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lim!→#$(&)((&) ; ((&) ≠ 0
lim!→# $(&) ∗ ((&)
./0$→%[2(3)− 5
(3)]
./0$→& 2(3) = 2(8)
./0$→%[2(3) + 5(3)]
Límites de Funciones Reales con Graph versión 4.4.2
Yersi Luis Huamán Romaní
María Verónica Seminario Morales María Gregoria Sánchez Prieto
Lucy Marisol Reyes Arteaga José Luis Estrada Pantia
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2
Yersi Luis Huamán Romaní Universidad Nacional de Frontera https://orcid.org/0000-0001-7209-7727 [email protected] [email protected] Licenciado en Ciencias Físico Matemáticas especialidad Matemáticas de la Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga, con número de registro 1469 del Colegio de Matemáticos del Perú (COMAP). Magister en Docencia Universitaria y Gestión Educativa, doctorando en Educación.
Docente de categoría Asociado con experiencia en Docencia Universitaria por más de 11 años dictando cursos de Matemáticas en diferentes Universidades del Perú. Con pasantías a nivel Nacional e Internacional.
María Verónica Seminario Morales Universidad Nacional de Frontera https://orcid.org/0000-0002-6787-7371 [email protected] [email protected] Lic. En Matemática egresada de la Universidad Nacional de Piura. Con maestría y doctorado en Educación. Docente Universitaria, en la categoría de Auxiliar en la Universidad Nacional de Frontera.
María Gregoria Sánchez Prieto Universidad Nacional de Frontera https://orcid.org/0000-0002-1391-8406 [email protected] [email protected] Licenciada en Matemática, egresada de la Universidad Nacional de Piura, con número de registro 1333 del Colegio de Matemáticos del Perú (COMAP). Magister en Matemática Aplicada, doctoranda en Ciencias Matemáticas de la Universidad Nacional de Piura. Docente
de la Facultad de Ingeniería Económica. Amplia experiencia de 20 años de docencia universitaria en diferentes universidades del Perú.
Lucy Marisol Reyes Arteaga Universidad Nacional de Frontera https://orcid.org/0000-0001-8527-9861 [email protected] Licenciada en Matemática, Magister en Matemática Aplicada. Docente adscrita a la Facultad de Ingeniería Económica de la Universidad Nacional de Frontera de Sullana – Piura – Perú.
José Luis Estrada Pantia Universidad Nacional José María Arguedas https://orcid.org/0000-0002-6138-9043 [email protected] [email protected] Magister en Educación, Docente de la Facultad de Ingeniería, Con una amplia experiencia de 19 años de docencia universitaria en diferentes universidades del Perú.
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Límites de Funciones
Reales con Graph versión 4.4.2
Yersi Luis Huamán Romaní María Verónica Seminario Morales
María Gregoria Sánchez Prieto Lucy Marisol Reyes Arteaga
José Luis Estrada Pantia
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Límites de Funciones Reales con Graph versión 4.4.2 Yersi Luis Huamán Romaní María Verónica Seminario Morales María Gregoria Sánchez Prieto Lucy Marisol Reyes Arteaga José Luis Estrada Pantia Editd by Colloquium ISBN: 978-9942-600-09-7 First edition 2021 The book was reviewed by academic peers before its editorial process, in case you require certification you should request it to: [email protected]. The production or storage of all or part of this publication, including the cover design, as well as its transmission by any means, whether electronic, chemical, mechanical, optical, recording or photocopying, without the authorization of the copyright holders, is strictly prohibited under the penalties of the law. Ecuador 2021
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iii
Índice
Contenido
Índice .................................................................................................... iii
Prólogo .................................................................................................. iv
Introducción .......................................................................................... 5
CAPÍTULO I ............................................................................................ 6
LIMITES DE FUNCIONES REALES .............................................................. 6
Límite de Funciones Reales ....................................................................... 7
Ejercicios Resueltos de Límites de Funciones .................................................. 9
Cálculo de Límites ................................................................................ 26
Cálculo de Límites: Propiedades .............................................................. 27
Ejercicios Resueltos de Cálculo de Limites ..................................................... 29
Límites Laterales .................................................................................. 41
Ejercicios Resueltos de Límites Laterales ...................................................... 42
Cálculo de Límites al Infinito .................................................................... 51
Ejercicios Resueltos de Límites al Infinito ..................................................... 52
Límites Infinitos ................................................................................... 64
Ejercicios Resueltos de Límites Infinitos ....................................................... 65
Límites de Funciones Trigonométricas ......................................................... 69
Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos ............................................. 70
Límites Exponenciales y/o de la Forma Indeterminada ..................................... 79
Ejercicios Resueltos de Límites Exponenciales y/o de la Forma Indeterminada ......... 82
Referencias Bibliográficas ........................................................................ 88
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iv
Prólogo
En este texto, se expone el tema de Límites de un función real, con casos muy prácticos acompañado de una gran cantidad de ejercicios selectos como de teoría y una gran cantidad y calidad de ejercicios resueltos de demostración de límites, cálculo de límites, cálculo de las diferentes formas de límites para levantar las indeterminadas; límites trigonométricos, neperianos y exponenciales, este libro servirá para continuar con otra edición de continuidad y tipos de discontinuidad acompañado de una selecta cantidad y calidad de ejercicios bien explicados paso a paso para su mejor entendimiento en la vida universitaria.
Éste es un texto práctico destinado a resolver de forma muy sencilla y bien
detallado cada problema de límites: demostración de límites, cálculo de límites en sus diferentes formas, límites de funciones exponenciales, logarítmicas despertará las ganas de seguir buscando mas ejercicios y poder resolverlos.
El presente texto se recomienda para estudiantes de las carreras profesionales de Ingeniería como también para las diversas carreras universitarias Economía, Matemática, Física, Contabilidad, Ingenierías, Enfermería, Biología, Agronomía y las ciencias sociales; con el único fin de estar prestos y listo para resolver cualquier tipo de ejercicios matemáticos que se presente en su vida universitaria.
Las graficas de límites, límites laterales, funciones trigonométricas, funciones
exponenciales, logarítmicas y otros, se realizaron con el programa Graph versión
4.4.2 de acceso libre.
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~ 5 ~
Introducción
El presente texto sobre Límites de funciones reales surge como la necesidad de implementar el uso del software Graph como recurso didáctico, basado en una metodología asertiva que permitirá al estudiante entender el estudio de funciones en términos de su comportamiento, fomentando su razonamiento, análisis, interpretación y juicio crítico.
El análisis se remonta a principios del siglo XVII, en donde Newton y Leibniz inventaron el cálculo. En ese siglo y en el posterior siglo XVIII, algunos tópicos del análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones en derivadas parciales, las ecuaciones diferenciales ordinarias y el análisis de Fourier juntamente con las funciones generadoras se desarrollaron especialmente para un trabajo que se podría aplicar a mundo entero. Las técnicas, métodos y algoritmos del Cálculo son aplicadas con éxito sin ningún problema en la aproximación de los problemas diversos y discretos de la vida y el mundo actual mediante los continuos avances de esta ciencia.
El texto de Límites de Funciones Reales será de gran apoyo para el curso de Cálculo Diferencial, el texto se divide en los siguientes temas del Cálculo de límites donde se tiene ejercicios desarrollados con el uso de la definición de límites (demostración), luego tenemos las diferentes formas de calcular los límites usando propiedades y levantando las diferentes formas indeterminadas, también se tiene una gama de ejercicios resueltos para cada tema con ejercicios selectos; por lo que este libro servirá de base para la segunda edición.
Los Autores
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~ 6 ~
CAPÍTULO I LIMITES DE FUNCIONES REALES
La matemática te proporciona la disciplina mental para determinar tu
posición en el universo e interactuar con la naturaleza como parte fundamental de ella.
Juan Elkin
•
!!(#")
#" − &#"#" + &
!#())
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧) + .)
) − .
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~ 7 ~
Límite de Funciones Reales Vecindad de un número real
Se llama vecindad o entorno de un número real "! al intervalo abierto ⟨"! − %;"! + %⟩
que tiene como centro a "! y como radio a % > 0 y se denota por:
+"("!) = ⟨"! − %;"! + %⟩ Es decir:
" ∈ +"("!) ↔ "! − % < " < "! + % Y gráficamente está representado por:
+"("!) ⟨⟩
"! − %"!"! + %
Una vecindad reducida o vecindad con exclusión de "! es el entorno sin el número "! denotado por:
+"∗("!) = ⟨"! − %;"! + %⟩ − {"!}
Así las vecindades de "! = 4 son los siguientes intervalos
+$(4) = ⟨4 − 2; 4 + 2⟩
= ⟨2; 6⟩
+%(4) = ⟨4 − 1; 4 + 1⟩
= ⟨3; 5⟩ Definición
Diremos que el número "=" se llama límite de una función ">(")" cuando """ se
aproxima al punto ""!" (""!" no necesariamente pertenece al ?@A>(")), si para todo
% > 0, existe un B = B(%) > 0 tal que se cumple que 0 < |" − "!| < B entonces |>(") − =| < %, equivalentemente se tiene:
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~ 8 ~
lim&→&!
>(") = = ↔ ∀% > 0, ∃B > 0/∀" ∈ ?@A(>) ∧ |" − "!| < B → |>(") − =| < %
Gráficamente se tiene: Es decir:
lim&→&!
>(") = = ↔ ∀% > 0, ∃B > 0/0 < |" − "!| < B → |>(") − =| < %
" ≠ "!, −B < " − "! < B → −% < >(") − = < %
" ≠ "!, "! − B < " < "! + B → = − % < >(") < = + %
" ≠ "!, " ∈ +(("!) → >(") ∈ +"(=)
#" − &#"#" + &
!#())
⎩⎪⎨
⎪⎧) + .)
) − .
•
!!(#")
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~ 9 ~
Ejercicios Resueltos de Límites de Funciones
Recordaremos que el
lim&→&!
