TEMAS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO ECUACI0NES DIFERENCIALES
INDICE Definición…………………………………………………. Clasificación de E. D……………………………………. Orden y grado…………………………………………….. E. D. Tipo Variables Separables……………………….. o Función Homogénea E. D. de 1er Orden Tipo Homogéneas………………….. Ecuaciones que pueden ser llevadas a homogéneas…………...
Caso rectas coincidentes Caso rectas incidentes Caso rectas para1e1as
E. D. Tipo Lineal…………………………………………… E. D. Tipo Bernoulli………………………………………… E. D. Tipo Clairaut…………………………………………. E. D. Tipo Ricatti…………………………………………. E. D. Exactas………………………………………………
Factor integrante: Familia De Trayectorias Ortogonales……………………
Cálculo de la F. T. O. Circunferencia Osculatriz………………………………… Envolvente…………………………………………………. Evoluta – Evolvente………………………………………. E. D. de Segundo Orden, con coeficientes constantes….
Raíces Reales distintas Raíces Reales coincidentes Raíces Complejas conjugadas
E. D. de Segundo Orden, Lineales, no Homogéneas (Completas) ……………………………………………….. Integración de Funciones Racionales
o Alfabeto Griego o Bibliografía
Profesor Juan Carlos Serruya Matemática y Astronomía 2009
2 3 3 4 5 5 6 6 7 9 10 11 11 12 13 15 18 19 22 23 28 32 33 33 34 35 39 41 41
1
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. MATEMÁTICA: Tenemos lo siguiente: una cuenta (operación)
1 + 1 = 2 esto es adición igualdad (como relación) operación 3 + x = 7 esto es adición
igualdad (con un número desconocido)
⇓ Ecuación Algebraica
Ecuación Algebraica: igualdad en la cual figuran números o cantidades desconocidas. Este año veremos otro tipo de ecuaciones. Sean xf x y xg 2 x :
xf x xg 2 x ↑
1xf ← derivando → 2xg Reemplazando → xgg xx Hemos obtenido en cada caso una Ecuación Diferencial x → número (Ecuaciones algebraicas) En las ecuaciones las incógnitas son xg
xf Definición:
Se llaman Ecuaciones Diferenciales a las ecuaciones que contienen variables, derivadas o diferenciales de una función incógnita, y ninguna constante arbitraria.
Una Ecuación Diferencial es una propiedad física escrita en términos matemáticos. También puede escribirse o interpretarse: 0...,, nyyyxF ED
nxxxx ..., 21 Variable independiente
xfy Solución Definición:
Primitiva de xf es una función y tal que xfy
xfdxdy
dxfdy x
CdxfKdy x
Agrupando las constantes: Cdxfdy x
Cdxfy x
Cy x Solución General Para cada valor asignado a la constante arbitraria C se obtiene una solución particular
de la ecuación dada.
Funciones (Ecuaciones diferenciales)
→
→
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Clasificación de E. D.
1) E. D. ordinarias, cuando la función incógnita es de una sola variable (puede ser o no derivadas sucesivas)
xfy
2) E. D. derivadas parciales, cuando la función incógnita es de varias variables.
lyxfz ..., Orden y grado Orden: se llama orden de una ED al orden de la derivada de mayor orden que en ella figura. ↓
0...,,, nyyyyxf Ejemplos: Orden yyy 1 3
5ln23 xyy 3 2yyyv 5
xxy cos2 ED: No es ED. No tiene derivada NO se dice “orden cero” no tiene sentido.
Grado: se llama grado de una ED al exponente de la derivada de mayor orden que en ella figura, luego de haber expresado la ED en forma polinómica respecto de la variable dependiente y su respectiva derivada.
yy 3 1 → 31 yy Orden 2 Grado 3
yyy
1
→ yyy 1 → yyyy 1 Orden 2
Grado 1 Solución:
Resolver o integrar una E. D. es encontrar la o las funciones que la verifican. Generalmente las soluciones son infinitas. Hay tres tipos de Solución:
a) Solución o integral general SG b) Solución o integral Particular SP c) Solución o integral Singular SS
Las ED pueden clasificarse en: → polinomiales → no polinomiales Y según sus coeficientes: → coeficientes constantes a y`+ 2 y = 3 (en este caso a es una constante desconocida) → coeficientes variables 3 x2 y + 3 y = 0
Dada la ED de 1er orden en forma implícita 0,, yyx
Si es posible despejar y , se lleva la expresión dada anteriormente a la forma normal o explícita: yxy ,
yx, es una función uniforme definida en un dominio ℝ de las variables x e y. La ecuación diferencial yxy , asocia a cada punto del plano de coordenadas 00 , yxP con la
pendiente de coeficiente angular 000 , yxm es decir la curva integral que pasa por el punto 00 , yxP tiene tangente cuya pendiente angular es el valor que toma la función en el punto P.
a con
en
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E. D. Tipo: variables separables Sea: 0
)(2)(2)(1)(1 dydxyxyx NMNM ①
Haciendo Álgebra: dydx
yxyx NMNM 2211
dydxY
Y
X
X
NN
MM
1
2
2
1
Integrando: CdyyKdxxNN
MM )(
1
2
2
1 ② (una constante absorbe la
otra)
Llamando: )(1
2
1x
xMM ③ ∧
yy
NN 2
1
2 )( ④
Reemplazando ③ ∧ ④ en ②, integrando y haciendo cuadratura:
CCdydx yxyx
)()(2)(1 Solución General.
