Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito FederalDirección General de Operación de Servicios Educativos
Coordinación Sectorial de Educación SecundariaSubdirección de Apoyo Técnico Complementario
Retroalimentación y reforzamientode los aprendizajes de los estudiantes
Tercero de Secundaria
Competencias Matemáticas
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
La edición del Cuaderno de Ejercicios para el Estudiante de Matemáticas estuvo a cargo de la Subdirección de Apoyo Técnico Complementario adscrita a la Coordinación Sectorial de Educación Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos. Es parte de una Serie que fortalece y retroalimenta el trabajo de las y los docentes de Educación Secundaria.
Primera edición electrónica, mayo 2015D. R. © Secretaría de Educación Pública, 2015,Arcos de Belén No.23, Centro, 06020,Cuauhtémoc, México, D. F.Hecho en MéxicoMATERIAL GRATUITO/Prohibida su venta
administración federal de servicios educativos en el distrito federalDr. Luis Ignacio Sánchez Gómez
dirección general de operación de servicios educativosMtra. María Luisa Gordillo Díaz
coordinación sectorial de educación secundariaLic. René Mario Franco Rodríguez
subdirección de apoyo técnico complementario Lic. Isabel Cruz Flores
AutoraIsabel Cruz Flores
DiseñoLizbeth Josefina Robledo Clemente
Se agradece y reconoce la participación de:Candy Castro CeballosRamón Omar Alvarez Rinford
CONTENIDO
INSTRUCCIONES GENERALES PARA DESARROLLAR LAS ACTIVIDADES
EJE TEMÁTICO: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
TEMA I. PATRONES Y ECUACIONES
ACTIVIDAD 1 “ECUACIONES CUADRÁTICAS”
ACTIVIDAD 2 “ECUACIONES”
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA: II. FIGURAS Y CUERPOS
ACTIVIDAD 3 “SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE LOS TRIÁNGULOS”
ACTIVIDAD 4 “SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE TALES Y PITÁGORAS”
ACTIVIDAD 5 “APLICANDO LOS TEOREMAS”
EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA: III. MEDIDA
ACTIVIDAD 6 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1”
ACTIVIDAD 7 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2”
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA
INFORMACIÓN
TEMA: IV. PROPORCIONALIDAD
Y FUNCIONES
ACTIVIDAD 8 “PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES CUADRÁTICAS”
ACTIVIDAD 9 “FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS”
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA: V. NOCIONES DE PROBABILIDAD
ACTIVIDAD 10 “EVENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS”
ACTIVIDAD 11 “PROBABILIDADES Y PROBLEMAS”
EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA
INFORMACIÓN
TEMA: VI. ANÁLISIS Y
REPRESENTACIÓN DE DATOS
ACTIVIDAD 12 “ESTADÍSTICA ELEMENTAL”
ACTIVIDAD 13“DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN”
BIBLIOGRAFÍA
3840
42
45
3432
2925
2116
11
0705
04
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Competencias Matemáticas
CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
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Instrucciones generales para desarrollar las
actividades:
El cuaderno de ejercicios de MATEMÁTICAS se encuentra organizado en tres ejes temáticos; y se subdividen en temas que agrupan los contenidos que logran desarrollar los aprendizajes esperados. Al inicio de las actividades incluimos los contenidos que se alinean a los seis temas de la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas.
En total te presentamos trece actividades conformadas por tres ejercicios:
El primer ejercicio solicitamos que respondas y desarrolles de manera individual.
El segundo en equipos pequeños.
El tercero en plenaria con el apoyo de tu profesor o profesora.
Cada ejercicio integra la imagen que te indica si la actividad la desarrollarás individualmente, en equipo pequeño o en plenaria con el apoyo del docente, guíate con la imagen correspondiente.
Cada ejercicio se compone de varios puntos (•), en los cuáles se indica lo que tendrás que desarrollar, contestar o realizar.
El tiempo aproximado que te llevará a desarrollar cada actividad es de 40 a 50 minutos.
¡ MANOS A LA OBRA !
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CUADERNO DE EJERCICIOS PARA EL ESTUDIANTE
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EJE TEMÁTICO: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
TEMA I. PATRONES Y ECUACIONESBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Resolución de problemas que impli-quen el uso de ecuaciones cuadrá-ticas sencillas, utilizando procedi-mientos personales u operaciones inversas.
Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
Resolución de problemas que impli-can el uso de ecuaciones cuadráti-cas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.
Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.
Resolución de problemas que impli-can el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuacio-nes. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.
ACTIVIDAD 1 “ECUACIONES CUADRÁTICAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Responde lo que se te indica:
yy Encuentra un número, diferente de cero, que su cuadrado es igual al duplo del número multiplicado por 6.
La expresión del cuadrado del número es: _________________________________________________________
El duplo del número es: _______________________________________________________________________
La ecuación, de acuerdo con el problema es: ______________________________________________________
Resolviendo la ecuación, el modelo de una ecuación incompleta de segundo grado es: x2 + bx = 0
El resultado es: _______________________________________________________
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Cotejen sus respuestas y corrijan si es necesario.
yy Resuelvan los siguientes problemas:
1. Hallar tres números enteros consecutivos, tales que la suma de los cuadrados de los dos menores sea igual al cuadrado del mayor, más doce unidades.
