen es
precisamente :
P ; 0;0d x y
2 2
0 0 0Por consiguiente: n P ; 0;0d x y
Determinar las trayectorias ortogonales a la
familia de curvas
Primero de la ecuación dada se obtiene:
Luego se deriva la ecuación dada en (1):
Entonces según la condición de perpendicularidad, para la nueva familia de curvas se tiene:
TRAYECTORIAS ORTOGONALES
2.... 1y Cx
2, 0
yC x
x
2' 2 ' 2 2
y yy Cx y x
x x
'2
xy
y
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
Quizás uno de los problemas sobre los cuales se
han realizados mas estudios son aquellos que
involucran la predicción del crecimiento o
decrecimiento de una población. Este tipo de
problema se consigue comúnmente en las
ciencias de la salud, con el estudio de
crecimiento de bacterias, células, plantas, entre
otros, pero también los demógrafos al estudiar la
cantidad de población en una zona determinada.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE.
MEZCLAS
TRAYECTORIAS ISOGONALES