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DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD DE FALLA DE PLACAS DE VIDRIO
Heriberto Puga Juárez1, Bertha Alejandra Olmos Navarrete2, José Manuel Jara Guerrero3
RESUMEN
La predicción de falla de placas de vidrio recocido simplemente apoyadas y sometidas a cargas uniformemente
distribuidas, es uno de los objetivos de los códigos de diseño para estos sistemas propuestos en Estados Unidos,
Canadá y en la Comunidad Europea. Debido a la ausencia de un código reglamentario específico para este tipo de
sistemas en la República Mexicana, en este estudio se desarrolla un Modelo de Predicción de Falla para Cortinas de
Vidrio, que se puede implementar, con las ayudas de diseño propuestas, en sistemas de acristalamiento verticales
para fachadas de edificios en México.
ABSTRACT
The failure prediction of simply supported annealed glass plates subjected to uniform loads, is one of the main
purposes in the design codes of the United States, Canada and the European Community. The methodologies and
codes available in the literature are based on concepts and criteria applicable to the glass failure prediction; based on
those studies and proposals, it was developed the failure model prediction for buildings' facades located on the
Mexican Republic. This study presents design aids as an important contribution in this area, given the fact that our
country does not have a specific code for designing structural glass elements.
INTRODUCCIÓN
El vidrio es un material históricamente antiguo con un desarrollo evolutivo importante de sus técnicas de fabricación.
El proceso de vidrio flotado fue la técnica de fabricación más significativa en su historia, inventado en la década de
1950 por Alastair Pilkington. Los productos de vidrio flotado permitieron obtener la calidad requerida para el
desarrollo de su aplicación en la ingeniería. Sin embargo, los trabajos precursores de Griffith de 1920 demostraron
que el vidrio en su superficie era imperfecto por tener micro-fisuras, las cuales representaban la principal causa de su
fragilidad y de la aleatoriedad de su resistencia a la falla. Estos aspectos, por lo tanto, son considerados en las
metodologías con que se cuenta en la actualidad en Norteamérica y en Europa para estimar la resistencia de falla de
placas de vidrio. Entre los métodos Norteamericanos más importantes de diseño estructural de placas de vidrio
sujetas a carga lateral se encuentran las normas: ASTM E 1300-12a y CAN/CGSB 12.20-M89. Los métodos más
sobresalientes de Europa corresponden a: EN 13474 para paneles de vidrio y el Modelo de Predicción de Vida Útil
de Haldimann (2006) para el diseño de elementos estructurales de vidrio con geometría y carga arbitraria. En los
siguientes párrafos se presenta una breve descripción de cada uno de los métodos antes mencionados.
NORMA ASTM E 1300-12a
La norma ASTM E 1300-12a es la base de diseño de paneles de vidrio en los Estados Unidos, la cual presenta un
número extenso de gráficos que permiten determinar el espesor requerido de diferentes tipos de vidrio. Los gráficos
fueron desarrollados bajo los fundamentos teóricos del Modelo de Predicción de Falla de Vidrio (MPFV) propuesto
por Beason en 1980, y bajo la implementación del método de diferencias finitas para estimar los esfuerzos
principales en el plano, así como de trabajos desarrollados desde 1983 por Vallabhan para el cálculo de las
deflexiones que se presentan en el vidrio, considerando un análisis geométrico no lineal. Estos gráficos fueron
creados utilizando como valores de los parámetros de la condición de la superficie del vidrio m = 7, k = 2.8610-53N-
7m12, un módulo de elasticidad de 71.7 GPa y el espesor nominal mínimo del vidrio (Beason, y Morgan, 1998). En la
1 Alumno recién egresado del Posgrado de Ingeniería en el Área Estructural, Universidad Michoacana de San Nicolás de
Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia, Michoacán, C.P. 58060, México. Tel. (443) 173-3603;
[email protected] 2 Profesor e investigador, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia,
Michoacán, C.P. 58060, México. Teléfono (443) 3041002 ext. 107; [email protected] 3 Profesor e investigador, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Fco. J. Mujica S/N, Ed. C-2 C.U., Morelia,
Michoacán, C.P. 58060, México. Teléfono (443) 322 3500 ext 4338; [email protected]
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Figura 1 se muestra un ejemplo de estos gráficos de diseño. La norma ASTM E 1300-12a trata específicamente la
determinación de la resistencia de carga de los tipos de vidrio correspondientes a vidrio monolítico, vidrio laminado
y a unidades de vidrio aislante para la construcción, de forma rectangular con soporte lateral continuo simple en uno,
dos, tres o cuatro bordes, expuestos a una carga lateral uniforme de 3 segundos de duración, y para una probabilidad
de falla objetivo, Pb= 0.8%. La carga de diseño considerada proviene de acciones como viento, nieve, sismo y el
peso propio del panel de vidrio, o bajo una combinación de éstas siempre y cuando se cumpla que su cálculo no sea
mayor que 15 kPa (0.153 kg/cm2). Por lo tanto, el criterio de diseño es adecuado cuando la carga resistente, LR (load
resistance), para un panel de vidrio es mayor o igual a la acción de diseño o carga lateral uniforme que actúa
perpendicular al plano de la superficie del vidrio, q, como se expresa a continuación:
q LR (1)
Si LR es menor que la carga específica, q, debe adoptarse un espesor o tipo de vidrio necesario hasta que LR sea
igual o mayor a la carga de diseño especificada, q. Dos factores definen a LR, de acuerdo con la siguiente expresión:
LR GTF NFL (2)
donde, GTF (glass type factor), es el factor de tipo de vidrio, el cual considera el tipo de vidrio y el efecto de la
duración de la carga, véase Tabla 1. NFL (non-factored load), es la carga no factorizada para una duración de tres
segundos, la cual se obtiene a partir de los gráficos propuestos como función de la geometría, la configuración del
tipo de apoyo, el espesor nominal mínimo del vidrio y una probabilidad de falla de 0.008, véase Figura 1.
