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8/19/2019 Descripción Lagrangiana y Euleriana
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GRUPO 4 “DESCRIPCION
LAGRANGIANA Y
EULERIANA”
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“DESCRIPCION LAGRANGIANA”
DESCRIPCION LAGRANGIANA (Joseph Louis Lagrange 1736-1813)
Estudia una sola partícula masa fija (masa de control) según su
movimiento, y posición a través del tiempo
Sigue el rastro del vector posición de cada objeto
Sigue el rastro del vector de velocidad de cada objeto
, …
, …
En función del tiempo “t”
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“DESCRIPCION LAGRANGIANA”
• Fijando t : r(Xo, t) proporciona la posición de la partícula en ese instante.
• Fijando Xo : r(Xo, t) proporciona la evolución temporal de la posición de la
partícula.
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“DESCRIPCION LAGRANGIANA”
Proporciona buenos resultadosen el análisis del movimiento desólidos rígidos. Y no en elanálisis de movimiento de fluido
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Las partículas del fluido al desplazarse en todas direcciones no pueden
definirse e identificarse con facilidad.
C R CTERISTIC S P R EL N LISIS EN UN FLUJO DE FLUIDOS
El fluido es continuum; las interacciones de los fluidos no son tan fáciles
de describir, estas se deforman de manera continua a medida que se
mueven
“DESCRIPCION LAGRANGIANA”
Pero existen aplicaciones practicas como seguir el rastro de escalares pasivos en un flujo
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Se definen variables de campo, funciones del espacio y el tiempo, dentro
del volumen del control
“DESCRIPCION EULERIANA”
DESCRIPCION EULERIANA (Leonhard Euler 1707 - 1783)
Se define como un volumen finito, llamado dominio de flujo o volumen de
control que atraviesa una porción del espacio
Campo de presión: = , , ,
Campo de velocidad:
Campo de aceleración:
= , , ,
= ,, ,
Definen
campo de
flujo
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“DESCRIPCION EULERIANA”
Todas esas variables de campo se definen en cualquier ubicación ,,Dentro del volumen de control y en cualquier instante t
CARACTERISTICAS PARA EL ANALISIS EN UN FLUJO DE FLUIDOS
No es necesario seguir el rastro de la posición y la velocidad de una
masa fija de partículas de fluido
No importa lo que sucede a las partículas de fluido por separado se
centra la atención en la presión, la velocidad, la aceleración, etcétera, de
cualquiera que sea la partícula de fluido que llegue a estar en el lugar deinterés en el momento de interés.
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“DESCRIPCION EULERIANA”
Fijando t: v(x,t) proporciona la velocidad de
todas las partículas que en el instante t están
ocupando el V.C.
Fijando x : v(x,t) proporciona la velocidad de la
partícula que en cada instante está ocupando la
posición x en el V.C.
El campo de velocidad se puede desarrollar como:
= , , = , , , + , , , + , , ,
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“DESCRIPCION LAGRANGIANA Y EULERIANA”
Al estudiar una masa de
control, estudiamos un
fragmento del material y
seguimos su movimiento vale
decir sigue la huella de la
posición y de la velocidad de
cada partícula..
Al estudiar un volumen de control,
estudiamos lo que atraviesa una
porción del espacio y en ella se
definen las variables de un
campo, como el campo de presión
y el campo de velocidad, en
cualquier lugar y cualquierinstante.
El enfoque de las
masas de control es
el enfoque
Lagrangiano
El enfoque de los
volúmenes de control
es el Euleriano.
DESCRIPCION LAGRANGIANA DESCRIPCION EULERIANA
Finalmente el enfoque Euleriano es mas conveniente para las aplicaciones de Mecánica de Fluidos entanto que las mediciones se ajustan mas a esta descripción
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EJEMPLO
Campo bidimensional de velocidad (flujo
bidimensional)Determinar un punto de estancamiento
en este campo de flujo
1 tenemos que ubicar el punto de estancamiento, trazando varios vectores de velocidad
Punto de estancamiento eta en:
= , = 0.5 + 0.8 + 1.5 + 0.8
= 0.5 + 0.8 = 0 → = −0.625 = 1.5 − 0.8 = 0 → = 1.875
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“ EJEMPLOS ”
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EJEMPLO• Dado el vector velocidad = 6 + 5 − 3 + (7 − 5) . Halle la
velocidad en el punto P(2,1,4) en un tiempo de 3seg.
