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GRADIENTE HIDRAULICO CRÍTICO:
Para la condición hidrostática:
Para flujo vertical descendente:
w
sat
y
z
’
y w+z sat (y+z) w z( sat - w)
w
sat
y
z
’
y w+z sat (y+z-h) wz( sat - w)+h w
w
sat
y
z
’
y w+z sat (y+z+h) wz( sat - w)-h w
Para flujo vertical ascendente:
En el flujo vertical ascendente, es cuando se presenta la
condición crítica ’=0, se dice que el suelo se encuentra en
estado de licuefacción.
’ = z ( sat - w) - h w =0 Cw
wsat iz
h
iC = Gradiente crítico
1
1C
Gsi
e3
i
iFS C
FLUJO A TRAVÉS DE SUELOS ANISOTRÓPICOS:
Kh
Kv K
a
F.a
a
F.a
Qv
Qh
En las secciones señaladas lo que se
quiere es: Qv =Qh, , aplicando Darcy:Kv
Kh
v
h
K
KF
F = Factor de
mayoración.
Para trabajar con un solo valor de K, se desea una sección:
a
a
a
a
Q, K
Planteando la Ley de Darcy:
aa
hKQ
Luego igualando Q con Qh o Qv, queda:
vh KKK
ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO
DE AGUA A TRAVÉS DE LA MASA DE
SUELO.
dx
dy
dz
x
z
y
dxx
vvxx
v
VELOCIDADES
“ENTRADA” : , ,x y zv v v
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VELOCIDADES
“SALIENTES”
:
:
:
xx
yy
zz
vv dx x
xv
v dy yy
vv dz z
z
Por continuidadQ entra = Q sale
DARCY Q K i A = velocidad * Área.
x y z
yx zx y z
v dzdy v dxdz v dydx
vv vv dx dydz v dy dxdz v dz dxdy
x y z
Sabiendo que: Volumen del elemento diferencial = dxdydz.
0yx z
vv vdxdydz dydxdz dzdxdy
x y z
0................yx z
vv vA
x y z
Simplificando:
hK i K
lVelocidad =
; ;x x y y z zh h h
v K v K v Kx y z
Derivando las 3 componentes de la velocidad para
introducirlas en la ecuación (A) tenemos:
2
2
xx x
vh hK K
x x xx
2
2
y
y y
vh hK K
y y yy
2
2
zz z
vh hK K
z z zz
Introduciendo en (A)
2 2 2
2 2 20x y z
h h hK K K
x y z
Si tuviésemos un suelo isotrópico donde:
x y ZK K K K
La ecuación se simplifica a:
2 2 22
2 2 20
h h hh
x y z
“Ecuación de Laplace” ,
describe el flujo de agua a
través de la masa de suelo.
x
y
w
Ecuación diferencial:2 2
2 20
h h
x y
En la mayoría de los casos se puede considerar el flujo como
un problema bidimensional.Ecuación de Laplace:
1.- Solución matemática.
2.- Solución gráfica.
(2) Dos familias de curvas perpendiculares entre si.
En la región de flujo se dibujan 2 familias de curvas
perpendiculares entre si.
Primera familia: Líneas de flujo o líneas de corriente.
Segunda familia de curvas: Líneas equipotenciales.
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Para que esto represente la solución única de la ecuación de
Laplace debe cumplirse que:
•Entre los canales que se generen por dos líneas de flujo
debe circular el mismo caudal.
•Entre las líneas equipotenciales se pierde el mismo potencial
hidráulico “h”.
Δh = Pérdida de carga.Δq = Caudal del infiltración. Φ1 Φ2 Φ3
ψ1
ψ2
ψ3
Δh
Δh
Δq
Δq
Canal de flujo
Dirección de flujo
Línea equipotencial
Línea de flujo
Δh
Φ1
Φ2
ψ1
ψ2
Cálculo del caudal de infiltración:
a
b
Φ1 Φ2Φ3 Φ4
Φ5
ψ1
ψ2
ψ3
Qf = Caudal que se infiltra
en la región considerada.b a
Δh
q K i A hq K Ah
i LL
hT = Carga hidráulica total que genera el flujo en toda la región.
hT se va perdiendo a medida que el agua circule.