Tabla 1 Factores de tipos de vidrio (GTF) para un único vidrio monolítico o vidrio laminado (norma ASTM E 1300-12a)
Tipo de vidrio GTF
Carga de corta duración (3s) Carga de larga duración (30 días)
Vidrio recocido (ANG) 1.0 0.43
Vidrio semi-templado (HSG) 2.0 1.30
Vidrio templado (FTG) 4.0 3.00
En el caso de que las duraciones de carga difieran de tres segundos, debe multiplicarse el valor de NFL por el factor
de duración de carga, Fd, que resulte de la expresión: Fd = (3 seg/t)1/16 donde, t es la duración de la carga en
segundos.
Figura 1 Gráfico de diseño para determinar el NFL de acuerdo con la norma ASTM E 1300-12a
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NORMA CAN/CGSB 12.20-M89
La norma canadiense CAN/CGSB 12.20-M89 ofrece un método de diseño estructural para elementos de vidrio
(sodocálcico de sílice) implementados en la construcción; el método es similar al propuesto en la norma ASTM
E1300-12a, sus semejanzas se encuentran al considerar paneles bajo carga lateral uniforme y una probabilidad de
falla igual a 0.8%, pero con la diferencia de que esta norma utiliza una duración de 60 segundos para definir la
resistencia, mientras que la norma estadounidense emplea directamente tres segundos. Otro aspecto importante en el
que coinciden las normas norteamericanas con las canadienses es en su base teórica, puesto que ambos métodos se
fundamentan en el método de MPFV (Beason, 1980). Por lo tanto, la revisión de diseño es mediante el siguiente
criterio:
d dE R (3)
donde: Ed, es igual a la combinación de acciones de diseño, incluyéndose los factores parciales que se define con la
siguiente expresión:
d D L Q TE D L Q T (4)
Rd, es igual a la resistencia de diseño del panel, incluyéndose de igual forma los factores parciales, que se determina
con la expresión:
1 2 3 4d refR R c c c c (5)
donde:
D corresponde a las cargas muertas o peso propio y/o la presión hidrostática invariante.
L corresponde a las cargas vivas por nieve, lluvia, uso u ocupación, y presión hidrostática variable.
Q corresponde a las cargas vivas por viento, sismos y condiciones climáticas.
T corresponde a los efectos por temperatura, excepto los ya incluidos en Q.
αD es un factor parcial de 1.25 para el caso desfavorable, o 0.85 para el caso favorable.
αL y αQ son factores parcial iguales a 1.50.
αT es un factor parcial de 1.25.
γ es el factor de importancia del edificio (de 0.8 a 1).
ψ es el factor de combinación, véase Tabla 2.
c1 es el factor del tipo de vidrio: 1.0 para vidrio plano o vidrio laminado, y 0.5 para vidrio tratado
superficialmente con chorro de arena, grabado o con malla de vidrio.
c2 es el factor de tratamiento térmico: 1.0 para vidrio recocido, 2.0 para vidrio semi-templado y 4.0 para vidrio
templado.
c3 es el coeficiente de duración de carga y se define de acuerdo al tipo de carga y su duración como se expresa
en la Tabla 3.
c4 es el coeficiente de carga compartida que para unidades de vidrio aislante toma valores de 1.0, 1.7 y 2.0,
respectivamente para vidrio monolítico, de doble acristalamiento y triple acristalamiento.
Rref es la resistencia de referencia factorizada de vidrio, donde sus valores son tabulados dentro de la norma. Los
valores de Rref son para una duración de carga de 60 segundos, el espesor mínimo admisible y para una
probabilidad de falla de 0.8%, sus valores también se presentan en gráficas como la que se muestra en la
Figura 2.
Tabla 2 Factor de combinación (ψ) para el efecto más desfavorable (norma CAN/CGSB 12.20-M89)
Casos de combinación de carga L, Q y T: Valor de ψ
En caso de presentarse todas las cargas combinadas 0.6
En caso de dos tipos de cargas combinadas 0.7
En caso de sólo una carga 1.0
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Tabla 3 Coeficiente de duración de carga c3 (norma CAN/CGSB 12.20-M89)
Carga Duración aproximada equivalente ANG HSG FTG
Viento y sismo 1 minuto 1.0 1.0 1.0
Sostenida: nieve y encharcamiento De 1 semana a un mes 0.5 0.7 0.9
Permanente: peso propio y presión hidrostática De 1 año a 10 años 0.4 0.6 0.8
Figura 2 Gráfico de diseño para determinar Rref en un vidrio de acuerdo a la norma CAN/CGSB 12.20-M89
NORMA EN 13474
El Comité Europeo de Normalización (CEN) publicó de manera oficial la norma EN 13474-1 (1999), donde se
describe la base general de cálculo para el diseño de los acristalamientos. En su segunda versión, la norma prEN
13474-2(2000) establece un método de diseño para paneles de vidrio. En su tercera versión, la norma que sigue hasta
el momento bajo revisión, norma prEN 13474-3 (2009) da a conocer las propiedades a la resistencia del vidrio,
mediante un método general de cálculo para determinar la resistencia de paneles de vidrio y también la
determinación de la resistencia a la carga del vidrio por medio de pruebas experimentales. Con respecto a esta última
norma, la forma de verificación se hace comparando el esfuerzo máximo calculado para la carga de diseño, σmáx,d,
contra el esfuerzo admisible de diseño fg,d:
máx, ,d g df (6)
El esfuerzo permisible fg,d para vidrio recocido, se obtiene con la siguiente expresión:
mod ,
,
,
sp g k
g d
M A
k k ff
(7)
fg, k es el valor característico de la resistencia a flexión o resistencia inherente (fg,k = 45 N/mm2, valor definido
originalmente en la norma alemana DIN 1249-10:1990) en vidrios de composición de silicato sódico o de
sílice de boro.
ksp es el factor para el perfil de la superficie del vidrio (véase Tabla 4).