>(") = = ↔ ∀% > 0, ∃B > 0/∀" ∈ ?@A(>) ∧ |" − "!| < B → |>(")– =| < %
1) Demostrar que el
lim&→%
(3"% − " − 2) = 8
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀" ∈ ?@A(>) ∧ |" − 2| < B$ → |3"% − " − 2 − 8| < %
Entonces:
|3"% − " − 2 − 8| = |3"% − " − 10|
= |(" − 2)(3" + 5)||P. R| ≤ |P||R|
≤ |" − 2||3" + 5| …..(1)
TomamosB% = 1, para acotar |3" + 5| y como
|" − 2| < B%
|" − 2| < 1|"| < T ↔ −T < " < T; T ≥ 0
↔ −1 < " − 2 < 1
1 < " < 3
3 < 3" < 9
8 < 3" + 5 < 14 Tomemos el
max{|8|; |14|} = 14
−14 < 3" + 5 < 14
↔ |3" + 5| < 14 ………(2) Reemplazando en (1)
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~ 10 ~
= |" − 2||3" + 5|
≤ B$. 14 = % Es decir que
B$ = %/14 De donde se toma el
B = Z[\ ]B$ =%
14, B% = 1^
= %/14 Por lo que el
lim&→%
(3"% − " − 2) = 8
2) Demostrar el
lim&→$
(2" + 1) = 3
Solución: Por definición de límite se tiene:
lim&→$
(2" + 1) = 3 ⇔∀% > 0,∃B > 0/∀"`?@A> ∧ |" − 1| < B ⟹ |2" + 1 − 3| < %
Entonces |2" + 1 − 3| = |2" − 2|
= |2(" − 1)|
= 2|" − 1|
< 2B = %
B = %2b
Entonces
lim&→$
(2" + 1) = 3
3) Demostrar que el
lim&→%
(4"% + " − 4) = 14
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" − 2| < B$ → |4"% + " − 4 − 14| < %
Entonces:
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~ 11 ~
|4"% + " − 4 − 14| = |4"% + " − 18|
= |(" − 2)(4" + 9)|
≤ |" − 2||4" + 9|……… (1)
Sea:B% = 1 |" − 2| < B% |" − 2| < 1
↔ −1 < " − 2 < 1
1 < " < 3…………………(c@d4)
4 < 4" < 12………………(+9)
13 < 4" + 9 < 21
Ae"{|13|; |21|} = 21
−21 < 4" + 9 < 21
↔ |4" + 9| < 21
Remplazando en (1)
= |" − 2||4" + 9|
< B$. 21 = % Así:
B$ =%
21
B = A[\ fB$ =3
21; B% = 1g
B = %/21
Por lo que el
lim&→%
(4"% + " − 4) = 10
4) Demostrar que el
lim&→$
("% + 4) = 5
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" − 1| < B$ → |"% + 4 − 5| < %
Entonces: |"% + 4 − 5| = |"% − 1|
= |(" − 1)(" + 1)|
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~ 12 ~
≤ |" − 1||" + 1|……… (1)
Sea B% = 1 |" − 1| < B% |" − 1| < 1
↔ −1 < " − 1 < 1
0 < " < 2………………… . . (+1)
1 < " + 1 < 3 Tomamos el
Ae"{|1|; |3|} = 3
−3 < 1 < " + 1 < 3
−3 < " + 1 < 3
↔ |" + 1| < 3 Remplazando en (1)
= |" − 1||" + 1|
< B$. 3 = %
B$ = %/3
B = A[\ ]B$ =%
3; B% = 1^
B = %/3 Por lo que el
lim&→$
("% + 4) = 5
5) Demostrar que el
lim&→+$
(2" + 3) = 1
Solución: Por definición de límite se tiene:
lim&→+$
(2" + 3) = 1 ⇔ ∀% > 0, ∃B > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" + 1| < B ⟹ |2" + 3 − 1| < %
Entonces
|2" + 3 − 1| = |2" + 2|
= |2(" + 1)|
= 2|" + 1|
< 2B = %
![Page 15: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/15.jpg)
~ 13 ~
B = %25
Por lo tanto el
lim,→−1
(2" + 3) = 1
6) Demostrar que el
lim&→$
(3"% + 2") = 5
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" − 1| < B$ → |3"% + 2" − 5| < %
Entonces: |3"% + 2" − 5| = |(" − 1)(3" + 5)|
≤ |" − 1||3" + 5|… (1)
Sea B% = 1 |" − 1| < B% |" − 1| < 1
↔ −1 < " − 1 < 1
0 < " < 2………… . . (c@d3)
0 < 3" < 6……………… . (+5)
5 < 3" + 5 < 11
Ae"{|5|; |11|} = 11
−11 < 5 < 3" + 5 < 11
−11 < 3" + 5 < 11
|3" + 5| < 11 Remplazando
= |" − 1||3" + 5|
< B$. 11 = %
B$ = %/11
B = A[\ ]B$ =%
11;B% = 1^
B = %/11 Entonces el
lim&→$
(3"% + 2") = 5
![Page 16: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/16.jpg)
~ 14 ~
7) Demostrar que el
lim&→/
("/ − 3"% + 3" − 1) = 8
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" − 3| < B$ → |"/ − 3"% + 3" − 1 − 8| < %
Entonces: |"/ − 3"% + 3" − 1 − 8| = |"/ − 3"% + 3" − 9|
= |(" − 1)/ − 8|
≤ |" − 1 − 2||(" − 1)% + 2(" − 1) + 4|
= |" − 3||"% − 2" + 1 + 2" − 2 + 4|
≤ |" − 3||"% + 3|………………………(1)
Sea B% = 1 |" − 3| < B% |" − 3| < 1
↔ −1 < " − 3 < 1
↔ 2 < " < 4………………………………………….(")%
↔ 4 < "% < 16……………………………..............(+3)
↔ 7 < "% + 3 < 19……………………(2)
Ae"{|7|; |19|} = 19
−19 < "% + 3 < 19
↔ |"% + 3| < 19 Remplazando en (1)
= |" − 3||"% + 3|
< B$. 19 = %
B$ =%
19
B = A[\ ]B$ =%
19= %% = 1^
= %/19 Entonces el
lim&→/
("/ − 3"% + 3" − 1) = 8
8) Demostrar que el
![Page 17: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/17.jpg)
~ 15 ~
lim&→$
3"
2=3
2
Solución:
∀% > 0, ∃B > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 1| < B → j3"
2−3
2j < %
Entonces
j3"
2−3
2j = j
3" − 3
2j
= k3(" − 1)
2k
=3
2|" − 1|
<3
2B = %
B =2%
3
Por lo que
lim&→$
3"
2=3
2
9) Demostrar que el
lim&→+$
"% − 1
" + 1= −2
Solución:
∀% > 0, ∃B > 0/∀"`i@A> ∧ |" + 1| < B → k"% − 1
" + 1+ 2k < %
Entonces
k"% − 1
" + 1+ 2k = k
(" − 1)(" + 1)
" + 1+ 2k
= |" − 1 + 2|
= |" + 1|
< B = %
B = % Por lo que el
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~ 16 ~
lim&→+$
"% − 1
" + 1= −2
10) Demostrar que el
lim&→$
("% + 1) = 2
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 1| < B$ → |"% + 1 − 2| < %
Entonces |"% + 1 − 2| = |"% − 1|
= |(" + 1)(" − 1)|
≤ |" + 1||" − 1|… (1)
Sea B% = 1 |" − 1| < B% |" − 1| < 1
↔ −1 < " − 1 < 1
0 < " < 2
1 < " + 1 < 3
Tomamos el Ae" = {|1|; |3|} = 3
−3 < " + 1 < 3
↔ |" + 1| < 3 Reemplazando en (1)
= |" + 1||" − 1|
< 3. B$ = %
3. B$ = %
B$ =%
3
Tomando el
B = A[\lB% = 1;B$ =%3bm
B = %3b
Por lo que el
![Page 19: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/19.jpg)
~ 17 ~
lim&→$
("% + 1) = 2
11) Demostrar que
lim&→0
(" − 4) = 1
Solución: Por definición de límite se tiene:
lim&→0
(" − 4) = 1 ⇔ ∀% > 0, ∃B > 0/∀" ∈ ?) ∧ |" − 5| < B ⟹ |" − 4 − 1| < %
Entonces
|" − 4 − 1| = |" − 5|
< B = ` Por lo tanto el lim
&→0(" − 4) = 1
12) Demostrar que
lim&→$
(√" + 1) = 2
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 1| < B$ → o√" + 1 − 2o < %
Entonces
o√" + 1 − 2o = o√" − 1o
= kp√" − 1q(√" + 1)
√" + 1k
= j" − 1
√" + 1j
≤ |" − 1| j1
√" + 1j…………… . . (1)
Sea B% = 1 |" − 1| < B% |" − 1| < 1
↔ −1 < " − 1 < 1
0 < " < 2
![Page 20: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/20.jpg)
~ 18 ~
0 < √" < √2
1 < √" + 1 < √2 + 1 1
√2 + 1<
1
√" + 1< 1
Ae" fj1
√2 + 1j ; |1|g = 1
−1 <1
√" + 1< 1
⇔ j1
√" + 1j < 1
Reemplazando en (1)
= |" + 1| j1
√" + 1j
< B$. 1 = %
B$ = %
B = A[\{B$ = %; B% = 1}}
B = % Por lo tanto, el
lim&→$
(√" + 1) = 2
13) Demostrar que el
lim&→+$
(3" − 1) = −4
Solución:
∀% > 0, ∃B > 0/∀"`i@A> ∧ |" + 1| < B → |3" − 1 + 4| < % Entonces |3" − 1 + 4| = |3" + 3|
= |3(" + 1)|
= 3|" + 1|
< 3B = %
B = %/3
![Page 21: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/21.jpg)
~ 19 ~
Por lo que el
lim&→+$
(3" − 1) = −4
14) Demostrar que el
lim&→%
(4"% + " − 4) = 14
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 2| < B$ → |4"% + " − 4 − 14| < % Entonces |4"% + " − 4 − 14| = |4"% + " − 18|
= |(" − 2)(4" + 9)|
≤ |" − 2||4" + 9|… . (1)
Sea B% = 1 |" − 2| < B% |" − 2| < 1
↔ −1 < " − 2 < 1
1 < " < 3
4 < 4" < 12
13 < 4" + 9 < 21
Tomando el Ae"{|13|;|21|} = 21
−21 < 4" + 9 < 21
↔ |4" + 9| < 21 Reemplazando en (1)
= |" − 2||4" + 9|
< B$. 21 = %
B$ =%
21
B = A[\ ]B% = 1;B$ =%
21^
B =%
21
Por lo que el
lim&→%
(4"% + " − 4) = 14
![Page 22: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/22.jpg)
~ 20 ~
15) Demostrar que
lim&→!
