Dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia
Yamina Esther Páez Fuentes
Pontificia Universidad JaverianaFacultad de Ingeniería
Departamento de ElectrónicaBogotá, Colombia
2020
Dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia
Yamina Esther Páez Fuentes
Trabajo de grado presentado para optar al título de Ingeniero Electrónico
DirectorIng. Manuel Ricardo Pérez Cerquera Ph.D
Pontificia Universidad JaverianaFacultad de Ingeniería
Departamento de ElectrónicaBogotá, Colombia
2020
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Nota de Aceptación
Firma del presidente de jurado
Firma del jurado
Firma del jurado
3
Dedicatoria
Dedico este trabajo de grado primero a Dios, el cual me dio fortaleza y aliento en los momentos de dificultad.A mi madre María Rosa quien me dio vida, educación y consejo. A mi hermano Luis, mi abuela Bernarday mis tías Milena, Mayra y Niscida, que siempre tuvieron amor y paciencia en estos años. A mi director elIng. Manuel Pérez, por apoyarme no solo en esta investigación, sino en mi proceso de vida universitaria. Amis compañeros de estudio, a mis maestros, amigos, personal de laboratorio, seguridad y aseo, por siemprevelar por mi aprendizaje académico y ético, siendo compañía en los momentos de soledad e incertidumbre.Al Gobierno de Colombia y a la Javeriana por brindarme la oportunidad de estudiar becada, sintiendo surespaldo en todos mis pasos.
A todos ellos se los agradezco desde el fondo de mi alma. Para todos ellos hago esta dedicatoria con muchoamor.
Yamina
Financiación: Este trabajo de grado se realiza en el marco del proyecto de investigación Interno “Dosimetríade exposición de radiación de campos electromagnéticos emitidos por estaciones base celulares 3G y 4G”Código SIAP: 9236.
4
Índice general
1 Introducción 121.1 Objetivo general y Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Concepción del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 Implementación en HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3 Implementación en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Marco Teórico 162.1 Caracteristicas de la onda electromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Principios del electromagnétismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Dosimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Tasa de absorción específica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Teoría de Lorentz Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Sección Transversal del Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Estándares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8 Simuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8.1 HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.8.2 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Desarrollo 263.1 Descripción general y Diagrama en bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Modelo análitico: expansión en series de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1 Preprocesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.2 Procesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.3 Postprocesamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Modelo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.1 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.4 Configuración de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.5 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5
3.3.6 Postprocesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Análisis y Resultados 364.1 Resultados implementación en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Resultados modelo en HFSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Análisis y valoración de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Conclusiones 465.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Bibliografía 47
A Anexo 49A.1 Expansión de una onda plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49A.2 Teoría de las series de Mie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A.3 Funciones utlizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53A.4 Campo magnético disperso de esfera conductora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6
Lista de figuras
1.1 Diagrama de flujo para la dosimetría de SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Onda electromagnética en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Sistema de coordenadas polares esféricas centrado en una partícula esférica de radio a . . . . 192.3 Extinción por una colección de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Extinción por una colección de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Discretización por FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Diagrama en bloques general para la dosimetría de SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Comporamiento gráfico función Ricatti-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Comporamiento gráfico función esférica Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Comporamiento gráfico polinomio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Diagrama de flujo de expansión para una onda plana en funciones esféricas . . . . . . . . . 283.6 Campo magnético disperso por una esfera conductora con un radio de 1λ en el plano xz . . . 293.7 Etapas de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8 Declaración de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.9 Mallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.10 Condiciones de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.11 Resultado de los campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.12 Campos electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.13 Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.14 RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.15 Diagrama de estados en la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.16 Modelo computacional no antropomórfico de la cabeza humana cubierta por región de aire . 333.17 Caracteristicas del material de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.18 (a) Vector de polarización y dirección de propagación (b) Coordenadas y ubicación de la
excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.19 Frecuencia de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.20 Refinamiento de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1 Campo electromagnético disperso para una frecuencia de 900 MHz . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Componentes del RCS para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz . . . 374.3 Tiempo de simulación, coeficientes y eficiencia del RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4 Radar Cross Section para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz . . . . 38
7
4.5 Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.6 (a) SAR sobre el modelo no antropomórfico (b) SAR sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . 394.7 RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.8 Expansión de una onda plana extraído de [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.9 Expansión de una onda plana Implementación de expansión de una onda plana realizada en
Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.10 Validación RCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.11 Modelo computacional: esfera de radio 0.143m rodeada por curva circular de 1.43m . . . . . 434.12 Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.13 Modelo computacional: esfera de radio 0.33m con curva circular de 0.23m . . . . . . . . . 444.14 Validación Campo eléctrico disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.15 Validación SAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8
Lista de tablas
1.1 Caracteristicas dielécricas extraídas de [14] [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
9
Lista de símbolos
Símbolos con letras latinas
Símbolo Término Unidad SI Definición
A Área m2 ∫ ∫dxdy
B Inducción magnética T Ecuación 2.3
c Velocidad de la luz en el vacío ms2
1√ε0µ0
−→E Campo eléctrico V
m Ecuación 2.2−→g Aceleración de la gravedad m
s2d2−→rdt2
−→H Campo magnético A
m Ecuación 2.3
I Intensidad de corriente A∫
A−→J ·dA
J Densidad de corriente Am2
IA
l Longitud m DF
q Carga eléctrica C DF
~S Densidad de potencia Wm2 Re
~E× ~H
SAR Tasa de absorción específica W
kg Ecuación 2.7
T Temperatura K DF
t Tiempo s DF
V Volumen m3 ∫dr3
~v Velocidad ms (dr
dt ,rdυ
dt ,dzdt )
W Energía Nm Ecuación 2.38
10
Símbolos con letras griegas
Símbolo Término Unidad SI Definición
ε Permitividad Fm Ecuación 2.2
µ Permeabilidad Hm Ecuación 2.4
λ Longitud de onda m Ecuación 2.1
ΦE Flujo eléctrico V m∫~E ·d~A
ΦM Flujo magnético Wb∫~B ·d~A
ρ Densidad volumétrica de carga Cm3
QV
σ Conductividad Sm
1R
Abreviaturas
Abreviatura Término
DF Dimensión fundamental
FDT D Dominio de tiempo de diferencia
HFSS Simulador de estructura de alta frecuencia
ICNIRP Comisión Intenacional sobre la protección de radiaciones no-ionizantes
PML Caja perfectamente adaptada
RF Radiofrecuencia
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Capítulo 1
Introducción
El aumento desmedido en las tecnologías inalámbricas de telecomunicaciones en los últimos 20 años, hacontribuido a un mayor impacto en el nivel de la exposición no ocupacional de las personas a camposelectromagnéticos en la banda de radiofrecuencia (RF) comprendida desde los 100 kHz en adelante. Según laComisión Internacional sobre la protección de radiaciones no-ionizantes (ICNIRP) la exposición a camposelectromagnéticos en la banda de radiofrecuencia, puede generar una absorción significativa de energíadentro del cuerpo humano provocando un incremento en la temperatura [13].
Tradicionalmente, como forma de ratificación para la tasa de absorción especifica (SAR), se realiza unacombinación de experimentos termográficos y biológicos a través de los llamados “fantasmas” en cámarasanecoicas que consiste en aislar otras fuentes de radiación dejando como único efecto la presencia de unterminal móvil sobre el tejido. Dicho experimento tiene como fin valorar la distribución de energía de RFgenerada por diferentes teléfonos móviles utilizando particularmente un modelo de la cabeza de un adulto[19].
Con el fin de llevar a cabo dosimetría de radiación, en el 2002 se implementó un código numérico de dominiode tiempo de diferencia (FDTD) en una esfera y una rata. Los resultados de esta investigación ofrecen unaconfianza relativamente alta entre la medida de una cámara infrarroja, las series de Mie y la FDTD [12]. Noobstante, existe una gran incógnita sobre cómo validar que la medida realizada sea correcta garantizandoque el método no sea invasivo. Por lo que se lleva a cabo el uso de modelos computacionales, donde partesdel cuerpo son modeladas con sus propiedades dieléctricas junto con las fuentes de difusión para estimarmétricas de medición de la radiación [2] [1].
Este trabajo de grado construye computacionalmente un modelo no antropomórfico de la cabeza humana ylo valida con un modelo analítico para dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia basadoen las series de Mie. Esta investigación tiene en cuenta la norma IEEE Std 1528 del 2013 [7], que especificalos protocolos para la medición de SAR en dispositivos que operan en la frecuencia de 300 MHz a 6 GHz.
El documento presenta en el capítulo 2 una recopilación del marco teórico con los temas más relevantes dela investigación. En el capítulo 3, se realiza la descripción general de los modelos propuestos, así como losdesarrollos realizados de cada una de las partes que componen. Finalmente, en el capítulo 4 se presentan los
12
resultados y análisis obtenidos, teniendo en cuenta la implementación de las series de Mie y la herramientade simulación HFSS.
1.1. Objetivo general y Objetivos específicos
1.1.1. Objetivo general
Validar un modelo de la cabeza humana para dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia,basándose en las series de Mie y el software computacional HFSS.
1.1.2. Objetivos específicos
• Construir un modelo computacional de una esfera que simule una cabeza, para realizar una esti-mación del campo eléctrico y la tasa de absorción especifica (SAR) en el interior.
• Implementar un modelo analítico basándose en las series de Mie para aproximación de campoeléctrico disperso debido a una onda plana en el interior de una esfera.
• Validar el modelo computacional con el modelo analítico para la obtención de campo eléctrico ySAR.
