MATEMÁTICAS I GUIA DE APOYO PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO CONTENIDO DEL CURSO, EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTOS PARA EL DESARROLLO DE HABILIDADES EN LA MATERIA NICOLAS SANCHEZ HERNANDEZ OCTUBRE 2015
OBLIGATORIO ENTREGA DE ESTA GUIA RESUELTA PARA PRESENTAR EL EXAMEN EXTRAORDINARIO
SECRETARIA DE EDUCACION PÚBLICA
SUBSECRETARIA DE EDUCACION MEDIA SUPERIOR
DIRECCION GENERAL DE BACHILLERATO
CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2
LIC. JESUS REYES HEROLES
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PRESENTACION
Dentro del marco de la Reforma Educativa en la Educación Básica y Media Superior, la Dirección General del Bachillerato incorporó en su plan de estudios los principios básicos de la Reforma Integral de la Educación Media Superior, (RIEMS) cuyos propósitos son fortalecer y consolidar la identidad de este nivel educativo, en todas sus modalidades y subsistemas; proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita establecer una relación entre la escuela y su entorno; y facilitar el tránsito académico del estudiantado entre los subsistemas y las escuelas. Para contribuir al logro de las finalidades anteriores y contribuir al apoyo en el egreso de los estudiantes, la Dirección General del Bachillerato se ha dado a la tarea de llevar a cabo acciones y desarrollar herramientas que incrementen la aprobación en periodos extraordinarios, fortaleciendo, aclarando y desarrollando las competencias establecidas dentro del plan de estudios de la asignatura.
COMPETENCIAS A DESARROLLAR COMPETENCIAS GENÉRICAS 1. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. 2. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 3. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos
y herramientas apropiados. 4. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 5. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. 6. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas
sociales. COMPETENCIAS DISCIPLINARES EXTENDIDAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS
COMPETENCIAS DISCIPLINARIAS
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales
2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
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IMPORTANTE DIRECTRICES PARA ENTREGA DE LA GUIA RESUELTA
- ES DE CARÁCTER OBLIGATORIO PARA PRESENTAR EXAMEN EXTRAORDINARIO EN CUALQUIER PERIODO DE
APLICACIÓN
- SE DEBE PRESENTAR RESUELTA EN CUADERNO CON EL DESARROLLO COMPLETO DE CADA EJERCICIO DE LOS
INDICADOS EN CADA PARTE DE ESTA GUIA
- EL CUADERNO DEBE CONTENER NOMBRE DEL ALUMNO Y MATERIA A PRESENTAR
- EL CUADERNO SE DEBE ENTREGAR AL PROFESOR QUE LE ASESORE, O AQUEL PROFESOR QUE SEA ENCARGADO
DE APLICAR EL EXAMEN DE LA MATERIA CORRESPONDIENTE PARA SU AUTORIZACION UNA SEMANA ANTES DE
LA APLICACIÓN DEL EXAMEN
- IMPORTANTE SI NO SE CUMPLEN ESTOS REQUISITOS EN TIEMPO Y FORMA NO HAY POSIBILIDAD DE VALIDAR EL
EXAMEN EXTRAORDINARIO.
CONTENIDO DEL CURSO
BLOQUE I RESUELVES PROBLEMAS ARITMETICOS Y ALGEBRAICOS BLOQUE II UTILIZAS MAGNITUDES Y NUMEROS REALES BLOQUE III REALIZAS SUMAS Y SUCESIONES DE NUMEROS BLOQUE IV REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I BLOQUE V REALIZAS TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II BLOQUE VI RESUELVES ECUACIONES LINEALES I BLOQUE VII RESUELVES ECUACIONES LINEALES II BLOQUE VIII RESUELVES ECUACIONES LINEALES III BLOQUE IX RESUELVES ECUACIONES CUADRATICAS I BLOQUE X RESUELVES ECUACIONES CUADRATICAS II EL CONTENIDO DEL PROGRAMA EN SU TOTALIDAD SE PUEDE VER EN EL SIGUIENTE LINK http://www.dgb.sep.gob.mx/02-m1/03-iacademica/programasdeestudio.php
EN CUALQUIER DUDA ASISTIR A ASESORIA CON ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
EN CUALQUIER EJERCICIO QUE REALICES PRIMERO INTENTA RESOLVERLO, EN CASO DE NO PODER HACERLO IDENTIFICA
TU DUDA PARA QUE EN LA ASESORIA SE PARTA DE ESE PUNTO, SI LAS DUDAS SON CONOCIMIENTOS BASICOS COMO
OPERACIONES CON FRACCIONES RECUERDA HACER EJERCICIOS SUFICIENTES Y TENER CLAROS LOS CONCEPTOS PARA
REALIZARLOS, NO AVANCES SI NO HAS CUBIERTO ESTAS CONSIDERACIONES.
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SUMA
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
1. 0.254
0.736
0.990
2.
3. 345 + 421 = 766
300 + 40 + 5
400 + 20 + 1
700 + 60 + 6
4. SUMAR LOS SIGUIENTES NUMEROS : 5 , -7, 8, -2
(5) + (-7) + (8) + (-2) = 5-7+8-2 = 13-9= 4
NOTA: LA SUMA SE HACE TENIENDO LA MISMA UNIDAD DE REFERENCIA
SUMA ALGEBRAICA
5. (2X + 3Y) + (5X + 6Y) = 7X + 9Y
6. 2X2 + 3X – 2 + 4X – X2 + 5 = X2 + 7X + 3
NOTA: LA SUMA ALGEBRAICA SE HACE TOMANDO CADA LITERAL CON SU EXPONENTE COMO LA UNIDAD DE
REFERENCIA.
+
AQUÍ OBSERVAMOS QUE LA UNIDAD LA DA EL
DENOMINADOR, TENEMOS INICIALMENTE
UNIDADES DE UN TERCIO (1/3), UNIDADES DE
UN CUARTO (1/4), UN SEXTO (1/6), ASI NO
PODEMOS SUMAR HASTA QUE TODAS HACEN
REFERENCIA A LA MISMA UNIDAD UN DOCEAVO
(1/12)
AUN EN LOS ENTEROS POSITIVOS OBSERVAMOS LO MISMO, AL
HACER LA SUMA EXPLICITA VEMOS QUE SUMAMOS UNIDADES
SENCILLAS, DECENAS Y CENTENAS, DEBEMOS TENER SIEMPRE
LA MISMA UNIDAD DE REFERENCIA
ALGEBRAICAMENTE SUCEDE DE LA MISMA
FORMA, LO QUE ESTA EN PARENTESIS NO LO
PODEMOS SUMAR TENEMOS DIFERENTES
UNIDADES(X, Y) PERO RESOLVIENDO EN SU
TOTALIDAD SUMAMOS X CON X, Y CON Y, X2
CON X2, ETC.