("/ + 2"% + " + 3) = 3
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 0| < B$ → |"/ + 2"% + " + 3 − 3| < % Entonces |"/ + 2"% + " + 3 − 3| = |"/ + 2"% + " + 0|
= |"/ + 2"% + "|
= |"("% + 2" + 1)|
= |"(" + 1)%|
≤ |"||" + 1|%………..(1)
Sea: B% = 1 |"| < B% |"| < 1
↔ −1 < " < 1
0 < " + 1 < 2
Ae"{|0|; |2|} = 2
−2 < 0 < " + 1 < 2
−2 < " + 1 < 2
↔ |" + 1| < 2 Remplazando
= |"||" − 1|%
< B$. 2 = %
B$ = %/2
B = A[\{B% = 1;B$ = %/2}
B = %/2 Por lo que el
lim&→!
("/ + 2"% + " + 3) = 3
16) Demostrar que el
lim&→%
("% − 1) = 3
![Page 23: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/23.jpg)
~ 21 ~
Solución: Por definición de límite se tiene:
lim&→%
("% − 1) = 3 ⇔ ∀% > 0, ∃B > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 2| < B$ ⟹ |"% − 1 − 3| < %
Entonces
|"% − 1 − 3| = |"% − 4|
= |(" + 2)(" − 2)| ≤ |" + 2||" − 2|… (∗)
Consideremos B% = 1,
|" − 2| < B%
|" − 2| < 1 Es decir: |" − 2| < 1 ↔ −1 < " − 2 < 1
1 < " < 3
3 < " + 2 < 5
Ae"{|3|; |5|} = 5
−5 < 3 < " + 2 < 5
−5 < " + 2 < 5 ↔ |" + 2| < 5 Reemplazado en (∗) = |" + 2||" − 2|
< 5B1 = % B1 = %/5 Es decir
B = min ]B$ =%
5, B% = 1}
B =%
5
Por lo tanto lim
&→%("% − 1) = 3
![Page 24: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/24.jpg)
~ 22 ~
17) Demostrar que el
lim&→!
1
" + 1= 1
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 0| < B$ → j1
" + 1− 1j < %
Entonces
j1
" + 1− 1j = k
1 − (" + 1)
" + 1k
= j1 − " − 1
" + 1j
= t−"
" + 1t
≤ |"| j1
" + 1j… (1)
Sea B% = 1 |"| < 1
↔ −1 < " < 1
0 < " + 1 < 2
0 < " + 1 ∧ " + 1 < 2 0
" + 1< 1 ∧
1
2<
1
" + 1
1
2<
1
" + 1 Obs: aquí se aproxima al número entero más proximo
1
2<
1
" + 1< 1
Ae" fj1
2j ; |1|g = 1
−1 <1
" + 1< 1
↔ j1
" + 1j < 1
Reemplazando en (1)
= |"| j1
" + 1j
< B$. 1 = %
![Page 25: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/25.jpg)
~ 23 ~
B$ = % Así
B = A[\{B% = 1;B$ = %}
B = % Por lo que el
lim&→!
1
" + 1= 1
18) Demostrar que
lim&→+$
("% − 1) = 0
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" + 1| < B$ → |"% − 1| < %
Entonces |"% − 1| = |(" + 1)(" − 1)|
≤ |" + 1||" − 1|…(1)
Sea B% = 1 |" + 1| < B% |" + 1| < 1
↔ −1 < " + 1 < 1
−2 < " < 0
−3 < " − 1 < −1
Ae"{|−3|; |−1|} = 3
−3 < " − 1 < 3
↔ |" − 1| < 3 Reemplazando en (1)
= |" − 1||" + 1|
< B$. 3 = %
B$ = % /3 Así
B = A[\{B% = 1;B$ = %/3}
B = %/3 Por lo que el
![Page 26: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/26.jpg)
~ 24 ~
lim&→+$
("% − 1) = 0
19) Demostrar que el
lim&→$
1
√" + 1=1
2
Solución:
∀% > 0, ∃B$ > 0/∀"`i@A> ∧ |" − 1| < B$ → j1
√" + 1−1
2j < %
Entonces
j1
√" + 1−1
2j = k
2 − p√" + 1q
2p√" + 1qk
= k1 − √"
2p√" + 1qk
= k−p√" − 1qp√" + 1q
2p√" + 1qp√" + 1qk
= k" − 1
2p√" + 1)%qk
≤1
2|" − 1| u
1
p√" + 1q%u … . (1)
SeaB% =1
−1 < " − 1 < 1
0 < " < 2
√0 < √" < √2
1 < √" + 1 < √2 + 1 1
√2 + 1<
1
√" + 1< 1
v1
√2 + 1w
%
< v1
√" + 1w
%
< 1%
Ae" xkv1
√2 + 1w
%
k ; |1|y = 1
−1 <1
p√" + 1q% < 1
![Page 27: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/27.jpg)
~ 25 ~
↔ u1
p√" + 1q%u < 1
Reemplazando
= |" − 1|1
2u
1
p√" + 1q%u
< B$.1
2. 1 = %
B$ = 2% Así
B = min{B$ = 2%; B% = 1}
B = 2% Por lo que el
lim&→$
1
√" + 1=1
2
![Page 28: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/28.jpg)
~ 26 ~
Cálculo de Límites
lim!→#$
1 − √1 − $
Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos
mentirosos.
Henry David Thoreau
![Page 29: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/29.jpg)
~ 27 ~
Cálculo de Límites: Propiedades
Sean >(")z{(") dos funciones tales que: |[A&→&!
>(") = =, |[A&→&!
{(") = Z y } una
constante, entonces:
a) 789
$→$!: = :
b) 789$→$!
:;(#) = : 789$→$!
;(#) = :. )
c) 789$→$!
(;(#) ± >(#)) = 789$→$!
;(#) ± 789$→$!
>(#) = ) ±?
d) 789$→$!
(;(#) ∗ >(#)) = 789$→$!
;(#) ∗ 789$→$!
>(#) = ) ∗ ?
e) Si ? ≠ 0C>(#) ≠ 0, entonces
789$→$!
;(#)>(#)
=789$→$!
;(#)
789$→$!
>(#)=)?
f) Para todo n entero positivo, se cumple que:
789$→$!
(;(#))& = [ 789$→$!
;(#)]& = )&
g) Para todo n par positivo se cumple que:
789$→$!
G;(#)" = H 789$→$!;(#)" = √)
"
h) 789$→$!
|;(#)| = J 789$→$!
;(#)J = |)|
Observaciones:
1. Para poder levantar algunos casos indeterminados recuriremos a algunos trucos matemáticos como el “quita y pon”; separando en dos partes y otros.
2. O a buscar el factor común para poder simplificar tanto en el numerador como en el denominador el factor común que hace que sea indeterminado.
![Page 30: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/30.jpg)
~ 28 ~
3. O multiplicar por su congujada de las raíces cuadradas o de raíces pares.
4. Si fuese el caso de raíces impares usaremos la siguiente conjugada.
5. Para las funciones trigonométricas se usarán también sus conjugadas respectivas.
'! −)! = (' − ))('" + ')+)")
' − ) = (√'! − √)! )(/'"! + √')! + /)"! 0
![Page 31: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/31.jpg)
~ 29 ~
Ejercicios Resueltos de Cálculo de Limites 1) Hallar el
lim&→+$
"% + 2" + 1
"% − 1
Solución: Al evaluar el
lim&→+$
"% + 2" + 1
"% − 1=0
0
Resulta indeterminado, por lo que tenemos que hacer es levantar la indeterminada
lim&→+$
"% + 2" + 1
"% − 1= lim
&→+$
(" + 1)%
(" + 1)(" − 1)
= lim&→+$
(" + 1)
(" − 1)
=0
−2
= 0
2) Hallar el
lim&→/
"% − 9
"% − 5" + 6
Solución: Al evaluar el
lim&→/
"% − 9
"% − 5" + 6=0
0
Resulta indeterminado, por lo que levantamos la indeterminada
![Page 32: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/32.jpg)
~ 30 ~
lim&→/
(" + 3)(" − 3)
(" − 2)(" − 3)= lim
&→/
(" + 3)
(" − 2)
= 6
3) Hallar el
lim&→!
"
1 − √1 − "
Solución: Al evaluar el
lim&→!
"
1 − √1 − "=0
0
Resulta indeterminado, por lo que levantaremos la indeterminada multiplicando por su conjugada
lim&→!
"
1 − √1 − "=
= lim&→!
"p1 + √1 − "q
p1 − √1 − "qp1 + √1 − "q
= lim&→!
"(1 + √1 − ")
1 − (1 − ")
= lim&→!
"(1 + ~1 − ")
"
= lim&→!
1 + √1 − "
= 2
4) Hallar el
lim&→!
√" + 9 − 3
√" + 16 − 4
Solución: Al evaluar el
lim&→!
√" + 9 − 3
√" + 16 − 4=0
0
![Page 33: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/33.jpg)
~ 31 ~
Resulta indeterminado por lo que levantaremos la indeterminada multiplicando con su conjugada
lim&→!
p√" + 9 − 3qp√" + 9 + 3qp√" + 16 + 4q
p√" + 16 − 4qp√" + 9 + 3qp√" + 16 + 4q
= lim&→!
(" + 9 − 9)(√" + 16 + 4)
(" + 16 − 16)(√" + 9 + 3)
= lim&→!
(√" + 16 + 4)
(√" + 9 + 3)
=8
6
=4
3
5) Hallar el
lim&→$
:"$!! − 2" + 1
"0! − 2" + 1
Solución: Evaluando el
lim&→$
"$!! − 2" + 1
"0! − 2" + 1=0
0
Resulta indeterminado, por lo que levantaremos la indeterminada.
Sabiendo que el factor (" − 1) debe estar en ambos miembros, factorizando tenemos;
lim&→$
"$!! − 2" + 1
"0! − 2" + 1= lim
&→$
(" − 1)("11 + "12+.… . . +" − 1)
(" − 1)("31 + "32+.… . . +" − 1)
= lim&→$
("11 + "12+.… . . +" − 1)
("31 + "32+.… . . +" − 1)
=(1 + 1+. . . +1) − 1
1 + 1+. . . +1) − 1
=98
48=49
24
![Page 34: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/34.jpg)
~ 32 ~
6) Hallar el
lim&→!