γM,A es el factor parcial del material para vidrio recocido, como se muestra en la Tabla 5.
kmod es el factor de la duración de la carga para vidrio recocido y se calcula como:
1
16mod 0.663k t
(8)
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donde, t es la duración de la carga en horas.
Tabla 4 Factor para el perfil de la superficie del vidrio ksp (prEN 13474-3)
Material vidrio Factor ksp
Vidrio flotado 1.0
Vidrio plano estirado 1.0
vidrio flotado esmaltado o plano estirado 1.0
Vidrio estampado 0.75
Vidrio esmaltado estampado 0.75
Vidrio pulido con malla 0.75
vidrio estampado con malla 0.6
Tabla 5 Factor de duración de carga kmod (prEN 13474-3)
Acción Duración de Carga kmod
Cargas de personas Corta, única (1 minuto) 0.85
Viento Corta, múltiple (5 minuto) 0.74
Nieve Intermedia (1 semana) 0.44
Variación de temperatura diaria de 11 horas de duración pico extrema Intermedia 0.57
Variación de presión barométrica Intermedia 0.50
Variación de la temperatura anual con seis meses de duración del valor extremo medio
Intermedia 0.39
Carga muerta y peso propio Permanente 0.29
Tabla 6 Factor parcial de material (prEN 13474-3)
Tipo Estado límite último de falla Estado límite de servicio
Vidrio recocido γM,A = 1.8 γM,A = 1.0
Vidrio con superficie presforzada γM,v = 1.2 γM,v = 1.0
El esfuerzo permisible fg,d para vidrio presforzado, se obtiene con la siguiente expresión:
, ,mod ,
,
, ,
v b k g ksp g k
g d
M A M v
k f fk k ff
(9)
donde:
γM,v es la resistencia por presfuerzo de la superficie (véase Tabla 6).
fb,k es el valor característico de la resistencia a flexión de vidrio presforzado en la superficie (véase Tabla 7).
fb,k - fg,k es la resistencia a la rotura adicional que aporta un vidrio con superficie comprimida.
kv es el factor de fortalecimiento. Empleado para considerar la eficacia del presforzado, véase Tabla 8.
Tabla 7 Resistencia característica y factores de fortalecimiento de vidrio presforzado fb,k (prEN 13474-3)
Producto de vidrio Valores de resistencia a la flexión característica fb,k para el vidrio presforzado con los procesos de:
Vidrio de seguridad templado
térmicamente
Vidrio termo-endurecido
Vidrio endurecido químicamente
Vidrio flotado o vidrio plano estirado 120 N/mm2 70 N/mm2 150 N/mm2
Vidrio estampado 90 N/mm2 55 N/mm2 150 N/mm2
Vidrio flotado esmaltado o plano estirado 75 N/mm2 45 N/mm2 -
Vidrio esmaltado estampado 75 N/mm2 45 N/mm2 -
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Tabla 8 Factor de fortalecimiento kv (prEN 13474-3)
Proceso de fabricación Factor de fortalecimiento, kv
Endurecimiento horizontal (u otro proceso sin el uso de pinzas u otros dispositivos para sostener el vidrio)
1.0
Endurecimiento vertical (u otro proceso utilizando pinzas u otros dispositivos para sujetar el vidrio)
0.6
La norma europea prEN 1374-3, estipula que la demanda está definida por un esfuerzo máximo de flexión de diseño
expresado mediante la ecuación 6 donde al sustituir los parámetros que interfieren se obtiene:
máx,d 1 2 d
Ak F
h (10)
A es el área de la placa, igual al largo por ancho, b a.
h es el espesor de la placa.
k1 es un coeficiente que se estima mediante:
1 0.5
*2
222 *
23 4
1
14
k
p
z z z p
(11)
donde,
1.0731
1.17 1
2z 24 0.0447 0.0803 1 e
(12)
, ba
ab
(13)
2
*
2, es la carga adimensional.
4
dFAp
h E
(14)
2
3
1z 4.5 1 4.5
(15)
4
1z 0.585 0.05 1
(16)
Fd es el valor de diseño de la combinación de acciones y se obtiene como:
Estado límite último
,1 0,1 ,d G Q k Q k i
i
F G Q Q (17)
Estado límite de servicio
1 ,1 2,i ,d k Q k i
i
F G Q Q (18)
G es el valor de las acciones permanentes (peso propio y equipo permanente).
Qk,1 es el valor característico de la acción variable (principalmente viento y nieve).
Qk,i es el valor característico de la acción variable acompañada (viento o nieve).
Ψ0,i son factores de combinación para la acción variable acompañada.
Ψ1 es el factor para valor frecuente de una acción variable.
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Ψ2,i es el factor para una acción variable cuasi-permanente.
γG es el factor parcial para acciones permanentes.
γQ es el factor parcial para acciones variables.