AQUÍ OBSERVAMOS UNIDAES DECIMAS (0.1),
CENTESIMAS (0.01), Y MILESIMAS (0.001) Y
CADA UNA SE SUMA, SI SE FORMA UNA UNIDAD
MAYOR SE SUMA EN SU LUGAR
CORRESPONDIENTE
PARA SUMAR NUEMROS POSITIVOS Y NEGATIVOS,
SUMAMOS TODOS LOS POSITIVOS, SUMAMOS TODOS LOS
NEGATIVOS Y FINALMENTE SE HACE LA SUMA RESPETANDO
LOS SIGNOS
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PARTE 1 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LAS SIGUIENTES SUMAS ORDENANDO CADA UNIDAD DE REFERNCIA
1. 0.235 + 1.254
2. 0.025 + 1.003
3. 0.3 + .033
4.
DETERMINE M.C.M. COMO UNIDAD DE REFERENCIA
5.
6.
7.
8. 235 + 1003 USE UNIDADES SIMPLES, DECENAS, CENTENAS, MILLARES, ETC.
9. 3467 + 2326
10. 1025 + 437 + 718 + 2402
11. 8 ☼ + 13 ☼ + 7 ☼ + 4 ☼
12. SUMAR: -5, 16, -6, -8, 12, -11
13. SUMAR: -0.23, 1.15, -.723, -0.5, 1.12
14. SUMAR: 247, -325, 118, -102
15. SUMAR:
16. 3X + 7X +2X +X
17. SUMAR (3X + 4Y + 5Z) MAS (2X + 4Y + 8Z)
18. SUMAR (2X2 + 3X + 4) MAS ( 4X2 + 3X + 6)
19. SUMAR (3X1/2 + ½ X2 + 4X) MAS (⅓ X1/2 + 2 X2 + ¾ X)
20. SUMAR( 2X + 3Y – 5W) MAS (-2X + 4Y – 3W)
21. EL ALUMNO DEBE PROPONER 10 EJERCICIOS ELEGIDOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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RESTA
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
NOTA: LA RESTA SE HACE CON ESTE PROCEDIMIENTO
A. IDENTIFICAS MINUENDO(CANTIDAD DE LA QUE EXTRAES), SUSTRAENDO(CANTIDAD EXTRAIDA)
B. EL MINUENDO QUEDA IGUAL Y TRANSFORMAS CADA UNIDAD DEL SUSTRAENDO A SUS INVERSOS ADITIVOS
C. SUMAS
1. RESTAR 0.25 DE 0. 75
0.75
- 0.25
0.50
2.
3. DE 342 RESTAR 211
300 + 40 +2
-200 – 10 – 1
100 + 30 +1
4. DE 32 RESTAR -15
32
+ 15
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RESTA ALGEBRAICA
5. DE 3X2 + 2Y RESTAR 4X2 - 6Y
3X2 + 2Y
- 4X2 + 6Y
- X2 + 8Y
A. MINUENDO SE QUEDA IGUAL
B. SUSTRAENDO USAMOS INVERSO ADITIVO , EN ESTE
CASO YA ESTA DEFINIDA LA OPERACION
C. HACEMOS LA SUMA, EN ESTE CASO HAY QUE TENER LA
MISMA UNIDAD DE REFERENCIA
A. MINUENDO SE QUEDA IGUAL 0.75
B. SUSTRAENDO USAMOS INVERSO ADITIVO 0.25 A -0.25
C. HACEMOS LA SUMA
OBSERVA EL MISMO PROCEDIMIENTO, IDENTIFICAR MINUENDO,
USAR EL INVERSO ADITIVO DE CADA UNIDAD DEL SUSTRENDO Y
HACER LA SUMA
OBSERVA EL MISMO PROCEDIMIENTO, IDENTIFICAR MINUENDO,
USAR EL INVERSO ADITIVO DE CADA UNIDAD DEL SUSTRENDO Y
HACER LA SUMA
OBSERVA EL MISMO PROCEDIMIENTO, IDENTIFICAR MINUENDO,
USAR EL INVERSO ADITIVO DE CADA UNIDAD DEL SUSTRENDO Y
HACER LA SUMA, EN TODO CASO RESPETAMOS LA UNIDAD DE
REFERENCIA
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PARTE 2 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LAS SIGUIENTES RESTAS
1. RESTAR 0.25 DE 1.00 2. DE 0.75 RESTAR 1.24
3. RESTAR 0.332 DE 0. 728
4. DE 3.153 RESTAR 1.234
5. DE ¾ RESTAR ⅓
6. DE (
) RESTAR (
)
7. RESTAR (
) DE (
)
8. DE 4/5 RESTAR 8/3
9. RESTAR 345 DE 527
10. DE 1743 RESTAR 948
11. DE 246 RESTAR -124
12. DE -0.845 RESTAR -0.324
13. RESTAR -4/5 DE 6/8
14. DE -235 RESTAR -877
15. RESTAR -25 DE 897
16. DE (3W + 4 T) RESTAR (8W – 5T)
17. RESTAR (3X + 4Y + 5Z) DE (2X + 4Y + 8Z)
18. DE (3X1/2 + ½ X2 + 4X) RESTAR (⅓ X1/2 + 2 X2 + ¾ X)
19. RESTAR (2X2 + 3X + 4) DE ( 4X2 + 3X + 6)
20. DE (3P + 4Q -7 R) RESTAR (-4P – 5P – 8R)
21. EL ALUMNO DEBE DE PROPONER 10 EJERCICIOS ELEGIDOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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MULTIPLICACION
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
2 +2 +2 +2 +2 +2 = 2 X 6 = 12
3+3+3+3= 3 X 4= 4 X 3= 4+4+4
(0.25)(0.1) = 0.025
(1.2) (0.5) = 0.60
NOTA: LA MULTIPLICACION SI MODIFICA UNIDADES DE REFERENCIA
ANALISIS DE UNA MULTIPLICACION ARITMETICA POR UNIDADES DE REFERENCIA
325 X 12 300 + 20 + 5