2. Un número es igual al cuadrado de otro y la suma de ambos es 42 ¿cuáles son estos números?
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3. La base de un triángulo mide 6m, más que la altura y el área es de 20m2. Calcular la base y la altura.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
Tiempo: 15 minutos
yy Factoricen las siguientes ecuaciones:
x2 + 5x + 6 = 0
x2 + 7x + 10 = 0
x2 + 8x + 15 = 0
yy Respondan los siguientes cuestionamientos.
1. Escriban la forma general de resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0
_________________________________________________________________________________________________
2. A través del método de solución gráfica resuelve la ecuación: y = 2x2 - 4x
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yy Resuelvan los siguientes problemas:
1. El terreno cuadrado que se ilustra abajo tiene un área de 2 500 m2, se desea utilizar únicamente la parte que aparece sombreada en la figura. Si x es la medida del lado de ese cuadrado que se va a usar, ¿cuál es el valor de x?
2. Encontrar dos números cuya suma es 11 y el producto 30.
ACTIVIDAD 2 “ECUACIONES”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Responde lo que se te indica, puedes auxiliarte de tu diccionario:
yy ¿Qué es un patrón?______________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
yy ¿Qué es un enésimo? ____________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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yy Completa la siguiente sucesión:
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Cotejen sus respuestas y corríjanlas si es necesario.
yy Derivado del ejercicio de la sucesión, encuentren los números que faltan en la siguiente tabla.
Número de figuras Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6
Número de cuadrados que la
componen5 13
Diferencia de cuadrados entre la figura siguiente y la figura anterior
4
yy Escriban una regla que permita encontrar el número de cuadrados de cualquier figura:__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy Resuelvan las siguientes ecuaciones:
ax2 + bx + c = 0
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4x - 3 = 3x - 9 5 4
2x + 3y = -1
3x + 4y = 0
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
Tiempo: 15 minutos
yy Resuelvan los siguientes problemas:
1. ¿Cómo encontrarías el área del cuadrado pequeño, si conocieras el área del cuadrado grande y el área de uno de los rectángulos?
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2. El perímetro de un rectángulo es igual a 10 metros y su área es igual a 6 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
3. Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene Andrea hoy?
Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
4. ¿Qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre?
5. Selecciona la opción en la que se localiza el sistema de ecuaciones que resuelve el problema siguiente:
La suma de las edades de Manuel y su hermano Carlos da como resultado 60 años. La edad de Manuel es 3 veces mayor a la de Carlos.
A) x + y = 60
x = 3y
B) x = 60 + y
x = 3y
C) x + y = 60
x = y + 3
D) x = 60 + y
x = y + 3
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EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA II. FIGURAS Y CUERPOSBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Construcción de figuras congruen-tes o semejantes (triángulos, cua-drados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.
Explicitación de los criterios de con-gruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con infor-mación determinada.
Análisis de las propiedades de la ro-tación y de la traslación de figuras.
Construcción de diseños que com-binan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.
Aplicación de los criterios de con-gruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.
Resolución de problemas geométri-cos mediante el teorema de Tales.
Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéti-cas.
Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángu-lo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.
ACTIVIDAD 3 “SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE LOS TRIÁNGULOS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Traza dos triángulos, con las medidas que se especifican:
yy Dos lados de un triángulo miden 4 cm y el tercero 5 cm; el ángulo comprendido entre los primeros mide 77°. En el segundo triángulo los lados correspondientes miden 8, 9 y 10 cm y el ángulo correspondiente se conserva.
yy ¿Qué características comunes tienen los dos triángulos que trazaste?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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yy Observa cuidadosamente las siguientes figuras y contesta las preguntas.
1. ¿Las figuras a, b y c de la figura 2.1 son congruentes? SI NO
¿Por qué?_________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. ¿Existe algún cambio entre ellas? SI NO
¿Cuál?____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
yy Utilizando la notación: ∆ EBC = ∆ ILK, indica ¿qué triángulos de la siguiente figura son congruentes y argumenta por qué?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas.
yy Lee cuidadosamente la siguiente información y realiza las actividades que se piden.
Cuando dos o más triángulos son iguales, aunque no estén colocados en la misma posición, se dice que dichos triángulos son congruentes. Por lo tanto, para que la congruencia entre varios triángulos exista, es necesario que los tres lados y los tres ángulos de un triángulo sean iguales a los correspondientes de los otros triángulos.
Sin embargo, debido a las características y propiedades de los triángulos, para saber si dos o más triángulos son congruentes, no es necesario comprobar la igualdad de los seis elementos (los tres lados y los tres ángulos), pues con solo mostrar la igualdad entre tres de ellos, se deduce que los otros tres son iguales, solo es necesario saber en cuales de éstos se debe comprobar la igualdad, a esto último se le llama criterios de congruencia.
Se tienen ocho opciones para escoger a los tres elementos, considerando que el orden en que se escriben es el mismo orden en que se trazan o eligen, por ejemplo, si decimos que el criterio es: lado, lado, ángulo (L L A), se deberá trazar un lado, a continuación el otro lado y por último el ángulo, como se ejemplifica en la figura 2.3.