MODELO DE PREDICCIÓN DE VIDA ÚTIL
Haldimann presentó un modelo suficientemente claro y preciso llamado Modelo de Predicción de Vida Útil
(Lifetime Prediction Model) en el año 2006. Se trata de un método generalizado con la capacidad de aplicarse a
cualquier tipo de elemento estructural de vidrio como: vigas, columnas y placas, sin importar el tamaño, su forma y
condición de carga. Cuando el diseño es gobernado por varias fisuras con localización aleatoria sobre la superficie, el
planteamiento del modelo es de carácter probabilístico, porque además el número y tamaño de fisura es también
aleatorio. A continuación se mencionan las principales hipótesis en que se fundamenta el MPVÚ:
La superficie del vidrio se compone de un número aleatorio de fisuras de profundidad variable.
La profundidad de grieta que tiene un carácter variable, se representa por una función de densidad de
probabilidad de Pareto.
Las fisuras se comportan de manera independiente ante fisuras vecinas.
La orientación y ubicación de cada fisura tienen la misma probabilidad de ocurrencia en toda la superficie
del vidrio, esto quiere decir que se modela con una función de densidad de probabilidad Uniforme.
Se considera que el modo I de falla de la mecánica de la fractura elástica es suficientemente preciso, en
contraste de un comportamiento de falla real multimodal.
La probabilidad de falla se desarrolla únicamente bajo esfuerzos de tensión y no de compresión.
Por lo tanto, el modelo se ha justificado probabilísticamente para predecir la resistencia de un elemento de vidrio con
la siguiente ecuación generalizada:
0
0
12
2n2
n 02
00, 0 0
, , , , 1 2
1
máx
f
m
nnn
ntA
r dr
dAdA U
P t e
(19)
donde:
Pf es la probabilidad de falla para elementos de vidrio.
A0 es la superficie unitaria (1 m2).
A es el área superficial del elemento de vidrio.
t es la variable del tiempo.
KIc es el factor crítico de intensidad del esfuerzo.
Y es el factor de geometría de grieta.
v0 y n son los parámetros de velocidad de grieta.
θ0 y m0 son los parámetros de las condiciones de superficie, determinados experimentalmente.
U es el coeficiente que relaciona la mecánica de la fractura y el crecimiento subcrítico de grieta:
2
2
0
2
2
IcKU
n v Y
(unidades de esfuerzo2 tiempo) (20)
n , ,r es la componente normal de esfuerzos en una grieta de orientación φ, en el punto ,r x y de la
superficie y en el tiempo τ.
La ecuación 19 que determina la probabilidad de falla considera el fenómeno de crecimiento subcrítico de grieta, un
campo de esfuerzos biaxiales no homogéneos que varían en el tiempo, arbitraria geometría y arbitraria historia de
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esfuerzos. El MPVÚ se fundamenta en la mecánica de la fractura elástica y en la teoría de probabilidad, que ubica a
la propuesta entre las más avanzadas para la predicación de falla de elementos estructurales de vidrio. Sin embargo,
son muchos los conceptos requeridos o involucrados para su desarrollo, lo cual la convierte en una propuesta
compleja para usarla en el diseño estructural de la práctica profesional. Por lo tanto, es un método muy general que
requiere de un desarrollo práctico para los casos más comunes de diseño elementos estructurales de vidrio.
MODELO DE PREDICCIÓN DE FALLA DE CORTINAS DE VIDRIO
De acuerdo con el análisis de los métodos de predicción de falla más importantes de Norteamérica y de Europa, se
propuso seguir las bases del método general del MPVÚ (Haldimann, 2006, y Haldimann y otros, 2008) para
desarrollar el Modelo de Predicción de Falla de Cortinas de Vidrio para la práctica directa del diseño de placas de
vidrio recocido ante carga lateral uniforme (Puga, 2014). El modelo se presenta mediante gráficos de diseño como
los presentados por la norma ASTM E 1300-12a. Para el desarrollo de esta metodología se consideraron
principalmente los siguientes aspectos:
1. Ensayos de fatiga dinámica en la configuración de prueba coaxiales de doble anillo (CDA) sobre muestras
de vidrio recocido nuevo (sodocálcico de sílice).
2. Estimación analítica del comportamiento de una placa ensayada experimentalmente ante carga lateral
uniforme.
3. Desarrollo de 672 modelos analíticos de elementos finitos de placas de vidrio recocido de diferente relación
de aspecto y espesor nominal sometidos a la acción de una carga uniforme en toda su superficie.
4. Desarrollo de las curvas de fragilidad correspondientes a cada uno de los modelos analíticos.
5. Determinación de la predicción de falla asociada a 0.8%.
6. Creación de gráficas de diseño.
ENSAYOS DE FATIGA DINÁMICA
Se realizaron ensayos de fatiga dinámica en la configuración de prueba coaxial de doble anillo (CDA) sobre muestras
de vidrio recocido nuevo (sodocálcico de sílice) con una área de prueba de tensión de 2042.82 mm2, bajo una tasa de
carga de falla de 79 kN/min y condiciones ambientales de laboratorio. Se estimaron, a través de los esfuerzos de falla
principales, los parámetros de condición ambiental de la superficie del vidrio recocido (m0, θ0), para los cuales se
obtuvieron valores de m0 = 5 y θ0 = 59.78 MPa (Puga, 2014). Se determinó también el módulo de elasticidad con
base en los resultados de estas pruebas, de donde se concluyó que un valor de diseño de 74 GPa es adecuado ante
intensidades de carga de corta duración (ASTM C 1499-05).
