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DIBUJO GEOMÉTRICO IIDIBUJO GEOMÉTRICO II
Curvas técnicasCurvas técnicas
Curvas cónicasCurvas cónicas
Tangencias y enlacesTangencias y enlaces
Curvas en el arte y el diseño
Curvas técnicas;Óvalos y ovoides
• ¿Qué es?
• Se denomina óvalo a la curva plana cerrada formada por arcos de circunferencia con dos ejes de simetría.
• Procedimientos constructivos; Existen diferentes, pero todos parten de dos ejes perpendiculares.
1. Construcción en tres partes:
• Se traza el segmento AB y se divide en tres partes iguales.
• Con centros en C y D y radio CD , se trazan dos circunferencias que nos dan los puntos 1 y 2.
• Los puntos 1 y 2 son los centros de dos circunferencias que tienen como radio el diámetro AD o CB.
• El óvalo se forma marcando los arcos correspondientes a las cuatro circunferencias.
• Los puntos de enlace surgen de la prolongación de las rectas que unen los puntos 1 y 2, y C y D respectivamente. http://www.educacionplastica.net/zirkel/ovaloEjeMayor_sol.html
Ovoide
– Conociendo su anchura; • Dibuja un segmento AB igual
a la anchura dada y se traza la su mediatriz (o).
• Con centro en O y radio OA se traza una circunferencia que corta a la mediatriz en C y D.
• Desde A y B se trazan dos rectas indefinidas que pasen por D.
• Con centros en A y B y radio AB se trazan dos arcos que cortas a las rectas anteriores en E y F.
• Con centro en D y radio DE se traza el arco que cierra el ovoide.
http://www.educacionplastica.net/zirkel/ovoideEjeMenor_sol.html
• ¿Qué es?• Se denomina ovoide a la curva plana cerrada formada por dos arcos de circunferencia que tiene un eje de simetría.• Procedimiento constructivo;
Curvas cónicas
• La superficie cónica de revolución se generacuandouna recta llamada generatriz (g), gira alrededordel ejede la superficie.
Cono de revolución
• Las curvas cónicas son figuras planas que se obtienen al cortar un cono de revolución por un plano.
• Encontramos; la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, dependiendo en cada caso de la posición del plano cortante
Plano perpendicular al eje.
Plano oblicuo al eje.
Plano paralelo a una generatriz.
Plano oblicuo o paralelo al eje que corta dos generatrices
Elipse• ¿Qué es?• Es una curva cerrada y plana formada por un
conjunto de puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante e igual al eje mayor.
• http://www.educacionplastica.net/zirkel/elipse.html
• Proceso constructivo:– Dos Métodos:
1. Método• Se trazan los ejes
perpendiculares.• Con la distancia de AO y centro
en B se traza un arco que corte el eje horizontal en dos puntos F y F’
• Se crean una serie de divisiones arbitrarias entre el FO e iguales entre OF’
• Con la distancia A1 y desde F se traza un arco y con la distancia A’1, se traza otro que corta al anterior.
• Se repite de igual modo con todos los puntos.
• Se unen los puntos resultantes y se obtiene la elipse.
A’
B’
2´
F F’
1 2 1´A
B
O
•http://www.educacionplastica.net/zirkel/elipse.html
2. Método:• Se trazan los ejes
perpendiculares.
• Se trazan dos circunferencias concéntricas y de radios OB y OA.
• Se trazan diámetros comunes.
• En las intersecciones con las circunferencia mayor, se trazan paralelas al eje vertical y desde la menor paralelas al eje horizontal.
• Los puntos resultantes de estos cruces son los que definen la elipse.
Parábola
• Es una curva abierta, plana y simétrica y cuyos puntos equidistan de una recta fija llamada directriz (d), y de un punto fijo F, llamado foco.
• El eje de simetría (X) es perpendicular a la directriz.
• El punto de máxima curva se denomina vértice (V).
–http://www.educacionplastica.net/zirkel/parabola.html
• Proceso constructivo;
1. Partimos de la construcción de dos rectas perpendiculares; la directriz (d) y el eje de simetría (OX).
2. Se sitúa el foco F (Ej. 2 cm.) y el vértice V en el punto medio entre el foco y el punto de intersección de la directriz y el eje O.
3. A partir de F se marcan unos puntos arbitrarios y equidistantes 1, 2, 3,… por los que se trazan perpendiculares al eje OX.
d
XO
d
XO V F 1 2 3
4. Con centro en F y radios OF, O1, O2, O3,… se trazan arcos que cortan a las perpendiculares en A y A’, B y B’, C y C’,…
5. Uniendo los puntos se obtiene la parábola.
•http://www.educacionplastica.net/zirkel/parabola1_sol.html
Hipérbola
• Es una curva doble, abierta, plana y simétrica, cuya diferencia
de distancias a dos
puntos fijos F y F’ (focos)
es constante e igual a la distancia entre los puntos A y A’ (vértices), longitud real de la hipérbola.
