Departament d’Estadística
Divisió de Ciències Experimentals i Matemàtiques
Vectors aleatoris
Diplomatura d’EstadísticaEstadística Matemàtica IJordi Ocaña Rebull
Vectors Aleatoris
2
Punts que tractarem:
Vectors aleatoris. Cas general.– Funció de distribució conjunta. Propietats.Cas discret.– Funció de densitat. Propietats.– Densitat condicional. – Independència estocàstica.Cas absolutament continu.Vector de mitjanes i matriu de covariàncies.
Vectors Aleatoris
3
Concepte de vector aleatori
Sigui un espai de probabilitat.Un vector aleatori és una funció
X = (X1,...,Xk) definida com:
Tal que, per tot x=(x1,...,xk), verifica:( ) ( ) ( )1( , , )
k
kX Xω ω ω ωΩ →
=X …
( ), ,PΩ A
( ) ( ) [ ]
1 1
1 1
: , ,
, ,k k
k k
X x X x
X x X x
ω ω ω∈ Ω ≤ ≤
= ≤ ≤ ∈
…
… A
Vectors Aleatoris
4
Funció de distribució conjunta
( )1 1 1...
1 1 2 2
: 0,1
( ) ( , ..., ) ( , ..., )
, , ,k
k
X X k k
k k
F
F F x x F x x
P X x X x X x
⎡ ⎤→ ⎢ ⎥⎣ ⎦= =
= ≤ ≤ ≤
X
X x
…
Probabilitat acumulada fins al punt x.Definida sempre gràcies a la condició exigida en la definició de vector aleatori.
Vectors Aleatoris
5
Propietats de la funció de distribució conjunta. I
Límits i marginals:
2 3
3
1 1 1
2 3 2 3
3 3
1. ( , , , , , , ) 0per qualsevol component o combinació de components.
2. ( , , , ) 1
3. ( , , , ) ( , , , , )( , , ) ( , , , , )
etc, i així per qualse
k
m
i i k
X X X k k
X X k k
F x x x xi
F
F x x x F x x xF x x F x x
− +−∞ =
+∞ +∞ +∞ =
= +∞= +∞ +∞
…
…
… …
…
… …… …
vol combinació de variables.
Vectors Aleatoris
6
Propietats de la funció de distribució conjunta. i II
No decreixent:
Probabilitat sobre un paral·lelepípede:
1 1 ( , , , , ) ( , , , , )i i i ik kx x F x x x F x x x′ ′< ⇒ ≤… … … …
( ) ( )( ]1 1
1 1 1
1 2 3
1 2 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
, , , , , , , 1, ,
( ) ( , , )( , , , , )
( , , , ) ( , , , ) ( , , , , )( , , , , ) ( , , , , )( 1) ( , , , , )
i ik k
k k k
k
k k k
k kk
a a b b a b i k
P P a X b a X bF b b b bF a b b F b a b F b b a bF a a b b F a b a b
F a a a a
= = ≤ =
∈ = < ≤ < ≤ =
− − − −+ + ++ −
a b
X a, b
… … …
…… … … …… … …
…1 2 3 k
Vectors Aleatoris
7
Vectors aleatoris discrets. Funció de densitat discreta
El seu recorregut és finit o numerable.Funció de densitat conjunta discreta
És una probabilitat:( )
1 1 1...
1 1 2 2
( ) ( ,..., ) ( ,..., )
, , ,kX X k k
k k
f f x x f x x
P X x X x X x
= = =
= = =
X x
…
1
0 ( ) 1
( , ) 1m1 mx x
f
f x x
≤ ≤
=∑ ∑X x
…
Vectors Aleatoris
8
Altres propietats de la densitat discreta
Relació amb la funció de distribució:
Densitats marginals:
Probabilitat sobre qualsevol recinte:
1 1
1 1( , ) ( , )k k
k kt x t x
F x x f t t≤ ≤
= ∑ ∑… …
1
1 2
2 1 22
3 1 23
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) etc.
k k kx
k k kx x
f x x f x x x
f x x f x x x
=
=
∑
∑∑
…
…
… …
… …
( )
SP S f
∈∈ = ∑
xX x
Vectors Aleatoris
9
Densitat condicionada i independència estocàstica
Funció de densitat condicionada:
Independència estocàstica entre k v.a. discretes:
I pel cas general (discret, continu, etc.):
1 111
11
( , , , )( , , | , , )
( , , )l l k
l k ll l
f x x x xf x x x x
f x x+
+ =… …
… ……
1
1
1 1 1 2 2
, , est. independents sii,per tot ( , , ),( , , ) ( ) ( ) ( )
k
k
k k k
X Xx x
f x x f x f x f x==
x…
……
1 1 1 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )k k kF x x F x F x F x=…
Vectors Aleatoris
10
Cas absolutament continu
En general són aplicables totes les coses dites pel cas discret, amb els canvis habituals:– Integrals en lloc de sumatoris– PX = x = 0– Funció de densitat no és probabilitat sobre
cada punt, és densitat de probabilitat, per tant f(x) ≥ 0 (i no valor sempre entre 0 i 1).
– Finalment, 11
1
( , )( , , )
kk
kk
F x xf x x
x x∂
=∂ ∂
……
…
Vectors Aleatoris
11
Moments de vectors aleatoris
Útil expressió vectorial o matricial.Convenció: vectors aleatoris com a vectors columna
Els dos més importants són:– Vector de mitjanes– Matriu de variàncies-covariàncies
( )
1
21 2' , , , k
k
X
XX X X
X
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
X X …
Vectors Aleatoris
12
Vector de mitjanes
Esperança aplicada a cada component del vector aleatori:
( )
( )( )
( )
µ
11 1
22 2
kk k
E XX
X E XE E
X E X
µµ
µ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜= = = = ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X
Vectors Aleatoris
13
Matriu de variàncies i covariàncies:
Matriu formada per les covariàncies entre cada parell de components:
( ) ( )
Σ
11 12 1
21 22 2
1 2
2cov , vari
k
k
k k kk
ij i j ii iX X X
σ σ σσ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
= = =
……
…
Vectors Aleatoris
14
Matriu de covariàncies com a producte matricial
Producte matricial de dos vectors,
sobre el vector aleatori centrat( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
Σ µ µ
1 1 1 1 1 1
1 1
cov( ) '
k k
k k k k k k
E
E X X E X X
E X X E X X
µ µ µ µ
µ µ µ µ
= = − − =
⎛ ⎞− − − − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − ⎟⎜⎝ ⎠
X X X
…
…
( )1 1 1 1
1
1
, ,k
k
k k k k
a a b a b
b ba a b a b
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
…
…
…
Vectors Aleatoris
15
Propietats de la matriu de covariàncies
Simètrica:Semidefinida positiva:Definida positiva, , si les components del vector aleatori són linealment independents.Diagonal si v.a. independents:
ij jiσ σ=( )Σdet 0≥
( )Σdet 0>
1, , est. independents kX X⇒⇐… Σ
21
2
0
σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎧ ⎫ ⎜⎪ ⎪ ⎟⎪ ⎪ ⎜ ⎟=⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎟⎜⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎟⎜ ⎟⎜
…
0 kσ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠…
Vectors Aleatoris
16
Matriu de correlacions
( )
Ρ
12 1
21 2
1 2
2 2
1
1
1
,
k
k
k k
ij ijij i j
i ji j
ij ij i j
X X
ρ ρρ ρ
ρ ρσ σ
ρ ρσ σσ σ
σ ρ σ σ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= = =
=
…
…
…