COMPORTAMIENTO ANALÍTICO Y EXPERIMENTAL DE UNA PLACA DE VIDRIO
Para la modelación analítica se buscó un programa de cómputo que optimizara el tiempo de trabajo, así como la
eficiencia en el número de casos resueltos y que fuera capaz de desarrollar análisis que consideren los efectos de no
linealidad geométrica. Se eligió el software comercial Ansys 14.5, que es un programa que ofrece múltiples
aplicaciones a las diferentes ramas de la ingeniería (Madenci E. y Guven, 2006). Su base fundamental es el
desarrollo de modelos analíticos mediante el método de elementos finitos, requisito esencial para generar los
resultados de las placas de vidrio propuestas en este trabajo de investigación. A pesar de que el software comercial
tiene muchas aplicaciones para resolver desde problemas simples hasta problemas muy complejos, en nuestro caso
fue necesario implementar únicamente el módulo “Static Structural” del software Ansys 14.5, con el cual se
desarrollaron los análisis estáticos sobre el material isotrópico del vidrio. Otro aspecto importante a considerar, es
que el software Ansys 14.5 es un programa capaz de integrar en los análisis los aspectos de la no linealidad
geométrica (Lee, 2012), los cuales son indispensables para modelar correctamente el comportamiento de placas que
presentan grandes deflexiones, mayores a un tercio de su espesor (Ventsel y Krauthammer, 2001). Este problema
debe ser considerado en placas de vidrio ya que por su relación de aspecto la determinación de la deflexión con la
teoría lineal de placas de Kirchhoff deja de ser precisa, porque no son considerados los aspectos del estrechamiento
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que se presentan en la zona de la mitad de los bordes y los esfuerzos de membrana. En la Figura 3 se ilustra el
comportamiento de una placa de vidrio mediante la curva carga-deformación para resultados experimentales y los
resultados obtenidos del modelo matemático desarrollo para un comportamiento elástico lineal con los efectos de la
no linealidad geométrica y sin ella (Haldimann y otros, 2008). La Figura 3 muestra una curva de resultados
experimentales de una placa de vidrio templado de 1.6764 x 1.6764 m con espesor de 5.66 mm, simplemente
apoyada en sus cuatro bordes y sometida a carga lateral uniforme. En los resultados de la teoría lineal de placas se
observa que estos se encuentran lejos de predecir el comportamiento real del espécimen, y que sobreestiman las
deflexiones y esfuerzos cuando son comparados con los resultados reales obtenidos en la prueba experimental,
mientras que los resultados obtenidos con un modelo que considera la teoría de grandes deformaciones se encuentran
muy aproximados a los obtenidos del comportamiento real de la placa de vidrio templado de la curva experimental.
Figura 3 Gráfica de carga-deflexión obtenidas con la teoría lineal de placas, con la teoría de grandes
deformaciones y resultados experimentales de una placa de vidrio templado de 1.676 m x 1.676 m y espesor de 5.66 mm
Se observa que la curva más precisa corresponde a la que considera la no linealidad geométrica para estimar el
comportamiento de la placa de vidrio, creada con Ansys Workbench 14.5. En el modelo no lineal geométrico se
utilizó un módulo de elasticidad de 74000 MPa, una relación de Poisson de 0.23 y elementos finitos tipo placa de 4
nodos (Shell 181).
MODELOS ANALÍTICOS DE PLACAS DE VIDRIO
Una vez validada la teoría de grandes deformaciones como el método apropiado para estimar el comportamiento de
placas de vidrio, se definió la cantidad de modelos analíticos de placas de vidrio simplemente apoyadas en sus cuatro
bordes a estudiar mediante diferentes relaciones de aspecto, altura entre ancho (a/b, donde a > b), para las siguientes
relaciones de aspecto: 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6, 6.5 y 7. Los casos de estudio se limitan al tamaño
máximo de hoja de vidrio recocido que con mayor facilidad se puede encontrar en el mercado, 2.5 m de ancho por
3.5 m de altura. Como resultado de estas consideraciones, el número de modelos analíticos donde se incluyen los
efectos de la no linealidad geométrica desarrollados fue de 56, para cada espesor nominal que comercialmente se
encuentra en la industria de la construcción: 2.5 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm, 6 mm, 8 mm, 10 mm, 12 mm, 16 mm, 19
mm, 22 mm y 25 mm. (algunos de estos espesores corresponden a los mencionados en la norma oficial mexicana,
NOM-146-SCFI-2001). Con todo lo anterior, se desarrollaron un total de 672 modelos.
Detalles de los modelos analíticos
Para explicar las bases de los modelos analíticos desarrollados en este trabajo, utilizaremos un ejemplo
representativo de los mismos, donde se muestran las variables necesarias para la generación de las curvas de
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fragilidad. El ejemplo corresponde a una placa cuadrada de vidrio recocido de 2000 mm con 6 mm de espesor
nominal. Las propiedades isotrópicas del vidrio empleadas en este modelo corresponden a:
• E = 74000 MPa
• v = 0.23
• Densidad = 2500 kg/m3
La condición de apoyo de los cuatro bordes se hizo restringiendo el desplazamiento fuera del plano del panel de
vidrio, el cual corresponde al caso que se presenta en la Figura 4. Esta condición de apoyo es típica de sistemas de
acristalamiento a base de montantes y travesaños. La condición de apoyo simple corresponde a la condición de
mayor deflexión para una acción actuante fuera del plano de una placa de vidrio, ya que no impone ninguna
restricción ante el giro en el apoyo mismo. Las normas E 1300-12a y CAN/CGSB-12.20-M89 utilizan
principalmente esta condición de apoyo para los bordes de sus paneles de vidrio.