POR 10 + 2___
600 + 40 + 0
+ 10
3000 + 200 + 50_____
3000 + 800 + 00 + 0
_____+ 100__________
3000 + 900 +00 + 0
LEY DE EXPONENTES PARA LA MULTIPLICACION ALGEBRAICA
AVANCEMOS UN POCO 2X2X2 = 23 = 8 Y 2X2 = 22 = 4
8 X 4 = 23 X 22 = 2X2X2X2X2 = 25 POR LO OBSERVAMOS QUE 23 X 22 = 23+2 = 25
GENERALIZANDO PARA CUALQUIER BASE X
Xm • Xn = Xm + n REGLA ALGEBRAICA PARA LA MULTIPLICACION
MULTIPLICACION ALGEBRAICA
OBSERVA LA SIGUIENTE OPERACIÓN
X2 + 2XY + Y2
POR X + Y______
X3 + 2X2Y + XY2
_______X2Y +2XY2 + Y3
X3 + 3X2Y +3XY2 + Y3
LA MULTIPLICACION SIMPLIFICA LA SUMA DE
UNA MISMA UNIDAD DE REFERENCIA (BASE)
LA MULTIPLICACION DE NUMEROS DECIMALES
CONSIDERA LA POSICION DEL PUNTO DECIMAL
LA MULTIPLICACION EN UNA FRACCION, SE HACE MIEMBRO A
MIEMBRO, NUMERADOR POR NUMERADOR, DENOMINADOR POR
DENOMINADOR
OBSERVA SE MULTIPLICA CADA UNIDAD DE CADA
NUMERO POR CADA UNIDAD DE CADA NUMERO,
OBSERVA EL 2X5 ES 10 Y SE ORDENA EN LAS
UNIDADES DE DECENAS NO EN LAS SIMPLES, LO
MISMO PASA AL SUMAR 40+10+50, EL RESULTADO
DE ESTA ES 100 Y SE ORDENA EN SU UNIDAD
CORRESPONDIENTE, LOS CEROS INDICAN LA
POSICION DE UNIDADES
MULTIPLICAS TÉRMINO A TÉRMINO, UNIDAD A
UNIDAD, USAS LA REGLA ALGEBRAICA DE
EXPONENTES DE LA MULTIPLICACION
X1 • X
2 = X
1+2 = X
3
X1 •2 X
1 Y = 2X
1+1 Y = 2 X
2Y
X1 • Y
2 = XY
2
LO MISMO PARA Y POR CADA MIEMBRO DEL
TRINOMIO
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PARTE 3 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES
1. MULTIPLIQUE 0.25 POR 0.15
2. (0.125)(3.5)
3. 7.12•5.13
4. 3.14 X 25
5. MULTIPLICAR 4/5 POR 3/2
6.
7.
8. 300 + 10 + 5 POR 10 +3
9. 500 +20+ 4 POR 10 + 2
10. 2000 + 300 + 40 + 2 POR 10 + 1
11. X3 • X5
12. X4 • X1/2
13. X3/2 • X1/3
14. (3X + 4Y)(2X + 4Y)
15. (2X2 + 3Y3)(2X + 3Y)
16. (⅓ X + ⅕ Y)(3X - Y)
17. (2X2 + 3X + 4)( 4X + 2)
18. (3X1/2 + ½ X2 + 4X)(X - 1)
19. (2X2 + 3XY + ½ Y2) (X+Y)
20. (3X3 + 21X2Y – 13XY2 – 6Y3)(2X-3Y)
21. EL ALUMNO DEBE DE PROPONER 10 EJERCICIOS ELEGIDOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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DIVISION
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
1. 0.25 = 25/100
2.
3. 100 ÷ 5 =20
NOTA: LA DIVISION TAMBIEN MODIFICA EXPONENTES Y USA LAS OPERACIONES ANTERIORES
ANALISIS DE UNA DIVISION ARITMETICA POR UNIDADES DE REFERENCIA
3912 ÷ 12 300 + 30 -5 + 1
10 +2 3000 + 900 + 10 + 2
-3000 – 600
0 + 300 + 10
-300 – 60
0 -50 + 2
+50 -0
+10
+10 + 2
-10 -2
0
LEY DE EXPONENTES PARA LA DIVISION ALGEBRAICA
AVANCEMOS
25-2 = 23
OBSERVA DE LA MISMA FORMA QUE EN LA MULTIPLICACION DEBES TENER LA MISMA UNIDAD DE REFERENCIA
(BASE) EN ESTE CASO ES 2, GENERALIZANDO
Xm - n
DIVISION ALGEBRAICA
X2 + 2XY + Y2
X + Y X3 + 3X2Y + 3XY2 + Y3
-X3 - X2Y
0 + 2X2Y + 3XY2
-2X2Y – 2XY2
0 + XY2 + Y3
-XY2 - Y3
0
OBSERVA: CON LAS UNIDADES SEPARADAS Y
DEFINIDAS, INICIAS DIVIDIENDO 3000/10, ES 300
ESTE LO MULTIPLICAS POR CADA UNIDAD 10 Y 2,
LE CAMBIAS EL SIGNO (RESTA) Y LO SUMAS CON
LA UNIDAD CORRESPONDIENTE, 3000-3000=0,
900-600=300, BAJAS LA SIGUIENTE UNIDAD
REPITES EL PROCESO, 300/10=30
30X 10 =300 LO TRANFORMAS A -300
30 X 2 = 60 LO TRANSFORMAS A -60
300-300=0 Y +10 -60 = -50
CONTINÚA…
OBSERVA: REALIZAS EL MISMO PROCEDIMIENTO
QUE EN UNA DIVISION ARITMETICA POR
UNIDADES DE REFERENCIA SOLO DEBES USAR EN
CADA CASO LA REGLA ALGEBRAICA
X3-2 = X2 LUEGO
X2 • X
1 = X
2+1 = X
3 y CAMBIAS A - X
3
X1 • Y
1 = XY Y CAMBIAS A -XY
CONTINÚA…
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PARTE 4 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LAS SIGUIENTES DIVISIONES
1. 375/1000
2. 4/5
3.
4.
5. (
) ÷ (
)
6. (
) ÷ (
)
7. 300 + 60 + 0 ENTRE 10 +2
8. 4000 + 200 + 80 + 6 ENTRE 10 + 3
9. 500 + 70 + 5 ENTRE 10 + 5
10.
11.
12.