Ejemplo 1: 0212 dyxyydxy ① Efectuando pasaje de términos: dyxyydxy 212 Sacando factor común y en el segundo miembro: dyxydxy 212
Agrupando convenientemente: dyy
yx
dx12 2
②
Integrando ②:
dy
yyC
xdx
12 2 ③
Sea: 12 yu ④ ⇒ dyydu 2 ⇒ dyy
du
2 ⑤
Reemplazando ④ ‸ ⑤ en el segundo miembro de ③:
1ln21
ln21
21
22212
2
y
uudu
udu
uyydu
ydu
uydy
yy
Haciendo cuadratura en el primer miembro de ③: xx
dx
2ln2
Haciendo: KC ln
La ecuación ③ queda: 1ln21ln2ln 2 yKx
Entonces Kxy ln2ln1ln21 2 ⇒ Kxy ln2ln1ln 2 ⇒
⇒ K
xy
ln2
1ln
2
⇒ K
xy
212
⇦
Elevando al cuadrado:
22
2
21 K
xy
⇒
Cx
y
2
2
21
⇒ 12 2 xCy
↑
Esta expresión es solución de la ecuación diferencial planteada
Forma explícita en y
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o Función Homogénea
Dada una función z=f (x, y,l ) se dice que la misma es una función homogénea de grado k / k ℝ cuando al sustituir cada variable por la misma variable multiplicada por λ se obtiene como respuesta el
producto de dos factores donde uno de ellos es λk y el otro la f inicial.
z=f (x, y,l ) es una función homogénea de grado k / k ℝ f (xλ,yλ,lλ) = λk f (x,y,l ) ( k grado de homogeneidad)
Ecuaciones Diferenciales de 1er orden Tipo HOMOGÉNEAS
Sea la E D: P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 ① / P ∧ Q funciones homogéneas de igual grado
① es E D homogénea se cumple: y mx ② dy dm.x + m.dx ③
Reemplazando ② ∧ ③ en ①:
P(x, mx) dx + Q(x, mx) (dm.x + m.dx) = 0
Al ser P ∧ Q funciones homogéneas: xk P( 1, m ) dx + xk Q( 1, m ) (x . dm + m.dx) = 0 Cancelando y ordenando: (P( 1, m ) + m Q( 1, m ) ) dx + x . Q( 1, m ) dm = 0 Luego:
mm
m
mQPdmQ
xdx
,1,1
,1
mm
m
QmPdmQ
x,1,1
,1
.ln E. D. de Variables Separables
Acomodando un poco más:
Ñ
QmPdmQ
mm
m
exln
. ,1,1
,1
mm
m
QmPdmQ
Ñ eex ,1,1
,1
.
mm
m
QmPdmQ
eCx ,1,1
,1
. E. D. de Variables Separables
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Ecuaciones que pueden ser llevadas a homogéneas:
Dada la ecuación diferencial del tipo:
222
111
cybxacybxa
dxdy ①
se considera en éste caso el sistema de ecuaciones siguiente:
a1 x + b1 y +c1 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0 ② el cual representa en el plano un par de rectas.
Estas rectas pueden: a) ser coincidentes b) cortarse en un punto c) ser para1e1as
Caso a) Rectas coincidentes: Si 1as rectas son coincidentes significa que los coeficientes de las variables y los términos independientes son proporcionales, por tanto:
2
1
2
1
2
1
cc
bb
aa (constante de proporcionalidad)
Este sistema ② es indeterminado, y el determinante del mismo es igual a cero. Podemos expresar la ecuación original
222
222
cybxacybxa
dxdy
Sacando factor común λ, tenemos que:
222
222
cybxacybxa
dxdy ⇒ K
dxdy
1
O sea Kdxdy
Luego la solución será: dy = K dx
Integrando: dy = K dx
Por cuadratura: y = K x + C
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X
Y
0 x
r1
r2
O'
x0
y
y0
Caso b) Rectas incidentes: Si las rectas dadas por el sistema ② se cortan en un punto éste sistema es determinado. Por tanto, el determinante del sistema es distinto de cero
022
11 baba
Las rectas se cortan en un punto qué llamamos O'
22
110
1bcbc
x
22
110
1caca
y
La transformación de coordenadas por traslación de los ejes al punto de intersección de las rectas está dada por:
Utilizando las fórmulas de traslación de ejes
X = x – x0
Y = y – y0
Entonces las ecuaciones dadas en el sistema:
a1 x + b1 y +c1 = 0
a2 x + b2 y + c2 = 0 ②
0 x
r1
r2
O'
x0
y
y0
O'(x0 ; y0)
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…tendrán en el sistema trasladado la siguiente expresión:
a1 (X + x0)+ b1 (Y + y0) +c1 = 0
a2 (X + x0)+ b2 (Y + y0) + c2 = 0 o sea que:
a1X + b1Y + a1 x0 + b1 y0 +c1 = a1 X + b1Y
a1 x0 + b1 y0 +c1 = 0 por ②
también a2X + b2Y + a2 x0 + b2 y0 +c2 = a2 X + b2Y
a2 x0 + b2 y0 +c2 = 0 por ②
Por otra parte: dx = d(X + x0) = dX
dy = d(Y + y0) = dY
Por lo tanto, y en función de lo expuesto podemos replantear el sistema ① de la siguiente forma:
YbXaYbXa
dXdY
22
11 ③
y en la expresión ③ se tiene una ecuación homogénea en las nuevas variables X e Y; y mediante la sustitución
MXY se separan las variables y se tiene que: MXY ④
derivando ④: dXdMXM
dXdY
⑤
Reemplazando ④ y ⑤ en ③ se tiene:
XMbXaXMbXa
dXdMXM
22
11
Entonces: MMbaMba
dXdMX
22
11
Llamando MMbaMbaH M
22
11 , se tiene: MHdXdMX
separando variables X
dXHdM
M
que al integrar nos queda:
CX
dXHdM
M
La cual es la solución de la E. D. dada.