1.2. Metodología
Este trabajo de grado permite validar un modelo no antropomórfico de la cabeza humana, basado en unaimplementación computacional y análitica. El flujo de operación de esta investigación se presenta en elsiguente diagrama:
13
Figura 1.1: Diagrama de flujo para la dosimetría de SAR
1.2.1. Concepción del modelo
Para la construcción de la geometría esférica que caracteriza la cabeza humana, se definió un radio de unalongitud de onda (0.33 m), propiedades dieléctricas que tienen en cuenta el promedio de las cortezas de lacabeza, exposición a la incidencia de una onda plana propagándose en un medio vacío a una frecuencia enla banda de las comunicaciones móviles (900 MHz, 1800 MHz y 2100 MHz). Dichas especificaciones seobservan en la siguiente tabla:
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Elemento Permitividadrelativa
Permeabilidadrelativa
Conductividad[S/m]
Densidad demasa [Kg/m3]
Cerebro 49.4 1.0 12.6 1006
CSF - - - -
Dura 44.4 1.0 0.961 1014
Hueso 11.3 1.0 0.228 1208
Grasa 5.46 1.0 0.0510 811
Piel 41.4 1.0 0.867 1009
Promedio 30.392 1.0 2.9414 1009.6
Tabla 1.1: Caracteristicas dielécricas extraídas de [14] [17]
1.2.2. Implementación en HFSS
Simulación de la cabeza mediante esfera de radio 1λ con propiedades diélectricas (veáse tabla 1.1); expuestaa la incidencia de una onda plana propagandose en dirección z, encerrada por una región de aire con límitede radiación PML (capa perfectamente adaptada) a una frecuencia de 900 MHz.
1.2.3. Implementación en Matlab
Ejecución de las series de Mie (veáse sección 2.5) para la expansión de campo electromagnético de unaesfera de radio λ ante la incidencia de una onda plana a una frecuencia de 900 MHz. Teniendo en cuenta lascondiciones de frontera entre el medio vacío y el material dieléctrico de la esfera (ecuación 2.33 y 2.34).
15
Capítulo 2
Marco Teórico
2.1. Caracteristicas de la onda electromagnética
Las ondas producidas por un campo electromagnético viajan a la velocidad de la luz (3 · 108 m/s) y secaracterizan por su longitud de onda [20]. La longitud de onda (λ ) se define físicamente por la siguienteecuación:
λ =cf
(2.1)
donde c es la velocidad de propagación de la luz en el medio recorrido y f es la frecuencia de la onda (veásefigura 2.1).
Figura 2.1: Onda electromagnética en el vacío
2.2. Principios del electromagnétismo
James Clerk Maxwell descubrió que los principios básicos del electromagnetismo podían expresarse en tér-minos de las cuatro ecuaciones que hoy son conocidas como ecuaciones de Maxwell [20]. Estas ecuacionespueden expresarse en forma de integral y diferencial:
16
• Ley de Gauss de los campos eléctricos.∮~E ·d~A =
Qenc
ε0, ~5·~E =
ρ
ε0(2.2)
• Ley de Gauss de los campos magnéticos, que demuestra la inexistencia de monopolos magnéti-cos.
∮~B ·d~A = 0 , ~5·~B = 0 (2.3)
• La ley de Ampère, que incluye la corriente de desplazamiento.
∮~B ·d~l = µ0
(ic + ε0
dΦE
dt
)enc
, ~5×~B = µ0~J+µ0ε0∂~E∂ t
(2.4)
• Ley de Faraday. ∮~E ·d~l =−dΦB
dt, ~5×~E =−∂~B
∂ t(2.5)
Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Si está presente un material, lapermitividad ε0 y la permeabilidad µ0 del espacio libre se sustituyen por la permitividad ε y la permeabilidadµ del material [20].
2.3. Dosimetría
La dosimetría describe cuantitativamente la interacción del campo electromagnético con un material o untejido como consecuencia de su exposición a radiaciones.
La dosis absorbida se define como la energía absorbida por unidad de masa y depende de la naturalezay características del campo de radiación, del material o tejido irradiado y de los complejos procesos deinteracción materia-radiación [6]. En la banda de radiofrecuencia las medidas básicas de dosimetría son:
• Densidad de corriente (A/m2). Un campo de RF induce potenciales eléctricos sobre objetos con-ductores. Cuando una persona entra en contacto con este tipo de objetos, fluye una corriente a travésde su cuerpo. La cantidad de corriente depende tanto del objeto conductor como de la frecuenciade la onda electromagnética, de la intensidad del campo y de la impedancia de los tejidos humanos.Esta se mide para frecuencias entre los 3kHz y los 100kHz [18].
• Tasa de absorción específica (W/kg). Es la medida de la tasa de energía absorbida por un tejidobiológico debido a la exposición a una fuente de transmisión de RF. Se mide en el intervalo defrecuencias que va desde los 100kHz hasta los 10GHz.
• Densidad de potencia (W/m2). Esta describe el calentamiento de los tejidos para frecuenciassuperiores a los 10 GHz [18].
17
2.4. Tasa de absorción específica
Una medida de la tasa incremental de la energía absorbida o disipada por una masa con cierta densidadcontenida en un volumen es la denotada dosimetría de tasa de absorción específica [7]. Cuando el objeto dela medida de dosis absorbida es el cuerpo humano, se hace mención de Dosimetría Personal y su objetivo,es prevenir o limitar la aparición de efectos nocivos producidos por la emisión.
Como técnica actual para llevar a cabo la evaluación de SAR basada en la norma IEEE Std 1528 del 2013 [7],se utilizan “fantasmas” de características antropomórfica hechos de una fibra de vidrio de baja permitividady baja disipación llena de líquido homogéneo equivalente a los tejidos humanos. El SAR en el líquidoequivalente a las características del tejido, puede determinarse por la tasa de aumento de la temperatura opor el campo eléctrico, como se aprecia en la ecuación (2.6) y (2.7).
SARliquid =c4T4t
| t = 0 (2.6)
SARliquid =σ∣∣E2∣∣
ρ(2.7)
Donde c es la capacidad calórica específica, 4T es el cambio de temperatura, 4t es la duración de laexposición, σ es la conductividad eléctrica, |E| la magnitud RMS del vector de fuerza del campo eléctrico,ρ es la densidad de masa del medio.
2.5. Teoría de Lorentz Mie
Para expandir las componentes esféricas de una onda plana en términos de funciones esféricas. Es necesarioconsiderar el campo eléctrico de una onda plana incidente con polarización en x.
E inc = xE0e− jkz = xE0e− jkrcosθ (2.8)
En componentes esféricas puede ser escrito como [8]:
E incr = E0 sinθ cosφ e− jkrcosθ =
E0 cos φ
jkr∂
∂θe− jkrcosθ (2.9)
E incθ = E0 cosθ cosφ e− jkrcosθ (2.10)
E incφ =−E0 sinφ e− jkrcosθ (2.11)
Al sustituir la llamada ecuación de onda (2.12)
e− jkrcosθ =∞
∑n=0
j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.12)
18
que expresa una onda plana en términos de una superposición lineal de ondas esféricas sobre las ecuaciones(2.9), (2.10) y (2.11), se obtiene [8]:
E incr = E0
cosφ
jkr
∞
∑n=0
j−n(2n+1) jn(kr)dPn(cosθ)
dθ(2.13)
E incθ = E0 cosθ cosφ
∞
∑n=0
j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.14)
E incφ =−E0 sinφ
∞
∑n=0
j−n(2n+1) jn(kr)Pn(cosθ) (2.15)
En esta sección se describe el cálculo de los coeficientes en tal expansión [4].
Figura 2.2: Sistema de coordenadas polares esféricas centrado en una partícula esférica de radio a
El problema que ocupa es la dispersión de una onda plana polarizada en x, escrita en coordenadas polaresesféricas como
Ei = E0 · eikrcosθ ex (2.16)
donde
ex = sin θ cos φ er + cos θ cos φ eθ − sin φ eφ (2.17)
por una esfera arbitraria. El primer paso hacia la solución de este problema es expandir la ecuación (2.16)
19
en armónicos esféricos vectoriales:
Ei =∞
∑m=0
∞
∑n=m
(BemnMemn +BomnMomn +AemnMemn +AomnMomn) (2.18)
que, en forma de componente, pueden ser escritos [4]
Memn =−m
sin θsin mφ Pm
n (cos θ)zn(ρ) eθ − cos mφdPm
n (cos θ)
dθzn(ρ) eφ (2.19)
Momn =m
sin θcos mφ Pm
n (cos θ)zn(ρ) eθ − sin mφdPm
n (cos θ)
dθzn(ρ) eφ (2.20)
Nemn = zn(ρ)ρ
cos mφ n(n+1)Pmn (cos θ) er + cos (mφ)dPm
n (cos θ)dθ
1ρ
ddρ
[ρzn(ρ)] eθ
− m sin (mφ)Pm
n (cos θ)
sin θ
1ρ
ddρ
[ρzn(ρ)] eφ (2.21)
Nomn = zn(ρ)ρ
sin mφ n(n+1)Pmn (cos θ) er + sin (mφ)dPm
n (cos θ)dθ
1ρ
ddρ
[ρzn(ρ)] eθ
+ m cos (mφ)Pm
n (cos θ)
sin θ
1ρ
ddρ
[ρzn(ρ)] eφ (2.22)
Como sin mφ es ortogonal a cos m′ φ para todo m y m′ se cumple que Memn y Momn son ortogonalescuando
∫ 2π
0
∫π
0Mem′n′ ·Momnsin θ dθ dφ = 0, (todo m,m′,n,n′) (2.23)
Similarmente, (Nomn, Nemn), (Memn, Nemn) son conjuntos de funciones mutuamente ortogonales. Las propie-dades de ortogonalidad de cos mφ y sin mφ implica que todos los vectores armónicos de diferente orden mson mutuamente ortogonales. Para demostrar que las funciones (Memn, Nomn) y (Nemn, Momn) son ortogona-les, se debe demostrar que la integral
m∫
π
0(Pm
ndPm
n′
dθ+Pm
n′dPm
n
dθ)dθ = Pm
n Pmn′ |π0 (2.24)
desaparece para todos los n y n′. La función asociada de Legendre Pmn es relacionada para la m derivada del
polinomio de Legrendre correspondiente Pn,
Pmn (µ) = (1−µ
2)m2
dmPn(µ)
dµm , (2.25)
donde µ = cos θ . Además, Pmn desvanece para θ=0 y θ=π excepto cuando m = 0. Por lo tanto, (2.24)
desvanece para todo m,n y n′. La prueba de las restantes relaciones de ortogonalidad [4]
∫ 2π
0
∫π
0Memn ·Memn′sin θ dθ dφ =
∫ 2π
0
∫π
0Momn ·Momn′sin θ dθ dφ = 0 (2.26)
∫ 2π
0
∫π
0Nemn ·Nemn′sin θdθdφ =
∫ 2π
0
∫π
0Nomn ·Nomn′sin θdθdφ = 0 (2.27)
20
donde n 6= n′ y m 6= 0, requiere demostrar que∫π
0(dPm
n
dθ
dPmn′
dθ+m2 Pm
n Pmn′
sin2θ) sinθ dθ = 0 (2.28)
Debido a que tanto Pmn como Pm
n′ satisfacen
1sinθ
ddθ
(sinθdΘ
dθ)+
[n(n+1)− m2
sin2θΘ = 0
](2.29)
y realizando un poco de manipulación, se obtiene
2 sin θ(dPm
n
dθ
dPmn′
dθ+m2 Pm
n Pmn′
sin2θ) = 2n(n+1)Pm
n Pmn′ sinθ +
ddθ
(sinθdPm
n′
dθPm
n + sinθdPm
n
dθPm
n′ ) (2.30)
junto con las relaciones de ortogonalidad para el Pmn , (2.28) sigue. Cuando m = 0, Nomn y Momn desapare-
cen; la ortogonalidad de Memn y Nemn cuando m = 0 también se sigue de (2.28) y (2.30). Posteriormente,con desarrollo matemático se agrega el superíndice (1) a los ármonicos esféricos vectoriales, para el cualla dependencia radial de las funciones generadoras se específica por la función esférica de Bessel jn. Laexpansión deseada de una onda plana en armónicos esféricos se presenta en la siguiente ecuación:
Ei = E0
∞
∑n=1
in2n+1
n(n+1)(M(1)
o1n− iN(1)e1n) (2.31)
Suponga que una onda plana con polarización vertical x incide sobre una esfera isotrópica homogénea deradio a (fig. 2.2). El campo eléctrico incidente puede expandirse en una serie infinita de vectores esféricosarmónicos. El correspondiente campo magnético incidente (2.32) se obtiene de la ecuación (2.31):
Hi =−kωµ
E0
∞
∑n=1
in2n+1
n(n+1)(M(1)
e1n− iN(1)o1n) (2.32)
También se puede expandir el campo electromagnético disperso (Es,Hs) y el campo (E1,H1) dentro de laesfera en armónicos esféricos vectoriales. En el límite entre la esfera y el medio circundante se imponen lascondiciones (2.33) y (2.34):
[E2(x)−E1(x)]× n = 0 , [H2(x)−H1(x)]× n = 0 x en S (2.33)
donde n es la normal dirigida hacia afuera de la superficie S de la partícula. Las condiciones de contorno(2.33) son el requisito de que las componentes tangenciales de E y H sean continuas a través de un límiteque separa medios con diferentes propiedades [4].