13. ( 5XY + 3Y)÷(5X)
14. (4X2 + 16X + 32)÷(X + 4)
15. (12X3 + 26X2Y + 54XY2 + Y3)÷(X +Y)
16. (24X3 + 3X2Y - 36XY2 -4 Y3)÷(2X -Y)
17. (-32X3 + 12X2Y - 24XY2 +6 Y3)÷(2X +2Y)
18. (5X3 + 125X2Y + 75XY2 +3 Y3)÷(X +Y)
19. (2X3 + 3X2Y + 4XY2 + 5Y3)÷(X-Y)
20. (X3 + 25X2Y + 15XY2 + Y3)÷(3X -2Y)
21. EL ALUMNO DEBE DE PROPONER 10 EJERCICIOS ELEGIDOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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POTENCIACION
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
RECUERDA: 2+2+2+2+2+2 = 2 X 6
2X2X2X2X2 = 25
OBSERVA 23 = 2X2X2 Y SI (23)2 = (2X2X2)(2X2X2)=2X2X2X2X2X2= 26
REGLA DE POTENCIAS PARA ALGEBRA
Xn = X•X•X… n VECES EJEMPLO X5 = X•X•X•X•X
(X+Y)3 = (X+Y)(X+Y)(X+Y)
Xm • Xn = Xm + n EJEMPLO X3 • X8 = X3+8 = X11
Xm – n EJEMPLO
X7-4 = X3
(Xm)n = Xmxn EJEMPLO (X5)7 = X5x7 = X35
(XY)n = XnYn EJEMPLO (XY)6 =X6Y6
=
EJEMPLO
=
X-n =
EJEMPLO X-3=
RADICACION
EJEMPLOS DE LO QUE DEBES SABER DE ARITMETICA
= = 2 PORQUE 22 = 4
= = 5 PORQUE 52 = 25
= = 3 PORQUE 33 = 27
REGLA DE RADICACION PARA ALGEBRA
= X
= X1/n EJEMPLO
= X1/5
= Xm/n EJEMPLO
= X5/3
=
=
LOGARITMOS
ENTENDIENDO LO QUE ES UN LOGARITMO
SI 25 = 32 ENTONCES = 5
SI 34 = 81 ENTONCES = 4
EN GENERAL SI ab = c entonces = b
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PARTE 5 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS DE REGLAS DE EXPONENTES
1. X5 • X2
2. X3/4 • X1/2
3. X-4
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. (X5)1/3
12. (X 3Y 2)1/6
13.
14.
15. (X+Y)4
16. (X2/3)6
17. (X 1/2Y 3)3/5
18.
19.
20. 5
21. EL ALUMNO PROPONDRA 10 EJERCICIOS ELEGIDOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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JERARQUIA DE OPERACIONES
HAY DOS CRITERIOS PARA EJERCICIOS QUE INVOLUCRAN TODAS LAS OPERACIONES BASICAS
1. DE ACUERDO A LAS OPERACIONES
1.1 PRIMERO SE RESUELVEN POTENCIAS Y RAICES
1.2 EN SEGUNDO LUGAR SE RESUELVEN MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES
1.3 FINALMENTE SE RESUELVEN SUMAS Y RESTAS
2. DE ACUERDO A LOS SIGNOS DE AGRUPACION
2.1 PRIMERO SE RESUELVE LO QUE ESTA DENTRO DE PARENTESIS ( )
2.2 EN SEGUNDO LUGAR SE RESUELVE LO QUE ESTA ENTRE CORCHETES [ ]
2.3 EN TERCER LUGAR LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DE LLAVES { }
2.4 FINALMENTE LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DE BARRAS | |
ES DECIR DESDE DENTRO HACIA AFUERA CONSIDERANDO EL SIGUIENTE ORDEN
|{[( ) ] }|
IMPORTANTE CUALQUIER NUMERO O SIGNO JUNTO A UN SIGNO DE AGRUPACION IMPLICA UNA
MULTIPLICACION
EJEMPLO:
2 + 3| 4 - 5{ 22 + 2[6 - (33 – 42 ) + 1 ]- } + 8|- 1 =
= 2 + 3| 4 - 5{ 22 + 2[6 - (27 – 16 ) + 1 ]- } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ 22 + 2[6 - (11) + 1 ]- } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ 22 + 2[6 - 11 + 1 ]- } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ 22 + 2[ – 4 ]- } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ 22 – 8 - } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ 4 – 8 - 5 } + 8|- 1
= 2 + 3| 4 - 5{ – 9} + 8|- 1
= 2 + 3| 4 + 45 + 8|- 1
= 2 + 3| 56|- 1
= 2 + 168 + 1 = 171
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15
PARTE 6 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS DE JERARQUIA DE OPERACIONES
1. EL ALUMNO PROPONDRA 20 EJERCICIOS DE LA BILIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA, O BIEN PEDIRA A EL
PROFESOR QUE LE ASESORA LE ASIGNE EJERCICIOS DE ESTA PARTE.
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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PRODUCTOS NOTABLES
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
BINOMIO AL CUADRADO(SUMA) (X+Y)2=X2 +2XY +Y2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
BINOMIO AL CUADRADO(RESTA) (X+Y)2=X2 - 2XY +Y2 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
BINOMIOS CONJUGADOS (X+Y)(X-Y) = X2 – Y2 DIFERENCIA DE CUADRADOS
BINOMIOS CON TERMINO COMUN (X+a)(X+b)=X2 + (a+b)X + ab TRINOMIO CUADRADO COMUN
BINOMIO AL CUBO(SUMA) (X+Y)= X3 + 3X2Y + 3XY2 + Y3 POLINOMIO CUBICO
BINOMIO AL CUBO(RESTA) (X+Y)= X3 - 3X2Y + 3XY2 - Y3 POLINOMIO CUBICO
EJEMPLOS
(2X+3Y)2 = (2X)2 +2(2X)(3Y) +(3Y)2 = 4X2 + 12XY + 9Y2
(4X – 2Y)2 = (4X)2 - 2(4X)(2Y ) +(2Y )2 = 16X2 + 16XY2 + 4Y4