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Caso c) Rectas paralelas: Cuando las rectas son paralelas. El sistema es incompatible y es cuando los coeficientes de las variables son proporcionales, pero no lo son los elementos de los términos independientes
2
1
2
1
bb
aa
2
1
cc
Dada la ecuación: MHcybxa
cybxadxdy
222
122 ⑥
Significa esto que e1 2º miembro de la ecuación diferencial
222
111
cybxacybxa
dxdy
…es función de la expresión ybxa 22 Llamando: ybxaM 22
Se tiene entonces: xaMyb 22
Luego: xaMb
y 22
1 ⑦
Diferenciando la expresión ⑦
2
2
1 adx
dMbdx
dy ⑧
Sustituyendo ⑧ en ⑥ tenemos:
MHadx
dMb
2
2
1
Operando: MHbadx
dM22
22 aHbdx
dMM ⑨
Llamando 22 aHb MM ⑩
Reemplazando ⑩ en ⑨: MdxdM
Separando variables:
dxdM
M
⑪
Integrando ⑪:
dxKdMM
Y mediante cuadraturas se halla la solución de la ecuación diferencial dada
Kx M
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Ecuaciones Diferenciales Tipo Lineal
Son de la forma: xx QyPy ➀
Si 0xQ 0 yPy x dxPy
dyx se pueden separar las variables
Si 0xQ
Hago y = u . v ➁ (sustitución de Lagrange) y derivo vuvuy ➂
Reemplazando ➁ y ➂ en ➀ xx QvPvuvu ➃
Ecuación característica (la igualamos a cero)
Si CdxPvdvvP
dxdvvPv xxx 0
KdxPv xln
KdxP xev ➄
Reemplazando ➄ en ➃
xKdxP Qeuu x0
x
KdxP Qeu x
xKdxPKdxP
x QedxdueQu xx
uCdxQedu xKdxP x
➅ (en u puedo ignorar la constante K)
➄ y ➅ en ➁ y = u . v
KdxP
xdxP xx eCdxQey Solución General
En la práctica: Foto: xx QyPy cambio variable y = u . v No hay Solución singular
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Ecuación Diferencial tipo Bernoulli
Se llama ecuación de Bernoulli a la que resulta de multiplicar el segundo miembro de una ecuación lineal completa por la función incógnita elevada a una potencia n. Sea la ecuación diferencial: y´+ P(x) y = Q(x) yn ① (n)
Si n = 0 y´+ P(x)y = Q(x) E.D. Lineal ( página 10)
Si n = 1 y´+ P(x)y = Q(x)y E.D. Variables separables ( página 4)
Si n 1 E.D. típica de Bernoulli: y´+ P(x)y = Q(x)yn
Divido m. a m. por yn y cambio de variable
y´y – n + P(x) y1 - n = Q(x) ➁
cambio de variable y1 – n = (1 – n) z ➂
derivo m. a m.: (1 – n) y1 – n – 1 y´= (1 – n) z´ y – n y´= z´ ④
Reemplazando ➂ y ➃ en ➁: → E.D. TIPO Lineal
Hallado z se reemplaza en ➂; obteniendo la solución de la ecuación dada.
xz xn ny 11 SG de ①
Ecuación diferencial tipo Clairaut
FOTO 0 yfyyx ➀
Sustituyo p = y´ ➁ y despejo y pfxpy ➂
Derivo m. a m. respecto a x dxdpf
dxdpxp
dxdy
p ➃
Luego dxdyp ➄
dxdpf
dxdpx
dxdy
dxdy
p ⇒ dxdpf
dxdpx p0 ➅ ⇒
dxdpfx p0 ➆
Solución 1: 0dxdp ➇ ⇒ Cp ➈
Reemplazando ➈ en ➂: Cfcxy ➉ Solución General, Familia de rectas.
Solución 2: pfx ⑪ Reemplazo ⑪ en ➂: pp fpfy pffy pp Envolvente; Solución Singular
z´+ P(x) (1– n) z= Q(x)
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E. D. tipo Ricatti
Responden a la expresión: y' + A(x) y2 +B(x) y + C(x) = 0 ① / A(x) B(x) C(x) son funciones continuas Sólo se resuelve si se conoce a priori: yp Solución Particular. No tiene Solución Singular. Método: Sea yp ➁ una SP (satisface la ED)
0 C y B y A y xpx2pxp
Para resolver la ED: y' + A(x) y2 +B(x) y + C(x) = 0 ① Hago un cambio de variable: zyy p ➂
zyy p ➃ Reemplazando ➂ ‸ ➃ en ➀: 02 xpxpxp CzyBzyAzy
02 22 xxpxxpxpxp CzByBzAzyAyAzy
02 22 zAzByAzCyByAy xxpxxpxpxp ➄ = 0 pues yp es solución de ➀ La expresión ➄ nos queda:
22 zAzByAz xxpx ➅ ED tipo Bernoulli, incógnita z (ver página 11)
Una vez resuelta la ED de Bernoulli, se sustituye en ➂ el valor de z obtenido en ➅. Obteniendo así la Solución General de la ED de Ricatti.
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Ecuaciones Diferenciales Exactas
Sea: 0;; dyQdxP yxyx ①
Para que sea una ecuación diferencial exacta se debe cumplir que exista una función Cyx ;; ② donde C es una constante arbitraria.
Tal que la diferencial de ψ sea: 0;; dyQdxPd yxyx ③
En general, la diferencial de una función ψ es: 0
dyy
dxx
d ④
Comparando ③ y ④: x
P
⑤
yQ
Si se calcula la segunda
derivada parcial pero en forma cruzada:
x
P
⇒
yP
yx
2 ⑥
y
Q
⇒
xQ
xy
2 ⑥
Comparando las expresiones ⑥, podemos ver que: xyyx
22
⑦
y también: xQ
yP
⑧ Condición de simetría
Siendo éstas últimas condiciones (⑦ y ⑧) necesarias y suficientes para que una ecuación diferencial dada sea una diferencial exacta.
