1

Demostración de identidades vectoriales.

I)

Para demostrar esta identidad no queda más que desarrollar el rotacional y

posteriormente calcular la divergencia.

Luego

Como suponemos que la función vectorial es bien portada, al menos de clase las

derivadas cruzadas son iguales, es decir:

Por lo tanto concluimos que

II)

Nuevamente para demostrar esta identidad hay que desarrollar primero el gradiente

y luego aplicar el rotacional.

2

Luego

Nuevamente suponiendo que es una función escalar bien portada al menos de clase

.

III)

IV)

Esta identidad es inmediata ya que al ser

un operador lineal, se

distribuye en la suma.

V)

3

Ordenando y agrupando términos

VI)

Para esta demostración comenzamos por desarrollar el lado derecho de la igualdad

1)

2)

3)

4)

Sumando las cuatro ecuaciones anteriores y separando sus componentes en

Para

a)

Para

b)

Para

4

c)

Podemos ver fácilmente que a), b) y c) se pueden reescribir de la siguiente forma

a)

b)

c)

Juntamos estas ecuaciones en una sola