Th h
Definimos: ne: # de canales equipotenciales.
nf: # de canales de flujo.
f f
T e
Q n q
h n hnf, ne se conocen una vez
dibujada la red de flujo.
q = q1 = q2
1
fT
e f
ff T
e
hq K i A K b
aQhh b
q K b Ka n a n
n bQ K h
n a
Para simplificar hacemos b/a igual a 1 que implica dibujar en la
sección cuadrados curvilíneos, no rectángulos.
f
f Te
nQ K h
n
b a
Δh
• Entre una línea de corriente y la siguiente se genera un canal de
flujo, por donde pasa un caudal “Δq” , y es el mismo que circula
entre cualquier línea de corriente y la que le sigue.
• Entre cualquier equipotencial y la siguiente, se pierde una carga
hidráulica Δh, que es la misma carga hidráulica que se pierde en
cualquier canal equipotencial dibujado.
• La región de flujo debe proporcionar un solo valor de
permeabilidad; lo que implica trabajar con una sección
transformada, donde exista un coeficiente de permeabilidad
equivalente .
Condiciones para aplicar el método gráfico
(solución ecuación de Laplace).
• Dibujar líneas de corriente (Ψ) perpendiculares a las líneas
equipotenciales (Φ).
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Ejemplo de Aplicación:
Agua retenida
Estructura de retención(tabla estaca madera)
Región donde se genera
flujo de agua.
Suelo
Verificar que en la región donde se genere el flujo tengamos un
solo valor de permeabilidad, si esto no ocurre determinar .
K1
K2
K3
,
*
h v
h v
K K
K K K
Sección
Transformada
1. Dibujar la región de flujo a escala.
2. Dibujar las líneas de corriente y equipotenciales frontera
(primera y última).
1n
1
n
Frontera entre superficie permeable y superficie impermeable.
Frontera entre agua y suelo permeable.
Líneas de corriente o de flujo (dirección del flujo).
Líneas equipotenciales (perpendiculares al flujo).
3. Dibujar las líneas de corriente “Son Paralelas entre sí” llevan
la dirección del flujo y son perpendiculares a las
equipotenciales.
Nota: Se recomienda trabajar con tres a cuatro canales de
flujo.
4. Trazar las líneas equipotenciales perpendiculares a las de
corriente y formando cuadrados curvilíneos.
a
a
b
bA
B
·
·
ff T
e
nQ K h
n
Cálculos a realizar:
: Caudal de agua que se infiltra a través de la región
H=6 m
4
8f
e
n
n
hT = H = 6m
32*10cm
Kseg
1. Caudal de filtración.
3 22 10 6 4/8 1 10fmcmQ m m
seg cm
356 10fmQ
seg
2. Alturas piezométricas en cualquier posición.
y11
2
3
4
y212 m
H
( )
(4)
(1) 1
(2)
(3) 3
6
0
122
6
p o
p
p
P
Pne
h H m
h m
h H y h
hh H h
h H y h0
= 6m
Carga hidráulica
(ecuación de Bernoulli)
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3. Esfuerzo efectivo en A y en B.
Esfuerzo efectivo en A.
Φ1
A
yAyB
H
hwA
hwB
B··
'A A A
A w A sat
A A w
H y
H y h
Δh : Pérdida de carga hidráulica
entre 1 y 2.
H , yA, se miden a escala.
Esfuerzo efectivo en B.
'
;B B B
B B sat B wB w
A B e w
y h
H y n h
en : Todas las pérdidas de
carga generadas hasta “B”.
5.5en h
H , yB, se miden a escala.
4. Gradiente hidráulico en cualquier punto.
En (C) hi
L
c
hi
L
60,75
8
T
e
hh m
nL
C·
Φ6Φ7
Medir L, sobre una línea de flujo trazada sobre “C”
Si, L = 3 m:
0.750.25
3c
mi
m
5. Velocidades de descarga y filtración.
Velocidad de descarga:
En (C) Por la ecuación de Darcy.dcV K i
3
4
2 10 0,25
5 10
dc c
dc
cmV K iseg
cmVseg
Velocidad de filtración:
1;dcfc dc sat d w
V eV V n
n e
sat d
w
n ; se conoce d, Wsat , donde: 1
satd
satw
6. Gradiente hidráulico de salida y factor de seguridad contra
arena movediza.