La solución de las ecuaciones diferenciales viene dada por: ⑨
Θ(y) es una función arbitraria, dependiente de y (Esta función debe sumarse cuando se realiza la cuadratura de una integral; si la función a integrar fuera de variable única se sumaría una constante arbitraria)
yPdxd
Se llama ecuación diferencial exacta aquella cuyo primer miembro es la diferencial total de una función igualada a cero.
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Cálculo de Θ(y): Derivando ⑨ en y :
⑨ y
Pdxy
y
La derivada de la suma es la suma de las derivadas:
yPdx
yyy
⑩
Recordando ⑤: y
Q
Reemplazando ⑤ en ⑩:
yPdx
yQ y
Haciendo pasajes de términos:
Pdx
yQ
yy
⑪
Multiplicando ⑪ miembro a miembro por ∂y se obtiene:
yPdxy
Qy
⑫
Integrando ⑫ dyPdxy
Qd y
(se escribe d en lugar de ∂ porque se está integrando en y, es decir, ∂y es derivada parcial en y, y justamente estamos integrando en y)
Luego dyPy
Q xy
⑬ Es la función buscada.
Por ⑨ tenemos yPdx
Entonces reemplazando ⑬ en ⑨ dyPy
QPdx x
yPdxd
Que es la forma general de la solución de las ecuaciones diferenciales exactas.
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Factor integrante: Dada una ecuación diferencial
0;; dyQdxP yxyx ① 0QdyPdx Si no se cumple la condición de simetría:
xQ
yP
se dice que no es E. D. exacta.
Se la puede llevar a diferencial exacta mediante la aplicación del factor integrante. Si en ① suponemos por hipótesis que existe una función µ(x ; y); que es factor integrante de la E.D. dada,
este factor va a transformarla en diferencial exacta. µ 0QdyPdx Es decir: 0 dyQdxP
Deberá cumplir: xQ
yP
②
Efectuando derivadas cruzadas: x
QxQ
yP
yP
Agrupando términos:
y
Px
QxQ
yP
Sacando factor común µ
y
Px
QxQ
yP
O sea 0
xQ
yP
yP
xQ
③
Casos de factor integrante: Consideremos µ = µ(x ; y )
Pueden presentarse los siguientes casos:
l) µ = µ(x) 2) µ = µ(y) 3) µ = µ(m) m = x + y 4) µ = µ(n) n = x • y 5) µ = µ(h) h = x 2 + y2 6) µ = µ(k) k = x 2 - y2
Siendo ésta una ecuación diferencial en derivadas parciales
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Caso µ = µ(x )
Como µ no depende de y 0
y ④
también: dxx ⑤
Reemplazando ④ y ⑤ en ③: 0
xQ
yP
dxQ
Reagrupando:
xQ
yP
dxQ
⇒ dxxQ
yP
Q
1 ⑥
Integrando en ambos miembros en ⑥:
dx
xQ
yP
Q1
⇒
Haciendo cuadratura:
dxxQ
yP
Q1ln
Por antilogaritmo:
dx
xQ
yP
Qe1
⑦ Factor integrante para µ = µ(x ) Para que la función ⑦ pueda integrarse debe ser función de x
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Caso µ = µ(y)
Como µ no depende de x 0
x ⑧ ;
también: dyy ⑨
Reemplazando ⑧ y ⑨ en ③: 0
xQ
yP
dyP
Reagrupando:
xQ
yP
dyP
dyxQ
yP
P
1
Integrando en ambos miembros:
dy
xQ
yP
P1
Haciendo cuadratura:
dyxQ
yP
P1ln
Por antilogaritmo:
dy
xQ
yP
Pe1
⑩ Factor integrante para µ = µ(y) Para que la función ⑩ pueda integrarse debe ser función de y
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Caso µ = µ(m) siendo m (variable) m = x + y
Derivando respecto de y ym 1
ym
Así: dmd
ym
dmd
y
⑪ también
dmd
x
⑫
Recordamos: 0
xQ
yP
yP
xQ ③
Reemplazando ⑪ y ⑫ en ③: 0
xQ
yP
dmdP
dmdQ
Reagrupando:
xQ
yPQP
dmd
xQ
yPQP
dmd
1
xQ
yP
QPdmd 11
⑬
Si el primer miembro de ⑬es sólo función de m, el segundo miembro también lo es.
Haciendo: mdmd
1 ⑭ ⋀
xQ
yP
QPm1
Integrando ⑭: dmdm
Haciendo cuadratura: Kdmm ln Por antilogaritmo:
Kdmme
dmmeK Factor integrante para µ = µ(m) / m = x + y
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Curva x2 + y2 = 4
Familia y = mx
Familia de Trayectorias Ortogonales a) Curvas Ortogonales
Dos curvas son ortogonales cuando sus respectivas tangentes, trazadas en el punto de intersección de las mismas, son ortogonales.
b) Curva ortogonal respecto de una familia simplemente infinita de curvas Se dice que una curva es ortogonal respecto de una familia simplemente infinita de curvas cuando por cada uno de sus puntos pasa una curva de la familia dada y en dicho punto ambas curvas son ortogonales. Ejemplo 1:
90º
P
g
f
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Ejemplo 2:
c) Familias de trayectorias ortogonales Dadas dos familias simplemente infinitas de curvas, se dice que una es ortogonal respecto de la otra y recíprocamente, cuando cualquier curva de la primera familia es ortogonal respecto de cualquier curva de la segunda familia. Ejemplo:
y = mx
x2 + y2 = r2
Curva y = -x
Familia x2 + y2 = r2
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Cálculo de la F T O de una familia dada.
Sea Φ(x,y,C) = 0 una familia simplemente infinita de curvas de la cual se desea calcular su FTO. Sabemos que cualquier curva de una familia dada con cualquier curva de la familia buscada, guarda una relación entre sus respectivas pendientes: estas deben ser números recíprocos y opuestos. Por otro lado sabemos que una ED enuncia una propiedad física común a todas las curvas de la familia dada.