Algunas de las ocho alternativas para escoger los tres elementos, son las siguientes: L L L, A A A, L L A, A L L.
yy Obtengan las demás opciones y deduzcan las ocho alternativas: __________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy De las alternativas anteriores, cuáles son las tres que nos permiten saber si dos o más triángulos son congruentes:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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yy Completen los tres criterios de congruencia de los triángulos.
1. L L L (lado, lado, lado): si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, _______________________________________________________________________________________________.
2. _______________________________________ si dos de los lados de un triángulo y el ángulo entre esos dos lados, son iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
3. A L A (ángulo, lado, ángulo): _________________________________________________________________ son iguales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
EJERCICIO 3
En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones.
Tiempo: 15 minutos
yy Considerando que todos los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90°, discutan sobre cuáles son los criterios de congruencia para este tipo de triángulos y escríbanlos.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy De los siguientes triángulos, ¿cuáles son congruentes e indiquen el criterio de congruencia que utilizaste.
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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yy ¿Un puente resiste mejor con triángulos congruentes? Observa cuidadosamente las siguientes figuras y resuelve lo que se pide.
yy En la Figura 2.5, 2.6, 2.7, las medidas de los lados de los triángulos están expresadas en pulgadas (“). Contesten las siguientes preguntas para cada figura:
1. ¿Los lados correspondientes de los triángulos sombreados son congruentes? Argumenten sus respuestas:Figura 2.5. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.6. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.7. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
2. Siendo que todos los lados correspondientes son congruentes, ¿qué nos ayudaría a entender que todos los ángulos también son congruentes?
Figura 2.5. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.6. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.7. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
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3. Calcula el valor de los ángulos
Figura 2.5. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.6. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.7. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. ¿Qué ventajas estructurales (de carga) consideras que tenga construir los puentes utilizando triángulos congruentes?
Figura 2.5. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.6. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Figura 2.7. ____________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 4 “SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMAS DE TALES Y PITÁGORAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Observa las siguientes figuras:
yy ¿Cómo están representados tanto la maqueta como el mapa?__________________________________________________________________________________
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yy ¿Qué es una escala?__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy ¿Cuándo decimos que dos figuras son semejantes?__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy Observa los siguientes triángulos e indica cuáles son semejantes y por qué.
CB ∥ ED
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
EJERCICIO 2 Nota: En caso de que la secuencia le lleve más tiempo, puede tomarla para dos sesiones Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas.
yy Lean cuidadosamente la siguiente información.
Existen tres criterios para saber si dos triángulos son semejantes:
yy Si dos de los ángulos de un triángulo son iguales a los correspondientes de otro triángulo, los triángulos son semejantes.
yy Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.
yy Cuando dos lados de un triángulo son proporcionales a los de otro triángulo, y además el ángulo comprendido entre esos dos lados son iguales en ambos triángulos, entonces los triángulos son semejantes.
yy Para indicar que dos triángulos son semejantes, se utiliza el símbolo “~”
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yy Analicen los siguientes triángulos e indiquen, cuáles son semejantes y que criterio utilizaron para deducir que son semejantes.
Triángulos semejantes Criterio
∆ ABC ~ ∆
∆ XYZ ~ ∆
∆ EDF ~ ∆
∆ JGH ~ ∆
yy ¿Qué nos dice el Teorema de Tales?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
¿Qué nos dice el Teorema de Pitágoras?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
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yy ¿Qué teorema representa la siguiente Figura?_________________________________________________________
yy ¿Qué teorema representa la siguiente figura? Registren su respuesta sobre la línea.
__________________________________________________________________________________
EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Completen los Teoremas de Tales y de Pitágoras:
Si el ∆1 ~ ∆2, entonces:
yy A partir de la figura anterior, el Teorema de Tales es válido_______________________________________________.
Competencias Matemáticas
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yy Observen la figura siguiente. El Teorema de Pitágoras solo es aplicable a ___________________________________.
yy ¿Cuál es la hipotenusa? __________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
yy Observa la siguiente figura y argumenta la validez de los pasos de la demostración del Teorema de Pitágoras.
Pasos Afirmaciones Argumenta la validez
1Los triángulos ABC,
ABD y BDC son semejantes
2
3
4
5
6
7
8
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ACTIVIDAD 5 “APLICANDO LOS TEOREMAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Lee cuidadosamente los siguientes postulados, encuentra la relación correcta entre ambas columnas y registra la letra de cada inciso dentro del paréntesis correspondiente.
a) Dos de los lados de un triángulo rectángulo son conocidos. Para hallar el valor del tercer lado, podemos utilizar el …
b) Se sabe que dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces, los dos triángulos son:
c) Si se tienen dos triángulos semejantes y se conocen los tres lados de uno de ellos y la medida de uno de los lados del otro triángulo, para obtener los valores de los otros dos lados utilizamos el…
d) Si se conocen los tres lados de un triángulo acutángulo, su altura se puede obtener utilizando…
e) En un triángulo rectángulo de 10 cm de base y 7 cm de altura, se traza una paralela a la altura a 3 cm del vértice del ángulo recto, para conocer la longitud de esta recta utilizamos el…
f) Para obtener las hipotenusas de los triángulos del inciso anterior utilizamos el…
( ) Teorema de Pitágoras
( ) Teorema de Tales
( ) Teorema de Pitágoras
( ) Congruentes
( ) Teorema de Pitágoras
( ) Semejantes
( ) Teorema de Tales
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas:
1. Se requiere ampliar la siguiente fotografía 6 cm X 3 cm, de tal manera que el homólogo del lado que mide 6 cm, mida 12cm. ¿Cuánto debe medir el otro lado?