(6X3 + 5Y2) (6X3 - 5Y2) = (6X3)2 – (5Y2)2 = 36X6 – 25Y4
(X+5)(X + 7) = X2 + (5+7)X + (5)(7) = X2 + 12X + 35
(2X+3Y)3 = (2X)3 + 3(2X)2(3Y) + 3(2X)(3Y)2 + (3Y)3 = 8X3 + 36X2Y + 54XY2 + 27Y3
(4X – 2Y2)3 = (4X)3 - 3(4X)2(2Y2) + 3(4X)(2Y2)2 - (2Y2)3 = 64X3 - 96X2Y2 + 48XY4 - 8Y3
REPRESENTACION GRAFICA POR AREAS
Binomio al cuadrado(suma) Binomios al cuadrado (resta)
2X 4X
3Y 2Y
Binomios con término común Binomios conjugados
X 7
X 6X3
5 5Y2
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P.N. GRADO n TRIANGULO DE PASCAL, BINOMIO DE NEWTON
PARA DESARROLLAR UN BINOMIO (X+Y)n TENEMOS LO SIGUIENTE:
1. EL VERTICE SUPERIOR DEL TRIÁNGULO ES n=0, CADA NIVEL HACIA ABAJO AUMENTA n EN UNIDADES
POSITIVAS
2. CADA RENGLON NOS DA LOS COEFICIENTES NUMERICOS DE LOS POLINOMIOS QUE SE DESARROLLAN
3. LA PRIMER LITERAL DEL BINOMIO EMPIEZA CON EL GRADO n DEL BINOMIO EN SU EXPONENTE Y LA
SEGUNDA CON GRADO 0
4. LA PRIMER LITERAL DISMINUYE EN CADA TERMINO UNA UNIDAD, LA SEGUNDA AUMENTA EN CADA
TERMINO UNA UNIDAD
5. EN EL ULTIMO TERMINO SE TIENE QUE LA PRIMER LITERAL ALCANZO GRADO 0 Y LA SEGUNDA EL GRADO n
DEL BINOMIO
EJEMPLO:
(X+Y)6 = X6 + 6X5 Y + 15X4 Y2 + 20X3 Y3 + 15X2 Y4 + 6X Y5 + Y6
NOTA: PRODUCTO NOTABLE, LLEGAR AL RESULTADO DE UNA MULTIPLICACION ALGEBRAICA SIN HACERLA
EJEMPLO: n=6, ESTE NIVEL NOS DA
LOS COEFICIENTES NUMERICOS
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PARTE 7 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS DESARROLLANDO LOS
PRODUCTOS NOTABLES E INDICANDO DE CUAL SE TRATA EN CADA CASO
1. (x+y)2 2. (x + 4)(x – 5) 3. (x – 3)2 4. (x + 2y)(x – 2y) 5. (3x +2y)3 6. (4x – 2y)3 7. (x1/3 + y1/5)2 8. (2p1/2 + 3q1/4)3 9. (z2/3 + w3/2)(z2/3 – w3/2) 10. (r4/5 + 1)(r4/5 – 4) 11. (3x1/4 + 5y1/5)2 12. (2x3 - 6y5)2 13. (2x4 + 5y1/2)(2x4 – 5y1/2) 14. (w4 + 11)(w4 – 3) 15. (t3 - 1)(t3 – 6) 16. (1/2x3 – 1/6y5)2 17. (1/3x1/2 + 2/3y1/4)3 18. (2p1/2 - 3q1/4)3 19. (5x3 – 3y5)3 20. (2x + 8)(2x – 7) 21. EL ALUMNO PROPONDRA 2 EJERCICIOS POR CADA PRODUCTO NOTABLE DE LA BIBLIOGRAFIA
SUGERIDA O CONSULTADA
22. EL ALUMNO REPRESENTARA EN AREAS 2 BINOMIOS AL CUADRADO(SUMA), 2 BINOMIOS AL CUADRADO(RESTA), 2 BINOMIOS CONJUGADOS, 2 BINOMIOS CON TERMINO COMUN, DE SU ELECCION DE LA LISTA DE EJERCICIOS
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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FACTORIZACION
FACTORES ARITMETICOS
SEA EL NUMERO 36 TIENE FACTORES NUMERICOS LOS SIGUIENTES:
36 X 1, 12 X 3, 9 X 4, 6 X 6
ES DECIR DADA UNA CANTIDAD SUS FACTORES SON DOS NUMEROS QUE MULTIPLICADOS NOS DAN
REFERENCIA DE ESA CANTIDAD, AHORA OBSERVA
36 = 42 + 2(4)(2) + 22 = (4 + 2)(4 + 2) = (4 + 2)2
36 = 32 + (6 + 1)3 + 6 = (3 + 6)(3 + 1)
SON FORMAS CONOCIDAS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES ANTERIORES POR LO QUE:
FACTORES ALGEBRAICOS
PARA ENCONTRAR LOS FACTORES ALGEBRAICOS DE UN POLINOMIO TENEMOS:
1. PRIMERO IDENTIFICAMOS SI EL POLINOMIO CUMPLE CON LAS CARACTERISTICAS DEL DESARROLLO DE UN
PRODUCTO NOTABLE CONOCIDO
2. MEDIANTE LAS OPERACIONES DE RADICACION Y TOMANDO EN CUENTA LA REGLA DE LOS SIGNOS, Y
EXPONENTES ALGEBRAICOS SE HALLAN LOS TERMINOS DE LOS PRODUCTOS NOTABLES
3. LOS PRODUCTOS NOTABLES SON LOS FACTORES DEL POLINOMIO QUE CUMPLE CON SU DESARROLLO
EJEMPLOS: FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS
X2 – 64 = (X + 8)(X – 8)
8X3 + 36X2Y + 54XY2 + 27Y3 = (2X + 3Y)3
X2 – 14X + 49=(X-7)2
X2 – 13X + 36=(X-9)(X-4)
SE OBSERVA QUE LA EXPRESION ES UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS, POR LO
TANTO PROVIENE DE BINOMIOS CONJUGADOS. SE EXTRAE RAIZ CUADRADA DE
AMBOS TERMINOS Y SE FORMAN LOS BINOMIOS CONJUGADOS
SE OBSERVA QUE LA EXPRESION ES UN POLINOMIO CUBICO (4 TERMINOS,
EXTREMOS CON LITERALES AL CUBO), TODOS LOS TERMINOS POSITIVOS POR LO
TANTO PROVIENE DE BINOMIO AL CUBO (SUMA). SE EXTRAE RAIZ CUBICA DE
TERMINOS EXTREMOS Y SE FORMAN EL BINOMIOS AL CUBO (SUMA)
PARA ESTOS DOS TRINOMIOS TENEMOS DOS POSIBILIDADES, BINOMIOS AL
CUADRADO O BINOMIOS CON TERMINO COMUN, ASI QUE HAY QUE
DIFERENCIARLOS: EL T.C.P. DEBE DE 1. TENER TERMINOS EXTREMOS POSITIVOS, 2.
TERMINOS EXTREMOS CON RAIZ CUADRADA EXACTA, 3. TERMINO MEDIO CON
COEFICIENTE DIVISIBLE POR 2. PARA FACTORIZAR SE EXTRAEN RAICES DE LOS
EXTREMOS Y SE SEPARAN POR EL SIGNO DEL TERMINO MEDIO.