Si la familia dada es una familia simplemente infinita de curvas, la ED que la misma origina va a enunciar una propiedad respecto de su derivada primera, es decir la de la pendiente
Φ(x,y,C) = 0 ①
0,,
dxd Cyx ②
g(x, y, y ,́ C) = 0 ②΄ ( y` debe estar)
De ① y ②=②΄ se trabaja algebraicamente para llegar a una expresión que no dependa de la
constante. Es la ED de la familia dada. 0,, yyxf ③ ED de ① ( no puede faltar en su solución)
En esta ED se sustituye y
y
1
obteniendo: 01,,
y
yxf ④
Obteniendo así la ED de la familia buscada. La Solución general de ④ es la FTO de ① Ejemplo: dato: y= mx ① y´= m ② De ① y ②: xyy ③ ED de ①
⇓
xy
y
1 ④ ED de FTO buscada
xyy ⇒ xdxdyy ⇒ Cxdxdyy
Cxy
22
22
O también 222 ryx SG de ④ FTO de ①
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CIRCUNFERENCIA OSCULATRIZ
Es la circunferencia tangente a la curva en un punto dado.
Las ecuaciones del centro son:
yyyy
yyyxx
C
C
2
2
1
1
( xc ; yc ) centro de curvatura
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Envolvente Definición:
Dada una familia simplemente infinita de curvas se llama ENVOLVENTE de la misma a la curva que en cada uno de los puntos es tangente a una curva de la familia dada. Ejemplo Nº 1: y = ( x + C )2
Envolvente y = 0 Ejemplo Nº 2: ( x – a )2 – y2 =1 La envolvente: Cónica degenerada Ejemplo Nº 3: 2yxyy Solución general 2CxCy envolvente.
Solución Singular: 4
2xy
y = 1 y = –1
y2 = 1
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Ejemplo Nº 1: Dato: y = (x + C) 2 Incógnita: Envolvente
0)(20)( 2
CxCxy
00
);;(
;;
CyxC
Cyx
02021)(2
Cx
JyCxC
yx
x0; y0; C0
02 CC
Se cumplen las condiciones, el sistema es la envolvente.
0)(20)( 2
CxCxy Envolvente: 0y
Ejemplo Nº 2: Dato: (x-a) 2 + y2 = 1
Incógnita: Envolvente
01)( 22 yax
00
;;
;;
ayxa
ayx
0)1)((2
01)( 22
axyax
0402
2)(2
yyax
Jyaxa
yx
01aa
y = 1
(x-a) 2 + y2 – 1 = 0 -2 (x-a) = 0
Envolvente de una familia: 0;; Cyx
00
);;(
;;
CyxC
Cyx
ó
C
C
yx
y2 = 1
Temas de Análisis Matemático Página 25 / 41
Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 1) Dato: y = k.x + k2 – 2k + 1
Incógnita: Envolvente Dato (familia de rectas)
020122
kxkkkxy
00
);;(
;;
kyxk
kyx
010112
k
Jykxk
yx
02 kk
xk 2 2
xk
0142
22
xxxy 014
2
xxy
14
2
xxy 444 2 xxy Envolvente
Respuesta Curva Envolvente de la Familia
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 26 / 41 Matemática y Astronomía.
Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 2) Dato: y = px +2p2 –p
Incógnita: Envolvente
Dato
(familia de rectas)
00
;;
;;
ayxa
ayx
014
02 2
pxpppxy
01011
p
Jypxp
yx
04 pp
14 px 22)14( pppy
14 px 02)14( 2 ppppy
024 22 ppppy 02 2 py
px
41 0
412
2
xy
0181 2 xy 0)1(8 2 xy Envolvente
Respuesta
Curva Envolvente de la Familia
Temas de Análisis Matemático Página 27 / 41
Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 3) Dato: y = (x+a) 2
Incógnita: Envolvente
00
;;
;;
ayxa
ayx
0)(20)(
;;
2;;
axaxy
ayxa
ayx
02021)(2
ax
Jyaxa
yx
02 aa ⇒ Envolvente Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑭ 4) Dato: ( x – C ) 2 + y 2 = 1
Incógnita: Envolvente
00
);;(
;;
CyxC
Cyx
02
0122
Cxycx
0402
2)(2
yyCx
JyCxC
yx
02 CC
12 y 1y Envolvente Trabajo Práctico Nº 2
Ejercicio ⑭ 5) Dato: )(2 axay Incógnita: Envolvente
00
;;
;;
ayxa
ayx
0
02
aaxaxay
0201
2
yya
Jyaxa
yx
02 aa
aaay
xa2
022 0
222
ayxa
2xa
22 ay ay
2xy Envolvente
y = 0
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 28 / 41 Matemática y Astronomía.
EVOLUTA – EVOLVENTE Dada una curva y=f(x) se llama evoluta de la misma a la envolvente de la familia
de rectas normales a la curva dada. La curva dada recibe el nombre de evolvente.