Figura 4 Condiciones de apoyo para sistemas de acristalamiento (SJ Mepla)
Adicionalmente se aprovechó la simetría de los paneles de vidrio, ya que con ello se redujo el tiempo de cómputo
mediante el desarrollo del modelo analítico correspondiente a un cuarto de placa (submodelo) para el análisis de
elementos finitos- Esto simplificó mucho el trabajo y redujo los tiempos de cálculo sin comprometer la precisión de
los resultados.
El elemento finito utilizado para modelar el comportamiento de las placas corresponde al elemento Shell de cuatro
nodos (Shell 181), donde la malla del ejemplo que se presenta se creó con elementos finitos de 20 mm por 20 mm de
lado. Para otras placas, el tamaño de elemento Shell podía alcanzar un tamaño máximo de 30 30 mm y un tamaño
mínimo de 10 10 mm. De esta forma el cuarto de placa del ejemplo está definida por un total de 2601 nodos y 2500
elementos, como se muestra en la Figura 5.
Figura 5 Malla representativa del modelo de un cuarto de placa
Para ejemplificar la condición de carga de los modelos analíticos, se presenta en la Figura 6 la presión uniforme
aplicada sobre la superficie de la placa de vidrio, que para este análisis se realizó mediante 20 estados de carga
definidos con incrementos de carga de 0.001 MPa, como se muestra en la Figura 6 (izquierda). Como en un principio
se desconoce la intensidad de carga uniforme para la cual se presenta la falla de cada uno de los 672 modelos, se
consideró una intensidad máxima de 0.02 MPa para cada uno de ellos.
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Figura 6 Condición de carga vs. intensidad de carga uniforme (izquierda) y deflexión vs. carga uniforme (derecha), resultado obtenido de Ansys Workbench 14.5 para la placa de vidrio recocido de 2000 mm por
2000 m y 6 mm de espesor
La Figura 6 (derecha), muestra una curva característica de carga uniforme contra deflexión, bajo la condición de
análisis no lineal geométrico. En otra serie de resultados se presentan a continuación dos gráficas más donde se
relaciona la intensidad de carga uniforme con el comportamiento de los esfuerzos principales en el plano S1 y S2
(Figura 7). Generalmente, el comportamiento elástico-lineal del vidrio está asociado a una respuesta lineal de la
carga o presión uniforme contra los esfuerzos principales. Por lo tanto, conocida la pendiente de las rectas de la
Figura 7 es posible extrapolar otros esfuerzos para otras intensidades de carga uniforme, sobre todo en aquellas
placas de vidrio donde su resistencia de falla es superior a la calculada analíticamente con la carga uniforme de 0.02
MPa. La precisión de la predicción de falla obtenida de esta manera, es suficiente y además justificable para fines
prácticos debido al manejo de una gran cantidad de información, además de que se tiene una aplicación muy simple
y clara para fines de programación. En ocasiones, es preciso realizar un proceso iterativo para converger en la
predicción de la carga de falla, sobre todo cuando la interpolación o extrapolación se hace en casos no lineales de los
esfuerzos principales frente a la intensidad de carga uniforme. Existe también la posibilidad de realizar ajustes con
otro tipo de funciones para estos casos, usando la función polinómica de segundo grado (o superior), con lo cual se
gana en mayor precisión, sin embargo no resulta ser muy eficiente para su programación.
Figura 7 Gráficos de presión uniforme vs. esfuerzos principales, S1 (izquierda) y S2 (derecha), con ajuste lineal sobre ellos
En la Figura 8 se ilustra la distribución de los esfuerzos principales máximos (S1) y mínimos (S2) antes
mencionados, para el plano con esfuerzos de tensión del submodelo de placa. Sus deformaciones se presentan
también fuera del plano para una carga uniforme de 0.02 Mpa.
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Figura 8 Resultados del submodelo de placa: 1) Vista deformada de la placa ante una carga de 0.02 Mpa, 2)
Deflexión máxima en el centro de 72.5 mm, 3) Distribución de esfuerzo principal máximo (S1) y 4) Distribución de esfuerzo principal mínimo (S2)
Comúnmente se calculan los esfuerzos sobre la superficie del panel directamente en los nodos de los elementos
finitos tipo Shell; sin embargo, la intensidad del esfuerzo requerida para que el MPVÚ sea preciso, corresponde a un
valor asociado a cada subárea, Ai, que es el área de cada elemento Shell que conforma toda la malla de elementos
finitos del modelo de la placa de vidrio. Para estimar estos valores, los resultados fueron obtenidos como el valor
promedio de los 4 nodos adyacentes de cada elemento Shell, tal como se ilustra en la Figura 8 para los esfuerzos
principales en el plano.
CURVAS DE FRAGILIDAD DE CARGA UNIFORME PARA UNA PLACA DE VIDRIO RECOCIDO NUEVO
Con toda la información anterior se estiman las curvas de fragilidad de presión uniforme contra la probabilidad de
falla, obtenidas mediante el desarrollo y programación de la ecuación 19. Esta se aplica una vez calculados y
definidos los parámetros y las propiedades del vidrio, valores correspondientes a las variables que se deben emplear
en cada caso de estudio (Tabla 9).