(Ei + Es − E1) × er = (Hi + Hs − H1) × er = 0 (2.34)
Las condiciones de contorno (2.34), la ortogonalidad de los armónicos vectoriales, y la forma de la expansióndel campo incidente dictan las formas de expansiones para el campo disperso y el campo dentro de la esfera:los coeficientes en estas expansiones desaparecen para todo m 6= 1. La finitud en el origen requiere que setome Jn(k1r), donde k1 es el número de onda en la esfera, como las funciones de Bessel esféricas apropiadasen las funciones generadoras para los armónicos vectoriales dentro de la esfera. Por tanto, la expansión del
21
campo (E1, H1) es
E1 =∞
∑n=1
En( cn M(1)o1n− idn N(1)
e1n) , H1 =−k1
ωµ1
∞
∑n=1
En( dn M(1)e1n + icn N(1)
o1n) (2.35)
donde En = inE0(2n+1)/n(n+1) y µ1 es la permeabilidad de la esfera. Por tanto, la expansión del campodisperso es
Es =∞
∑n=1
En( ian N(3)e1n−bn M(3)
o1n) , Hs =k
ωµ
∞
∑n=1
En( ibn N(3)o1n +an M(3)
e1n) (2.36)
donde, an y bn son los coeficientes de la serie de fourier. También se agrega el superíndice (3) a los armó-nicos esféricos vectoriales para los cuales la dependencia radial de las funciones generadoras se especificamediante h1
n.
2.6. Sección Transversal del Radar
El valor de la sección transversal del radar (RCS, por sus siglas en inglés), caracteriza la propiedad dedispersión de un objeto. Por tanto, es una medida de cuán detectable es un objeto por radar [5].
Para su cálculo es necesario considerar la extinción por una sola partícula arbitraria incrustada en un mediono absorbente (no necesariamente en vacío) y la iluminación por una onda plana (Fig. 2.3). Se construye unaesfera imaginaria de radio r alrededor de la partícula; la velocidad neta a la que la energía electromagnéticaatraviesa la superficie A de esta esfera es
Wa =−∫
AS · er dA (2.37)
Figura 2.3: Extinción por una colección de partículas
Si Wa>0 (si Wa es negativo se está creando energía dentro de la esfera, una posibilidad que se excluye dela consideración), la energía se absorbe dentro de la esfera. Pero el medio es no absorbente, lo que implicaque Wa, es la tasa a cuya energía es absorbida por la partícula. Wa puede escribirse como la suma de trestérminos: Wa = Wi - Ws + Wext , donde
Wi =−∫
ASi · er dA , Ws =
∫A
Ss · er dA , Wext =−∫
ASext · er dA (2.38)
22
Figura 2.4: Extinción por una colección de partículas
Wi desaparece de forma idéntica para un medio no absorbente; Ws es la tasa a la que la energía se dispersapor la superficie A. Por lo tanto, Wext es solo la suma de tasa de absorción de energía y tasa de dispersión deenergía:
Wext = Wa + Ws (2.39)
Por conveniencia, se toma el campo eléctrico incidente EI = E ex para ser polarizado en x. Debido a que elmedio no absorbe, Wa, es independiente del radio r de la esfera imaginaria. Por lo tanto, se puede elegir r losuficientemente grande como para estar en la región de campo lejano, donde
Es ∼eik(r−z)
−ikr×E, Hs ∼
kωµ
er×E (2.40)
y er ·X = 0. Como recordatorio de que la luz incidente esta polarizada en x. El simbolo X, se utiliza para laamplitud de dispersión vectorial, que está relacionada para la (escalar) amplitud de elementos de matriz dedispersión S j.
X = (S2 cosφ +S3 sinφ) ˆe‖s + (S4 cosφ +S1 sinφ) ˆe⊥s (2.41)
Después de una cantidad considerable de manipulación algebraica que se puede revisar en detalle en [5], seobtiene
Wext =−k
2ωµ|E|2 Re
e−ikr
ikr
∫A
eikzex ·X∗dA − eikr
ikr
∫A
e−ikzcos θ ey ·X+eikr
ikr
∫A
e−ikzsin θ cos φ ez ·X dA
(2.42)
La ecuación (2.42) contiene integrales de la forma∫ 1−1 eikrµ f (µ) dµ ,
donde µ = cos θ , que se puede integrar por partes para producir
eikr f (1)−e−ikr f (−1)ikr +O
( 1k2r2
),
23
siempre que d f/dµ esta ligado. El valor límite de Wext como kr→ ∞ es, por lo tanto
Wext = Ii4π
k2 Re(X · ex)θ=0
donde Ii es la irradiancia incidente. El radio de Wext para Ii es una cantidad con dimensiones de área:
Cext =Wext
Ii=
4π
k2 Re(X · ex)θ=0 (2.43)
De (2.39) se deduce que la sección transversal de extinción Cext puede escribirse como la suma de la seccióntransversal de absorción Cabs y la sección transversal de dispersión Csca:
Cext =Cabs +Csca, (2.44)
donde Cabs=Wabs/Ii y Csca=Ws/Ii. De la ecuación (2.33) y (2.36) se tiene que:
Csca =∫ 2π
0
∫π
0
|X|2
k2 sin θ dθ dφ =∫
4π
|X|2
k2 dΩ (2.45)
2.7. Estándares
• IEEE Std 1528 del 2013: Indica los parámetros relevantes para medir la tasa de absorción espe-cifica en modelo fantasma de la cabeza humana.
• BS IEC 62232:2011: Establece el valor del campo eléctrico y el SAR impactado a seres humanospor parte de estaciones base.
• IEEE Std C95.1-2019: Proporciona los niveles de seguridad con respecto a la exposición humanaa campos electromagnéticos
2.8. Simuladores
2.8.1. HFSS
El software HFSS realiza sus cálculos mediante el Método de Elementos Finitos (FEM). Siendo esta unagran herramienta para resolver ecuaciones diferenciales, ya que, divide todo el espacio que encierra el pro-blema en conjuntos de pequeñas regiones; hallando el campo de cada subregión o elemento con una función,resolviendo su sistema de ecuaciones.
Este simulador divide automáticamente el modelo en un elevado número de tetraedros, geometría de cuatrocaras, donde cada una de ellas es un triángulo equilátero, que engloba la malla de elementos finitos. Ladiscretización de este método puede observarse en la figura 2.5.
De HFSS se resalta que es una excelente herramienta tridimensional, que comprende el estudio y simula-ción de un amplio espectro de estructuras electromagnéticas que pueden alcanzar dimensiones de micrasy metros. Adicionalmente, gracias al método matemático que utiliza, la precisión en el cálculo es alta. Noobstante, prevé la necesidad de un considerable consumo de memoria y tiempo de simulación.
24
Figura 2.5: Discretización por FEM
2.8.2. Matlab
La plataforma Matlab otorga un entorno de desarrollo integrado, en el que se evidencia la manipulación dematrices, representación de datos y funciones. Adicionalmente, la implementación de algoritmos, creaciónde interfaces de usuarios y la comunicación con programas en otros lenguajes.
Se puede utilizar en las plataformas Windows, Linux, MacOS y Unix. Los archivos, tipo script, se generancon una extensión .m propia de Matlab y pueden ejecutarse tanto en el entorno de la herramienta, como deforma independiente.
25
Capítulo 3
Desarrollo
3.1. Descripción general y Diagrama en bloques
El siguiente diagrama presenta los bloques que explican de forma detallada la solución de este proyecto.