1) Dato: y=f(x) ➀ (una curva: evolvente) 2) Se calcula la familia de rectas normales
) x- x ( m y-y 00
00
0
1 xxf
yyx
→ Envolvente: familia simplemente infinita de curvas
00
0
1 xxf
yyx
00 xy
xfy 00 yx
00
0
1 xxf
fyx
x
➁ Familia simplemente infinita de curvas
(rectas normales y = f(x) )
3) Envolvente de ➁
4) Respuesta de 3) es la evoluta de ➀
Temas de Análisis Matemático Página 29 / 41
Ejemplo 1: Dada y2 = 4 x calcular la evoluta
1) Dato y2 = 4 x ➀ (curva dada evolvente ) 2) Familia de rectas normales
y2 = 4 x 020 4xy ⓐ la necesito en un punto genérico
42 yy ↙
yy 2
00
2y
y ⓑ ← ↙
00
0
1 xxf
yyx
↓ⓑ ↓ⓐ
0
2y
4
20y
42
200
0yxyyy ➁ Familia de rectas normales de ➀
3) Envolvente
82
300
0yxyyy ⓒ Ecuaciones cartesianas paramétricas
208
32
1 yx ⓓ de la envolvente de ➁
Pasando a la forma cartesiana de ⓓ
208
312
yx ⓔ ⇒ 21
83 2
0
yx ⓕ
Reemplazando ⓕ en ⓒ
821
83
2
302
00
0yyyyy
⇒
81
83 3
02000
yyyyy
883 3
00
300
yyyyy ⇒ 88
3 303
0yyy ⇒
4
30yy ⓖ
De ⓖ elevada al cuadrado y de ⓔ elevada al cubo, tenemos: 23
02
4)(
yy ⇒ 16
602 yy ⇒ 6
0216 yy ⓗ
320
3
831
2
yx ⇒ 6
0
3
51227
22 yx
⇒ 6
0
3
27512
22 yx
ⓘ
Igualando ⓗ ‸ ⓘ :
32
22
2751216
xy ⇒
272
512162 323
xy ⇒
27
24
32
xy
Simplemente infinita de
curvas
Envolvente de ➁
Evoluta de ➀
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 30 / 41 Matemática y Astronomía.
Trabajo Práctico Nº 2 Ejercicio ⑮ 1) Dato: y 2 = 4.x
Incógnita: Evoluta
xy 42 ➀ 020 4xy ➁ 0
20
4xy
➂
42 yy 2 yy y
y 2 ➃
00
2y
y ➄
00
0
1 xxf
yyx
➅ Familia simplemente infinita de rectas normales
42
200
0yxyyy ➆
82
300
0yxyyy ➇ Envolvente
0
20
83
21 yyx ➈ de la familia
10 y ➈ queda: 28
31 20
xy xy 204
32 ➉
➉ en ➇ 84
322
302
00
0yyyyy
883 3
03000
yyyyy
302
1 yy ⑪
302
1 yy
208
32
1 yx
Resuelvo el sistema De ⑪: 3
02 yy 230
22 yy 60
22 yy ⑫
De ➈: 8
32
120yx
3
20
3
83
21
yx
330
33
83
38
21
yx 6
0
33
38
21 yx
⑬
De ⑬ y ⑫: 33
2
38
214
xy 3
23 2
12784
xy
33
23 2
21
8427 xy
322 24
827 xy
27
216
32 xy Evoluta
Temas de Análisis Matemático Página 31 / 41
Trabajo Práctico Nº 2
Ejercicio ⑮ 2) Dato: 212 xy
Incógnita: Evoluta
212
00 xy 21
00 yx
⇓ xy 2 00 2xy
00
01 xxy
yy
00
20 2
121 xx
xxy 0
0
20 2
121 xx
xxy
21
221
0
20
xxxy
0
20 2x
xxy
0
20 2x
xxy 0
20 2x
xxy Derivando: 200 1
22 xxx
200 2
2 xxx ⇐ 200 2
2 xxx ⇐ ⇐ ⇐ ⇐ ↵
22 2
00xxx xx 3
04 20
20
20
0
302
0 3224 xxxxxxy
203xy 6
03 27xy 6
0
3
27xy
304xx
60
2 16 xx 60
2
16xx
1627
23 xy Evoluta
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 32 / 41 Matemática y Astronomía.
E. D. de Segundo Orden, con coeficientes constantes.
En estas ecuaciones, la solución general tiene dos constantes de integración. Para obtener la solución particular única, es necesario fijar las condiciones iniciales.
Además de determinar un punto, como por cada punto pueden pasar infinitas curvas, es necesario fijar la pendiente de la tangente a la curva de acuerdo con la interpretación geométrica de la derivada.
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen la forma:
xfqydxdyp
xdyd 2
2
➲ Solución de las ecuaciones diferenciales de segundo orden incompletas. Cuando 0xf
Luego: 02
2
qydxdyp
dxyd ➀
La solución viene dada por una expresión de la forma:
rxey Y la derivada de esta expresión será:
rxerdxdy
➁
La derivada segunda: rxer
dxyd
22
2
➂
Sustituyendo ➁ y ➂ en ➀ tenemos: 02 rxrxrx eqerper
Sacando factor común rxe
02 qrprerx ⇒ 02 qrpr Que es la ecuación característica de la ecuación diferencial dada.
21 rr son las raíces de la ecuación característica. Por ser una ecuación de segundo grado, tendremos tres alternativas:
a) 21 rr 21 rr ℝ
b) 21 rr 21 rr ℝ c) 21 rr Imaginarias, complejas conjugadas
Temas de Análisis Matemático Página 33 / 41
Caso a) 21 rr 21 rr ℝ La solución será de la forma
xrxr eBeAy 21 ➃ siendo 21 rr las raíces de la ecuación
característica.
Por ser solución de la ecuación diferencial, debe verificarse:
De ➀: 02
2
qydxdyp
dxyd
Derivando ➃: xrxr erBerAdxdy
2121 ➄
Volviendo a derivar ➄: xrxr erBerAdx
yd21 2
22
12
2
➅
Reemplazando ➃ ‸ ➄ ‸ ➅ en ➀ tenemos:
021212121
22
21 xrxrxrxrxrxr eBqeAqerBperAperBerA
Sacando factor común:
022
212
121 qrpreBqrpreA xrxr
0 0
Caso b) 21 rr 21 rr ℝ (reales y coincidentes) La solución es de la forma:
rxrxrx exBAexBeAy ➆
De la ecuación ➀: 02
2
qydxdyp
dxyd
Debemos probar si la solución se verifica. Derivando ➆:
rxrxrx eBexrBerAdxdy
➇
Y volviendo a derivar: rxrxrxrx erBerBexrBerA
dxyd
222
2
➈
Reemplazando ➆ ‸ ➇ ‸ ➈ en ➀:
022 rxrxrxrxrxrxrxrxrx exBeAqeBexrBerAperBerBexrBerA ➉
0222 preBqprrexBqprreA rxrxrx
Si 02 qprr
qprrr 2
prr 2 Luego: 02 pr
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 34 / 41 Matemática y Astronomía.