√"% + 9 − 3
"3 + "%
Solución: Evaluando el
lim&→!
√"% + 9 − 3
"3 + "%=0
0
Resulta indeterminado, por lo que levantaremos la indeterminada multiplicando por su conjugada al denominador
lim&→!
√"% + 9 − 3
"3 + "%= lim
&→!
p√"% + 9 − 3qp√"% + 9 + 3q
"%("% + 1))(√"% + 9 + 3)
= lim&→!
"% + 9 − 9
"%("% + 1))(√"% + 9 + 3)
= lim&→!
"%
"%("% + 1))(√"% + 9 + 3)
= lim&→!
1
("% + 1))(√"% + 9 + 3)
=1
3 + 3
=1
6
7) Hallar el
lim&→!
√" + 1 − 1
√" + 1"
− 1
Solución: Evaluando el
lim&→!
√" + 1 − 1
√" + 1"
− 1=0
0
![Page 35: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/35.jpg)
~ 33 ~
Resulta indeterminado, por lo que multiplicamos por su conjugada al numerador y denominador
lim&→!
√&5$+$
√&5$" +$
=
= lim&→!
p√" + 1 − 1qp√" + 1 + 1q [~(" + 1)%"
+ √" + 1"
− 1]
(√" + 1"
− 1)p√" + 1 + 1q [~(" + 1)%"
+ √" + 1"
− 1]
= lim&→!
(" − 1 + 1) [~(" + 1)%"
+ √" + 1"
− 1]
"p√" + 1 + 1q
= lim&→!
[~(" + 1)%"
+ √" + 1"
− 1]
√" + 1 + 1
=[~(1)%"
+ √1"
− 1]
√1 + 1
=3
2
8) Hallar el
lim&→2
√""
− 2
" − 8
Solución: Evaluando el
lim&→2
√""
− 2
" − 8=0
0
![Page 36: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/36.jpg)
~ 34 ~
Resulta indeterminado por lo que multiplicamos la conjugada al denominador y denominador para levantar la indeterminada. Recordando que
P/ − R/ = (P − R)(P% + PR + R%)
lim&→2
√""
− 2
" − 8= lim
&→2
p√""
− 2q[√"%"
+ 2√""
− 4]
(" − 8)[√"%"
+ 2√""
− 4]
= lim&→2
" − 8
(" − 8)[√"%"
+ 2√""
− 4Ç
= lim&→2
1
√"%"
+ 2√""
− 4
=1
4 + 4 + 4
=1
12
9) Hallar el
lim&→$6
√" − 4
√"#
− 2
Solución: Evaluando se tiene
lim&→$6
√" − 4
√"#
− 2=0
0
Indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada
lim&→$6
√" − 4
√"#
− 2= lim
&→$6
(√" − 4)(√"#
+ 2)
(√"#
− 2)(√"#
+ 2)
= lim&→$6
(√" − 4)(√"
#+ 2)
√" − 4
= lim&→$6
(√"#
+ 2q
= 2 + 2
= 4
![Page 37: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/37.jpg)
~ 35 ~
10) Hallar el
lim&→3
3 − √5 + "
1 − √5 − "
Solución: Evaluando tenemos
lim&→3
3 − √5 + "
1 − √5 − "=0
0
Resulta indeterminado por lo que se multiplicará por sus respectivas conjugadas
lim&→3
3 − √5 + "
1 − √5 − "= lim
&→3
p3 − √5 + "qp3 + √5 + "qp1 + √5 − "q
p1 − √5 − "qp3 + √5 + "qp1 + √5 − "q
= lim&→3
[9 − (5 + ")]É1 + √5 − "Ç
[1 − (5 − ")]É3 + √5 + "Ç
= lim&→3
(4 − ")p1 + √5 − "q
(−4 + ")p3 + √5 + "q
= lim&→3
−1 + √5 − "
3 + √5 + "
= −2
6= −
1
3
11) Hallar el
lim&→%
3" − 6
1 − √4" − 7
![Page 38: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/38.jpg)
~ 36 ~
Solución: Evaluando tenemos que
lim&→%
3" − 6
1 − √4" − 7=0
0
Resultando indeterminado por lo que multiplicaremos por su conjugada
lim&→%
3" − 6
1 − √4" − 7=
= lim&→%
(3" − 6)(1 + ~4" − 7)
(1 − ~4" − 7)(1 + ~4" − 7)
= lim&→%
3(" − 2)(1 + ~4" − 7)
1 − 4" + 7
= lim&→%
3(" − 2)(1 + ~4" − 7)
−4(" − 2)
= lim&→%
3(1 + ~4" − 7)
−4
=3(1 + 1)
−4
= −3
2
12) Hallar el
lim&→!
√" + 8"
− 2
"
Solución: Evaluando el
lim&→!
√" + 8"
− √8"
"=0
0
Resulta indeterminado, así que solo nos queda multiplicar por su conjugada
lim&→!
√" + 8"
− √8"
"= lim
&→!
(√" + 8"
− ~8)"
Ñ~(" + 8)%"
+ ~(" + 8). 8"
+ ~(8)%"
Ö
"(~(" + 8)%"
+ ~(" + 8). 8"
+ ~(8)%"
![Page 39: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/39.jpg)
~ 37 ~
= lim&→!
" + 8 − 8
"(~(" + 8)%"
+ ~(" + 8). 8"
+ ~(8)%"
= lim&→!
1
"(~(" + 8)%"
+ ~(" + 8). 8"
+ ~(8)%"
=1
4 + 4 + 4=1
12
13) Hallar el
lim&→/
√"% − 2" + 6 − √"% + 2" − 6
"% − 4" + 3
Solución: Evaluando resulta
lim&→/
√"% − 2" + 6 − √"% + 2" − 6
"% − 4" + 3=0
0
Indeterminado por lo que usaremos el artificio de aumentar y quitar la misma cantidad de acuerdo al valor que resulte cada raíz cuadrada,
lim&→/
√"% − 2" + 6 − √"% + 2" − 6
"% − 4" + 3
= lim&→/
~("% − 2" + 6 − 3) + (3 − ~"% + 2" − 6)
"% − 4" + 3
= lim&→/
(√"% − 2" + 6 − 3)(~("% − 2" + 6 + 3)
("% − 4" + 3)(√"% − 2" + 6 + 3)
+ lim&→/
(3 − √"% + 2" − 6)(3 + √"% + 2" − 6)
("% − 4" + 3)(3 + √"% − 2" + 6)
= lim&→/
"% − 2" + 6 − 9
("% − 4" + 3)p√"% − 2" + 6 + 3q+ lim
&→/
9 − "% − 2" + 6
("% − 4" + 3)(3 + ~"% − 2" + 6)
= lim&→/
"% − 2" − 3
("% − 4" + 3)(√"% − 2" + 6 + 3)− lim&→/
"% + 2" − 15
("% − 4" + 3)(3 + ~("% − 2" + 6)
= lim&→/
(" − 3)(" + 1)
(" − 3)(" − 1)(√"% − 2" + 6 + 3)− lim
&→/
(" − 3)(" + 5)
(" − 3)(" − 1)(3 + ~("% − 2" + 6)
![Page 40: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/40.jpg)
~ 38 ~
= lim&→/
(" + 1)
(" − 1)(√"% − 2" + 6 + 3)− lim
&→/
(" + 5)
(" − 1)(3 + √"% − 2" + 6)
=4
(2)(6)−
8
(2)(6)
=4
12−
8
12
=1
3−2
3= −
1
3
14) Hallar el
lim&→+/
" + 3
√"% + 7 − 4
Solución: Evaluando tenemos
lim&→+/
" + 3
√"% + 7 − 4=0
0
Indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada
lim&→+/
" + 3
√"% + 7 − 4=
= lim&→+/
(" + 3)(√"% + 7 + 4)
(√"% + 7 − 4)(√"% + 7 + 4)
= lim&→+/
(" + 3)(√"% + 7 + 4)
"% + 7 − 16
= lim&→+/
(" + 3)~("% + 7 + 4)
"% − 9
= lim&→+/
(" + 3)~("% + 7 + 4)
(" + 3)(" − 3)
= lim&→+/
√"% + 7 + 4
(" − 3)
=4 + 4
−3 − 3
=−4
3
![Page 41: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/41.jpg)
~ 39 ~
15) Hallar el
lim&→$
√1 + 3" − √5 − "
1 − "%
Solución: Al evaluar se tiene que
lim&→$
√1 + 3" − √5 − "
1 − "%=0
0
Es indeterminado, así que multiplicaremos por su conjugada
lim&→$
√1 + 3" − √5 − "
1 − "%=
= lim&→$
(√1 + 3" − √5 − ")(√1 + 3" + √5 − ")
(1 − "%)(√1 + 3" + √5 − ")
= − lim&→$
1 + 3" − 5 + "
("% − 1)(√1 + 3" + √5 − ")
= − lim&→$
4(" − 1)
(" − 1)(" + 1)(√1 + 3" + ~5 − ")
= −lim&→$
4
(" + 1)(√1 + 3" + ~5 − ")
= −4
(1 + 1)(2 + 2)
= −1
2
16) Hallar el
lim&→$
√" − √2" − 1
√5" − 1 − √2" + 2
Solución: Evaluando se tiene que el
lim&→$
√" − √2" − 1
√5" − 1 − √2" + 2=0
0
Es indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada para levantar la indeterminada
![Page 42: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/42.jpg)
~ 40 ~
lim&→$
√" − √2" − 1
√5" − 1 − √2" + 2=
= lim&→$
(√" − √2" − 1)(√" + √2" − 1)(√5" − 1 + √2" + 2)
(√5" − 1 − √2" + 2)(√5" − 1 + √2" + 2)(√" + √2" − 1)
= lim&→$
−(" − 1)(√5" − 1 + √2" + 2)
3(" − 1)(√" + √2" − 1)
= −lim&→$
(√5" − 1 + √2" + 2)
3(√" + √2" − 1)
=2 + 2
3(1 + 1)
= −4
6
= −2
3
![Page 43: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/43.jpg)
~ 41 ~
Límites Laterales Recordemos que el
lim!→# $(&) = ) ↔ ,lim!→#'
$(&) = -lim!→#( $(&) = . /- = . = )
Límite por la Derecha:
KLM)→*#
N(O) = P ↔ ∀S > U, ∃W > U/∀O ∈ Z[M(N) ∧ −W < O − ] < U → |N(O)– P| < S
Límite por la Izquierda:
KLM)→*$
N(O) = P ↔ ∀S > U, ∃W > U/∀O ∈ Z[M(N) ∧ U < O − ] < W → |N(O)– P| < S
![Page 44: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/44.jpg)
~ 42 ~
Ejercicios Resueltos de Límites Laterales
1) Sea
>(") = ]3" − 2; " ≤ 1
"; 1 < "
Hallar su límite si es que existe. Solución:
lim&→7
>(") = Ü
lim&→$$
>(") = lim&→$$
" = 1
lim&→$%
>(") = lim&→$%
3" − 2 = 1
Entonces
lim&→$
>(") = 1
2) Sea
>(") =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧1 − √"
1 − √"" " ≥ 1
"% −"
2−1
2
" − 1" < 1
Hallar su límite si es que existe. Solución:
lim&→$$
>(") = lim&→$$
p1 − √"qp1 + √"qp1 + √""
+ √"%"
q
p1 − √""qp1 + √"qp1 + √"
"+ √"%
"q
= lim&→$$
(1 − ")p1 + √""
+ √"%"
q
(1 − ")p1 + √"q
= lim&→$$
1 + √""
+ √"%"
1 + √"=3
2
![Page 45: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/45.jpg)
~ 43 ~
lim!→$( $(&) = lim!→$(+,
+(,(-+
!&$
= lim&→$%
2"% − " − 1
2(" − 1)
= lim&→$%
(2" + 1)(" − 1)
2(" − 1)
= lim&→$%
2" + 1
2
=3
2
Entonces
lim&→$
>(") = 32b
3) Sea
>(") = Ü
3"% − 2; " ≤ 0
" + 2; 0 < "
Hallar su límite si es que existe. Solución:
lim&→!$
>(") = lim&→!$
(" + 2) = 2
lim&→!%
>(") = lim&→!%
(3"% − 2) = −2
Como los límites
lim&→!$
>(") ≠ lim&→!%
>(")
Entonces el
lim&→!
