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7/30/2019 desarrollo de expansiones de ngulos mltiples completo
1/17
Desarrollo de expansiones de angulos multiples
Diego Abril, [email protected]
January 5, 2013
Abstract
En este documento nosotros vamos a ver como se obtiene una igualdad
de ngulos mediante el remplazo de ciertas formulas ya dadas, en este
trabajo se tendra que mostrar la igualdad mediante el metodo analtico,
demostracin grfica en la ultima podemos observar la igualdad de las
imagenes, se utilizara el programa derive, este programa se grafica en
ondeas 2d y 3d y utilizaremos la comprobacin numerica que consiste en
reemplazar ngulos en la forula y asi podremos observar que salgan igual
los resultados, caso contrario seria desigualdad
1 OBJETIVO
1.1 En este documento nosotros vamos a poder manejar
las igualdades trigonometricas, aprender a manejar el
programa Lyx en el cual se va a redactar este deber
2 DESARROLLO
2.1 Expansion 1: cosa = 12
+ 12cos (2a)
2.1.1 Demostracion analitica
cos2a = cos (a + a) (1)
cos (a) cos (a) + sin (a) sin (a) (2)
cos2 (a) = sin2 (a) (3)
cos2 (a) = (1 cos2 (a)) (4)
cos (2a) = 2cos2 (a) 1 (5)
2cos2 (a) = 1 + cos (2a) (6)
1
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cos2 (a) =1
2+
1
2cos (2a) (7)
2.1.2 Demostracion grafica
Figure 1: imagen 1
Figure 2: imagen 2
2.1.3 Comprobacin
a=2pi3
cos2 (a) =1
2+
1
2cos (2a) (8)
(12
)2 =1
2+
1
2(1
2) (9)
1
4=
1
2 1
4(10)
1
4=
1
4(11)
2
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2.2 sin(2a) = 12 1
2 cos (2a)
2.2.1 Demostracin Analitica
cos (2a) = cos2 (a) (12)
= (1 sin2 (a)) sin2 (a) (13)
= 1 sin2 (a) (14)
2sin2 (a) = 1 cos (2a) (15)
sin2 (a) =1
2 1
2cos (2a) (16)
2.2.2 Demostracion Grafica
Figure 3: imagen 2
Figure 4: imagen 2
2.2.3 Comprobacion
5/6
3
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sin2 (a) =1
2 1
2cos (2a) (17)
(1
2)2 =
1
2 1
2cos(
5pi
3) (18)
1
4=
1
2 1
2 1
2(19)
1
4=
1
2 1
4(20)
1
4=
1
4(21)
2.3 cos (a) = 34 cos(A) + 1
4cos (3a)
2.3.1 Demostracion analtica
cos (3a) = cos (a + 2a) (22)
= cos (a) cos2 (a) sin2 (a) sin (a) (23)
= cos (a) (2cos (a) 1) sin (a) (2sin (a) cos (a)) (24)
= 2cos (a) cos (a) 2sin2 (a) cos (a) (25)
= 2cos2 (a) cos (a) 2sin2 (a) cos (a) (26)
2cos2 (a) cos (a) = 2(1 cos (a)) cos (a) (27)
cos (3a) = 2cos2 (a) cos (a) = 2cos (a) + 2cos2 (a) (28)
4cos3 (a) = 3cos (a) + cos (3a) (29)
(cos3 (a)) =3
4cos (a) +
1
4cos (3a) (30)
4
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2.3.2 Demostracin grfica
Figure 5: imagen 3
Figure 6: imagen 3
2.3.3 Comprobacin