Figura 3.1: Diagrama en bloques general para la dosimetría de SAR
Este proceso comienza con la incidencia de una onda plana propagándose en un medio vacío sobre unvolumen esférico con propiedades dieléctricas y conductivas, donde se definen las condiciones de fronteraentre el medio vacío y el material dieléctrico.
Dicha geometría tiene como radio una longitud de onda, propiedades dieléctricas similares a la de los tejidosde la cabeza, con la finalidad de emular las características antropomórficas humanas con un modelo menoscomplejo, teniendo como consecuencia tiempos de simulación más bajos.
Una vez definida las características estructurales del objeto en la banda de radiofrecuencia, se tienen doseventos independientes: el computacional haciendo uso de la herramienta HFSS y una solución de expansiónde series de Mie en Matlab.
El modelo computacional se llevó a cabo en la herramienta HFSS, por lo expuesto, en la sección 2.8.1.Adicionalmente, es pertinente aclarar que se tiene como criterio para la escogencia de esta herramienta,la complejidad y costo computacional que implica la estructura desarrollada. Puesto que, frente a otrossoftwares esta herramienta presenta un excelente post-procesado para la visualización de los campos elec-tromagnéticos.
26
La implementación análitica se realizó en base a MatScat un paquete de Matlab que contiene diferentessoluciones para la dispersión de radiación electromagnética por una esfera (teoría de Mie). No obstante, seejecutaron las adaptaciones necesarias para el escenario requerido en este proyecto.
Por último, se valida la implementación del modelo analítico con la expansión de una onda electromagnéticaplana a partir de las series de Mie, considerando un mayor número de términos de expansión (funcionesesféricas) para evaluar la convergencia de la serie sobre la representación de una onda plana; y para elmodelo computacional se comprueban los resultados mediante el parámetro Bistatic Radar Cross Section.
3.2. Modelo análitico: expansión en series de Mie
La solución matemática que sustenta la Teoría de Lorentz Mie se encuentra expuesta en la sección 2.5. Estateoría utiliza los polinomios de Legendre y las funciones esféricas de Bessel. Por tanto, el primer paso fuecomprobar el comportamiento gráfico de cada función con el esperado teóricamente, como se presenta acontinuación:
0 2 4 6 8 10 12 14-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
J0(x)
J1(x)
J2(x)
J3(x)
(a) Ricatti-Bessel Jn (experimental) (b) Ricatti-Bessel Jn extraído de [9])
Figura 3.2: Comporamiento gráfico función Ricatti-Bessel
0 2 4 6 8 10 12 14-0.5
0
0.5
1
j0(x)
j1(x)
j2(x)
j3(x)
(a) Esférica Bessel jn (experimental) (b) Esférica Bessel jn extraído de [9])
Figura 3.3: Comporamiento gráfico función esférica Bessel
27
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5
0
0.5
1
P0(x)
P1(x)
P2(x)
P3(x)
P4(x)
P5(x)
(a) Polinomio de Legendre Pn (experimental) (b) Polinomio de Legendre Pn extraído de[9])
Figura 3.4: Comporamiento gráfico polinomio de Legendre
Una vez se validó el comportamiento de las funciones especiales para varios grados. El siguiente paso fuehacer un algoritmo (anexo A.1) que expandiera las componentes esféricas de una onda plana en términosde las funciones esféricas obteniendo la expansión para una onda plana expuesta en la sección 2.5. Estealgoritmo tiene el comportamiento descrito en la figura 3.5.
Figura 3.5: Diagrama de flujo de expansión para una onda plana en funciones esféricas
28
Luego, con la expansión de onda plana obtenida en el paso anterior, se desarrolló el cálculo del campoelectromagnético disperso debido a la incidencia de esta sobre una esfera conductora de radio a, comose presenta en la figura 2.2 (anexo A.4). No obstante, esta implementación no converge a los resultadosteóricos expuestos en [10]. Por lo cual, se decidió evaluar el desarrollo análitico realizado por otros autores;encontrando el paquete MatScat [16] [15], que expone el cálculo de los campos electromágneticos dispersosutilizando las series de Mie para el caso de cilindro y esfera (estratificadas).
(a) Teórico
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Campo magnético disperso
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) Experimental
Figura 3.6: Campo magnético disperso por una esfera conductora con un radio de 1λ en el plano xz
Finalmente, con las pruebas realizadas y la adapatación del paquete MatScat para la solución requeridaen esta investigación. El código implementado satisface el caso de una esfera de radio a, con propiedadesdieléctricas y conductivas incidida por una onda plana polarizada en z en la banda de radiofrecuencia;presentando el siguiente flujo de operación:
Figura 3.7: Etapas de simulación
3.2.1. Preprocesamiento
En este primer bloque, se definen las características específicas de la geometría, tales como: radio, propie-dades dieléctricas y conductivas. También, el índice de refracción del material y la frecuencia de trabajo.
29
Figura 3.8: Declaración de variables
Se escoge el número de puntos y el tamaño de la cuadrícula, donde se visualizarán posteriormente losresultados obtenidos.
Figura 3.9: Mallado
Se establece el sistema de coordenas en el que se desea trabajar, el comportamiento de simulación y el planosobre el cual se cálculan los campos electomagnéticos. En este caso debido a la dirección de propagaciónde la onda plana en z, y la dirección del campo eléctrico, el plano escogido para visualizar los resultados esel xz.
Figura 3.10: Condiciones de simulación
3.2.2. Procesamiento
Se invoca la función calcmie (ver anexo A.3) para obtener el resultado de los campos electromágneticos, ladensidad de potencia y el RCS. Esta de manera interna cálcula los coeficientes de la Serie de Fourier An, Bn,la expansión de una onda plana en ármonicos esféricos vectoriales y los términos de la Sección Transversaldel Radar.
30
Figura 3.11: Resultado de los campos
3.2.3. Postprocesamiento
Por último, se visualizan el campo eléctrico y magnético para cada una de sus componentes, con el sistemade coordenadas escogido: cartesiano o esférico. No obstante, es importante resaltar que dependiendo delvalor de t f f lag el campo calculado será el total o el disperso; en este caso el campo obtenido es el dispersoen coordenadas cartesianas.
Figura 3.12: Campos electromagnéticos
Con este código también se obtiene la densidad de potencia, la Sección Transversal del Radar en extinción,absorción y dispersión, mediante el desarrollo matemático expuesto en la sección 2.6.
Figura 3.13: Vector de Poynting
31
Figura 3.14: RCS
3.3. Modelo computacional
La herramienta de simulación HFSS utiliza para el cálculo de la onda plana incidente la siguiente ecuación:
Einc = E0e− jk0(k·r) (3.1)
donde, Einc es la es la onda incidente, E0 es el vector de polarización del campo eléctrico, k0 es el númerode ondas del espacio libre, que es igual a
√µ0τ0; k es el vector unitario de propagación y r es la posición
del vector igual xx+ yy+ zz [3].
Adicionalmente, el SAR local se calcula utilizando la ecuación 3.2 y en cada punto de malla realiza unasuperposición. HFSS interpola los valores de SAR entre los puntos de malla a traves de la trama.
SAR =σ · |E|2
ρm(3.2)
donde σ es la conductividad eléctrica, E es el campo eléctrico y ρ es la densidad del material. Finalmente,la implementación realizada cumple con las siguientes etapas de simulación:
Figura 3.15: Diagrama de estados en la simulación
3.3.1. Modelado
Inicialmente, se construye el volumen esférico que emula la cabeza humana con radio de 1λ para unafrecuencia de 900 MHz, el plano sobre el cual se visualizarán posteriormente los campos electromagnéticosy la región que encierra el modelo.
32
Figura 3.16: Modelo computacional no antropomórfico de la cabeza humana cubierta por región de aire
3.3.2. Fronteras
Una vez establecida la arquitectura a simular, se estableció el material de la geometría teniendo en cuentalas especificaciones de la tabla 1.1 y el medio vacío de la región que la rodea.
Figura 3.17: Caracteristicas del material de la esfera
3.3.3. Excitación
Luego, se establece el sistema de coordenadas que puede ser: esférico, cilíndrico o cartesiano; el vector depolarización del campo eléctrico (1V/m) y la dirección de propagación de la onda plana incidente.
33
Figura 3.18: (a) Vector de polarización y dirección de propagación (b) Coordenadas y ubicación de la excitación
3.3.4. Configuración de la solución
Se específica la frecuencia dentro de la banda de radiofrecuencia y el número de pasos del barrido.
Figura 3.19: Frecuencia de trabajo
3.3.5. Resolución
Se configura el setup de análisis con la resolución que por defecto sugiere el programa. Puesto que, alaumentar el número de tetraedros que dividen el modelo los tiempos de simulación aumentan significanti-vamente.
34
Figura 3.20: Refinamiento de solución
3.3.6. Postprocesado
Las simulaciones presentadas en la sección 4.2, superan las 12 horas en tiempos de simulación y un reque-rimiento en RAM mayor a 8 GB. No obstante, este escenario se debe no sólo a la resolución escogida, sinotambién a la manera en la que este software computacional hace el cálculo de SAR.
35
Capítulo 4
Análisis y Resultados
4.1. Resultados implementación en Matlab
Como se mencionó anteriormente, se implementó el paquete MatScat que contiene la Teoría de LorentzMie. Por lo cual, en la figura 4.1 se obtiene el campo electromagnético disperso para cada una de suscomponentes cartesianas, describiendo el comportamiento de una esfera dieléctrica con permitividad de2.56, que es incidida por una onda plana que se propaga en dirección z, con una polarización lineal delcampo eléctrico en la dirección x. El plano sobre el que se esta visualizando este párametro es el xz.
La onda plana incidente no posee componente en y, por tanto, el campo eléctrico disperso en esta compo-nente es nulo. Adicionalmente, su componente en x presenta mayor intensidad en el sentido opuesto a laincidencia de la onda, este comportamiento puede deberse al índice de refracción que presenta el mediodentro de la esfera.