>(")\@ã"[åçã
4) Sea
>(") = Ü
"%; " < 1
"; 1 < " < 4
4 − "; 4 < "
Hallar su límite si es que existe. Solución:
![Page 46: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/46.jpg)
~ 44 ~
Trabajaremos primero para el punto " = 1
lim&→$$
>(") = lim&→$$
" = 1
lim&→$%
>(") = lim&→$%
"% = 1
Entonces el
lim&→$
>(") = 1
Y ahora para el punto " = 4
lim&→3$
>(") = lim&→3$
(4 − ") = 0
lim&→3%
>(") = lim&→3%
" = 4
Como
lim&→3$
>(") ≠ lim&→3%
>(")
Entonces el
lim&→3
>(")\@ã"[åçã
5) Sea
>(") = é
6" − "%; " < 2
2"% − " − 3; " > 2
6; " = 2
Hallar el límite si es que existe. Solución:
![Page 47: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/47.jpg)
~ 45 ~
lim&→%
>(") =
⎩⎪⎨
⎪⎧lim&→%$
>(") = lim&→%$
(2"% − " − 3)
= 8 − 2 − 3 = 3
lim&→%%
>(") = lim&→%%
(6" − "%)
= 12 − 4 = 8
Como
lim&→%$
>(") ≠ lim&→%%
>(")
Entonces el
lim&→%
>(")\@ã"[åçã
6) Sea
>(") = xT"% + eT; " ≥ 0
2~"% + T − T; " < 0
Hallar ezT para que el límite exista y a demás cumple que >(1) = 1 Solución: Puesto que
>(1) = 1
T + eT = 1
lim&→!
>(") =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧lim&→!$
>(") = lim&→!$
(T"% + eT)
= eT
lim&→!%
>(") = lim&→!%
Ñ2~"% + T − TÖ
= 2√T − T
Igualando
2√T − T = eT
2√T = eT + T, pero como T + eT = 1
p2√Tq%= 1%
4T = 1
T =1
4
Y reemplazando en
T + eT = 1 1
4+e
4= 1
![Page 48: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/48.jpg)
~ 46 ~
1 + e = 4
e = 3
7) Sea
>(") =
⎩⎪⎨
⎪⎧
" − 5
1 − √" − 4 , " ≥ 5
"% − 12" + 35
" − 5 , " < 5
Hallar el límite. Solución:
lim&→0$
>(") = lim&→0$
" − 5
1 − √" − 4
= lim&→0$
(" − 5)(1 + ~" − 4)
(1 − √" − 4)(1 + √" − 4)
= lim&→0$
(" − 5)(1 + ~" − 4)
5 − "
= lim&→0$
−(1 + √" − 4)
= −(1 + 1) = −2
lim&→0%
>(") = lim&→0%
"% − 12" + 35
" − 5
= lim&→0%
(" − 5)(" − 7)
(" − 5)
![Page 49: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/49.jpg)
~ 47 ~
= lim&→0%
(" − 7)
= 5 − 7 = −2 Entonces el
lim&→!
>(") = −2
8) Sea
>(") =
⎩⎪⎨
⎪⎧"/ − 2"% − 5" + 6
" − 3 , " < 3
√" + 1 − 1
" − 2 , " ≥ 3
Hallar el límite Solución:
lim&→/$
√" + 1 − 1
" − 2=√4 − 1
3 − 2
= 1
lim&→/%
"/ − 2"% − 5" + 6
" − 3
= lim&→/%
(" − 3)("% + " − 2)
(" − 3)
= lim&→/%
("% + " − 2)
= 9 + 3 − 2
= 10 Como
lim&→/$
>(") ≠ lim&→/%
>(")
Entonces el límite de
lim&→/
>(") \@ã"[åçã
![Page 50: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/50.jpg)
~ 48 ~
9) Sea
>(") =
⎩
⎨
⎧e"% + T" + 3,å[" < 1
" − 1
√" − 1,å[1 < " < 4
2e" − 3T,å[4 ≤ "
Hallar e y T. Si el límite ya existe. Solución:
Como el límite ya existe en " = 1, entonces
lim&→$$
>(") = lim&→$$
" − 1
√" − 1
= lim&→$$
(" − 1)(√" + 1)
(√" − 1)(√" + 1)
= lim&→$$
(" − 1)(√" + 1)
(" − 1)
= lim&→$$
p√" + 1q
= (1 + 1)
= 2
lim&→$%
>(") = lim&→$%
(e"% + T" + 3)
= e + T + 3 Y como el
lim&→$%
>(") = lim&→$$
>(")
Entonces
e + T + 3 = 2
e + T = −1 … (1)
Y como también el límite ya existe en " = 4, entonces
lim&→3$
>(") = lim&→3$
(2e" − 3T)
= 8e − 3T
lim&→3%
>(") = lim&→3%
" − 1
√" − 1
![Page 51: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/51.jpg)
~ 49 ~
= lim&→3%
(" − 1)p√" + 1q
p√" − 1qp√" + 1q
= lim&→3%
(" − 1)p√" + 1q
(" − 1)
= lim&→3%
p√" + 1q
= (2 + 1) = 3 Y como el
lim&→3%
>(") = lim&→3$
>(")
Entonces
3 = 8e − 3T … (2) Mostrando el sistema de ecuaciones
f8e − 3T = 3 … (1)
e + T = −1 … (2)
Multiplicando a la ecuación (2)
f8e − 3T = 3
3(e + T = −1)
]8e − 3T = 3
3e + 3T = −3 ↓ (+)
11e = 0
e = 0
Reemplazando en
e + T = −1
T = −1
10) Sea
>(") = Ü
e"% + T" + 1,å[" ≤ 1
2e" − T,å[1 < " ≤ 2
" + 1,å[" > 2
Hallarel valor de e y T para que exista los límites de >(") en " = 1 y " = 2. Solución:
Veamos en " = 1
![Page 52: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/52.jpg)
~ 50 ~
lim&→$$
>(") = lim&→$$
(2e" − T) = 2e − T
lim&→$%
>(") = lim&→$%
(e"% + T" + 1) = e + T + 1
Como
lim&→$$
>(") = lim&→$%
>(")
entonces
2e − T = e + T + 1
e − 2T = 1 … (1)
Y veamos en " = 2
lim&→%$
>(") = lim&→%$
(" + 1) = 3
lim&→%%
>(") == lim&→%%
(2e" − T) = 4e − T
Como
lim&→%$
>(") = lim&→%%
>(")
entonces
4e − T = 3 … (2)
Con (1)z(2)
Ü
e − 2T = 1
4e − T = 3
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que
e = 5/7
T = −1/7
![Page 53: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/53.jpg)
~ 51 ~
Cálculo de Límites al Infinito Recordemos que
lim#→%&45= 0∀4 ∈ :; − {0}
y
lim#→'&45= 0∀4 ∈ :; − {0}
![Page 54: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/54.jpg)
~ 52 ~
Ejercicios Resueltos de Límites al Infinito
1) Resolver el
lim&→58
3"% − 2" + 4
2"% + 4" − 3
Solución:
El exponente mayor es 2, por lo que se divide por "%
lim&→58
3"% − 2" + 4
2"% + 4" − 3= lim
&→58
3"%
"%−2"
"%+4
"%
2"%
"%+4"
"%−3
"%
= lim&→58
3 −2
"+4
"%
2 +4
"+3
"%
= 3
2
![Page 55: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/55.jpg)
~ 53 ~
2) Resolver el
lim&→+8
√"% + 2
2" − 7
Solución:
Como " = −√"% cuando " → −∞
lim&→+8
√"% + 2
2" − 7= lim
&→+8
√"% + 2
−√"%
2" − 7
"
= lim&→+8
−ë"% + 2
"%
2 −7
"
= lim&→+8
−
ë1 +2
"%
2 −7
"
= −1
2
3) Resolver el
lim&→58
~"% + 5" + 6 − "
Solución:
![Page 56: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/56.jpg)
~ 54 ~
Al evaluar se tiene
lim&→58
~"% + 5" + 6 − " = ∞−∞
Indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada
lim&→58
~"% − 5" + 6 − "= lim&→58
p√"% + 5" + 6 − "qp√"% + 5" + 6 + "q
p√"% + 5" + 6 + "q
= lim&→58
"% + 5" + 6 − "%
√"% + 5" + 6 + "
= lim&→58
5" + 6
√"% + 5" + 6 + "
Dividiremos por "
= lim&→58
5"
"+6
"
ë1 +5
"+6
"%+"
"
= lim&→58
5 +6
"
ë1 +5
"+6
"%+ 1
=5 + 0
√1 − 0 + 0 + 1
=5
2
4) Resolver el
lim&→8
2"% + 3" − 4
√"3 + 1
Solución:
![Page 57: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/57.jpg)
~ 55 ~
Al evaluar se tiene
lim&→8
2"% + 3" − 4
√"3 + 1=∞
∞
Por lo que se dividirá al numerador y denominador por "%
lim&→8
2"% + 3" − 4
√"3 + 1= lim
&→8
2"%
"%+3"
"%−4
"%
√"3 + 1
~("%)%
= lim&→8
2 +3
"−4
"%
ë"3
"3+1
"3
= lim&→8
2 +3
"−4
"%
ë1 +1
"3
=2
1= 2
5) Resolver el
lim&→+8
Ñ~"% + 5" + 6 + "Ö
Solución: Al evaluar el
lim&→+8
Ñ~"% + 5" + 6 + "Ö
![Page 58: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/58.jpg)
~ 56 ~
Se tiene ∞−∞ Lo que es indeterminado, por lo que se multiplicará por su conjugada
lim&→+8
Ñ~"% + 5" + 6 + "Ö = lim&→+8