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2. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la relación de semejanza?
A) 1/6 = 3/2
B) 3/6 = ½
C) 6/3 = 3/1
D) 6/2 = 1/3
3. Del siguiente triángulo rectángulo, calcula el lado desconocido C.
EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Resuelvan y encuentren la respuesta correcta a los siguientes problemas:
1. Encuentra el valor de x del siguiente triángulo.
A) 25 .5
B) 8.60
C) 7.10
D) 6
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2. Las figuras siguientes tienen lados homólogos y son proporcionales. ¿Cuál es el valor de “X”? A) 22.3
B) 21.33
C) 19.3
D) 20
3. De la siguiente figura, encuentra la hipotenusa:(a) que mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella (b) que mide 27.98 cm. Hallar la medida del otro cateto (c) A) 18.12
B) 10.82
C) 24.0
D) 16.0
4. De acuerdo al Teorema de Tales ¿Cuál es la altura de la pirámide?
Primer triangulo: el que tiene por catetos (C y D) con las siguientes longitudes: C= 60m D = ¿?
Segundo triangulo: el que tiene por catetos (A y B) con las siguientes longitudes: A= 2m B = 1.5 m
Como en triángulos semejantes, se cumple que
A C
B D=
es decir que, A para B es lo mismo que D para C por lo tanto la altura de la pirámide es:
A) D= 80 M
B) D= 90
C) D = 70
D) D = 100
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5. Observa los siguientes triángulos semejantes:
yy ¿En cuál de las siguientes opciones las relaciones de proporcionalidad se refieren a los triángulos?
A) 8 = 4
10 7
C) 10 = 5
7 7
B) 14 = 7
5 5
D) 14 = 7
8 4
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EJE TEMÁTICO: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA III. MEDIDABLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se cons-truyen sobre los lados de un trián-gulo rectángulo.
Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras.
Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.
Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rec-tángulo.
Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente.
Análisis de las secciones que se ob-tienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes pa-ralelos en un cono recto.
Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos, tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.
Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.
ACTIVIDAD 6 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Lee cuidadosamente la siguiente información
Como recordarás, en el bloque uno, dijimos que los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y en radianes, a esta última unidad, también se le llama unidades circulares. En este bloque utilizaremos ambas unidades.
Cuando en un triángulo rectángulo, solo se conoce un lado y uno de los ángulos agudos, no es posible resolverlo a través del teorema de Pitágoras y tratándose de un solo triángulo, tampoco es posible utilizar el teorema de Tales. Para resolver esta problemática, se crean las relaciones trigonométricas.
Para definir las relaciones trigonométricas, utilizaremos una circunferencia cuyo radio mide una unidad, llamada circunferencia unitaria.
Si consideramos que la circunferencia de la figura 6.1 es unitaria, entonces la hipotenusa del triángulo vale uno. Al cateto que está junto al ángulo se le llama cateto adyacente y al otro cateto se le llama opuesto.
Con estos elementos, se definen las siguientes seis funciones trigonométricas: seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), cosecante (csc), secante (sec) y cotangente (cot).
Como puedes observar, las tres funciones de la izquierda son recíprocas con las correspondientes de las del lado derecho.
Al ir variando el ángulo “a” desde 0° hasta 90°, se fueron obteniendo físicamente las medidas de los catetos y de esta forma se pudieron obtener los valores de las seis funciones para los diferentes ángulos.
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Estos valores fueron escritos en tablas, llamadas tablas trigonométricas (en la actualidad aparecen en una base de datos que contienen las calculadoras científicas).
yy ¿Por qué los valores obtenidos en las tablas trigonométricas, se pueden utilizar para cualquier triángulo rectángulo?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy Obten el valor de las siguientes funciones trigonométricas:
a) sen 74° _______________________________________________________________________b) tan 63.23° ______________________________________________________________________c) cos π/4 rad ____________________________________________________________________
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas:
yy Lee cuidadosamente la siguiente información:
Si a las funciones seno, secante y tangente, les agregas el prefijo “co”, las funciones serían coseno, cosecante y cotangente a éstas tres últimas se les llama cofunciones de las tres primeras, respectivamente, y viceversa. El valor de una función trigonométrica para un ángulo determinado, es igual al valor de la cofunción del ángulo complementario, por ejemplo, el seno de 30° es igual al coseno de 60° (seno y coseno son cofunciones y el complemento de 30° es 60°).