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Tabla 9 Parámetros y propiedades considerados para estimar las curvas de fragilidad de paneles de vidrio recocido nuevo
Parámetro (s) Valor
Factor de intensidad de esfuerzo crítico (KIC) 23.7172 MPamm0.5
Factor de geometría de la fisura (Y) 1.12 (adimensional)
Parámetros de velocidad de grieta (v0, n) v0 = 6 mm/s
n = 16 (adimensional)
θ0 59.88 MPa
m0 5.18 (adimensional)
Módulo de elasticidad (E) 74000 MPa
Duración de carga uniforme (t) 3 (segundos)
Subárea (Ai) depende del tamaño de shell (mm2)
Esfuerzos principales en el plano S1 y S2 provienen del análisis de elemento finito (en MPa)
Para determinar las curvas de fragilidad fue necesario programar en Matlab la ecuación 20. Haldimann (2006)
programó su modelo generalizado con la ecuación 19, sin embargo este código se modificó de acuerdo al Modelo de
Predicción de Falla de Cortinas de Vidrio. Finalmente se le dio una interfaz gráfica para el usuario (GUI, siglas en
inglés), previendo la posibilidad de que sirva como una herramienta de cálculo más accesible, la forma gráfica de la
herramienta desarrollada se muestra en la Figura 9.
Figura 9 Interfaz gráfica para el usuario del programa de MPFCV, estimador de curvas de fragilidad
La Figura 10 ejemplifica y presenta un conjunto de curvas de fragilidad. En el eje de las ordenadas se presenta la
probabilidad de falla de paneles de vidrio y en el eje de las abscisas la carga uniformemente repartida asociada. Estos
resultados consideran las variables aleatorias implícitas en la predicción de la resistencia de falla y los parámetros de
la Tabla 9. A partir de estas curvas de fragilidad, es posible relacionar fácilmente la resistencia de falla mediante una
probabilidad de falla (Pf). Las probabilidades de falla comúnmente usadas para el diseño son de 0.8% y de 0.12%,
que son las que se manejan respectivamente en el código Americano y Europeo. Entonces, para cada una de las
placas de vidrio recocido nuevo de 2000 2000 h, donde h es el espesor nominal de 2.5 mm, 3 mm, 4 mm, 5 mm,
6 mm, 8 mm, 10 mm, 12 mm, 16 mm, 19 mm, 22 mm y 25 mm, se calculó su respectiva resistencia de falla asociada
a las probabilidades de falla definidas en los códigos antes mencionados: Pf = 0.8% y a la Pf = 0.12%. Los
resultados se muestran en la Figura 10.
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Figura 10 Curvas de fragilidad de presión uniforme para las placas de 2000 mm x 2000 mm x h mm
GRÁFICOS DE DISEÑO PARA EL CÁLCULO DE LA RESISTENCIA DE FALLA Y DE DEFLEXIÓN EN EL CENTRO DEL CLARO DE PANELES DE VIDRIO RECOCIDO NUEVO
De acuerdo con lo presentado en las secciones anteriores, se estimaron las predicciones de falla de los 672 paneles de
vidrio recocido nuevo con el MPFCV y las deflexiones centrales de cada uno de los mismos paneles ante distintas
intensidad de carga uniforme. Los resultados se expresan a través de 12 gráficos correspondiente a cada uno de los
espesores nominales (h) definidos: 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 19, 22 y 25 mm. Estos gráficos facilitan la tarea del
diseño estructural a los profesionales de la práctica. El formato de los gráficos de diseño se ha expresado con
similitud a los propuestos en la norma Americana E1300-12a.
De los gráficos de diseño que se presentan a continuación, Figuras 11 a 22, se estima la predicción de la resistencia
de los paneles de vidrio recocido nuevo con sus cuatro bordes simplemente apoyados sometidos a una carga lateral
con duración de tres segundos. Para el uso de estas herramientas en la predicción de la carga de falla es necesario
conocer las dimensiones propuestas del panel de vidrio (su longitud, ancho y espesor). De acuerdo con el espesor se
selecciona el gráfico adecuado, y con base en las dimensiones restantes se siguen las trayectorias de los ejes vertical
y horizontal. En el punto de intersección se lee el valor de carga de falla esperada (sin factorizar) en kPa para una
probabilidad de falla asociada de 0.8%. Finalmente, se debe comparar la resistencia por carga lateral del panel
obtenida del gráfico de diseño contra la carga de diseño, la resistencia de falla (Rf) debe ser mayor o igual a la de
carga de diseño (Ld).
d fL R (21)
La deflexión máxima en el centro del claro de una placa, se estima mediante las gráficas de carga uniforme contra
deflexión de las Figuras 11 a 22, como función de la carga de diseño, el espesor nominal y la relación de aspecto a/b
(donde, a> b) de la placa. Para hacer uso de estas herramientas de diseño, el primer paso consiste en seleccionar el
gráfico adecuado considerando el espesor nominal del panel de vidrio; después se entra al eje de las abscisas con el
cálculo de la operación carga × área2, en el paso continúo se intersecta la curva de aspecto con el valor
correspondiente a la relación de aspecto de a/b, y para finalizar se intersecta el eje vertical para encontrar el valor
correspondiente a la deflexión máxima (wmáx) en el centro del claro del panel de vidrio en cuestión. Las Figuras 11 a
22 son ejemplos de los gráficos de diseño del MPFCV que se crearon para la predicción de las cargas de falla y la
máxima deflexión esperada en el centro del claro de paneles de vidrio recocido, asociados a un módulo de elasticidad
de 74 GPa y a una relación de Poisson de 0.23.