p√"% + 5" + 6 + "qp√"% + 5" + 6 − "q
p√"% + 5" + 6 − "q
= lim&→+8
"% + 5" + 6 − "%
√"% + 5" + 6 − "
= lim&→+8
5" + 6
√"% + 5" + 6 − "
Dividiremos entre " al numerador y denominador, recordando que " = −√"%
= lim&→+8
5"
"+6
"
−ë"%
"%+5"
"%+6
"%−"
"
= lim&→+8
5 +6
"
−ë1 +5
"+6
"%− 1
=5
−√1 + 0 + 0 − 1
=5
−2= −
5
2
6) Resolver el
lim&→8
"/ + 2"% + 3" + 4
4"/ + 3"% + 2" + 1
![Page 59: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/59.jpg)
~ 57 ~
Solución:
Dividiendo todos los términos tanto del numerador como del denominador por "/
lim&→8
"/ + 2"% + 3" + 4
4"/ + 3"% + 2" + 1= lim
&→8
"/ + 2"% + 3" + 4
"/
4"/ + 3"% + 2" + 1
"/
= lim&→8
1 +2
"+3
"%+4
"/
4 +3
"+2
"+1
"/
=1 + 0 + 0 + 0
4 + 0 + 0 + 0
=1
4
7) Resolver el
lim&→8
4"/ + 2"% − 5
−8"/ + " + 2
Solución:
Dividiendo todos los términos tanto del numerador como del denominador por "/
lim&→8
4"/ + 2"% − 5
−8"/ + " + 2= lim
&→8
4"/ + 2"% − 5
"/
−8"/ + " + 2
"/
= lim&→8
4 +2
"−5
"/
−8 +1
"%++
2
"/
![Page 60: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/60.jpg)
~ 58 ~
=4 + 0 − 0
−8 + 0 − 0
= −4
8= −
1
2
8) Resolver el
lim&→+8
√2"% + 1
" + 3
Solución: Al evaluar se tiene
lim&→+8
√2"% + 1
" + 3=∞
∞
Indeterminado, por lo que dividiremos entre " al numerador y denominador, recordando que
−" = √"% cuando " → −∞
lim&→+8
√2"% + 1
" + 3= lim
&→+8
√2"% + 1
−√"%
" + 3
"
= lim&→+8
−ë2"% + 1
"%
1 +3
"
= lim&→+8
−ë2 +1
"%
1 +3
"
![Page 61: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/61.jpg)
~ 59 ~
= −√2
9) Resolver el
lim&→8
~"% + 1 + √"
√"3 + "%#
− "
Solución: Al evaluar se tiene
lim&→8
~"% + 1 + √"
√"3 + "%#
− "=∞
∞
Dividiendo por " al numerador y denominador
lim&→8
~"% + 1 + √"
√"3 + "%#
− "= lim
&→8
~"% + 1 + √"
"
√"3 + "%#
"−"
"
= lim&→8
~"% + 1 + √"
√"%
√"3 + "%#
√"3# −
"
"
= lim&→8
í1 +1
"%+ë
1
"/
ë1 +1
"%#
− 1
=1 + 0
1 − 1
![Page 62: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/62.jpg)
~ 60 ~
=1
0= ∞
10) Resolver el
lim&→8
" + √"/ + 2"
" + √"% + 1
Solución: Al evaluar se tiene
lim&→8
" + √"/ + 2"
" + √"% + 1=∞
∞
Indeterminado, por lo que dividiremos por x al numerador y denominador
lim&→8
" + √"/ + 2"
" + √"% + 1= lim
&→8
" + √"/ + 2"
"
" + √"% + 1
"
Recordando que " = √"% y " = √"/"
= lim&→8
"
"+ ë
"/
"/+2
"/"
"
"+ ë
"%
"%+1
"
= lim&→8
1 + ë1 +2
"/"
1 + ë1 +1
"
=1 + √1
"
1 + √1=2
2= 1
![Page 63: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/63.jpg)
~ 61 ~
11) Resolver el
lim&→58
" − 1
√4"% − 2
Solución: Al evaluar se tiene
lim&→58
" − 1
√4"% − 2=∞
∞
Indeterminado, por lo que dividiremos por " = √"% al numerador y denominador
lim&→58
" − 1
√4"% − 2= lim
&→58
"
"−1
"
√4"% − 2
~(")%
= lim&→58
1 −1
"
ë4 −2
"%
=1
√4=1
2
12) Resolver el
lim&→8
(~"% + " − ~"% + 9)
Solución: Al evaluar se tiene
lim&→8
(~"% + " − ~"% + 9) = ∞−∞
Indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada
![Page 64: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/64.jpg)
~ 62 ~
lim&→8
(~"% + " − ~"% + 9) = lim&→8
p√"% + " − √"% + 9qp√"% + " + √"% + 9q
√"% + " + √"% + 9
= lim&→8
"% + " − ("% + 9)
√"% + " + √"% + 9
= lim&→8
" − 9
√"% + " + √"% + 9
Ahora dividiremos por "
= lim&→8
"
"−9
"
√"% + " + √"% + 9
~(")%
= lim&→8
1 −9
"
ë1 +1
" + ë1 +
9
"
=1
1 + 1=1
2
13) Resolver el
lim&→±8
(~"% − " − 1 − ~"% − 7" + 3)
Solución: Al evaluar
= lim&→±8
(~"% − " − 1 − ~"% − 7" + 3) = ∞−∞
es indeterminado, por lo que multiplicaremos por su conjugada
lim&→±8
(~"% − " − 1 − ~"% − 7" + 3) =
![Page 65: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/65.jpg)
~ 63 ~
= lim&→±8
p√"% − " − 1 − √"% − 7" + 3qp√"% − " − 1 + √"% − 7" + 3q
√"% − " − 1 + √"% − 7" + 3
= lim&→±8
"% − " − 1 − "% + 7" − 3
√"% − " − 1 + √"% − 7" + 3
= lim&→±8
6" − 4
√"% − " − 1 + √"% − 7" + 3
= lim&→±8
6"
"−4
"
√"% − " − 1
"+√"% − 7" + 3
"
= lim&→±8
6 −4
"
±îë"% − " − 1
"%+ ë
"% − 7" + 3
"%ï
= lim&→±8
6 −4
"
±îë1 −2
"−1
"%+ ë1 −
7
"+
3
"%ï
=6
±(1 + 1)= ±
6
2
= ±3
![Page 66: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/66.jpg)
~ 64 ~
Límites Infinitos
lim!→#1
% − 2
![Page 67: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/67.jpg)
~ 65 ~
Ejercicios Resueltos de Límites Infinitos 1) Resolver el
lim&→0%
1
" − 5
Solución:
lim&→0%
1
" − 5=
1
5 − 5
=1
0
= −∞
2) Resolver el
lim&→%%
" + 2
"% − 4
Solución:
lim&→%%
" + 2
"% − 4= lim
&→%%" + 2
(" + 2)(" − 2)
= lim&→%%
1
(" − 2)
=1
2 − 2=1
0
= −∞
3) Resolver el
lim&→/$
√"% − 9
" − 3
Solución:
lim&→/$
√"% − 9
" − 3= lim
&→/$í(" − 3)(" + 3)
(" − 3)%
![Page 68: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/68.jpg)
~ 66 ~
= lim&→/$
í(" + 3)
(" − 3)
= í6
0
= +∞
4) Resolver el
lim&→$$
v1
1 − "−
1
"% − 2" + 1w
Solución: Al evaluar el
lim&→$$
v1
1 − "−
1
"% − 2" + 1w = lim
&→$$v1
0−1
0w
= ∞ −∞ Indeterminado, por lo que se harán las respectivas operaciones
lim&→$$
v1
1 − "−
1
"% − 2" + 1w = lim
&→$$"% − 2" + 1 − (1 − ")
(1 − ")("% − 2" + 1)
= lim&→$$
"% − "
(1 − ")(" − 1)%
= lim&→$$
"(" − 1)
(1 − ")(" − 1)%
= lim&→$$
"
(" − 1)(1 − ")
=1
0
= ∞
5) Resolver el
lim&→/%
"/ + 9"% + 20"
"% + " − 12
Solución:
lim&→/%
"/ + 9"% + 20"
"% + " − 12=222
0
= ∞
![Page 69: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/69.jpg)
~ 67 ~
6) Resolver el
lim&→/%
4"
9 − "%
Solución:
lim&→/%
4"
9 − "%=
12
9 − 9= −∞
7) Resolver el
lim&→%%
" + 2
"% − 4
Solución:
lim&→%%
" + 2
"% − 4= lim
&→%%" + 2
(" + 2)(" − 2)
= lim&→%%
1
(" − 2)
=1
2 − 2
= −∞
8) Resolver el
lim&→3%
"
" + 4
Solución:
lim&→3%
"
" + 4=
−4
−4 + 4
=−4
0
= +∞
9) Resolver el
lim&→/%
√"% − 9
" − 3
![Page 70: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/70.jpg)
~ 68 ~
Solución:
lim&→/%
√"% − 9
" − 3= lim
&→/%í(" − 3)(" + 3)
(" − 3)%
= lim&→/%
í" + 3
" − 3
= í6
0
= +∞
![Page 71: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/71.jpg)
~ 69 ~
Límites de Funciones Trigonométricas
Recordando que
lim!→#$%&(( = 1
Usaremos también
>?@(A + B) = >?@A. 4D>B + >?@B. 4D>A
>?@(A − B) = >?@A. 4D>B − >?@B. 4D>A
4D>(A + B) = 4D>A. 4D>B − >?@A. >?@B
4D>(A − B) = 4D>A. 4D>B + >?@A. >?@B
![Page 72: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/72.jpg)
~ 70 ~
Ejercicios Resueltos de Límites Trigonométricos
1) Hallar el
lim&→!