Ex
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Ey
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Ez
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Hx
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Hy
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Hz
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
x [m]
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
z [
m]
Plano
Esfera
E
k
x
z
Figura 4.1: Campo electromagnético disperso para una frecuencia de 900 MHz
Con este portafolio, se obtuvo gráficamente la Sección Transversal del Radar en extinción, absorción y dis-persión (figura 4.2). También, el tiempo de simulación del paquete MatScat, los coeficientes y la eficienciade las componentes del RCS (figura 4.3)
36
0 50 100 150
Scattering angle [°]
10-2
10-1
100
101
Diffe
ren
tia
l sca
tte
rin
g c
ross s
ectio
n [
m]
parallel
0 50 100 150
Scattering angle [°]
10-2
10-1
100
101
Diffe
ren
tia
l sca
tte
rin
g c
ross s
ectio
n [
m]
perpendicular
0 50 100 150
Scattering angle [°]
10-1
100
101
Diffe
ren
tia
l sca
tte
rin
g c
ross s
ectio
n [
m]
unpolarised
Figura 4.2: Componentes del RCS para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz
Figura 4.3: Tiempo de simulación, coeficientes y eficiencia del RCS
El parallel RCS obtenido en la figura 4.2 y el resultado de la figura 4.4, es la segunda validación entre laimplementación realizada en Matlab y la teoría expuesta en [11].
37
Figura 4.4: Radar Cross Section para radio de 1λ , permitividad de 2.56 y frecuencia de 900 MHz
4.2. Resultados modelo en HFSS
La figura 4.5 expone la intensidad del campo eléctrico disperso ante la incidencia de una onda plana sobrela esfera dieléctrica con permitividad de 2.56, para una frecuencia de 900 MHz.
Figura 4.5: Campo eléctrico disperso
Después en la figura 4.6 se obtiene la tasa de absorción específica sobre el volumen esférico y el plano xz.
38
Figura 4.6: (a) SAR sobre el modelo no antropomórfico (b) SAR sobre el plano
Y finalmente, se extrajó el reporte del Bistatic Radar Cross Section para una frecuencia de 900 MHz. Conel objetivo de validar la Sección Transversal del Radar calculada por el portafolio MatScat y el modelocomputacional.
Figura 4.7: RCS
4.3. Análisis y valoración de error
En la figura 3.5, se expuso el diagrama de flujo que sustenta la expansión de las componentes esféricas deuna onda plana en términos de las funciones esféricas. Con lo cual, se obtuvo como resultado la validacióndel modelo analítico considerando un mayor número de términos de expansión y la teoría expuesta en lasección 2.5.
39
Figura 4.8: Expansión de una onda plana extraído de [8]
Los gráficos muestran la parte real del lado derecho de la ecuación 2.12, cuando la sumatoria se evalúa den = 0 hasta M. Claramente, la onda plana se forma en una región de 10λ x 10λ aumentando el número detérminos en la suma.
40
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(a) M=1
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(b) M=5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(c) M=10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(d) M=20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(e) M=40
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(f) M=80
Figura 4.9: Expansión de una onda plana Implementación de expansión de una onda plana realizada en Matlab
41
Para la validación del modelo computacional se comprobó el resultado del parámetro Bistatic Radar CrossSection de HFSS y la componente parallel obtenida del portafolio MatScat. Sin embargo, HFSS define elRCS, como:
σ3D(θ φ) = Limr→∞
4πr2 |Esc|2
|E inc|2
(4.1)
Y el paquete MatScat calcula este parámetro según lo expuesto en la sección 2.6. Por lo cual, es necesariodestacar que en campo lejano el RCS es independiente de la distancia r y de la magnitud del campo incidente,es decir, que este dependerá únicamente del ángulo y el número de onda.
Adicionalmente, HFSS traza el RCS en escala logarítmica, normalizando este con λ 2 [m2]; de modo que lacantidad trazada es 10 · log10(σ3D/λ 2), cuya unidad por lo general, se etiqueta como dB.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
Ángulo [°]
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Bis
tatic
Rad
ar C
ross
Sec
tion
[dB
]
FEMMIE
Figura 4.10: Validación RCS
Para la validación de la magnitud del campo eléctrico disperso, el primer paso, fue evaluar este párametro encampo lejano incluyendo y excluyendo su componente radial. No obstante, debido al costo computacionalrequerido por la herramienta HFSS fue necesario modificar la frecuencia de trabajo de 900 MHz a 2.1 GHz,con el fin, de disminuir el radio de la esfera a 0.143m (1λ ); para luego evaluar el campo eléctrico dispersosobre una curva circular de radio 10λ (1.43m) y con un número de aproximadamente 1072 tetraedros, comose muestra en la figura 4.11.
42
Figura 4.11: Modelo computacional: esfera de radio 0.143m rodeada por curva circular de 1.43m
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Ángulo [°]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Mag
nitu
d ca
mpo
elé
ctric
o di
sper
so [V
/m]
MIEFEM
(a) Con componente radial
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Ángulo [°]
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Mag
nitu
d ca
mpo
elé
ctric
o di
sper
so [V
/m]
MIEFEM
(b) Sin componente radial
Figura 4.12: Campo eléctrico disperso
43
Finalmente, se validó el resultado de la magnitud del campo eléctrico disperso y SAR en función de thetapara ambos modelos: computacional y analítico. Es importante destacar que los resultados obtenidos en lafigura 4.14 y 4.15, fueron calculados sobre una curva circular de radio 0.23m contenida por la esfera deradio 0.33m (incluyendo componente radial) y con un número de aproximadamente 1008 tetraedros, parauna frecuencia de 900 MHz (veáse figura 4.13).
Figura 4.13: Modelo computacional: esfera de radio 0.33m con curva circular de 0.23m
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Ángulo [°]
0
1
2
3
4
5
6
7
Mag
nitu
d ca
mpo
elé
ctric
o di
sper
so [V
/m]
MIEFEM
Figura 4.14: Validación Campo eléctrico disperso
44
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Ángulo [°]
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
SA
R [W
/kg]
MIEFEM
Figura 4.15: Validación SAR
Los resultados de las figuras 4.14 y 4.15, presentan aparentemente la misma tendencia de aumento en lacomponente theta, más no es exactamente el mismo comportamiento. Por lo cual, se deduce que dichadiscrepancia puede deberse a la resolución escogida en la herramienta computacional. No obstante, los altosrecursos en RAM y tiempo de simulación que la herramienta HFSS demanda no permitieron llegar a dichaconvergencia.
45
Capítulo 5
Conclusiones
5.1. Conclusiones
La motivación de realizar dosimetría de campos electromagnéticos en radiofrecuencia, surgió de la necesi-dad de evaluar el impacto sobre el cuerpo humano debido a las tecnologías, para complementar los estudiosrealizados por organizaciones como la ICNIRP, la OMS y otras instituciones. Con ello, apoyar en modelosque no generan efectos adversos sobre el ser humano y evitan poner en riesgo el desarrollo ambiental sanoy sostenible.
Los resultados de esta investigación permitieron como primer logro la validación de un modelo analitíco ycomputacional con la adquisición de una base de datos gráfica y númerica. Lo cual por medio de un código ymodelo estructural, permite detallar características relevantes sobre el comportamiento de la cabeza humana.
Por otro lado, es importante destacar que los modelos desarrollados no son complejos y que por ende losrecursos utilizados no son de gran impacto económico. También, es relevante mencionar que para una mejorresolución y un error más bajo de la herramienta HFSS es indispensable un computador con capacidad enRAM mayor a 8 GB.
Al evaluar y comparar los tiempos de simulación de ambas herramientas HFSS y Matlab, se puede destacarque los resultados obtenidos con el mayor tiempo para cada caso respectivamente fue de 12 horas y 5minutos.
46
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47
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[19] Y. OKANO, I. I. ; TAKAHASHI, M.: The SAR Evaluation Method by a Combination of ThermographicExperiments and Biological. 2000. – 2094–2103 p.