En la circunferencia unitaria, como la que se muestra en la figura 6.1, el valor de la hipotenusa del triángulo vale uno, lo cual implica que el sen a = CO y el cos a = CA y el valor de estos catetos son, respectivamente la ordenada y la abscisa del punto correspondiente de la circunferencia, por lo cual podemos relacionar en esta circunferencia al sen de “a” con “y” y al cos de “a” con “x”, esto implica, entonces, que la tan de “a” sea igual a y/x.
Utilizando lo anterior, podemos obtener los siguientes valores de las funciones trigonométricas sin necesidad de utilizar tablas o calculadora.
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Ángulo (a) sen a cos a tan a
0° 0 1 0
90° 1 0 No existe
180° 0 -1 0
270° -1 0 No existe
360° 0 1 0
yy En equipos analicen los valores de la tabla y registren 3 conclusiones:
1. ____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2. ____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. ____________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
yy A partir de los siguientes triángulos, se pueden deducir los valores de las seis funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°. Completa el cuadro con las medidas
Ángulo sen cos tan
30° √3/2 1/√3
45° 1/√2 1/√2
60° √3/2 √3
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EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy A partir de la siguiente figura, demuestren que los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 15° y 75° son los siguientes:
yy Utilizando sólo los valores de sen 30°=1/2 y sen 45°=1/√2, completa la siguiente tabla (utiliza tu ficha de trabajo para deducir los valores)
Ángulo (a) sen a cos a tan a
0°
90°
180°
270°
360°
30° 1/2
45° 1/√2
60°
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29
yy Calcula el volumen de los siguientes cuerpos:
1. Calcular el volumen de un cilindro cuya base tiene una área de 78.54 dm2 y su altura es de 1.2 m (como las unidades del área y la altura son diferentes, es necesario unificarlas, ya sea convirtiendo los decímetros a metros o viceversa)
2. Obtener la medida del volumen de un cono cuya altura es de 35 cm y el radio de su base es de 9 cm.
ACTIVIDAD 7 “FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 2”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Analiza la siguiente información y responde lo que se te pide.
Las funciones trigonométricas pueden representarse por segmentos de recta. En la figura siguiente, demuestra que: sen a = AP, cos a =OA, tan a = BC.1
1. NILES O. Nathan, Trigonometría Plana, Ed. Limusa, Méxixoc, 1998, pp.41
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yy Traza los segmentos que representan las funciones trigonométricas en los otros cuadrantes.
yy En la figura 7.1, el punto P tiene coordenadas (x,y), expresa las seis funciones trigonométricas utilizando estas
coordenadas.
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas. Después resuelvan los siguientes problemas:
yy Obtengan los valores de las funciones trigonométricas para los siguientes puntos.
a) (2,5)
b) (-3,8)
c) (-1,-7)
d) (6,0)
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EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Obtengan los valores exactos de las siguientes funciones:
a) sen 135°
b) tan 225°
c) cos 105°
yy Dialoguen y enuncien en qué se emplean las gráficas de las funciones trigonométricas, registren tres usos:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy En grupo, tracen la gráfica de la función y = tan x
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EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA IV. PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONESBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Análisis de representaciones (gráfi-cas, tabulares y algebraicas) que co-rresponden a una misma situación. Identificación de las que correspon-den a una relación de proporciona-lidad.
Representación tabular y algebrai-ca de relaciones de variación cua-drática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la físi-ca, la biología, la economía y otras disciplinas.
Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para mo-delar diversas situaciones o fenó-menos.
Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera.
Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenóme-no que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la repre-senta.
Análisis de situaciones problemá-ticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.
ACTIVIDAD 8 “PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES CUADRÁTICAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Resuelve el siguiente problema:
yy Un tren viaja a una velocidad constante, como se representa en la siguiente tabla:
Tiempo (hrs.) 1.5 5
Distancia en km 240 720
1. ¿Cuál será la distancia recorrida en 10 hrs? _________________________________________
2. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 hrs?___________________________________________________
yy Relaciona las columnas y une con una línea la tabla con la situación que corresponde. En la última columna registra cuáles son de proporcionalidad directa.
Peso de un gatito desde su nacimiento hasta que
cumple 2 meses.
x 0 1 2 3
y 0 3 6 9
Número de chocolates y su costo.
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
Edades de dos niñas, si una es mayor por dos años.
x 0 1 2 3
y 2 3 4 5
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EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas.
yy Elijan dos tablas del ejercicio anterior y representen en los recuadros mediante gráficas los datos.
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EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Utilicen algún procedimiento personal o de operaciones inversas y resuelvan las siguientes ecuaciones cuadráticas.
6x2 + 2x = 0
x2 + 11x = -30
yy Resuelvan los siguientes problemas.
1. El cuadrado de un número es igual a siete veces el mismo número. ¿De qué número estamos hablando?
________________________________________________________________________________________________
2. La base de un rectángulo es seis centímetros más que la altura y su área es de 96 cm2. ¿Cuál es la medida de la base y altura?
________________________________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 9 “FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Responde las siguientes preguntas:
1. ¿Qué es una recta? ________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
2. ¿Qué es una pendiente? ____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
3. Menciona 2 casos en los que se utilicen las pendientes:____________________________________________
________________________________________________________________________________________________
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yy Encierra la gráfica que representa cada situación.