SI NO ES T.C.P. ES T.C.C. Y SE FACTORIZA BUSCANDO DOS NUMEROS QUE
SUMADOS DEN EL COEFICIENTE DEL TERMINO MEDIO Y MULTIPLICADOS EL
TERCER TERMINO.
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PARTE 8 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS FACTORIZANDO E INDICANDO
LOS PRODUCTOS NOTABLES DE LOS CUALES PROVIENE LA EXPRESION.
1. x2 + 2xy + y2 2. p2 – 2pq + q2 3. x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 4. x1/3 – 25 5. x3/2 – x3/4 – 6 6. x3/2 + 4x3/4 + 4 7. x1/3 + x1/6 – 56 8. x + 3x2/3y1/5 + 3x1/3y2/5 + y3/5 9. p6/5- q 10. x3 – 5x3/2 – 6 11. EL ALUMNO PROPONDRA 15 EJERCICIOS DE DIVERSAS FACTORIZACIONES DE EXPRESIONES OBTENIDAS
DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA.
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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ECUACIONES LINEALES 1X1
SOLUCION DE UNA E.L. 1X1
CONCEPTOS DE CERO Y UNO
EL OBJETIVO ES ENCONTRAR LA CANTIDAD QUE REPRESENTA LA INCOGNITA, PARA ELLO SE DEPEJA, SE LLEGA A
QUE TENGA COEFICIENTE UNO POSITIVO
SEA 3X - 9 = 6 3X – 9 + 9 = 6 + 9 3X = 15
3X = 15
X = 5
VEAMOSUN EJEMPLO DE ECUACION LINEAL 1 X 1 MÁS COMPLEJA OBSERVEMOS:
SE PARTE DE LA IGUALDAD, PARA MANTENERLA LO QUE SE HACE DEL
LADO IZQUIERDO SE HACE DEL LADO DERECHO. OBSERVA QUE PARA
ELIMINAR EL -9 HAY QUE SUMARLE SU INVERSO ADITIVO, Y SE LE SUMA
TAMBIEN AL 6. PARA CONVERTIR EN UNO AL 3 SE LE MULTIPLICA POR
SU INVERSO MULTIPLICATIVO, Y SE HACE LO MISMO CON EL 15.
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PARTE 9 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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ECUACIONES LINEALES 2X1
SOLUCION GRAFICA DE UNA E.L. 2X1
1. DESPEJAR UNA INCOGNITA Y DEJARLA EN FUNCION DE LA OTRA
2. TABULAR DANDO VALORES A UNA INCOGNITA Y ENCONTRANDO EL DE LA OTRA
3. GRAFICAR EN UN PLANO UNA INCOGNITA ONTRA LA OTRA, SERA UNA LINEA RECTA
EJEMPLO RESOLVER
1. DESPEJAREMOS Y PARA DEJARLA EN FUNCION DE X
2. TABULAMOS DANDO VALORES A X Y ENCONTRANDO Y
X OPERACION Y
-1 Y = 3(-1) + 6 3
0 Y = 3(0) + 6 6
1 Y = 3(1) + 6 9
2 Y = 3(2) + 6 12
3. GRAFICAMOS X .VS. Y EN UN PLANO
-1 0 1 2
3
6
9
12
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PARTE 10 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LO SIGUIENTE, ANALITICAMENTE Y GRAFICAMENTE:
1. 2X + 3Y = -3
2. -2X + 3Y -1 = 0
3. 4X-3Y +5 = 0
4. ½ X – 3 Y +4 =0
5. ½ X – 1/3 Y + ¼ =0
6. EL ALUMNO PROPONDRA 15 EJERCICIOS DE EJERCICIOS DE E.L. 2X1 DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O
CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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SISTEMAS DE ECUACIONES 2X2
NOTA: REDUCIR A UNA EL.L. 1X1
1. SUSTITUCION
2. IGUALACION
3. ELIMINACION
4. DETERMINANTES
5. GRAFICO
LA SOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE BASA PRINCIPALMENTE EN REDUCIR EL SISTEMA A UNA E.L.
1X1 PARA RESOLVER PARA UNA INCOGNITA Y POSTERIORMENTE RESOLVER PARA LA OTRA
METODO DE SUSTITUCIÓN
RESOLVER Y+3Z= 6 (1)
5Y-2Z =13 (2)
DE EC. (1) DESPEJAMOS Y, TENEMOS
Y+3Z= 6 → Y = 6 – 3Z
EN EC. (2) 5Y-2Z =13 → 5(6 – 3Z)-2Z =13
30 – 15Z – 2Z = 13 → 30 – 17Z = 13 → -17Z = 13 – 30 → -17Z = -17 →
→ Z= 1
DE EC. (1) Y+3Z= 6 → Y+3(1)= 6
Y + 3 = 6 → Y = 6 – 3 → Y = 3
METODO DE IGUALACION
RESOLVER Y+3Z= 6 (1)
5Y-2Z =13 (2)
DE EC.(1) DESPEJAMOS Y, TENEMOS Y = 6 – 3Z
DE EC. (2) DESPEJAMOS Y, TENEMOS Y = (13 + 2Z)/5
IGUALAMOS Y = Y ENTONCES: 6 – 3Z = (13 + 2Z)/5 RESOLVEMOS PARA Z
Z = 1 Y USAMOS ESTE VALOR PARA RESOLVER PARA Y
Y = 3
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METODO DE ELIMINACION
RESOLVER Y+3Z= 6 (1)
5Y-2Z =13 (2)
SE BUSCA ELIMINAR UNA INCOGNITA MEDIANTE SUMA Y RESTA OBSERVA ELIMINAREMOS Z
2(Y + 3Z = 6) → 2Y + 6Z = 12
3(5Y – 2Z = 13) → 15Y – 6Y = 39
17 Y + 0 = 51 RESOLVEMOS PARA Y, TENEMOS Y = 3
RESOLVEMOS PARA Z DE CUALQUIER EC. (1) O (2) TENEMOS Z = 1