• SOLUCION: Reemplazamos los datos del punto P y el tiempo obteniéndose
que:• = ( 6 2 1 + 5 2 3 − 3 1 + 7 2 1 − 5 4 3
• = 42 − 3 − 46
• El módulo de la velocidad es:
• = 42 + 3 + 46
• = 62,36/
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EJEMPLO DE APLICACION
• Se tiene que estudiar la situación del tráfico en la ciudad deHuancavelica, donde no se permiten automóviles (circulanbicicletas). Comente sobre cómo se podría realizar dicho
estudio utilizando un procedimiento Lagrangiano y unprocedimiento Euleriano.
• SOLUCION:
• .Para el estudio por el método Lagrangiano se tendrá querecorrer la ciudad en bicicleta y anotar las observacionesapropiadas.
• .Por el método Euleriano el estudio se hará ubicándose en
puntos específicos (intersecciones) de la ciudad y anotar lasobservaciones requeridas.
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“ CAMPO DE
ACELERACIONES ”
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{
DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA
Volumen
de
control
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En lugar de ello, se definen variables de campo, funciones del espacio y eltiempo, dentro del volumen de control
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Campo de aceleraciones
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“EJEMPLOS DE
CAMPO DE
ACELERACIONES ”
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“DERIVADA MATERIAL”
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se le da un nombre especial, el de derivadamaterial.
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D / Dt, para hacer resaltar que seforma cuando sigue una partícula de
fluido a medida que se mueve por elcampo de flujo
Otros nombres para derivadamaterial
total, de partícula, lagrangiana,
euleriana y sustancial
LA DERIVADA MATERIAL SE DEFINE CUANDOSIGUE UNA PARTICULA DE FLUIDO CONFORME SEDESPLAZA POR TODO EL CAMPO DE FLUJO.
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DERIVADA MATERIAL
Cuando se aplica la derivada material de laecuación al campo de velocidad, el resultado esel campo de aceleración, según se expresa por
la ecuación, a la cual, en consecuencia, a vecesse le da el nombre de aceleración material.
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ACELERACIÓN MATERIAL
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La ecuación representa la razón de cambio respecto al tiempo de la presión,siguiendo una partícula de fluido a medida que se desplaza por el flujo y contienetanto componentes locales (no estacionarias) como convectivas (Fig.siguiente).
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derivada material D/Dt se compone• de una parte local o no-estacionaria y una parte convectiva.
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Sea el campo bidimensional estacionario de velocidad(Se da un campo estacionario, incompresible y bidimensional de velocidad por:)
Considere el campo bidimensional estacionario e incompresible de velocidad
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a) Calcule la aceleración material en el punto (x = 2 m, y= 3 m).b) Trace un esquema de los vectores de aceleración material en el mismo arreglo devalores x y y
SOLUCIÓNPara el campo de velocidad dado, debe calcularse el vector deaceleración material en un punto particular y trazar la gráfica en unarreglo de ubicaciones en campo de flujo.
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1 El flujo es estacionario e incompresible.
2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no hay
componente z de la velocidad y no hay variación de u o vcon z.
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dondees el operador gradiente u operador nabla, un operador vectorial quese define en coordenadas cartesianas como:
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a) Se usa el campo de velocidad de la ecuación del ejemplo y la ecuación para las componentes de
la aceleración material en coordenadas cartesianas (Ec. 4-11), se escriben expresiones para las doscomponentes diferentes de cero del vector aceleración:
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En el punto (x = 2 m, y= 3 m)
ax = 1.68 m/s2 y ay= 0.720 m/s
2.
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El campo de aceleración es diferentede cero, aun cuando el flujo es
estacionario. Arriba del punto deestancamiento (arriba de y _ 1.875 m),los vectores de aceleración trazadosen la figura 4-14 apuntan hacia arriba,aumentan en magnitud cuando sealejan de ese punto. A la derecha del
punto de estancamiento (a la derechade x = - 0.625 m), los vectores deaceleración apuntan hacia la derecha,aumentan una vez más en magnitudcuando se alejan del punto.
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