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El numero real y complejo
Dpto. Matematica AplicadaUniversidad de Malaga
M. Atencia & I. P. Cabrera El numero real y complejo
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Sistema de numeros reales
Numeros naturales N = {0, 1, 2, 3, . . .}Numeros enteros Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Numeros racionales Q =
{
p
q: p, q ∈ Z, con q 6= 0
}
Numeros irracionales R−Q
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Operaciones en R
(R,+) es un grupo abeliano
1 Asociativa:a + (b + c) = (a + b) + c para cualesquiera a, b, c ∈ R
2 Elemento neutro: existe un elemento 0 ∈ R tal que0 + x = x = x + 0 para todo x ∈ R.
3 Elemento opuesto: para cada x ∈ R existe −x ∈ R tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
4 Conmutativa: a + b = b + a para cualesquiera a, b ∈ R
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Operaciones en R
(R, ·) es un grupo abeliano
1 Asociativa: a(bc) = (ab)c para cualesquiera a, b, c ∈ R
2 Elemento neutro: existe 1 ∈ R tal que1x = x = x1 para todo x ∈ R.
3 Existencia de inverso: para cada 0 6= x ∈ R existe x−1 ∈ R talque xx−1 = 1 = x−1x .
4 Conmutativa: ab = ba para cualesquiera a, b ∈ R
Propiedad distributiva:
a(b + c) = ab + ac para cualesquiera a, b, c ∈ R
(R,+, ·) es un cuerpo.
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R es un cuerpo totalmente ordenado
Dados dos numeros reales cualesquiera a, b ∈ R, se verifica uno ysolo uno de los casos siguientes:
a < b b < a a = b
Propiedades:
Si a < b entonces a + c < b + c para todo c ∈ R.
Si a < b y c > 0, entonces ac < bc .
Si a < b y c < 0, entonces ac > bc .
Si a < b y c < d , entonces a+ c < b + d .
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Intervalos
Dados dos numeros reales a, b con a ≤ b se definen
Intervalo abierto de extremos a y b:(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}Intervalo cerrado de extremos a y b:[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}Intervalo semiabierto o semicerrado de extremos a y b:(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}Semirrectas abiertas:(a,+∞) = {x ∈ R : a < x} (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}Semirrectas cerradas:[a,+∞) = {x ∈ R : a ≤ x} (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
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Valor absoluto de un numero real
Dado un numero real x se define el valor absoluto de x como elmaximo de {x ,−x} y se le designa por |x |. Es decir,
|x | ={
x si x ≥ 0−x si x < 0
Propiedades:
|x | ≥ 0 para todo x ∈ R.
|x | = 0 si y solo si x = 0.
|x | = | − x | para todo x ∈ R.
−|x | ≤ x ≤ |x | para todo x ∈ R.
|x | ≤ ε si y solo si −ε ≤ x ≤ ε.
|x + y | ≤ |x |+ |y | (desigualdad triangular) para cualesquiera x , y ∈R.
|xy | = |x | |y | para cualesquiera x , y ∈R.
| |x | − |y | | ≤ |x − y | para cualesquiera x , y ∈R.
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Motivacion para la definicion de los complejos
La idea de la construccion de los numeros complejos es ampliar elcuerpo R de los numeros reales a un conjunto que verifique las dospropiedades siguientes:
1 Contiene a R
2 existe un elemento,i , que cumple que i2 es igual al numeroreal −1, es decir, la ecuacion x2 + 1 = 0 tiene solucion.
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Construccion de los numeros complejos
Una vez definida la unidad imaginaria i como el elemento quecumple i2 = −1 o abreviadamente i =
√−1, se construye el
conjunto siguiente
C = {a + bi : a, b ∈ R}
en el que se definen las operaciones
suma (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i y
producto (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
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Parte real e imaginaria
Dado un numero complejo z = a + bi ∈ C, se dice que
a es la parte real de z y
b es la parte imaginaria de z .
Los numeros reales estan contenidos en los complejos pues seidentifican con los numeros complejos cuya parte imaginariaes cero;
Un numero complejo cuya parte real es cero se llamaimaginario puro.
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Parte real e imaginaria
Dado un numero complejo z = a + bi ∈ C, se dice que
a es la parte real de z y
b es la parte imaginaria de z .
Los numeros reales estan contenidos en los complejos pues seidentifican con los numeros complejos cuya parte imaginariaes cero;
Un numero complejo cuya parte real es cero se llamaimaginario puro.
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Forma binomica de un numero complejo
Producto de un numero real por un complejo
λ(a + bi) = λa + λbi
Es posible establecer una correspondencia biunıvoca entre losnumeros complejos y los puntos del plano. Masconcretamente,
a + bi ≡ (a, b)
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Conjugado de un numero complejo
Dado un numero complejo z = a+ bi , se define el conjugado de z
como el numero complejo z = a − bi
Propiedades
z = z
z + w = z + w
z · w = z · wz + z = 2Re(z)
z − z = 2 i Im(z)
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Conjugado de un numero complejo
Dado un numero complejo z = a+ bi , se define el conjugado de z
como el numero complejo z = a − bi
Propiedades
z = z
z + w = z + w
z · w = z · wz + z = 2Re(z)
z − z = 2 i Im(z)
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Division de numeros complejos
Inverso de un numero complejoDado z = a + bi , se verifica que z · z = a2 + b2 por tanto, se
define el inverso de z como1
z=
z
a2 + b2
Division de numeros complejos
Dados z = a+ bi ,w = c + di se definez
wdel siguiente modo:
z
w=
z · ww · w =
ac − bd
c2 + d2+ i
ad + bc
c2 + d2
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Division de numeros complejos
Inverso de un numero complejoDado z = a + bi , se verifica que z · z = a2 + b2 por tanto, se
define el inverso de z como1
z=
z
a2 + b2
Division de numeros complejos
Dados z = a+ bi ,w = c + di se definez
wdel siguiente modo:
z
w=
z · ww · w =
ac − bd
c2 + d2+ i
ad + bc
c2 + d2
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Forma polar de un numero complejo
El modulo de un numero complejo z = a + bi es la distanciadel punto del plano P = (a, b) al origen de coordenadas O, esdecir | z |=
√a2 + b2
El argumento de z es el angulo α que forma el vector−→OP
con el eje de abcisas.