•http://www.educacionplastica.net/zirkel/hiperbola.html
PF – PF’= AA’
• Proceso constructivo;1. Se trazan sobre el eje
real, los puntos AA’ y sobre el eje imaginario, los puntos BB’, ejes perpendiculares entre sí.
2. Con centro en O y radio AB se sitúan los focos F y F’.
3. Se marcan unos puntos arbitrarios 1,2,3,.. Sobre el eje real.
B
B’
A A’O
F F’
1’
B
B’
A A’O
F F’1 2’
•http://www.educacionplastica.net/zirkel/hiperCons_sol.html
4. Con centros en F y F’ se trazan arcos con radios A1 y A1’ y siguientes, que se cortan unos puntos S, P, S’ y P’,..
5. Se unen todos los puntos hallados y se obtiene la hipérbola.
•http://www.educacionplastica.net/zirkel/hiperCons_sol.html
S S’
Ejercicios
• Curvas técnicas– Lamina DIN A4 (mitad).– Un óvalo y un ovoide.– Pasado a tinta sólo el resultado.– Título y nombre con caligrafía.
• Curvas cónicas – Lamina DIN A4.– Elipse (mitad derecha).– Parábola e Hipérbola ( arriba y debajo de la mitad izquierda).– Pasado a tinta sólo el resultado.– Título y nombre con caligrafía.
• Ficha de análisis; Richard Serra
Tangencias
• Propiedades de las tangencias;– El punto de tangencia T de
dos circunferencias está situado en la recta que une sus centros.
– L a recta tangente t a una circunferencia es perpendicular al radio que toca el p. de tangencia T.
RECUERDA;• Las tangentes son trazados que unen líneas curvas o rectas de manera que parezcan una línea continua.• Decimos que dos elementos son tangentes cuando tienen un punto en común (T).
• Ejercicios de repaso;1. Construcción de una recta
tangente por un punto T de la misma.
• Se traza la circunferencia y el punto T
• Se une el centro O y el punto T.
• Se traza la recta perpendicular al radio.
2. Construcción de dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior.
• Se traza la circunferencia y el punto P.
• Se une el centro O y el punto P y se halla su mediatriz M.
• Con centro en M y radio MP se traza una circunferencia que corta a la anterior en dos puntos (S y T)
• Las recta tangentes surgen de la unión de los puntos de tangencia y el punto exterior.
Construcción de tangentes exteriores e interiores comunes a
dos circunferencias.
– Exteriores:• Se trazan las circunferencias
de distintos radios.• Se unen sus centros C y C’,
y se halla la mediatriz M.• Con centro en M
circunferencia de radio MC.• Con centro en C
circunferencia de radio la diferencia de radios (r2-r1).
• Las intersecciones de estas circunferencias determinan dos puntos P y S.
• Desde C se trazan dos rectas que pasen por P y S prolongándolas hasta la circunferencia mayor, dando los puntos T1 y T2.
• Desde C’ se trazan paralelas a las rectas anteriores obteniendo los puntos de tangencia T1’ y T2’.
• Se unen los puntos de tangencia dando como resultado las rectas buscadas.
http://www.educacionplastica.net/zirkel/tancircir1_sol.html
M
P
S
– Interiores:• Se trazan las
circunferencias de distintos radios.
• Se unen sus centros C y C’, y se halla la mediatriz M.
• Con centro en M circunferencia de radio CM.
• Con centro en C arco de radio la suma de radios (r2-r1).
• Las intersecciones de la circunferencia y el arco determinan dos puntos P y S.
• Uniendo los puntos P y S con C quedan determinados los puntos de tangencia T1 y T2 .
• Desde C’ se trazan paralelas a las rectas anteriores obteniendo los puntos de tangencia T2 y T2’.
• Se unen los puntos de tangencia dando como resultado las rectas buscadas.
P
S
M
http://www.educacionplastica.net/zirkel/tancircir2_sol.html
Enlaces
• Son trazados que unen suavemente curvas y rectas entre sí.
• El trazado de enlaces es indispensable para el trazado de objetos, utensilios diseños gráficos y dibujos geométricos.
• Recuerda– Enlace entre dos rectas
perpendiculares:• Se trazan las rectas, con
centro en A y medida el radio dado, se traza un arco que corta en B y C a las rectas.
• Con centro en B y C y medida del radio se halla el punto O centro del enlace.
– Enlace entre dos curvas por medio de un arco tangente:
• Se trazan las circunferencias.
• Con la suma de un radio mayor que las dos y r1, se traza un arco, desde O1
• Con la suma del radio mayor y r2, se traza otro desde O2.
• Donde se crucen los arcos será el centro del arco pedido.
• Enlace de arcos de circunferencia sobre una línea poligonal.
• Se dibuja la mediatriz de AB y, CB donde crucen se sitúa el punto O, centro del primer arco.
• Se une el punto C con D y se traza la mediatriz, donde cruce con la unión del centro anterior y C será el centro del siguiente arco.
•Este proceso se repite hasta completar el enlace.