1. Al abordar un taxi observé que la tarifa de salida era de $6.50 y $0.90 por cada kilómetro que recorría. ¿Cuál
de las siguientes gráficas representa el costo del recorrido?
2. Cuatro niños arrojan una piedra cada uno desde 10 metros de altura, asímismo, cada uno después traza una gráfica tomando en cuenta que la caída aumenta constantemente por la aceleración. ¿Cuál de los 4 niños hizo
la gráfica correcta?
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3. ¿Qué gráficas no representan una variación directamente proporcional?
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas.
yy Responde los siguientes problemas:
1. En una noticia del periódico en la Sección Financiera, se indica que el crecimiento de una empresa se da por la formula y = 3x2 -2, donde la variable independiente representa los meses transcurridos y la variable dependiente representa los ingresos en millones de pesos.
Realiza una tabla que muestre los ingresos de la empresa que obtiene en un año.
2. En la gráfica se muestran las ganancias de dos pizzerías, que abarcan el primer semestre del año. ¿En qué mes la pizzería A gana lo mismo que la B?
A) En enero
B) En marzo
C) En mayo
D) En junio
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EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Resuelve los siguientes problemas
Se va a lavar una alberca y se requiere vaciarla, por el desagüe se desalojan 60 litros cada minuto. Si tiene 1800 litros cuando comienza el vaciado. Haz una gráfica que represente la relación tiempo (minutos) y la cantidad de agua (litros) contenida en la alberca.
Dibuja la gráfica que represente la relación entre “x” y “y”, de la siguiente ecuación:
y = 2x2 + 3
yy Representen con una expresión algebraica las siguientes situaciones:
1. El área de un círculo (y) en función de la longitud del radio (x)
2. El área de la imagen sobre la pantalla (y) respecto a la distancia a la que se coloca el proyector (x)
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EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA V. NOCIONES DE PROBABILIDADBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Conocimiento de la escala de la pro-babilidad. Análisis de las caracterís-ticas de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.
Cálculo de la probabilidad de ocu-rrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos comple-mentarios (regla de la suma).
Cálculo de la probabilidad de ocu-rrencia de dos eventos independien-tes (regla del producto).
Análisis de las condiciones nece-sarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equi-probables.
ACTIVIDAD 10 “EVENTOS DETERMINISTAS Y ALEATORIOS
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Observa las siguientes imágenes y responde:
1. ¿A qué se refieren las fotos? ¿Qué representan?
__________________________________________________________________________________
2. ¿Qué tipo de juegos ejemplifican las imágenes o fotos?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
3. Define que es un evento y completa a qué tipo de evento se refiere el texto
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
EVENTO
Experimento en el cual, antes de realizarlo, se sabe o se puede calcular con exactitud el resultado. Por ejemplo, si dejamos caer una piedra al vacío, sabemos de antemano que caerá, podemos incluso predecir el tiempo que tardará en caer y con qué velocidad llegará al suelo, si conocemos la altura de la cual se deja caer y si despreciamos la fricción del aire.
Se caracteriza por no poder conocer el resultado hasta que el experimento se haya realizado, ya que se trata de un experimento en el que interviene el azar. Por ejemplo, si lanzamos un dado no cargado (con truco), no podemos saber con exactitud qué número quedará en su cara superior.
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EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Cotejen sus respuestas y si es necesario corríjanlas.
yy Identifiquen si los siguientes eventos son deterministas o aleatorios y argumenten el ¿por qué?
a) Se lanza una moneda de un peso mexicano. Se observa si el resultado es águila o sol.
¿Por qué?
b) Suponga usted que tiene que observar una tienda de abarrotes en la que coloca una canasta con manzanas y un letrero con el precio de $5; durante el día usted se dedica a vender manzanas y al terminar el día verifica cuánto dinero tiene.
¿Por qué?
c) En una urna con bolas de igual forma pero donde hay 20 de color negro y 30 de color blanco. Se extraen tres bolas y se cuenta el número de bolas blancas extraídas.
¿Por qué?
d) Se tienen 200g de oxígeno a una temperatura de 0 °C y a una presión de 1 atm, en un tanque ¿cuál será su presión cuando la temperatura se incremente a 130 °C?
¿Por qué?
yy Mencionen un ejemplo de un evento mutuamente excluyente e independiente:
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Analicen los siguientes ejercicios y completen la respuesta:
a) ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona, si tiene 3 pantalones, 5 camisas y 4 corbatas?
Aplicando la regla 1: (3)(5)(4)=60
b) ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 5 libros en un librero?
Aplicando la regla 2: 5!= (5)(4)(3)(2)(1) = 120
c) ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 5 libros en un librero, si se tienen 8 libros?
Aplicando la regla 3: 8P5=8!/(8 -5)! = (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)/(3)(2)(1) =6720
d) ¿De cuántas maneras puede un entrenador formar un equipo de baloncesto, si cuenta con 7 jugadores y todos pueden ocupar cualquier posición? (un equipo de baloncesto consta de 5 jugadores)
Utilizando la regla 4: 7C5 = 7!/(7 – 5)!5!= (7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)/(2)(1)(5)(4)(3)(2)(1)= 21
e) ¿Cuántas palabras diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra MATEMÁTICAS?