a=/2
cos (a) =3
4 cos(A) + 1
4cos (3a) (31)
(0) 2 =3
4 0 + 1
4cos(0) (32)
0 = 0 (33)
2.4 sin3 (a) = 34sin (a) 1
4sin (3a)
2.4.1 Demostracion analticasin (3a) = sin (a + 2a) (34)
= sin (a) cos2 (a) + cos (a) sin2 (a) (35)
5
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= sin (a) (1
2sin2 (a)) + cos (a) (2sin (a)cos (a)) (36)
= sin (a) 2sin2 (a) + 2sin (a) cos2 (a) (37)
= sin (a) 3sin2 (a) + 2sin (a) (1 sin2 (a)) (38)
= sin (a) 2sin2 (a) 2sin (a) 2sin2 (a) (39)
sin (3a) = 3sin (a) 2sin2 (a) (40)
sin (3a) =3
4
sin (a)
1
4
sin (3a) (41)
sin3 (a) =3
4sin (a) 1
4sin (3a) (42)
2.4.2 Demostracion grafica
Figure 7: imagen 4
Figure 8: imagen 4
6
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7/17
2.4.3 Comprobacina
a=/4
sin3 (a) =3
4sin (a) 1
4sin (3a) (43)
(
2
2)3 =
3
4
2
2 1
4
2
2(44)
1 =3
4 1
4(45)
1 = 1 (46)
2.5cos
4 (a
) =
3
8 +
1
2cos
(2a
) +
1
8cos
(4a
)2.5.1 Demostracin analtica
cos (2a) cos (2a) sin (2a) sin (2a) (47)
= (2cos2 (a) + 1) cos2 (a) (2sin (a) cos (a)) (2sin (a) cos (a)) (48)
= 2cos2 (a) cos2 (a) cos2 (a) 4sin2 (a) cos (a) (49)
= 2cos2 (a) (2cos (a)
1)cos2 (a)
4 (1
cos2 (a)) cos2 (a) (50)
= 4cos4 (a) 2cos2 (a) cos (2a) + 4 cos4 (a) (51)
cos (4a) = cos (2a) cos (2a) + 8cos4 (a) (52)
cos (4a) = cos (2a) 6
1
2+
1
2cos (2a)
+ 8cos4 (a) (53)
= cos2 (a) 3 + 3cos (2a) + 8cos4 (a) (54)
8cos4 (a) = 3 + 1cos (2a) + cos (4a) (55)
cos4a =3
8+
1
2cos (2a) +
1
8cos (4a) (56)
7
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2.5.2 Demostracin grafica
Algorithm 1 imagen 5
Figure 9: imagen 5
2.5.3 Comprobacin
a=pi/6
cos4a =3
8+
1
2cos (2a) +
1
8cos (4a) (57)
2
2
4 =
3
8+
1
2 1
2+
1
8 1
2(58)
4
16=
3
8+
1
4 3
8(59)
1
4=
1
4(60)
2.6 sin4(a) = 38 12cos (2a) + 18cos (4a)
2.6.1 Demostracin analtica
cos (4a) = cos (2a + a) (61)
8
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= cos (2a)cos (2a)
sin (2a)
sin (2a) (62)
= (2cos2 (a) 1) (cos2 (a)) (2sin (a) cos (a))(2sin (a) cos (a)) (63)
= 2cos2 (a) cos (2a) cos (2a) 4sin2 (a) cos2 (a) (64)
= 2cos2 (a) (2cos2 (a) 1) cos (2a) 4sin2 (a) cos2 (a) (65)
= 2 (1sin2 (a))(1
2sin2 (a))
cos (2a)
4sin2 (a)
cos2 (a) (66)
= 2(1 2sin2 (a) sin2a + 2sin4 (a)) cos (2a) (67)
= 4sin2 (a) (1 sin2 (a)) (68)
= 2 4sin2 (a) 2sin2 (a) + 4sin4 (a) cos2 (a) (69)
4sin2 (a) + 4sin4 (a) (70)
= 2
10sin2 (a) + 8sin4 (a)cos (2a) (71)
= 2 10
1
2 1
2cos (2a)
+ 8sin4 (a) cos (2a) (72)
= 2 5 + 5cos (2a) + 8sin4 (a) cos (2a) (73)
cos (4a) = 3 + 4cos2 (a) + 8sin4 (a) (74)
3 4cos (2a) + cos (4a) = 8sin4 (a) (75)
8sin4 (a) = 3
4cos (2a) + cos (4a) (76)
sin4 (a) =3