METODO DE DETERMINANTES Y Z T
RESOLVER Y+3Z= 6 (1) FORMAMOS 3 COLUMNAS 1 3 6
5Y-2Z =13 (2) CON COEFICIENTES 5 -2 13
METODO GRAFICO
RESOLVER Y+3Z= 6 (1) SE DESPEJA Y SE GRAFICA
5Y-2Z =13 (2) SE DESPEJA
Y SE GRAFICA
Y
3
1 Z
EL DETERMINANTE BASE ∆ SE FORMA AL CUBRIR
LA COLUMNA T, EL DETERMINANTE ∆Y SE
FORMA CUBRIENDO LA COLUMNA Y y
COLOCANDO EN SU LUGAR LA COLUMNA T, EL
DETERMINANTE ∆Z SE FORMA CUBRIENDO LA
COLUMNA Z Y COLOCANDO EN SU LUGAR LA
COLUMNA T, LOS VALORES Y, Z SE CALCULAN
COMO SE INDICA
LA SOLUCION DEL SISTEMA ES LA INTERSECCION
DE AMBAS RECTAS PARA Y , PARA Z
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PARTE 11 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS ELIJA EN CADA UNO UN
METODO DE SOLUCION
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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ECUACIONES CUADRATICAS 1X1
1. SOLUCION POR FACTORIZACION
UNA ECUACION CUADRATICA TIENE LA FORMA aX2 + bX + c = 0, SI LA OBSERVAMOS BIEN YA ES UNA FORMA
CONOCIDA SOBRETODO LA PARTE IZQUIERDA, ES UN TRINOMIO QUE BIEN PUEDE PROVENIR DE UN BINOMIO
AL CUADRADO O DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN POR LO QUE UNA FORMA DE SOLUCION ES LA
FACTORIZACION:
(X + A)2 = X2 +2AX + A2 a= 1, b= 2A , c= A2
(X - A)2 = X2 +2AX + A2 a= 1, b=-2A , c= A2
(X + B)(X +C)= X2 +(B+C)X + BC a= 1, b=(B+C) , c= BC
(AX + B)(AX +C)= A2 X2 +(B+C)AX + BC a= A2 , b= (B+C)A , c= BC
TODAS ESTAS FORMAS FACTORIZABLES SON LAS QUE NOS DAN LA SOLUCION AL CAMBIARLE EL SIGNO AL
NUMERO QUE ACOMPAÑA A LA INCOGNITA, Y SON DOS SOLUCIONES
EJEMPLOS:
RESOLVER X2 +4X + 4 ES UN T.C.P. FACTORIZANDO (X + 2)2 = (X+2)(X+2) = X2 +4X + 4
COMO (X+2)= 0 LAS SOLUCIONES SON X1 = X2 = -2
RESOLVER X2 +13X + 36 ES UN T.C.C. FACTORIZANDO (X+4)(X+9) = X2 +13X + 36 TENEMOS
(X+4) = 0 X1 = -4
(X+9) = 0 X2 = -9
2. SOLUCION POR ECUACION GENERAL
PARTIENDO DE LA ECUACION aX2 + bX + c = 0 SE APLICA LA ECUACION GENERAL
TAMBIEN SE GENERAN DOS SOLUCIONES DEPENDIENDO DEL SIGNO DE LA RAIZ CUADRADA(DISCRIMINANTE)
EJEMPLO:
RESOLVER X2 +13X + 36 APLICANDO LA ECUACION GENERAL PARA CADA SOLUCION
X1 =
X2 =
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PARTE 12 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA L0S SIGUIENTES EJERCICIOS POR AMBOS METODOS,
FACTORIZACION Y APLICANDO ECUACION GENERAL.
9. EL ALUMNO PROPONDRA 12 EJERCICIOS DE LA BIBLIOGRAFIA SUGERIDA O CONSULTADA
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
1. x x2 8 15 0
2. x x2 8 25 0
3. x x2 7 3 0
4. 2 5 2 02x x
5. 2 9 1 02x x
6. 4 12 9 02x x
7. 3 6 12 02x x
8. 6 5 1 02x x
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ECUACIONES CUADRATICAS 2X1
SOLUCION GRAFICA DE UNA ECUACION DEL TIPO AX2 + BX +CY + D = 0
1. DESPEJAR Y, DEJANDO LA ECUACION EN FUNCION DE X
2. ACOMPLETAR T.C.P. PARA EL LADO DONDE SE ENCUENTRE LA INCOGNITA X,Y HACER TRABAJO ALGEBRAICO
Y DE FACTORIZACION PARA LLEGAR A LA ECUACION
(X-h)2 = L(Y-k)
3. TABULAR DANDO VALORES A X ANTES Y DESPUES DEL VALOR h , CALCULANDO PARA Y
4. GRAFICAR
EJEMPLO RESOLVER GRAFICAMENTE
1. X2 + 4X - Y + 4 = 0 → Y= X2 + 4X + 4
X2 + 4X = Y – 4
2. X2 + 4X + 4 = Y – 4 + 4
(X+2)2 = 1(Y+0) TENEMOS (h,k) = (-2,0)
3. TABULAR
VALOR X CALCULO VALOR Y
-6 Y = (-6)2 + 4(-6) + 4 16
0 Y = (0)2 + 4(0) + 4 4
1 Y = (1)2 + 4(1) + 4 9
4. GRAFICA
-6 -2 0 1
4
9
16
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31
PARTE 13 DE LA GUIA PARA ENTREGAR. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE FORMA GRAFICA Y
ANALITICA
1. X2 + 2X + 1 = Y
2. X2 - 2X – Y - 1 = 0
3. 3X2 + 6X – 2 Y + 4 =0
4. ½ X2 + ¾ X + ½ Y -3 = 0
5. 2/5 X2 + 2/10X – 3/5Y + 1 = 0
IMPORTANTE:
RECUERDA QUE CADA PARTE INDICADA PARA ENTREGAR ES OBLIGATORIA PARA PRESENTAR TU EXAMEN
EXTRAORDINARIO, PUES CADA PARTE TE APORTARA LA HABILIDAD NECESARIA PARA UN DESEMPEÑO EXITOSO
EN LA SOLUCION DE TU EXAMEN.