[20] YOUNG, Hugh D. y Roger A. F.: Física universitaria con física moderna. vol 2 (2009), Nr. 12, p.1093–1120
48
Apéndice A
Anexo
A.1. Expansión de una onda plana
1 c l c ;2 c l e a r a l l ;3
4 %d e c l a r a c i o n de v a r i a b l e s5 f =3 e8 ; %f r e c u e n c i a6 c=3 e8 ; % v e l o c i d a d de l a l u z7 lambda=c / f ; %l o n g i t u d8 suma =0; %s u m a t o r i a9 M=80; %orden
10 K= 2* pi / lambda ; %propagac ion11
12 %Malla x , y , z13 x=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;14 y=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;15 z=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;16 [X, Y, Z]= meshgrid ( x , y , z ) ;17 [ t h e t a , phi , R] = car t2sph (X, Y, Z ) ; %cambio de coordenadas18
19 suma =0;20 f o r n =0:M21
22 v a l = ( i ^( − n ) ) ;23 j f u n c = b e s s e l j ( n ,K*R) ; %f u n c i o n b e s s e l24 pfunc = l e g e n d r e P ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %f u n c i o n l e g e n d r e25 suma=suma +( v a l *(2* n +1) . * j f u n c . * p func ) ; %s u m a t o r i a c o m p l e t a26 end27
28 sumaR= r e a l ( suma ) ; %p a r t e r e a l de l a s u m a t o r i a29 c o n t =0 ; %c o n t a d o r30
31 %v a l o r e s donde p h i =032 f o r i =1 : l e n g t h ( p h i )
49
33 f o r j =1 : l e n g t h ( p h i )34 f o r h =1: l e n g t h ( p h i )35 d= p h i ( i , j , h ) ;36 i f ( d == 0 )37 c o n t = c o n t +1;38 a ( c o n t ) = i ;39 b ( c o n t ) = j ;40 g ( c o n t ) = h ;41 end42 end43 end44 end45
46 % para que l o s v a l o r e s no se r e p i t a n47 a1= u n iq ue ( a , ’ s t a b l e ’ ) ;48 b1= un iq ue ( b , ’ s t a b l e ’ ) ;49 g1= un iq ue ( g , ’ s t a b l e ’ ) ;50
51 %para que se ordenen l o s v a l o r e s52 a1= reshape ( a1 , [ 2 1 , 1 ] ) ;53 b1= reshape ( b1 , [ 2 1 , 1 ] ) ;54
55 %se e v a l u a l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s de l o s s u b i n d i c e s en l a s u m a t o r i a56 p=sumaR ( a1 , b1 , 1 1 ) ;57
58 %R e s u l t a d o s g r a f i c o s59 pc o l or ( p ’ ) ;60 shading i n t e r p ;61 l im = c a x i s ;62 c a x i s ( [ −1 1 ] )63 colormap ( j e t ) ;64 t i t l e ( ’ Onda ’ )65 c o l o r b a r ;
A.2. Teoría de las series de Mie
1
2%D e f i n i c i o n de v a r i a b l e s3 cond = 2 . 9 4 ; %c o n d u c t i v i d a d4 d e n s i d a d =1000; %d e n s i d a d d e masa5 d i a = 0 . 6 6 ; %d i a m e t r o de l a e s f e r a6 ns = 5 . 5 1 2 8 9 ; %i n d i c e de r e f r a c c i o n de l a e s f e r a ( c o m p l e j o )7 nm = 1 . ; % i n d i c e de r e f r a c c i o n ( r e a l )8 lambda = d i a / 2 . ; %l o n g i t u d de onda9 nang = 100 ; %numero de a n g u l o s para e v a l u a r campo l e j a n o
10 conv = 1 ; %f a c t o r de c o n v e r g e n c i a
50
11 t f _ f l a g = f a l s e ; %campo t o t a l o d i s p e r s o12 c c _ f l a g = t r u e ; %coordenadas e s f e r i c a s o c a r t e s i a n a s13 r a d = d i a / 2 . ; %r a d i o de l a e s f e r a14
15 sy = 2* d i a ( end ) ; %g r i l l a en x16 sz = 2* d i a ( end ) ; %g r i l l a en y17 Ny = 100 ; %numero de p u n t o s de l a g r i l l a x18 Nz = 100 ; %numero de p u n t o s de l a g r i l l a y19 d e l t a y = sy / Ny ;20 d e l t a z = sz / Nz ;21 ny = ( ( 0 : ( Ny − 1) ) − Ny / 2 . ) * d e l t a y ;22 %v e n t a n a de v i s u a l i z a c i o n23 nz = ( ( 0 : ( Nz − 1) ) − Nz / 2 . ) * d e l t a z ;24
25 %[ yf , z f ] = n d g r i d ( ny , nz ) ; %plano xz26 %x f=z e r o s ( s i z e ( z f ) ) ;27
28 n _ s t e p =50; %c i r c u l o xz29 R= l i n s p a c e ( 0 . 2 1 2 , 0 . 4 1 , 2 * n _ s t e p ) ;30 t h e t a a = l i n s p a c e ( 0 , 2 * pi , 2 * n _ s t e p ) ;31 [ R1 t h e t a a 1 ]= meshgrid (R , t h e t a a ) ;32 xf = R1 . * cos ( t h e t a a 1 ) ;33 z f = R1 . * s i n ( t h e t a a 1 ) ;34 yf = z e r o s ( l e n g t h ( z f ) ) ;35
36 % C a l c u l o de campo e l e c t r i c o , d e n s i d a d de p o t e n c i a y RCS37 t i c38 [ E , H, P , S , C , ang , t h e t a , phi , r a d ] = c a l c m i e _ n f ( d i a / 2 . , ns , nm , . . .39 lambda , xf , yf , zf , . . .40 ’ C o n v e r g e n c e F a c t o r ’ , conv , . . .41 ’ T o t a l F i e l d ’ , t f _ f l a g , . . .42 ’ C a r t e s i a n ’ , c c _ f l a g , . . .43 ’ nang ’ , nang ) ;44 t o c45
46 [ Econjugado ]= conj ( E ) ;47 [ t h e t a 1 1 , phi11 , r ad11 ] = x c a r t 2 s p h ( xf , yf , z f ) ; %T r a n s f o r m a c i o n
coordenada48
49 magE22= s q r t ( E ( : , : , 1 ) . * conj ( E ( : , : , 1 ) ) +E ( : , : , 2 ) . * conj ( E ( : , : , 2 ) ) +E ( : , : , 3 ) . *conj ( E ( : , : , 3 ) ) ) ;
50
51 SAR3= ( ( ( cond ) * (E ( : , : , 1 ) . * conj ( E ( : , : , 1 ) ) +E ( : , : , 2 ) . * conj ( E ( : , : , 2 ) ) +E ( : , : , 3 ). * conj ( E ( : , : , 3 ) ) ) ) / d e n s i d a d ) ;
52
53
54 % V i s u a l i z a c i o n campo e l e c t r i c o por componentes
51
55 f i e l d s = E ( : , : , 1 ) , E ( : , : , 2 ) , E ( : , : , 3 ) , H ( : , : , 1 ) , H ( : , : , 2 ) , . . .56 H ( : , : , 3 ) ;57 i f c c _ f l a g58 f l d t t l = ’ E_x ’ , ’ E_y ’ , ’ E_z ’ , ’H_x ’ , ’H_y ’ , ’H_z ’ ;59 e l s e %i f c c _ f l a g60 f l d t t l = ’E_ rho ’ , ’E_ p h i ’ , ’E_ t h e t a ’ , ’H_ rho ’ , ’H_ p h i ’ ,
. . .61 ’H_ t h e t a ’ ; %#ok <*UNRCH>62 end %i f c c _ f l a g63 f i g u r e64 f o r i f l d =1: l e n g t h ( f l d t t l )65 s u b p l o t ( 2 , 3 , i f l d ) ;66 i f ~ i sempty ( f i e l d s i f l d )67 imagesc ( ny , nz , f l i p u d ( rot90 ( abs ( f i e l d s i f l d ) . ^ 2 ) ) ) ;68 r e c t a n g l e ( . . .69 ’ P o s i t i o n ’ , [ − r a d ( end ) , − r a d ( end ) , d i a ( end ) , d i a ( end ) ] , . . .70 ’ C u r v a t u r e ’ , [ 1 , 1 ] )71 end %i f ~ i s e m p t y ( f i e l d s i f l d )72 t i t l e ( f l d t t l i f l d ) ;73 end %f o r i f l d =1: l e n g t h ( f l d l s t )74
75 %V e c t o r de P o y n t i n g76 f i g u r e ( )77 imagesc ( ny , nz , s q r t ( P ( : , : , 1 ) . ^ 2 + P ( : , : , 2 ) . ^ 2 + P ( : , : , 3 ) . ^ 2 ) )78 r e c t a n g l e ( ’ P o s i t i o n ’ , [ − r a d ( end ) , − r a d ( end ) , d i a ( end ) , d i a ( end ) ] , . . .79 ’ C u r v a t u r e ’ , [ 1 , 1 ] )80 a x i s image81
82
83 %V i s u a l i z a c i o n RCS84
85 f c t r = 2 / pi / C . k ;86 dCsdOp = f c t r * s q u e e z e ( abs ( S ( 1 , 1 , : ) . ^ 2 ) ) ; % p a r a l l e l87 dCsdOn = f c t r * s q u e e z e ( abs ( S ( 2 , 2 , : ) . ^ 2 ) ) ; % p e r p e n d i c u l a r88 dCsdO = 0 . 5 * ( dCsdOp + dCsdOn ) ; % u n p o l a r i z e d89 f i g u r e90 s u b p l o t ( 1 , 3 , 1 ) ;91 semi logy ( ang , dCsdOp ) ;92 t i t l e ( ’ p a r a l l e l ’ )93
94 s u b p l o t ( 1 , 3 , 2 ) ;95 semi logy ( ang , dCsdOn ) ;96 t i t l e ( ’ p e r p e n d i c u l a r ’ )97
98 s u b p l o t ( 1 , 3 , 3 ) ;99 semi logy ( ang , dCsdO ) ;
100 t i t l e ( ’ u n p o l a r i s e d ’ )
52
101
102 f o r i =1 :3103 s u b p l o t ( 1 , 3 , i ) ;104 x l a b e l ( ’ S c a t t e r i n g a n g l e [ ^ \ c i r c ] ’ )105 y l a b e l ( ’ D i f f e r e n t i a l s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n [m] ’ )106 xl im ( [ ang ( 1 ) , ang ( end ) ] )107 end %f o r i =1:3108 di sp ( ’ Cross s e c t i o n s : ’ ) ;109 di sp (C) ;110 di sp ( ’ E f f i c i e n c i e s : ’ ) ;111 di sp ( g e t E f f i c i e n c i e s (C , d i a ( end ) / 2 . , 2 ) ) ;
A.3. Funciones utlizadas
1
2
3 f u n c t i o n [ E , H, P , S , C , ang , t h e t a , phi , r a d ] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm ,lambda , . . .