" − sen(2 ")
" + sen(3")
Solución:
lim&→!
" − sen(2 ")
" + sen(3")= lim
&→!
" − sen(2")
"
" + sin(3")
"
= lim&→!
"
"−sen(2")
"
"
"+sin(3")
"
=
1 − lim&→!
sen(2")
"
1 + lim&→!
sin(3")
"
=
1 − 2lim&→!
sen(2")
2"
1 + 3lim&→!
sin(3")
3"
=1 − 2.1
1 + 3.1= −
1
4
2) Hallar el
lim&→!
~1 + sen(") − ~1 − sen(")
"
Solución:
= lim&→!
p~1 + sen(") − ~1 − sen(")qp~1 + sen(") + ~1 − sen(")q
"p~1 + sen(") + ~1 − sen(")q
![Page 73: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/73.jpg)
~ 71 ~
= lim&→!
1 + sen(") − 1 + sen(")
"É~1 + sen(") + ~1 − sen(")Ç
= lim&→!
sin(")
"lim&→!
2
~1 + sen(") + ~1 − sen(")
= 1.2
1 + 1= 1
3) Hallar el
lim&→!
1 − √cos "
"%
Solución:
lim&→!
1 − √cos "
"%= lim
&→!
p1 − √cos "qp1 + √cos "q
"%p1 + √cos "q
= lim&→!
1 − cos "
"%p1 + √cos "q
= lim&→!
(1 − cos ")(1 + cos ")
"%p1 + √cos "q(1 + cos ")
= lim&→!
1 − cos%( ")
"%p1 + √cos "q(1 + cos ")
= lim&→!
sen%(")
"%lim&→!
1
p1 + √cos "q(1 + cos ")
= 1 ∗1
2 ∗ 2=1
4
4) Hallar el
lim&→!
cos( ") − cos(2")
1 − cos(")
Solución:
lim&→!
cos( ") − cos(2")
1 − cos(")= lim
&→!
cos( ") − cos(" + ")
1 − cos(")
= lim&→!
cos( ") − cos%(") + sen%(")
1 − cos(")
![Page 74: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/74.jpg)
~ 72 ~
= lim&→!
cos( ")[1 − cos(")] + 1 − cos%(")
1 − cos(")
= lim&→!
cos( ")[1 − cos(")] + [1 − cos(")][1 + cos(")]
1 − cos(")
= lim&→!
[1 − cos( ")][cos(") + 1 + cos(")]
1 − cos(")
= lim&→!
[cos(") + 1 + ö@å(")]
= 1 + 1 + 1 = 3
5) Hallar el
lim&→!
1 − cos "
"
Solución:
lim&→!
1 − cos "
"= lim
&→!
(1 − cos ") (1 + cos ")
"(1 + cos ")
= lim&→!
1 − ö@å%"
"(1 + cos ")
= lim&→!
åã\%"
"
1
(1 + cos ")
= lim&→!
åã\%"
"%
"
(1 + cos ")
= 1.0
1 + 1
= 0
6) Hallar el
lim&→!
" − sen 5"
2" + åã\6"
Solución:
lim&→!
" − sen 5"
2" + åã\6"= lim
&→!
"
"−5åã\5"
5"
2"
"+6åã\6"
6"
=1 − 5
2 + 6
![Page 75: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/75.jpg)
~ 73 ~
=−4
8
= −1
2
7) Hallar el
lim&→!
tan(3")
"
Solución:
lim&→!
tan(3")
"= lim
&→!
åã\(3")
cos(3")
"
= lim&→!
sen(3")
"ö@å(3")
= lim&→!
sen(3")
"
1
cos(3")
= lim&→!
3. sen(3")
3"
1
cos(3")
= 3.1.1 = 3
8) Hallar el
lim&→!
åã\(2") + åã\(3")
åã\(4") + åã\(5")
Solución:
lim&→!
åã\(2") + åã\(3")
åã\(4") + åã\(5")= lim
&→!
åã\(2")
"+åã\(3")
"
åã\(4")
"+åã\(5")
"
= lim&→!
2åã\(2")
2"+ 3
åã\(3")
3"
4åã\(4")
4"+ 5
åã\(5")
5"
=2.1 + 3.1
4.1 + 5.1=
5
9
9) Hallar el
![Page 76: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/76.jpg)
~ 74 ~
lim&→!
" − sen 3"
" + sen 2"
Solución:
lim&→!
" − sen 3"
" + sen 2"= lim
&→!
". Ñ1 −sen 3"
"Ö
". Ñ1 +sen 2"
"Ö
= lim&→!
". Ñ1 − 3sen 3"
3"Ö
". Ñ1 + 2sen 2"
2"Ö
= lim&→!
Ñ1 − 3sen 3"
3"Ö
Ñ1 + 2sen 2"
2"Ö
=1 − 3
1 + 2
= −2
3
10) Hallar el
lim&→!
tan " − sen "
"/
Solución:
lim&→!
çe\" − åã\ "
"/= lim
&→!
åã\ "
ö@å "– åã\ "
"/
= lim&→!
sen " − cos " . sen "
cos "
"/
= lim&→!
sen "
cos "(1 − cos ")
"/
= lim&→!
sen " (1 − cos ")
"/ cos "
= lim&→!
sen "
"1 − cos "
"%1
cos "
= 1 v1
2w 1 =
1
2
![Page 77: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/77.jpg)
~ 75 ~
11) Hallar el
lim&→!
sen 3"
sen 2"
Solución:
lim&→!
sen 3"
sen 2"= lim
&→!
sen 3"
"
sen 2"
"
= lim&→!
3sen 3"
3"
2sen 2"
2"
=3
2
12) Hallar el
lim&→!
tan "
"
Solución:
lim&→!
tan "
"= lim
&→!
sen "
cos "
"
= lim&→!
sen "
cos "1
"
= lim&→!
sen "
"1
cos "
= 1
13) Hallar el
lim&→!
1 − cos(sen 4")
sen(sen 3")
Solución:
lim&→!
1 − cos(sen 4")
sen(sen 3")= lim
&→!
1 − cos(sen 4")
sen 4"sen 4"
4"(4")
sen%(sen 3")
sen%(3")(3"%)
![Page 78: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/78.jpg)
~ 76 ~
=0.1.0
1. (3. 0%)
= 0
14) Hallar el
lim:→!
sen(" + ℎ) − sen "
ℎ
Solución:
lim:→!
sen(" + ℎ) − sen "
ℎ= lim
:→!
sen ". cos ℎ + sen ℎ. cos " − sen "
ℎ
= lim:→!
sen " vcos ℎ − 1
ℎw +
sen ℎ
ℎcos "
= sen " . 0 + 1. cos "
= cos "
15) Hallar el
lim&→!
cos " − cos 3"
"%
Solución:
lim&→!
cos " − cos 3"
"%= lim
&→!
cos " − 1 + 1 − cos 3"
"%
= lim&→!
(cos " − 1)(cos " + 1)
"%(cos " + 1)+(1 − cos 3")(1 + cos 3")
"%(1 + cos 3")
= lim&→!
ö@å% − 1
"%.
1
cos " + 1+1 − ö@å%3"
"%.
1
1 + cos 3"
= lim&→!
−åã\%"
"%.
1
cos " + 1+åã\%3"
3%"%.
9
1 + cos 3"
= −11
2+ 1.
9
2
=8
2
= 4
![Page 79: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/79.jpg)
~ 77 ~
16) Hallar el
lim&→;%
1 − åã\"
(ù
2− ")%
Solución: Al evaluar tendremos
lim&→;%
1 − åã\"
Ñù
2− "Ö
% =1 − åã\
ù
2
Ñù
2−ù
2Ö% =
1 − 1
(0)%=0
0
Lo que significa que es indeterminado. Para levantar la indeterminada usaremos cambio de variables; es decir:
" →ù
2
" −ù
2→ 0
" −ù
2= z
Es decir,
z → 0 Pero:
" = z +ù
2
Entonces
lim&→;%
1 − åã\"
Ñù
2− "Ö
% = lim<5;%→
;%
1 − åã\ Ñz +ù
2Ö
vù
2− Ñz +
ù
2Öw
%
= lim<→!
1 − åã\(z +ù
2)
(ù
2− z −
ù
2)%
= lim<→!
1 − åã\(z +ù
2)
(−z)%
Aquí usaremos
åã\(P + R) = åã\P. ö@åR + åã\R. ö@åP
åã\(P − R) = åã\P. ö@åR − åã\R. ö@åP
ö@å(P + R) = ö@åP. ö@åR − åã\P. åã\R
ö@å(P − R) = åã\P. åã\R + ö@åP. ö@åR
![Page 80: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/80.jpg)
~ 78 ~
Reempalzando
= lim<→!
1 − [åã\z. cos Ñù
2Ö + åã\ Ñ
ù
2Ö . ö@åz]
z%
= lim<→!
1 − [åã\z. 0+1. ö@åz]
z%
= lim<→!