De acuerdo a la regla 5 : r1 = 3 ( tres letras A), r2 = 2 (dos letras T), r3 = 2 (dos letras M) y n = 11 (número de letras), entonces: 11!/3!2!2! = 1,663,200
f) ¿ De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 peronas en torno a una mesa circular?
Aplicando la regla 6: (5 -1)! = 24
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yy Respondan las siguientes preguntas:
1. ¿Cuántos resultados posibles existen al lanzar dos dados?__________________________________________
2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden hacer comisiones de 4 personas si se pueden elegir de un total de 9?_______________________________________________________________________________________
3. ¿De cuántas formas diferentes se pueden acomodar 4 adornos en una corona?_________________________
4. ¿ De cuántas formas difentes puedes acomodar 3 focos fundidos y 4 focos buenos en siete porta focos (soquets)?________________________________________________________________________________
ACTIVIDAD 11 “PROBABILIDADES Y PROBLEMAS”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Si participaras en un juego, que consiste en lanzar dos dados y gana quien le atine a la suma obtenida de puntos de los dos dados
1. ¿A qué número le apostarías?___________________________________________________
¿Por qué?____________________________________________________________________
2. Todas las mañanas Carmen vende tamales verdes, rojos, de rajas, y de dulce. Si éstos los puede vender en torta o solos, ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente le pida a Carmen una torta de tamal verde?
a) 1/4b) 1/6c) 1/8d) 1/16
5. A Tristán le pidió su hermana que sacara uno de los dulces de colores de un dulcero, en el dulcero hay 17 dulces rojos, 19 verdes, 12 naranjas, 15 amarillos y 7 cafés. ¿Cuál es la probabilidad de que saque un dulce
rojo que es su sabor preferido?
a) 1/5b) 17/10c) 17/53d) 5/7
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Resuelve los siguientes problemas:
1. Se lanzan dos monedas. Cuál es la probabilidad de obtener: a) exactamente una cara, b) por lo menos una cara
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2. Elijan una carta de una baraja americana (de 52 cartas) Cuál es la probabilidad de que sea:
a) reina, b) reina o rey, c) rey, reina o carta roja
3. En futbol, van a jugar el Puebla contra el Guadalajara y el América contra el Cruz Azul, la probabilidad de que gane el Puebla es 0.6, de que gane el América 0.3 y de que ganen ambos 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el Puebla o el América o ambos?
EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Resuelvan los siguientes problemas.
1. Una caja contiene 100 fusibles. La probabilidad de que haya al menos un fusible defectuoso es 0.05 y de que haya al menos 2 fusibles defectuosos es 0.01. Cuál es la probabilidad de que la caja contenga: a) ningún fusible defectuoso, b) exactamente un fusible defectuoso, c) a lo más un fusible defectuoso.
2. En un grupo de futbolistas, el 75% son mexicanos y el 40% son mexicanos y son titulares. Si elegimos un jugador al azar y éste es mexicano, ¿cuál es la probabilidad de que sea titular?
3. El señor Pérez viaja en un avión de seis motores para asistir a una importante reunión en París. La probabilidad de que un motor falle es 0.01 y cada uno funciona independientemente de los otros. Si el avión necesita al menos un motor de cada lado para poder volar, ¿cuál es la probabilidad de que el señor Pérez esté ausente de
la reunión a causa de un accidente de su avión?
4. En el juego TRIS durante 9 días seguidos cayó como último número el 8. Si sabemos que el espacio muestral es del 1 al 9, ¿Cuál es la probabilidad de que en el decimo día también caiga el número 8?___________ ¿Qué característica tiene este tipo de evento?_________________________________________________________
Competencias Matemáticas
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EJE TEMÁTICO: MANEJO DE LA INFORMACIÓN
TEMA VI. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOSBLOQUE I BLOQUE II BLOQUE III BLOQUE IV BLOQUE V
Diseño de una encuesta o un expe-rimento e identificación de la po-blación en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas conve-nientes para su presentación.
Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “des-viación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.
ACTIVIDAD 12 “ESTADÍSTICA ELEMENTAL”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Imagina que los siguientes números son tus calificaciones parciales de Matemáticas del año escolar anterior. Determina cuál es el promedio que obtuviste en esta asignatura.
8, 9, 7, 8, 6, 10, 8, 9, 8 y 7
__________________________________________________________________________________
yy ¿De qué otra forma le podemos llamar a este promedio?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy ¿Cómo se les llama a los valores promedio?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
yy ¿Qué medidas de tendencia central conoces?