RECUERDA TAMBIEN QUE LA ENTREGA DE LA SOLUCION DE ESTA GUIA DEBE SER EN CUADERNO CON TUS
DATOS Y SER AUTORIZADA POR ALGUN PROFESOR DE LA ACADEMIA DE MATEMATICAS
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EJERCICIOS TIPO EXAMEN
1. RESUELVA LAS SIGUIENTES OPERACIONES ARITMETICAS
{3 - 2 [12(
+
) + (33- 22) - 3] + [(
+
+
) – (
- 11] }+1
2. SEAN LOS POLINOMIOS …RESUELVA LAS OPERACIONES INDICADAS
P(x) = x3 + 3x2y + 4xy2 + y3 Q(x) = 2x3 - 6x2y + 7xy2 - y3
R(x) = x + y
S(x) = x2 + 2xy + y2
Obtenga:
i) P(x) + Q(x) ii) Q(x) – P(x) iii) S(x) ∙ R(x) iv) P(x) ÷ R(x)
3. DESARROLLE LOS P.N. O ACOMPLETE DIMENSIONES
Desarrolle los Productos Notables o encuentre los Factores de las expresiones algebraicas según se requiera en
cada inciso, en las figuras los términos fuera son longitudes y los internos áreas.
i) (x1/3 + y1/5)3
ii) x3/2 – y
iii) x3 + x3/2 - 20
iv) v)
2r x2
3s 4x 20
4. FACTORICE LOS SIGUIENTES POLINOMIOS
i) x2 + 2xy + y2 ii) p2 – 2pq + q2 iii) x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 iv) x1/3 – 25 v) x3/2 – x3/4 – 6
5. RESUELVA LA SIGUIENTE E.L. 1X1
6. GRAFIQUE LA E.L. 2X1
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7. RESUELVA EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES POR EL METODO QUE ELIJA
8. RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES CUADRATICAS SEGÚN SE INDICA
Por Ecuación general
Por factorización
9. GRAFIQUE LA ECUACION CUADRATICA
10. RESUELVA EL SIGUIENTE PROBLEMA
La base de un rectángulo tiene la dimensión de su altura aumentada en 5, si el área del rectángulo es
4 cm2 ¿Cuáles son las medidas de su base y su altura?
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ANEXOS
CONCEPTO DE NÚMERO
NUMERO: ES UN SIMBOLO QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD EN REFERENCIA A UNA UNIDAD. VEAMOS
☺ ES UN NUMERO ES UN SIMBOLO REPRESENTA LA CANTIDAD UNO DE LA UNIDAD DE REFERENCIA “CARITA” 3 ☼ ES UN NUMERO ES UN SIMBOLO REPRESENTA LA CANTIDAD TRES DE LA UNIDAD DE REFERENCIA “SOL” 5♥ ES UN NUMERO ES UN SIMBOLO REPRESENTA LA CANTIDAD CINCO DE LA UNIDAD DE REFERENCIA “CORAZON” SI OBSERVAS 3 ☼ ES UN CONJUNTO Y ESE CONJUNTO ES ( ☼ ☼ ☼ ) Y 5♥ ES EL CONJUNTO (♥♥♥♥♥)
ES DECIR LA UNIDAD DE REFERENCIA ES REPETITIVA EN UN CONJUNTO QUE EN TOTAL FORMA LA CANTIDAD
REPRESENTADA
AHORA PUEDES SUMAR? 5♥ + 3 ☼ SI NO
SI TU RESPUESTA ES SI ES CORRECTA SOLO QUE TIENES QUE DEFINIR UN CONJUNTO MAYOR QUE INTEGRE LAS DOS
UNIDADES DE REFERENCIA
SI TU RESPUESTA ES NO TAMBIEN ES CORRECTA PERO AQUÍ ES DONDE HABLAMOS DEL CONJUNTO UNIDAD DE
REFERENCIA Y DE AQUÍ PARTIREMOS PARA FORMAR LA PRIMERA OPERACIÓN ARITMETICA: LA SUMA
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NUMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS
DAREMOS SENTIDO A LOS NUMEROS NEGATIVOS, MEDIANTE EL CONCEPTO DE CERO
NUMERO. ES UN SIMBOLO QUE REPRESENTA UNA CANTIDAD EN REFERENCIA A UNA UNIDAD. EL CONCEPTO DE CERO ES UN TANT
COMPLICADO PERO PODEMOS TOMAR ESTAS PALABRAS DEL CONCEPTO DE NUMERO, DE TAL FORMA QUE OBSERVEMOS QUE
REPRESENTA UNA REFERENCIA.
ASI TENEMOS QUE SIN ESA REFERENCIA LOS SIGUIENTES NUMEROS SERIAN REPRESENTARIAN LA MISMA CANTIDAD
0123
1023
1203
1230
Y NO LO ES CADA UNO ES DISTINTO POR LA POSICION DEL CERO QUE HACE REFERENCIA A LA UNIDAD CORRESPONDIENTE
AHORA:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
ES A PARTIR DE LA REFERENCIA CERO QUE OBSERVAMOS A LOS POSITIVOS Y NEGATIVOS
Y OBSERVA +1 -1 = 0
EXISTE LA SUMA Y LA RESTA AL MISMO TIEMPO CUANDO EL RESULTADO ES CERO ASI TENEMOS LA IDEA DE QUE LA
SUMA Y LA RESTA NO SON OPERACIONES CONTRARIAS, SON OPERACIONES INTIMAMENTE RELACIONADAS POR EL
CONCEPTO DE CERO. Y DEFINIMOS AL INVERSO ADITIVO DE UN NUMERO COMO AQUELLA CANTIDAD QUE
REPRESENTA LOS MISMOS ELEMENTOS PERO DE SIGNO CONTRARIO Y EXISTE CON LA FINALIDAD DE GENERAR UN
CERO, ASI
(-5) + (+5) = 0
(1/2) + (-1/2) = 0
(- 0.25)+(0.25) = 0
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REALIZA LA SIGUIENTE SUMA +7 +( - 8) = -1
(-) CERO (+)
☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼
☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼ ☼
CADA QUE UNIMOS UN ELEMENTO POSITIVO CON UN NEGATIVO GENERAMOS UN CERO, AL ELEMINAR ELEMENTOS DE
ESTA MANERA TENEMOS EL RESULTADO DE -1
OBSERVA: RESTAR 5 DE -7
QUIERE DECIR QUE DE -7 ELEMENTOS RESTEMOS 5 Y OBSERVA QUE PASA
(-7) - (5) = -7 -5 = -12
FRACCIONES
EJEMPLO RESUELTO:
PARA RESOLVER FRACCIONES CON DIFERENTE DENOMINADOR, LO QUE SE DEBE HACER ES LO SIGUIENTE:
1.- PRIMERO SE DEBE ENCONTRAR EL COMÚN DENOMINADOR, POR EL MÉTODO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.
3 4 2
SE MULTIPLICAN 2 X 2 X 3 =12
3 2 2 EL 12 SERÁ NUESTRO COMÚN DENOMINADOR
3 1 3
1 1
2.- EL NUMERO ENCONTRADO SE DIVIDE ENTRE CADA UNO DE LOS DENOMINADORES Y DESPUÉS SE MULTIPLICA POR
CADA UNO DE LOS NUMERADORES
ESTE ES EL PROCEDIMIENTO SE SIGUE EN LA SUMA Y EN LA RESTA.