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Figura 11 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 2.5 mm de espesor nominal
Figura 12 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 3.0 mm de espesor nominal
Figura 13 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 4.0 mm de espesor nominal
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Figura 14 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 5.0 mm de espesor nominal
Figura 15 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 6.0 mm de espesor nominal
Figura 16 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 8.0 mm de espesor nominal
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Figura 17 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 10.0 mm de espesor nominal
Figura 18 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 12.0 mm de espesor nominal
Figura 19 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 16.0 mm de espesor nominal
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Figura 20 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 19.0 de espesor nominal
Figura 21 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 22.0 mm de espesor nominal
Figura 22 Gráficos de diseño estructural de paneles de vidrio recocido de 25.0 mm de espesor nominal
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CONCLUSIONES
En este documento se presenta una breve descripción de los métodos de diseño más importantes de Europa y de
Norteamérica para determinar la predicción de falla de placas de vidrio ante carga lateral uniforme. Como resultado
de este trabajo de investigación se obtienen las siguientes conclusiones y recomendaciones:
Establecer una comparación directa entre cada método de diseño para definir la predicción de la resistencia del vidrio
no es del todo posible, ya que cada modelo de predicción está desarrollado de acuerdo a sus propios parámetros, los
cuales suelen estar definidos teóricamente y, en ocasiones, empíricamente, lo que obstaculiza el establecimiento de
dicha comparación. Por lo tanto, es común que los resultados obtenidos con las diferentes normas diferirán. Sin
embargo, al establecer una comparación general de cada uno de los métodos es posible encontrar diferencias
importantes.
Las normas Norteamericanas corresponden a propuestas derivadas de las técnicas del modelo de predicción de falla
para ventanas de vidrio desarrollado por Beason en 1980. Tanto la norma Americana ASTM E 1300-12a como la
norma Canadiense CAN/CGSB 12.20-M89, permiten calcular la probabilidad de falla de placas de vidrio sujetas a
presión lateral uniforme de carga para ser determinada como función de la geometría de la placa, la duración de la
carga y las propiedades de la superficie del vidrio. La norma Americana hace su predicción de falla de placas de
vidrio para una duración de carga de tres segundos, mientras que la norma canadiense lo hace para una duración de
carga de 60 segundos. Ambas normas presentan gráficos de diseño fáciles de utilizar con una probabilidad de falla
asociada de 0.8% para cada uno de los espesores nominales.
La norma Americana se fundamenta en el análisis de placas rectangulares de vidrio recocido intemperizado ante
carga lateral uniforme, es decir, se trata de un vidrio que estuvo en servicio y en exposición al medio ambiente
durante más de 20 años. En cambio la norma Europea está basada sobre el análisis de pruebas coaxiales de doble
anillo sobre muestras de vidrio con daño homogéneo inducido artificialmente sobre su superficie y sujetas a una tasa
de esfuerzo de aproximadamente 2 MPa/s.
El método más refinado en su formulación es el MPVÚ desarrollado por Haldimann (2006) y por Haldimann et al.
2008. Se trata de una propuesta generalizada y avanzada para el diseño de elementos estructurales de vidrio, la cual
está fundamentada en la mecánica de la fractura elástica y en la teoría de probabilidad. Sin embargo, es una
propuesta que resulta poco práctica de usar como método de diseño para estimar la probabilidad de falla de placas de
vidrio ante carga lateral, por la gran cantidad de conceptos, parámetros y pruebas experimentales que se requirieren y
que deben estar incluidas dentro de su formulación.
El MPFCV que se propone en este estudio, es derivado del método de MPVÚ y permite calcular en forma exacta la
predicción de la resistencia de falla de placas de vidrio recocido simplemente apoyadas en sus cuatro bordes ante
carga lateral uniforme con duración de tres segundos, mediante gráficos de diseño para 12 diferentes espesores
nominales (Puga, 2014). La condición de borde a lo largo de los cuatro lados es la que comúnmente tienen las
cortinas de vidrio de fachadas de edificios ubicados en la República Mexicana. Las conexiones más apropiadas para
el diseño de cortinas de vidrio son las que se construyen a base de un sistema estable de montantes y travesaños,
porque brindan la mayor capacidad de sujeción de los paneles de vidrio, incluso después de su ruptura, que es
esencial para su fácil reemplazo, pero sobre todo para evitar la caída de fragmentos con riesgo de daño hacia las
personas.
Para las normas de diseño de placas de vidrio, es muy importante estimar la resistencia del vidrio como elemento
estructural, así como es igualmente importante definir y predecir las acciones de diseño que se espera actúen sobre
elementos estructurales de vidrio. De la correcta determinación de estas acciones depende la precisión y seguridad
del diseño. Por lo tanto, el modelo más completo para la determinación de la carga de diseño, corresponde a la norma
Europea, ya que en ésta se considera el comportamiento de cada una de las acciones involucradas en el diseño,
mediante factores que relacionan la combinación de cargas, y de factores parciales que representan el grado de
variabilidad y de frecuencia de la acción considerada. Otro aspecto sobresaliente, es la forma en que se establecen
desde el inicio los estados límites de servicio y último, que son esenciales para el buen desempeño de los elementos
estructurales de vidrio durante su vida útil, y que son congruentes con las filosofías de diseño por desempeño que
actualmente se utilizan en los códigos de diseño correspondientes a elementos estructurales de otro tipo de materiales
como son el acero, el concreto reforzado y la madera.
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AGRADECIMIENTOS
Se agradece al CONACyT por su apoyo económico para desarrollar este trabajo como parte de los requisitos para
obtener el grado de Maestro en Ingeniería en el Área de Estructuras, a la Universidad Michoacana de San Nicolás de
Hidalgo (UMSNH) y a su Coordinación de Investigación Científica por el apoyo recibido para la realización de este
trabajo, así como también al Instituto Tecnológico de Morelia (ITM) por el acceso y préstamo de sus instalaciones.
REFERENCIAS
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