4 xc , yc , zc , v a r a r g i n )5
6
7 %CALCMIE_NF C a l c u l a t e t h e near f i e l d s o l u t i o n f o r t h e s c a t t e r i n g o f8 %e l e c t r o m a g n e t i c r a d i a t i o n by a s i n g l e s p h e r e .9
10 % VARARGIN can t a k e t h e f o l l o w i n g keywords :11 % ’ ConvergenceFac tor ’ : CONV − A l t e r s t h e c o n v e r g e n c e c r i t e r i a M=M*CONV12 % ( d e f a u l t CONV = 1) .13 % ’ T o t a l F i e l d ’ : TF_FLAG − I f s e t c a l c u l a t e t o t a l f i e l d s ,14 % o t h e r w i s e s c a t t e r e d f i e l d s are r e t u r n e d ( d e f a u l t15 % TF_FLAG = FALSE ) .16 % ’ C a r t e s i a n ’ : CC_FLAG − g e t t h e r e s u l t i n c a r t e s i a n
c o o r d i n a t e s17 % ( d e f a u l t CC_FLAG = True ) .18 % ’ nang ’ : NANG − number o f f a r f i e l d a n g l e s t o
e v a l u a t e19 % ( d e f a u l t NANG = 1800) .20 %21 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :22 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f23 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .24 %25 % SYNTAX :26 %27 % [E , H] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )28 % [E , H, P] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )29 % [E , H, ~ , S , C , ang ] = c a l c m i e _ n f ( r , ns , nm , lambda , xc , yc , z c )
53
30 %31 % See a l s o :32 % CALCMIE33 %34 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )35 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )36 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und37 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )38 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s39 p = i n p u t P a r s e r ;40 p . addParamValue ( ’ C o n v e r g e n c e F a c t o r ’ , 1 , @ i s s c a l a r ) ;41 p . addParamValue ( ’ T o t a l F i e l d ’ , f a l s e , @ i s l o g i c a l ) ;42 p . addParamValue ( ’ C a r t e s i a n ’ , t r u e , @ i s l o g i c a l ) ;43 p . addParamValue ( ’ nang ’ , 1800 , @ i s s c a l a r ) ;44 p . p a r s e ( v a r a r g i n : ) ;45
46 conv = p . R e s u l t s . C o n v e r g e n c e F a c t o r ;47 t f _ f l a g = p . R e s u l t s . T o t a l F i e l d ;48 c c _ f l a g = p . R e s u l t s . C a r t e s i a n ;49 nang = p . R e s u l t s . nang ;50 s t r t f d = f a l s e ;51 i f numel ( r ) > 152 s t r t f d = t r u e ;53 end %i f numel ( r ) > 154 i f numel ( r ) ~= numel ( ns )55 error ( ’ Rad ius l i s t r and r e f r a c t i v e i n d e x l i s t NS have t o be same s i z e
! ’ ) ;56 end %i f numel ( r ) ~= numel ( n )57 k = 2* pi / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm58 x = k* r ; % t h e s i z e parame te r59 m = ns / nm ; % t h e r e l a t i v e r e f r a c t i v e i n d e x60 %% C a l c u l a t e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s61 i f s t r t f d62 [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e _ s t r a t ( x , m, conv ) ;63 e l s e %s t r t f d64 [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e ( x , m, conv ) ;65 end %s t r t f d66 %% C a l c u l a t e f i e l d s o l u t i o n67 [ E , H, t h e t a , phi , r a d ] = nfmie ( an , bn , xc , yc , zc , r , ns , nm , lambda ,
t f _ f l a g , c c _ f l a g ) ;68 %% C a l c u l a t e P o y n t i n g v e c t o r69 i f nargout > 270 P = r e a l ( c r o s s ( E , conj (H) ) ) ;71 end %n a r g o u t > 272 %% C a l c u l a t e Far F i e l d s o l u t i o n73 i f nargout > 374 [ S , C , ang ] = asmmie ( an , bn , nang , k ) ;
54
75 ang = ang / pi *180 ;76 end %n a r g o u t > 377 end
1 f u n c t i o n [ E , H, t h e t a , phi , r a d ] = nfmie ( an , bn , xf , yf , zf , r , ns , nm ,lambda , . . .
2 t f _ f l a g , c c _ f l a g )3
4 %NFMIE C a l c u l a t e s t h e near f i e l d s o l u t i o n f o r g i v e n e x p a n s i o n5 % c o e f f i c i e n t s .6
7
8 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :9 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f
10 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .11 %12 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )13 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )14 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und15 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )16 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s17 i f ~ e x i s t ( ’ t f _ f l a g ’ , ’ v a r ’ )18 t f _ f l a g = f a l s e ;19 end %i f ~ e x i s t ( ’ t f _ f l a g ’ , ’ var ’ )20 i f ~ e x i s t ( ’ c c _ f l a g ’ , ’ v a r ’ )21 c c _ f l a g = f a l s e ;22 end %i f ~ e x i s t ( ’ c c _ f l a g ’ , ’ var ’ )23 M a t S c a t _ c o n s t ;24 s t r t f d = f a l s e ;25 i f numel ( r ) > 126 s t r t f d = t r u e ;27 end %i f numel ( r ) > 128 k = 2* pi / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm29 x = k* r ; % t h e s i z e parame te r30 m = ns / nm ; % t h e r e l a t i v e r e f r a c t i v e i n d e x31 k1 = 2* pi / lambda * ns ; % t h e wavenumber i n medium ns32 omega = 2 . * pi / lambda * c0 ; % t h e a n g u l a r f r e q u e n c y33 k = 2* pi / lambda *nm ;34 M = numel ( an ) ;35 n = ( 1 :M) ’ ; %36 E0 = 1 ;37 En = 1 j . ^ n . * E0 . * ( 2 * n +1) . / ( n . * ( n +1) ) ; %v e c t o r de 16 en columna38 %% Get i n t e r n a l f i e l d e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s39 i f s t r t f d40 [ fn , gn , vn , wn ] = e x p c o e f f _ m i e _ s t r a t _ i n t ( an , bn , x , m) ;41 e l s e %i f s t r t f d42 [ fn , gn ] = e x p c o e f f _ m i e _ i n t ( x , m, numel ( an ) ) ;
55
43 vn = z e r o s ( s i z e ( fn ) ) ;44 wn = z e r o s ( s i z e ( fn ) ) ;45 end %i f s t r t f d46 E = z e r o s ( [ numel ( x f ) , 3 ] ) ;47 H = z e r o s ( [ numel ( x f ) , 3 ] ) ;48
49 f o r i c =1 : numel ( x f )50
51 % Get s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s52 [ t h e t a , phi , r a d ] = x c a r t 2 s p h ( x f ( i c ) , y f ( i c ) , z f ( i c ) ) ; %a c
t r a n s f o r m a l a s coordenada53 [ p h i ] = 0 ; %l i n e a a a d i d a54 p h i = z e r o s ( l e n g t h ( r a d ) ) ;55
56 % C a l c u l a t e a n g l e d e p e n d e n t f u n c t i o n s57 [ pin , t a u n ] = angdepfun_mie ( t h e t a , n ) ; %c a l c u l a l o s a n g u l o s58
59
60 % c a l c u l a t e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n m a t r i x61 R = g e t T r a n s f o r m a t i o n M a t r i x ( phi , t h e t a ) ;62
63 % I n i t i a l i z e a r r a y s64
65 M_o1n = z e r o s (M, 3 ) ; %m a t r i z de 100 f i l a s x 3 columnas66 M_e1n = z e r o s (M, 3 ) ;67 N_o1n = z e r o s (M, 3 ) ;68 N_e1n = z e r o s (M, 3 ) ;69
70 Edum = z e r o s (M, 3 ) ; %m a t r i z de 100 f i l a s x 3 columnas71 Hdum = z e r o s (M, 3 ) ;72
73 i f r a d > r ( end )74 % e x t e r n a l f i e l d s75
76 % A u x i l i a r y p a r a m e t e r s77 rho = k* r a d ;78
79 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA H80 h = s b e s s e l h ( n , rho ) ;81 d x i = d r i c b e s h ( n , rho ) ;82
83 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %componente t h e t a84 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente p h i85
86 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a87 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i88
56
89 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad
90 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a91 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i92
93 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad
94 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a95 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i96
97
98 f o r d =1:399 Edum ( : , d ) = En . * ( 1 . j * an . ’ . * N_e1n ( : , d ) − bn . ’ . * M_o1n ( : , d ) ) ;
100 Hdum ( : , d ) = En . * ( 1 . j *bn . ’ . * N_o1n ( : , d ) + an . ’ . * M_e1n ( : , d ) ) ;101 end %f o r d =1:3102
103
104 E ( ic , : ) = R*sum ( Edum ) . ’ ;105 H( ic , : ) = k / omega / mue0*R*sum (Hdum) . ’ ;106
107
108 i f t f _ f l a g109 % t o t a l f i e l d110 E ( ic , 1 ) = E ( ic , 1 ) + exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;111 H( ic , 2 ) = H( ic , 2 ) + nm / c0 / mue0* exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;112 end %i f t f _ f l a g113
114 i f ~ c c _ f l a g115 E ( ic , : ) = R’*E ( ic , : ) . ’ ;116 H( ic , : ) = R’*H( ic , : ) . ’ ;117
118 end %i f ~ c c _ f l a g119
120 e l s e %i f rad > r121
122
123
124 % i n t e r n a l f i e l d s125 i l a y = max ( [ f i n d ( r >=rad , 1 , ’ f i r s t ’ ) , f i n d ( r < rad , 1 , ’ l a s t ’ ) ] )
;126
127 % A u x i l i a r y p a r a m e t e r s128 rho = k1 ( i l a y ) * r a d ;129
130 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA J131 h = s b e s s e l j ( n , rho ) ;132 d x i = d r i c b e s j ( n , rho ) ;
57
133
134 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %Componente de t h e t a135 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i136
137 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a138 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i139
140 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad
141 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a142 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i143
144 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de rad