8 4
8cos (2a) +
1
8cos (4a) (77)
sin4 (a) =3
8 1
2cos (2a) +
1
8cos (4a) (78)
9
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Figure 10: imagen 6
Figure 11: imagen 6
2.6.2 Demostracin grfica
2.6.3 Comprobacin
a = pi6
sin4 (a) =3
8 1
2cos (2a) +
1
8cos (4a) (79)
1
2
4 =
3
8 1
2
1
2
+
1
8
1
2
(80)
1
16=
3
8 1
4 1
16(81)
1
16=
1
16(82)
2.7 cos5 (a) = 5
8
cos (a) + 5
16
cos (3a) + 1
16
cos (5a)
2.7.1 Demostacin analitica
cos (5a) = cos(3a + 2a = (83)
cos (5a) = cos (2a) cos (3a) sin (2a) sin (3a) (84)
10
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Figure 12: imagen7
Figure 13: imagen 7
cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)sin2 (a)3sin (a)4sin3 (a)2sin (a)cos (a)(85)
cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)(1 cos2 (a))6sin2 (a)cos (a)8sin4 (a)cos (a)(86)
cos (5a) = 4cos3 (a)3cos (a)cos2 (a)1cos2 (a)6 (1 cos1 (a))cos (a)8 (1 cos2 (a))(1 (87)
cos (5a) = 16cos5 (a) + 12cos3 (a) + 9cos (a) (88)
cos5 (a) =5
8cos (a) +
5
16cos (3a) +
1
16cos (5a) (89)
2.7.2 Demostracin Grafica
2.7.3 Comprobacin
a = pi4
11
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cos5 (a) =5
8cos (a) +
5
16cos (3a) +
1
16cos (5a) (90)
2
2
5 =
5
8
2
2+
5
16 +
2
2
+
1
16
2
2(91)
1 =5
8+
5
16+
1
16(92)
1 = 1 (93)
2.8 sin5 (a) = 58sin (a) 516sin (3a) + 116sin (5a)
2.8.1 Demostacin analtica
sin (5a) = sin (3a + 2a) (94)
= sin (3a) cos (2a) + cos (3a) sim (2a) (95)
= sin (3a) (1 2sin2 (a)) + (4cos3 (a))(2sin (a) cos (a)) (96)
sin (3a) 2sin2 (a) sin (3a) + 8sin (a) cos4 (a) 6sin (a) cos2 (a) (97)
= sin (3a)
2sin2 (a)
(3sin (a)
4sin3 (a))+8sin (a)cos4 (a)
6sin (a)
cos2 (a)
(98)
= sin (3a) 6sin3 (a) + 8sin5 (a) + 8sin (a) cos4 (a) 6sin (a) cos2 (a)(99)
= sin (3a)6sin3 (a)+ 8sin5 (a)+ 8sin (a) (cos2 (a)) 26sin (a)cos2 (a)(100)
= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (1 sin2 (a))6sin (a)(1 sin2 (a))(101)
= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (a)(1 2sin2 (a) + sin4 (a))sin (a)+6sin3 (a)(102)
= sin (3a)6sin3 (a)+8sin5 (a)+8sin (a)(1 2sin2 (a) + sin4 (a))6sin (a)+6sin3 (a)(103)
12
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= sin (3a) + 2sin (a)
16sin3 (a) + 16sin5 (a) (104)
= sin (3a) + 2sin (a) 16
3
4sin (a) 1
4sin (3a)
+ 16sin5 (a) (105)
= sin (3a) + 2sin (a) 12sin (a) + 4sin3 (a) + 16sin5 (a) (106)
= 5sin (3a) 10sin (a) + 16sin5 (a) (107)
sin (5a) = 5sin3 (a)
6sin (a) + 16sin5 (a) (108)
16sin5 (a) = 5sin (3a) 10sin (a) + sin (5a) (109)
sin5 (a) = 516
sin3 (a) 1016
sin (a) +1
16sin (5a) (110)
sin5 (a) = 516
sin (3a) 58sin (a) +
1
16sin (5a) (111)