Caso c) 21 rr Imaginarias, complejas conjugadas biar
La solución es de la forma: xbiaxbia BeAey ⇒ bixbixax BeAeey Empleando la fórmula de Euler:
bxsenibxebix cos bxsenibxe bix cos
Reemplazando: senbxibxBsenbxibxAey ax coscos
BAsenbxiBAbxey ax cos
Considerando A ⌃ B como complejos conjugados, en forma polar:
seniBseniA
coscos
⑪
Sumando miembro a miembro ⑪:
coscos2 FBA ⑫
Restando miembro a miembro ⑪:
seniGseniBA 2 ⑬ De acuerdo a ⑫ ⌃ ⑬, la ecuación puede expresarse:
seniGbxseniFbxey ax coscos senbxsenGbxFey ax coscos
También: bxey ax cos
Siendo θ una constante.
Temas de Análisis Matemático Página 35 / 41
Ecuaciones Diferenciales De Segundo Orden, Lineales, No Homogéneas
(Completas) .
xfyayaya 210 /
0:;;
0
210
0
xfxaaa
aℝ
La solución general de esta ED es la suma de dos soluciones ph yy ; donde hy representa la SG de la ecuación homogénea correspondiente a la dada:
0210 hhh yayaya Donde py representa una SP de la ecuación a resolver
xppp fyayaya 210 La solución es: ph yyy
Ⓗ xfyayaya 210 ➀
Ⓣ SG de ➀ ph yyy ➁
Ⓓ ph yyy ➁
Derivando ➁: ph yyy ➂
Derivando ➂: ph yyy ➃
Reemplazando ➁ ; ➂ y ➃ en ➀ phphph yyayyayya 210
ppphhh yayayayayaya 210210 = 0 xf
hy py SP de ➀
⇒ ph yyy → solución de ➀
hy SG de la ecuación homogénea arrastra dos constantes arbitrarias e independientes
py no tiene constantes
ph yyy Solución General
SG de la ecuación homogénea
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 36 / 41 Matemática y Astronomía.
Ejemplo:
xyyy 127 ➀
SG: ph yyy ➁ Cálculo de hy
0127 hhh yyy 01272 rr
43
2
1
rr
xxh eCeCy 4
23
1 Cálculo de hy
Métodos para el cálculo de hy
1) Método de los coeficientes indeterminados o método de partes variables 2) Método de variación de parámetros (Lagrange)
1) Método de los coeficientes indeterminados
a) ¿Qué es “parte variable”? b) Método en sí
a) Parte variable
Se llama parte variable de un término a la parte del mismo que multiplica a la constante
Ejemplo: 43 xsenx 22
-2 x3ln
Existen funciones que presentan términos que tienen la particularidad que luego de un número finito de derivadas no originan partes variables nuevas.
Ejemplos: xsenexf xx 253 32
xexf xx 2cos2156 3
xsenef xx 244516 3
xef xx 2cos813510 3
Se demuestra que estas funciones deben presentar términos de la forma:
xsenexC mxn 1 ó xexC mxn cos2 0Zn ; m ∈ ℝ ; α ∈ ℝ; β ∈ ℝ
p.v.
p.v.
Temas de Análisis Matemático Página 37 / 41
También existen otras funciones que presentan términos tales que al calcular sus sucesivas derivadas dan siempre lugar a partes variables nuevas:
Ejemplos: xarctgxxf x ln
21111
21
xxxf x
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
≠ ≠ ≠
b) Método de los coeficientes indeterminados o método de partes variables Para el cálculo de hy mediante este método debe mirarse el 2º miembro de la ED a resolver:
xppp fyayaya 210 ➀ Este método es sólo válido cuando xf es una función que presenta términos de la forma:
xsenexC mxn 1
xexC mxn cos2 / 0Zn ; m ∈ ℝ ; α ∈ ℝ; β ∈ ℝ Este método es sólo válido para aquellas funciones cuyos términos, luego de un número
finito de derivadas, no presentan partes variables nuevas. Ejemplos:
yy 3 puedo xex puedo
x no puedo Sea xf una función que cumple con tales requisitos. Para el cálculo de hy se procede de
la siguiente manera:
xppp fyayaya 210 ➀
SG ph yyy ➁
hy 0210 hhh yayaya
0212
0 arara xxh yCyCy 2211
p.v. .21; xxyy
↑mirar
Función complementaria
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 38 / 41 Matemática y Astronomía.
py → “receta” Se deriva la función tantas veces como sea necesario tal que sus términos no originen
partes variables nuevas. Cada término origina un grupito de partes variables. A estos grupitos se los somete al siguiente análisis:
Se observa si algún grupito está incluido en otro, en caso afirmativo se lo desprecia. Se observa si alguna parte de algún grupito es a su vez parte variable de la función
complementaria. En caso afirmativo se lo multiplica por x solamente el grupo donde la parte se repite y se vuelve a controlar si alguna parte de este nuevo grupo se repite en la función complementaria; en caso afirmativo se vuelve a multiplicar por x a cada parte del grupo que se repite y así sucesivamente hasta que ninguna parte de ningún grupito se repita en la función complementaria.
Por último se forma un único grupo con todas las partes variables así obtenidas. La py que se busca es una combinación lineal de las partes variables calculadas. Para determinar los coeficientes de la combinación lineal deberá tenerse en cuenta dos
cosas: 1) El concepto de SP 2) Principio de identidad de polinomios o yuxtaposición de términos
Ejemplos:
xyyy 127 ➀ SG ph yyy ➁
hy 0127 hhh yyy
01272 rr 31 r 42 r
xxh eCeCy 4
23
1 Función complementaria
Parte variable xx ee 43 ;
py xf x 1xf 0xf
(x ; 1) 1 BxAy p Ay p 0py
xBxAA 11270
1120127
ABA
1447
121
B
A
1447
21
xy p 144
71214
23
1 xeCeCy xx SG
Temas de Análisis Matemático Página 39 / 41
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.
