Determine la respuesta de un sistema sin amortiguación, sometido a la condición forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:

Integral de Duhamel (Ejemplo No. 1)

forzante mostrada en la figura. Se pide la respuesta en los siguientes intervalos:

πωτ 20) <<aP

B

2π/ω τ

πωτπ 42) <<bπωτ 4) >c

4π/ω

βττπω

==2BP ωπτ 20 <<

Ecuación de la recta

En el intervalo

En el intervalo( )pendiente

Bπωβ

2=v( )βττ

πω

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= BBBP 2

212 ωπτωπ 42 <<

( )∫ −=t

dtPsenmk

x0

1 ττ

La respuesta se calcula utilizando la siguiente expresión, que es la integral de Duhamel

( )pendiente0=P ωπτ 2≥En el intervalo

∫mk 0

( ) ( ) ( )

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+−

=−= ∫

2

020

cos

ωβ

ωτωτ

ωτωβτττβ

tsent

ttsenmk

dtsenmk

xt

t

a) Primer intervalo

⎟⎠

⎜⎝ 2ωωmk

Sustituyendo la expresión para la pendiente y simplificando se obtiene:

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

πω

πω

22tsent

kBx ωπτ 20 <<para el intervalov

b) Segundo intervalo

( ) ( ) ( )∫∫ −−+−=t

dtsenBdtsenx ωπ

ττβττττβ 221( ) ( ) ( )∫∫ + dtsenB

mkdtsen

mkx

ωπ

ττβττττ20

2

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

πω

πω

222 tsent

kBx para el intervalo ωπτωπ 42 <<

c) Tercer intervalo

( ) ( ) ( )∫∫ −−+−= dtsenBmk

dtsenmk

x ωπ

ωπ

ωπ

ττβττττβ 4

2

2

0

1

21

( ) ( )∫ −+t

dtsenmk ω

πττ

401

0=x ωπτ 2≥para el intervalo