145 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a146 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i147
148 f o r d =1:3149 Edum ( : , d ) = En . * ( fn ( : , i l a y ) . * M_o1n ( : , d ) − . . .150 1 . j *gn ( : , i l a y ) . * N_e1n ( : , d ) ) ;151
152 Hdum ( : , d ) = En . * ( gn ( : , i l a y ) . * M_e1n ( : , d ) + . . .153 1 . j * fn ( : , i l a y ) . * N_o1n ( : , d ) ) ;154 end %f o r d =1:3155
156 %CALCULO DE FUNCIONES ESPECIALES PARA Y157
158 h = s b e s s e l y ( n , rho ) ;159 d x i = − d r i c b e s y ( n , rho ) ;160
161 %ECUACIONES ESFERICAS DE BESSEL EN 4 COMPONENTES162
163 M_e1n ( : , 2 ) = − s i n ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a164 M_e1n ( : , 3 ) = − cos ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i165
166 M_o1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) * p i n . * h ; %componente de t h e t a167 M_o1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) * t a u n . * h ; %componente de p h i168
169 N_e1n ( : , 1 ) = cos ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de r
170 N_e1n ( : , 2 ) = cos ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a171 N_e1n ( : , 3 ) = − s i n ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i172
173 N_o1n ( : , 1 ) = s i n ( p h i ) *n . * ( n + 1) * s i n ( t h e t a ) . * p i n . * h / rho ; %componente de r
174 N_o1n ( : , 2 ) = s i n ( p h i ) . * t a u n . * d x i / rho ; %componente de t h e t a175 N_o1n ( : , 3 ) = cos ( p h i ) . * p i n . * d x i / rho ; %componente de p h i
58
176
177
178 f o r d =1:3179 Edum ( : , d ) = Edum ( : , d ) + En . * ( vn ( : , i l a y ) . * M_o1n ( : , d ) − . . .180 1 . j *wn ( : , i l a y ) . * N_e1n ( : , d ) ) ;181 Hdum ( : , d ) = Hdum ( : , d ) + En . * ( wn ( : , i l a y ) . * M_e1n ( : , d ) + . . .182 1 . j *vn ( : , i l a y ) . * N_o1n ( : , d ) ) ;183
184 end %f o r d =1:3185
186
187
188 E ( ic , : ) = R*sum ( Edum ) . ’ ;189 H( ic , : ) = −k1 ( i l a y ) / omega / mue0*R*sum (Hdum) . ’ ;190
191 i f ~ t f _ f l a g192 % t o t a l f i e l d193 E ( ic , 1 ) = E ( ic , 1 ) − exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;194 H( ic , 2 ) = H( ic , 2 ) − nm / c0 / mue0* exp ( 1 . j *k* z f ( i c ) ) ;195 end %i f ~ t f _ f l a g196
197 i f ~ c c _ f l a g198 E ( ic , : ) = R’*E ( ic , : ) . ’ ;199 H( ic , : ) = R’*H( ic , : ) . ’ ;200 end %i f ~ c c _ f l a g201 end %i f rad > r202
203 end %f o r i c =1: numel ( xc )204
205 E = s q u e e z e ( reshape ( E , [ s i z e ( x f ) , 3 ] ) ) ; %aca 3206 H = s q u e e z e ( reshape (H , [ s i z e ( x f ) , 3 ] ) ) ;207
208 end
1
2
3
4 f u n c t i o n [ S , C , ang ] = asmmie ( an , bn , nang , k )5
6 %ASMMIE C a l c u l a t e s t h e a m p l i t u d e s c a t t e r i n g m a t r i x and c r o s s s e c t i o n s f o r7 % g i v e n e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s o f a s p h e r i c a l p a r t i c l e .8
9 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :10 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f11 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .12 %13 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )
59
14 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )15 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und16 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )17 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s18 %k = 2* p i / lambda *nm ; % t h e wavenumber i n medium nm19 %x = k * r ; % t h e s i z e parame te r20 n = 1 : numel ( an ) ;21 ang = ( 0 : nang −1) / ( nang −1) * pi ;22 n2 = (2* n +1) ;23 En = n2 . / ( n . * ( n +1) ) ;24 anEn = an . * En ;25 bnEn = bn . * En ;26 %% C a l c u l a t e t h e t a d e p e n d e n t f u c n t i o n s27 [ pin , t a u n ] = angdepfun_mie ( ang , n ) ;28 %% C a l c u l a t e a m p l i t u d e s c a t t e r i n g m a t r i x29 S = z e r o s ( 2 , 2 , nang ) ;30 S ( 1 , 1 , : ) = anEn* t a u n + bnEn* p i n ;31 S ( 2 , 2 , : ) = anEn* p i n + bnEn* t a u n ;32 %% C a l c u l a t e c r o s s s e c t i o n s33 C . e x t = 2* pi / k ^2*sum ( n2 . * r e a l ( an + bn ) ) ;34 %C . e x t = 2 / x ^2* sum ( n2 . * r e a l ( an + bn ) ) ;35 C . s c a = 2* pi / k ^2*sum ( n2 . * ( abs ( an ) . ^ 2 + abs ( bn ) . ^ 2 ) ) ;36 %C . sca = 2 / x ^2* sum ( n2 . * ( abs ( an ) . ^ 2 + abs ( bn ) . ^ 2 ) ) ;37 C . abs = C . e x t − C . s c a ;38 C . k = k ;39 end
1
2 f u n c t i o n [ an , bn ] = e x p c o e f f _ m i e ( x , m, conv )3
4 %EXPCOEFF_MIE C a l c u l a t e s t h e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s f o r t h e Mie t h e o r y .5 %6
7 % The c a l c u l a t i o n i s based on t h e book o f Bohren and Huffman [ 1 ] :8 % [ 1 ] Bohren , C . F . and Huffman , D. R . , A b s o r p t i o n and s c a t t e r i n g o f9 % l i g h t by s m a l l p a r t i c l e s , Wiley − I n t e r s c i e n c e , New York , 1998 .
10 %11 % C o p y r i g h t 2012 Jan S c h f e r , I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n ( ILM )12 % Author : Jan S c h f e r ( j a n . s chae f e r@i lm . uni −ulm . de )13 % O r g a n i z a t i o n : I n s t i t u t f r L a s e r t e c h n o l o g i e n i n der Med i z in und14 % M e t e c h n i k an der U n i v e r s i t t Ulm ( h t t p : / / www. i lm −ulm . de )15 %% I n i t i a l i z e p a r a m e t e r s16 i f ~ e x i s t ( ’ conv ’ , ’ v a r ’ )17 conv = 1 ;18 end %i f ~ e x i s t ( ’ conv ’ , ’ var ’ )19 %% C a l c u l a t e t r u n c a t i o n number20 M = c e i l ( conv *( x + 4*( x ^ ( 1 / 3 ) ) + 2 ) ) ;
60
21 n = 1 :M;22 %% C a l c u l a t e a u x i l i a r y p a r a m e t e r s23 Sx = r i c b e s j ( n , x ) ;24 dSx = d r i c b e s j ( n , x ) ;25 Smx = r i c b e s j ( n , m*x ) ;26 dSmx = d r i c b e s j ( n , m*x ) ;27 x i x = r i c b e s h ( n , x ) ;28 dx ix = d r i c b e s h ( n , x ) ;29 %% C a l c u l a t e e x p a n s i o n c o e f f i c i e n t s30 an = (m*Smx . * dSx − Sx . * dSmx ) . / (m*Smx . * dx ix − x i x . * dSmx ) ;31 bn = (Smx . * dSx − m*Sx . * dSmx ) . / (Smx . * dx ix − m* x i x . * dSmx ) ;32 end
A.4. Campo magnético disperso de esfera conductora
1c l c ;2c l e a r a l l ;3
4%d e c l a r a c i o n de v a r i a b l e s5
6f =3 e8 ; %f r e c u e n c i a7c=3 e8 ; %v e l o c i d a d de l a l u z8lambda=c / f ; %l o n g i t u d de onda9suma =0; %s u m a t o r i a
10Ho=1; %c o n s t a n t e de campo magne t i co11e t h a =120* pi ; %c o n s t a n t e e t h a12
13%A s i g n a c i o n d e l rango de v a l o r e s14
15M=1;16K= 2* pi / lambda ;17x=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;18y=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;19z=−5* lambda : . 5 * lambda : 5 * lambda ;20
21%Malla x , y , z22
23[X, Y, Z]= meshgrid ( x , y , z ) ; %Malla x , y , z24[ t h e t a , phi , R] = car t2sph (X, Y, Z ) ; %cambio de coordenadas25
26%Planos27f o r i i =1 : s i z e ( Z , 3 )28 i f Z ( 1 , 1 , i i ) == 029 d= i i ;30 end31end
61
32
33f o r i i =1 : s i z e (X, 2 )34 i f X( 1 , i i , 1 ) == 035 u= i i ;36 end37end38
39f o r i i =1 : s i z e (Y, 1 )40 i f Y( i i , 1 , 1 ) == 041 w= i i ;42 end43end44
45%s u m a t o r i a46suma =0;47 f o r n =1:M48 v a l = ( ( j ) ^( − n ) ) ; %i m a g i n a r i o49 g o r r i t o H n 2 = s b e s s e l h ( n , 2 ,K. *R) ; %g o r r i t o f u n c i o n h b e s s e l50 g o r r i t o d H n 2 = d b e s s e l h ( n , 2 ,K. *R) ; %g o r r i t o de l a d e r i v a d a f u n c i o n h51
52 g o r r i t o H n 2 a = s b e s s e l h ( n , 2 ,K* lambda ) ; %g o r r i t o f u n c i o n h para r a d i oa
53 g o r r i t o d H n 2 a = d b e s s e l h ( n , 2 ,K* lambda ) ; %g o r r i t o de l a d e r i v a d a r a d i oa
54 p= l e g e n d r e P ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %p o l i n o m i o de l e g e n d r e55 dp= l e g e n d r e _ d e r i v a t i v e ( n , cos ( t h e t a ) ) ; %d e r i v a d a de l e g e n d r e56 dp= s q u e e z e ( dp ( 1 , : , : , : ) ) ;57
58 g o r r i t o d j f u n c = d b e s s e l j ( n ,K* lambda ) ; %f u n c i o n d e r i v a d a j b e s s e l59 g o r r i t o j f u n c = s b e s s e l j ( n ,K* lambda ) ; %f u n c i o n g o r r i t o j b e s s e l60
61 %c a l c u l o de an y bn62 an =( − j ^( − n ) ) * ( ( ( 2 * n ) +1) / ( n * ( n +1) ) ) * ( g o r r i t o d j f u n c / g o r r i t o d H n 2 a ) ;63 bn =( − j ^( − n ) ) * ( ( ( 2 * n ) +1) / ( n * ( n +1) ) ) * ( g o r r i t o j f u n c / g o r r i t o H n 2 a ) ;64
65 %s u m a t o r i a66 suma=suma + ( ( an . * g o r r i t o H n 2 . * dp ) + ( ( bn* j . * g o r r i t o d H n 2 ) . * ( p . / s i n ( t h e t a ) ) )
) ;67
68 end69
70 %campo magne t i co d i s p e r s o71 c o n s t a n t e E x t = ( −Ho . * cos ( p h i ) ) . / K. *R ;72 Hdisp= c o n s t a n t e E x t . * suma ;73 p a r t e R e a l H d i s p = r e a l ( Hdisp ) ;74
75 %se e v a l u a l o s v a l o r e s e n c o n t r a d o s de l o s s u b i n d i c e s en l a s u m a t o r i a
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76 H d i s p _ c o n _ e t h a = e t h a * p a r t e R e a l H d i s p ( : , w , : ) ;77 Hdisp_conEtha = s q u e e z e ( H d i s p _ c o n _ e t h a ) ;78
79 %se g r a f i c a80 pc o l or ( Hdisp_conEtha ’ ) ;81 shading i n t e r p ;82 l im = c a x i s ;83 c a x i s ( [ −1 1 ] )84 colormap ( j e t ) ;85 t i t l e ( ’Campo m a g n t i c o d i s p e r s o ’ )86 c o l o r b a r ;
63