Se denominan funciones racionales a las funciones del tipo
x
x
QP Siendo P(x) y Q(x), polinomios en x.
Vamos a estudiar la integración de funciones racionales distinguiendo dos casos, según que el grado de P(x) sea menor que el de Q(x), o que sea igual o mayor.
a) Caso en que el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x).
Sea, por ejemplo, resolver la integral dx
x 11
2
Aquí el grado del numerador es menor que el del denominador, puesto que el numerador es un polinomio de grado cero (es decir, una constante) y el denominador tiene grado 2.
En este caso comenzaremos por operar con el integrando, descomponiendo el denominador en una diferencia de cuadrados. Si el denominador fuera en general una expresión cuadrática de la forma ax2 + bx + c siempre es posible descomponerlo en la forma a (x – x1).(x - x2), siendo x1 y x2 las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Vamos a suponer ahora que la fracción 1
12 x
es la suma de dos fracciones. Como el denominador de la
fracción suma ha de ser igual al producto de los denominadores de las fracciones sumandos, podemos escribir:
1111
1
x
Bx
Axx
①
siendo A y B dos valores a determinar. Haciendo la suma de las fracciones que aparecen en el segundo miembro de
la igualdad anterior, se tiene: 1x1
11x
x
xBA ②
Pero el numerador de esta fracción debe ser igual a 1 que es el numerador de la fracción que aparece en el primer miembro de ①. Haciendo los productos y agrupando términos en el numerador de ② resulta:
1x1
x
BAxBA
Por lo tanto, deberá ser: BAxBA 1 En el segundo miembro aparece un polinomio de grado l y en el primer miembro un polinomio de grado cero.
Si son iguales, deben serlo término a término. Y como en el polinomio del primer miembro el coeficiente de x es cero (por eso no aparece término en x), también deberá ser cero el coeficiente de x en el polinomio del segundo miembro; es decir, deberá ser: A + B = 0 ③
Por un razonamiento semejante, deberá ser: A – B = l ④ Reuniendo las igualdades ③ y ④ resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
A + B = O A – B = 1
que se puede resolver inmediatamente sumando las ecuaciones, con lo cual resulta: 2 A = 1, de donde se deduce: A = ½
Y siendo A + B = 0, despejando B se tiene: B = – A = – ½. Determinados así los valores de A y B, sustituyendo en la igualdad (1) queda:
11
11
21
12
1
121
11
2 xxxxx ⑤
En consecuencia, la integral del primer miembro de ⑤, que es la que debemos resolver, será igual a la integral del segundo miembro. Respecto de ésta podemos hacer uso de las propiedades que ya conocemos, extrayendo la constante fuera del signo integral y sustituyendo luego la integral de la diferencia de funciones por la diferencia de las integrales de esas funciones. Nos queda entonces:
Profesor Juan Carlos Serruya. Página 40 / 41 Matemática y Astronomía.
dxx
dxx
dxx 1
11
121
11
2 + K
Resolviendo las integrales, nos queda:
Cxxdxx
ln1ln1ln21
11
2
Aplicando propiedades del logaritmo:
11ln
11
2
x
xCdxx
b) Caso en que el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x). Este caso se puede reducir al primero, porque si en un cociente de polinomios el grado del numerador es mayor
que el grado del denominador, siempre es posible efectuar la división indicada, obteniéndose un cociente -que será un polinomio- más un resto -que será un polinomio de grado menor que el divisor.
Sea por ejemplo resolver la integral: dx
xxx1
1332
3
Como el grado del polinomio numerador es mayor que grado del polinomio denominador, efectuamos la división indicada:
3x3- 3x + 1 x2 – 1 3x3- 3x 3x 1 Por lo tanto, podemos escribir: 3x3- 3x + 1 = (x2 – 1). 3x +1 Y dividiendo ambos miembros por x2 – 1 : 3x3- 3x + 1 = 3x + 1 (x2 – 1) (x2 – 1) En consecuencia, la integral del primer miembro, que es 1a que deseamos calcular, será igual a la suma de las
integrales de las expresiones que aparecen en el segundo miembro, de las cuales la segunda ya ha sido calculada en el ejemplo anterior. Por lo tanto, tendremos:
13
113
1133
222
3
xdxdxxdx
xxdx
xxx
Cxxxdx
xxx
1
1ln23
1133 3
2
3
N. P. U. R.
Temas de Análisis Matemático Página 41 / 41
ALFABETO GRIEGO: Mayúscula Minúscula Nombre Α α Alfa Β β Beta Γ γ Gamma Δ δ Delta Ε ε Épsilon Ζ ζ Zeta Η η Eta Θ θ Theta Ι ι Iota Κ κ Kappa Λ λ Lambda Μ μ Mu
Mayúscula Minúscula Nombre Ν ν Nu Ξ ξ Xi Ο ο Ómicron Π π Pi Ρ ρ Rho Σ σ ς Sigma Τ τ Tau Υ υ Ypsilon Φ φ Phi Χ χ Ji o Chi Ψ ψ Psi Ω ω Omega
BIBLIOGRAFÍA: 1) REY PASTOR, PICALLEJA Y TREJO: Análisis Matemático
2) SOKOLNIKOFF: Matemática Superior Para Ingenieros Y Físicos
3) PISCKUNOV: Cálculo Diferencial E Integral
4) MORRIS-BROWN: Ecuaciones Diferenciales
5) APOSTOL: Cálculus Volumen 1-2
6) RAGAY-KAVALIAUSKAS: Guía De Trabajos Prácticos Y Apuntes De Clase