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Geometría Analítica en el Geometría Analítica en el EspacioEspacio
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Facultad de Arquitectura y Urbanismo
CIENCIAS BÁSICAS
Realizado por el Magister Ingeniero Luis Kosteski para Analisis Matemático II de Ingeniería
BREVE REPASO DE GEOMETRÍA EN EL PLANO
Ecuación Lineal( todas las variables están elevadas a la 1°)= Recta
Ecuación General de la Recta:
Ax + By + C=0 Y=f(x)
Ecuación segmentaria de la Recta:
Ecuaciones cuadráticas (por lo menos una variables elevada al cuadrado) ⇒CónicasCónicas
Cónicas con centro en el origen:
Si los términos son positivos = elipseelipse
Si además a=b=r = circunferenciacircunferencia
Un término positivo y el otro negativo = HipérbolaHipérbola
El término negativo determina el eje imaginario. La curva NO corta al eje imaginario
No se pueden dar dos términos negativos, pues no se estaría en el plano real.
Cónicas sin centro = ParábolaParábola
La parábola rodea al eje de la variable lineal.
Funciones de dos VariablesFunciones de dos VariablesUna función de dos variables en geometría representa una superficie en el especio de tres dimensiones (R3).
Z= f(x,y) Dominios formado por dos variables independientes.
Z0= posición de la imagen que corresponde al punto del dominio (x0, y0)
Ecuación Lineal ( todas las variables están elevadas ala 1° potencia) = PLANOPLANO
ECUACIÓN General del PlanoECUACIÓN General del Plano
Ecuación segmentaria del PlanoEcuación segmentaria del Plano
Variando los signos positivos y negativos se obtiene los distintos tipos de superficies. En este tipo de superficies existe una triple simetría, por lo tanto son simétricas respecto al punto de intersección entre las superficies. Entonces podemos decir que son simétricas respecto a un centro.
SUPERFICIES CUÁDRICASSUPERFICIES CUÁDRICAS
Cuádricas concentro en el origen:Cuádricas concentro en el origen:
ELIPSOIDEELIPSOIDE
Los tres términos cuadráticos positivos
DEFINICIÓN DE TRAZAS
Curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos de coordenadas.
Estas curvas se llaman trazas ( o secciones transversales) de la superficie.
TRAZASTraza con el plano “xy”, z=0
Traza con el plano “xz”, y=0
Traza con el plano “yz”, x=0
Si una de las trazas es una circunferencia se llama elipsoide de revolución.De acuerdo a los valores de os parámetros el elipsoide puede tomar distintas posiciones
En el caso , que todos los parámetros sean iguales, es decir a=b=c=r, se tiene una esfera
Dos términos cuadráticos positivos y uno negativo= = HIPERBOLOIDE DE UNA HOJAHIPERBOLOIDE DE UNA HOJA
El hiperboloide NO CORTA NO CORTA al eje de la variable que está en el término negativo
Hipérbola con eje real en “y”, eje imaginario en “x”
Traza con el plano “xy”, z=0
Hipérbola con eje real en “z”, eje imaginario en “x”
Traza con el plano “xz”, y=0
La elipse más pequeña, se la llama elipse de garganta
Traza con el plano “yz”, x=0
ELIPSEELIPSE
SI en vez de tener como traza una elipse se tiene una circunferencia, la superficie se llama HIPERBOLOIDE HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA DE REVOLUCIÓNDE UNA HOJA DE REVOLUCIÓN
Esta es una superficie reglada, es decir, que se la puede obtener mediante rectas.De acuerdo a los valores de los parámetros el hiperboloide de una hoja puede tomar distintas posiciones.
Un término cuadrático positivo y dos términos cuadráticos negativos: HPERBOLOIDE DE DOS HPERBOLOIDE DE DOS HOJASHOJAS
El hiperboloide NO CORTA al plano formado por los ejes de las variables que están en los términos negativos
TRAZAS DEL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS
Traza con el plano “xy”, z=0
NO EXISTE TRAZA
Plano “xy”, z= d traza con |d | |c |
Entonces:
Y como |d | |c |, quiere decir que entonces se puede llegar a
ELIPSEELIPSE
Traza con el plano “xz”, y=0
Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “x”
Traza con el plano “yz”, x=0
Hipérbola eje real en “z”, eje imaginario en “y”
Si los dos parámetro negativos tienen el mismo valor el HIPERBOLOIDE HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS DE DOS HOJAS se dice de revolución de revolución ( se llega a a1=b1)
Cuádricas sin centro
PARABOLOIDES
Los dos términos cuadráticos con el mismo signo: PARABOLOIDE PARABOLOIDE ELÍPTICOELÍPTICO
• El paraboloide rodea al eje de la variable lineal
Trazas del paraboloide elíptico
Traza con el plano “xy”, z=0
Punto (0,0), vértice del paraboloide
Traza con un plano paraleloal “xy”, z=d con d 0
Entonces se puede llegar a:
ELIPSEELIPSE
Traza con el plano “xz”, y=0
Parábola que abraza al eje “z”
Si la sección norma al eje que rodea al paraboloide es una circunferencia, es decir p=Q, el paraboloide se llama de revolución.
Si el vértice está desplazado sobre el eje al que rodea el paraboloide, se tiene:
Variando los parámetros ya mencionados y sus signos se pueden tener los siguientes paraboloides:
Los dos términos cuadráticos con distinto signo: PARABOLOIDE HIPERBÓLICOPARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Trazas del paraboloide hiperbólico
Traza con el plano “xy”, z=0
Dos rectas que pasan por el origen
Traza con el plano “ xz”, y=0
Parábola que abraza al eje “z” con ramas de concavidad negativas
Traza con el plano “yz”, x=0
Parábola que abraza al eje “z”, con ramas de concavidad positivas
Si marcamos la intersección del paraboloide hiperbólico con los planos paralelos al “xy” tenemos
z= dDependiendo del signo de “d” son hipérbolas
con eje imaginario x ó y
El hiperboloide hiperbólico es una superficie reglada
Se llama superficie cilíndrica a una superficie generada por una recta que se desplaza paralela a si misma siguiendo una curva C
llamada directriz
Si la directriz de una superficie cilíndrica en una circunferencia, la superficie se llama circular. Análogamente, tenemos
superficies cilíndricas, parabólicas, elípticas e hiperbólicas