1 − ö@åz
z%.1 + ö@åz
1 + ö@åz
= lim<→!
1 − ö@å%z
z%.
1
1 + ö@åz
= lim<→!
åã\%z
z%.
1
1 + ö@åz
= lim<→!
våã\z
zw
%. lim<→!
1
1 + ö@åz
= 1.1
1 + 1
=1
2
![Page 81: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/81.jpg)
~ 79 ~
Límites Exponenciales y/o de la Forma Indeterminada
()*$→%&
+,. = 012.)342
()*$→'
+,. = −∞
()*$→(&
+,. = +∞
Obs: 789! = % y 9)*! = %
()*$→,
+,. = :
![Page 82: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/82.jpg)
~ 80 ~
Número e:
EFG(→&
(H +H$)( = I EFG
)→*(H + J)
+, = I
()*$→%&
;$ = :
()*$→'
;$ = <
()*$→(&
;$ = +∞
()*$→(&
;$ = :
()*$→'
;$ = <
()*$→%&
;$ = +∞
()*$→%&
2$ = :
()*$→'
2$ = <
()*$→(&
2$ = +∞
()*$→%&
2%$ = +∞
()*$→'
2%$ = <
()*$→(&
2%$ = :
= = 2$ = = 2%$
![Page 83: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/83.jpg)
~ 81 ~
Para el cálculo de los límites de la forma >(")=(&) se tienen los tres casos:
Caso 1: Si existen los |[A&→7
>(") = P y |[A&→7
{(") = R y son finitos; entonces:
|[A&→7
>(")=(&) = |[A&→7
>(")@AB&→(=(&) = PC
Caso 2: Si existen los |[A
&→7>(") = P ≠ 1 y |[A
&→7{(") = ±∞; entonces:
|[A&→7
>(")=(&) = |[A&→7
>(")@AB&→(=(&) = [\Aãi[eç@
Caso 3: Si existen los |[A
&→7>(") = P = 1 y |[A
&→7{(") = ±∞; entonces:
|[A&→7
>(")=(&) = |[A&→7
>(")@AB&→(=(&) = 1±8indeterminado
Para levantar la indeterminada, tenemos que hacer:
A la función >(") haremos que sea de la forma
>(") = 1 + †(°) Donde
|[A&→7
†(°) = 0
y al reemplazar se tiene:
|[A&→7
>(")=(&) = |[A&→7
[(1 + †(°))
$D(E)]=(&).D(E)
= |[A&→7
¢=(&).D(E)
= ¢@AB&→(=(&).D(E)
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~ 82 ~
Ejercicios Resueltos de Límites Exponenciales y/o de la Forma
Indeterminada
1) Hallar el
lim&→!
î"% − 2" + 3
"% − 3" + 2ï
FGH&&
Solución:
lim&→!
î"% − 2" + 3
"% − 3" + 2ï
FGH&&
= î0% − 2.0 + 3
0% − 3.0 + 2ï
IJK&→!FGH&&
= v3
2w
IJK&→!FGH&&
=3
2
2) Hallar el
lim&→!
ln(e + ") − ln(e)
"
Solución:
lim&→!
ln(e + ") − ln(e)
"= lim
&→!
1
"ln v
e + "
ew
= lim&→!
v1
"w ln Ñ1 +
"
eÖ
= lim&→!
ln Ñ1 +"
eÖ
$&
= lim&→!
ln Ñ1 +"
eÖ
7&.$7
![Page 85: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/85.jpg)
~ 83 ~
= ln ãM$7N
=1
e
3) Hallar el
lim&→!
√1 − 2"&
Solución:
lim&→!
√1 − 2"&
= lim&→!
(1 − 2")$/&
= lim&→!
£(1 − 2")$
+%&§
+%
= ã+%
4) Hallar el
lim&→!
1
"lní
1 + "
1 − "
Solución:
lim&→!
1
"lní
1 + "
1 − "= lim
&→!
1
"ln v
1 + "
1 − "w
$%
= lim&→!
1
2ln v
1 + "
1 − "w
$&
= lim&→!
1
2ln v
1 − "
1 − "+
2"
1 − "w
$&
= lim&→!
1
2ln v1 +
2"
1 − "w
M$+&%& NM%&$+&NM
$&N
=1
2ln ã
MIJK&→!%
$+&N
=1
2. 2
= 1
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~ 84 ~
5) Hallar el
lim&→8
v" − 4
" + 1w
&+%
Solución:
lim&→8
v" − 4
" + 1w
&+%
= lim&→8
v" + 1
" + 1−
5
" + 1w
&+%
= lim&→8
v1 +−5
" + 1w
M&5$+0 N.M+0&5$N(&+%)
= ãM IJK&→)+0M&+%&5$NN
= ã
IJK&→)+0P$+
%&
$5$&
Q
= ã+0$$
= ã+0
6) Hallar el
lim&→8
î"/ + 2" + 3
"/ + 4ï
$+&"&
Solución:
lim&→8
î"/ + 2" + 3
"/ + 4ï
$+&"&
= lim&→8
î"/ + 4
"/ + 4+−4 + 2" + 3
"/ + 4ï
$+&"&
= lim&→8
v1 +2" − 1
"/ + 4w
$+&"&
= lim&→8
v1 +2" − 1
"/ + 4w
$+&"&
= • lim&→8
v1 +2" − 1
"/ + 4w
&"53%&+$
¶
(%&+$)($+&")(&"53)&
= ãR IJK&→)
(%&+$)($+&")(&"53)& S
![Page 87: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/87.jpg)
~ 85 ~
= ã
IJK&→)M%+
$&NM
$&"+$N
$5 3&"
= ã%(+$)
= ã+%
7) Hallar el
lim&→8
î"% − 1
"% + 1ï
&+$&5$
Solución:
lim&→8
î"% − 1
"% + 1ï
&+$&5$
= • lim&→8
v1 +−2
"% + 1w
&+$&5$
¶
= • lim&→8
v1 +−2
"% + 1w
&*5$+%
¶
+%&*5$.
&+$&5$
= ãM IJK&→)
+%&*5$.
&+$&5$N
= ã
IJK&→)T+%&*&*&*
UP&&+
$&
&&5
$&
Q
= ã!.($)
= ã!
= 1
8) Hallar el
lim&→!
îsen(")
"ï
VWX(&)&+VWX(&)
Solución:
lim&→!
îsen(")
"ï
VWX(&)&+VWX(&)
= lim&→!
î1 +sen(")
"− 1ï
VWX(&)&+VWX(&)
![Page 88: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/88.jpg)
~ 86 ~
= •lim&→!
î1 +sen(") − "
"ï
VWX(&)&+VWX(&)
¶
= lim&→!
•î1 +sen(") − "
"ï
&VWX(&)+&
¶
+VWX&&
= ãIJK&→!+
VWX&&
= ã(+$) = ã+$
=1
ã
9) Hallar el
lim&→!
7& − 1
"
Solución: Sea
ß = 7& − 1
ß + 1 = 7&
ln(ß + 1) = |\7&
ln(ß + 1) = "|\7 ln(ß + 1)
|\7= "
Como
" → 0 entonces
ß = 7& − 1
ß → 7! − 1
ß → 0
limY→!
ß
ln(ß + 1)
|\7
= limY→!
ß|\7
ln(ß + 1)
= limY→!
|\7
ln(ß + 1)
ß
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~ 87 ~
= limY→!
|\7
ln(ß + 1)$Y
=|\7
|\ ã
= |\7
10) Hallar el
lim&→8
v3" − 4
3" + 2w
&5$/
Solución:
lim&→8
v3" − 4
3" + 2w
&5$/= lim
&→8v3" + 2
3" + 2+−2 − 4
3" + 2w
&5$/
= lim&→8
v1 +−6
3" + 2w
&5$/
= lim&→8
v1 +−6
3" + 2w
M/&5%+6 NM +6/&5%N.
&5$/
= ãM IJK&→)+%. &5$/&5%N
= ã+%/
![Page 90: Desarrollo de la Educación](https://reader035.vdocuments.co/reader035/viewer/2022072910/62e29e5132e03b0aec4e3269/html5/thumbnails/90.jpg)
~ 88 ~
Referencias Bibliográficas Arce, A. (2014) Cálculo Diferencial e Integral de Varias Variables Independientes y
sus Aplicaciones. Vol. 1. Lima, Perú: Ediciones Moshera, S.R.L. Granville, W. (2015) Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial Limusa. Espinoza, E. (2012) Análisis Matemático I para estudiantes de ciencias e ingeniería.
(Sexta edición). Lima: Ediciones Edukperú. Eves, H. (1990). Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics (Tercera
edición). Dover. Hazewinkel, M. ed. (2000). Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic
Publishers. Haeussler, E.; Richard, S. (2003). Matemáticas para administración y economía.
Decima edición. http://fcaglp.fcaglp.unlp.edu.ar/~morellana/Matematicas-para-la-Administracion-y-Economia-Haeussler-Richard.pdf
Leithold, L. (1998). Cálculo con geometría analítica. https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2007/02/calculo-louis-leithold.pdf
Masjuan G; Arenas F; Villanueva F. (2017) Trigonometría y Geometría Analítica. Universidad Católica de Chile.
Oltmanns W. (2015). Cálculo Integral. Primera Edición Ruiz J. (2016) Matemáticas 3: Geometría analítica básica. Grupo editorial Patria.
Segunda edición ebook. Soler Dorda, M. (2014). CÁLCULO I. Madrid: Editorial Síntesis, S.A., 263 p. Stewart J. (2014). Cálculo Vol. I. Traducción de Septima edición norte americana.
Cengace Learning. Stewart J. (2014). Cálculo Vol. II. Traducción de Septima edición norte americana.
Cengace Learning. Stewart, J.; Redlin L; Watson S. (2014). PRECÁLCULO: matemáticas para el cálculo.
Sexta edición.- México: Cengage Learning Editores, P-4, 889 p. R-76; I-13 Zill D.; Wright W. (2014). Matemáticas 1, Cálculo Diferencial. Mc Graw Hill. Segunda
Edición.
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LímitesdeFuncionesRealesconGraphversión4.4.2
Yersi L. Huamán R. María V. Seminario M. María G. Sanchéz P. Lucy M. Reyes A. José L. Estrada P.