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Derivada de una funcion-determinante
Para calcular la derivada de una funcion-determinante se aplica la regla de Leibnizsucesivamente ya que el determinante se puede desarrollar como suma de adjuntos. Lademostracion completa se realiza por induccion. Sea A(x) : R 7−→ Mn(R) una funcionmatricial cuya imagen en un punto x ∈ R es una matriz cuadrada de rango n. Seadet · : Mn(R) 7−→ R una funcion-determinante construida aplicando el determinantea la imagen de la funcion matricial A anterior. Sea la funcion-determinante
det A(x) =
∣∣∣∣∣∣∣a1
1(x) . . . an1(x)
... . . . ...a1
n(x) . . . ann(x)
∣∣∣∣∣∣∣ ,
la formula propuesta para su derivada es
[det A(x)]′ =n
∑i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11(x) . . . an
1(x)...
...a1′
i (x) . . . an′i (x)
......
a1n(x) . . . an
n(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.
La demostracion por induccion empieza probando el caso para n = 2:
det A(x) =∣∣∣∣a1
1(x) a21(x)
a12(x) a2
2(x)
∣∣∣∣ =⇒ [det A(x)]′ =2
∑i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11(x) a2
1(x)...
...a1′
i (x) a2′i (x)
......
a12(x) a2
2(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣a1′1 (x) a2′
1 (x)a1
2(x) a22(x)
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11(x) a2
1(x)a1′
2 (x) a2′2 (x)
∣∣∣∣ ,
Supondremos que la formula propuesta es cierta para cierto k ∈N. Entonces, sin = k + 1, sea A∗ una funcion matricial cuadrada de rango n + 1,
[det A∗]′ = [an+1n+1(x) · det A(x)]′ =
1
= an+1′n+1 (x) ·det A(x)+ an+1
n+1(x) · [det A(x)]′ = an+1′n+1 (x) ·det A(x)+ an+1
n+1(x) ·n
∑i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11(x) . . . an
1(x)...
...a1′
i (x) . . . an′i (x)
......
a1n(x) . . . an
n(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
=
∣∣∣∣∣∣∣a1
1(x) . . . an+11 (x)
... . . . ...a1′
n+1(x) . . . an+1′n+1 (x)
∣∣∣∣∣∣∣+ an+1n+1(x) ·
n
∑i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11(x) . . . an
1(x)...
...a1′
i (x) . . . an′i (x)
......
a1n(x) . . . an
n(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
n+1
∑i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11(x) . . . an+1
1 (x)...
...a1′
i (x) . . . an+1′i (x)
......
a1n+1(x) . . . an+1
n+1(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. �
La demostracion se ha realizado mediante la regla de Leibniz, el desarrollo en ad-juntos del determinante y otras propiedades del determinante.
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