2.8.2 Demostracin grafica
Figure 14: imagen 8
13
-
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14/17
Figure 15: imagen 8
2.8.3 Comprobacin
a = pi6
sin5 (a) = 516
sin (3a) + 58sin (a) + 1
16sin (5a) (112)
a 1
2
5 = 5
16(1) +
5
8
1
2
+
1
16
1
2
(113)
1
32= 5
16+
5
16+
1
32(114)
1
32=
1
32(115)
2.9 cos6 (a) = 516 +1532cos (2a) + 316cos (4a) +
132cos (6a)
2.9.1 Demostracin analtica
cos (6a) = cos (3 (a) + (3a)) (116)
cos (6a) = cos (3a) cos (3a) sin (3a) sin (3a) (117)
cos (6a) = (4cos3 (a) 3cos (a))(4cos3 (a) 3cos (a))(3sin (a) 4sin3 (a))(3sin (a) 4sin3 ((118)
cos (6a) = 32cos6 (a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19 (119)
32cos6 (a) = cos (6a) + 24cos4 (a)
30cos2 (a) + 19 (120)
cos6 (a) =cos (6a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19
32(121)
cos6 (a) =5
16+
15
32cos (2a) +
3
16cos (4a) 1
32cos (6a) (122)
14
-
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2.9.2 Demostracin grfica
Figure 16: figura 9
Figure 17: imagen 9
2.9.3 Comprobacin
a = pi4
cos6 (a) =5
16+
15
32cos (2a) +
3
16cos (4a) +
1
32cos (6a) (123)
2
2
6 =
5
16+
15
32(0) +
3
16 1 + 1
32 0 (124)
1 = 1 (125)
2.10 sin6 (a) = 516 1532cos (2a) + 316cos (4a)
13cos (6a)
2.10.1 Demostracin analtica
cos (6a) = cos (3a + 3a) (126)
cos (6a) = cos (3a) cos (3a) sin (3a) sin (3a) (127)
15
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16/17
cos (6a) = (4cos3 (a) 3cos (a))(4cos3 (a) 3cos (a))(3sin (a) 4sin3 (a))(3sin (a) 4sin3 ((128)
cos (6a) = 16cos5 (a)12cos4 (a)12cos4 (a)+9cos2 (a)9 (1 cos2 (a))+12 (1 cos2 (a))(1 (129)
cos (6a) = 32cos (a) + 24cos4 (a) 30cos2 (a) + 19 (130)
32cos (6a) = cos (6a) + 24cos (4a) 30cos (2a) + 19 (131)
sin6 (a) =5
16 15
32
cos (2a) +3
16
cos (4a)
1
32
cos (6a) (132)
2.10.2 Demostracin grfica
Figure 18: figura 10
2.10.3 Comprobacin
a = pi4
sin5 (a) =5
16 15
32cos (2a) +
3
16cos (4a) 1
32cos (6a) (133)
2
2
5 =
5
16 15
32(1) +
3
16(0) 1
32(1) (134)
1 =5
16 15
32 +1
32 (135)
1 = 1 (136)
16
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17/17
3 Conclusiones
3.1 En este documento aprendimos mas sobre la utilizaciny funcionamiento de derive, lyx
3.2 Conocimos la importancia de las igualdades trigono-
metricas, sus aplicaciones en diferentes formulas
3.3 Aprendimos a como comprobar si es una igualdad,
en este documento utilizamos 3 diferentes formas de
comprobacin
3.4 Con la practica de igualdades podemos ir mejorando
y veremos que la aplicacin de este nos va a volver
faciles3.5 we know more about the writing of an essay, its struc-
ture and draws our conclusions
17