α =
arctg(b/a) si a > 0±π/2 si a = 0
arctg(b/a) + π si a < 0, b ≥ 0arctg(b/a)− π si a < 0, b < 0
Forma polar: z =| z | (cosα+ isenα), abreviadamente, zα.
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Forma polar de un numero complejo
El modulo de un numero complejo z = a + bi es la distanciadel punto del plano P = (a, b) al origen de coordenadas O, esdecir | z |=
√a2 + b2
El argumento de z es el angulo α que forma el vector−→OP
con el eje de abcisas.
α =
arctg(b/a) si a > 0±π/2 si a = 0
arctg(b/a) + π si a < 0, b ≥ 0arctg(b/a)− π si a < 0, b < 0
Forma polar: z =| z | (cosα+ isenα), abreviadamente, zα.
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Forma exponencial de un numero complejo
Formula de Euler
eiα = cosα+ isenα
Forma exponencial de un numero complejo
z =| z | eiα
La forma exponencial permite simplificar las operacionesproducto y cociente de numeros complejos, pues se deducende las propiedades de las potencias.
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Formula de Euler
eiα = cosα+ isenα
Forma exponencial de un numero complejo
z =| z | eiα
La forma exponencial permite simplificar las operacionesproducto y cociente de numeros complejos, pues se deducende las propiedades de las potencias.
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Formula de Euler
eiα = cosα+ isenα
Forma exponencial de un numero complejo
z =| z | eiα
La forma exponencial permite simplificar las operacionesproducto y cociente de numeros complejos, pues se deducende las propiedades de las potencias.
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Raıces de numeros complejos
Se dice que w es raıs n-esima de z si wn = z . Usando laforma exponencial, se deduce
w = z1/n =| z |1/n eiα
n
Debido a la periodicidad de las razones trigonometricas, cadanumero complejo tiene n raıces n-esimas:
{
| z | 1n(
cos
(
α+ 2kπ
n
)
+ isen
(
α+ 2kπ
n
))
: k = 0, . . . , n − 1
}
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Polinomios. Raıces
Un polinomio de grado n con coeficientes en C es unaexpresion del tipo
Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · · a1x + a0 donde ai ∈ C
Las raıces de un polinomio Pn(x) son las soluciones de laecuacion Pn(x) = 0.
Si a es raız del polinomio Pn(x) , entonces Pn(x) es divisiblepor (x − a). Luego Pn(x) = (x − a)Pn−1(x). donde Pn−1(x)tiene grado n− 1.
Si Pn(x) es divisible por (x − a)k , pero no es divisible por(x − a)k+1, se dice que a tiene multiplicidad k como raız dePn(x).
Una raız simple es la que tiene multiplicidad uno y una raızmultiple la que tiene multiplicidad mayor que uno.
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Teorema fundamental del Algebra
Teorema (fundamental del Algebra)
Todo polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n
tiene n raıces reales o complejas, donde cada raız multiple se
cuenta segun su multiplicidad.
Factorizacion de un polinomio Dado un polinomio Pn(x) deraıces z1, z2, . . . , zk con multiplicidades m1,m2, . . . ,mk ,respectivamente, se tiene que
Pn(x) = an(x − z1)m1 · (x − z2)
m2 · · · (x − zk)mk
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Teorema fundamental del Algebra
Teorema (fundamental del Algebra)
Todo polinomio con coeficientes reales o complejos de grado n
tiene n raıces reales o complejas, donde cada raız multiple se
cuenta segun su multiplicidad.
Factorizacion de un polinomio Dado un polinomio Pn(x) deraıces z1, z2, . . . , zk con multiplicidades m1,m2, . . . ,mk ,respectivamente, se tiene que
Pn(x) = an(x − z1)m1 · (x − z2)
m2 · · · (x − zk)mk
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Ecuaciones con coeficientes reales
Sea Pn(x) = anxn + an−1x
n−1 + · · · a1x + a0 un polinomio concoeficientes reales, es decir, ai ∈ R. Entonces,
si z es raız de Pn(x), el conjugado z tambien es raız y ademastienen la misma multiplicidad.
Como (x − z) · (x − z) = x2 + px + q para p = −2Re(z) yq =| z |, el polinomio admite una descomposicion con factoresreales
Pn(x) = an(x−a1)m1 · · · (x−al )
ml ·(x2+p1x+q1)r1 · · · (x2+psx+qs)
rs
donde a1, a2, . . . , al son las raıces reales del polinomio ypi , qi ∈ R.
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