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
Competencias Matemáticas
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EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen las respuestas que cada uno dio a las preguntas anteriores y si es necesario corríjanlas.
yy Lean con atención la siguiente información y resuelvan los siguientes cuestionamientos:
La media aritmética es lo que conocemos comúnmente como promedio y se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma entre el total de ellos; para el ejemplo anterior, se tiene que:
Cuando en los datos existen valores extremadamente altos o bajos, la media aritmética no representa a los valores de la mayoría de los datos, por ejemplo, si los datos fueran: 6, 8, 8, 7, 4, 215 y 9, la media aritmética es 36.71, este valor queda fuera de la mayoría de datos. En estos casos es mejor utilizar a la mediana como promedio, para obtenerla, se deben ordenar los datos de manera ascendente o descendente, la mediana será el número que se encuentra exactamente a la mitad de los datos, cuando el número de datos es par, la mediana es igual a la media aritmética de los dos datos centrales, para el ejemplo anterior se tiene:
4, 7, 8, 9, 215, por lo cual la mediana = 8, este valor si es representativo de los datos dados.
La moda es otro promedio que se utiliza frecuentemente, se define como el valor o dato que más se repite en la población, por ejemplo, si los datos son: 5, 6, 8, 6, 9, 7, 7, 8, 6, 10, la moda es 6 pues es el dato que más se repite. Puede existir más de una moda.
yy Obténgan las tres medidas de centralización para los siguientes datos:
8 9 9 10 5 12 13 8 8 14
15 10 5 9 14 8 15 11 11 11
12 12 16 6 6 7 8 9 12 12
18 17 3 14 19 6 7 8 9 18
21 9 5 3 6 7 7 8 8 6
14 14 17 20 24 17 4 4 6 8
Competencias Matemáticas
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EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Leen la siguiente información:
Las medidas de centralización muestran un valor representativo de todos los datos, pero no muestran que tan dispersos están los datos con respecto al promedio. Las medidas de dispersión son parámetros que indican que tan cercanos o alejados se encuentran en promedio los datos con respecto a la medida de centralización, por lo general, con respecto a la media aritmética. Las medidas de dispersión más utilizadas son: el rango o recorrido(R), la desviación media, la varianza y la desviación típica o estándar.
El rango es la diferencia entre el mayor y el menor valor de los datos, para los datos de la actividad 1.1, R=10 - 6 = 4
La desviación media, es igual a la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones (diferencias entre cada uno de los datos y la media aritmética), para el mismo ejemplo, se tiene:
Datos (x) Valor absoluto de la
diferencia de (x - x )
La media aritmética de las desviaciones es:(0+1+1+0+2+2+0+1+0+1)/10 =8/10 = 0.8Por lo tanto, la desviación media DM es 0.8Y podemos escribir la siguiente fórmula.
8 0
9 1
7 1
8 0
6 2
10 2
8 0
9 1
8 0
7 1
yy Calcúla las medias de dispersión para los datos del ejemplo.
Datos (x)Valor absoluto de la
diferencia de (x - x )Rango:
Media:
Mediana:
Moda:
8 0
9 1
7 1
8 0
6 2
10 2
8 0
9 1
8 0
7 1
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ACTIVIDAD 13 “DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Y MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN”
EJERCICIO 1 Tiempo: 15 minutos
yy Ordena los datos en forma ascendente (o descendente), responde las preguntas y completa la tabla de frecuencias:
20 5 12 8 8 9 11 13 15 183 6 7 4 15 9 12 8 8 188 6 7 8 9 10 5 14 16 194 6 14 14 9 10 12 7 17 3
12 6 7 8 9 21 12 14 8 115 6 8 17 9 11 6 14 17 24
1. El rango es: _____________________
2. El intervalo es: ________________________
3. La distribución de frecuencias es:
Intervalos Frecuencia
3 – 6 13
11 – 14 14
15 -18 8
23 -26
EJERCICIO 2 Tiempo: 15 minutos
yy Comparen sus respuestas a los ejercicios y si es necesario corríjanlas.
yy Completen los datos que hacen falta en la tabla y después encuentren las medidas de centralización (Mediana,
Media y Moda)
Intervalos Intervalos reales Marcas de clase frecuencia Xj fj
6 - 10 5.5 – 10.5 8 6 48
10.5 – 15.5 13 7
16 – 20 15.5 – 20.5 5 162
21 – 25 23 115
26 – 30 25.5 – 30.5 28 6 168
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N = 33 ∑ = 584
La media aritmética es:
_____________________________AYUDA: Obtenemos la quinta columna de la tabla, multiplicando las marcas de clases por sus respectivas frecuencias (Xj fj ) y calculamos la suma.
La mediana es:
_____________________________ AYUDA: Primero determinamos cúal es la clase mediana, dividimos 33/2 = 16.5 y buscamos en cuál clase cae este dato, éste corresponde a la tercera clase, pues en la segunda se agrupa hasta el dato 13 (6+7) y en la tercera se agrupa del dato 14 hasta el 18 (6+7+5).
La moda es:
_____________________________AYUDA: Determinamos la clase modal (donde está la frecuencia más alta) ésta es la cuarta clase.
EJERCICIO 3En plenaria, como indique el o la docente, expongan o compartan las respuestas, ideas o conclusiones de los ejercicios anteriores y respondan o realicen lo que se indica.
Tiempo: 15 minutos
yy Obténgan de manera conjunta, las tres medidas de centralización para los siguientes datos:
Intervalos Intervalos reales Marca de clases Frecuencia
3 – 6 2.5 – 6.5 4.5 13
7 – 10 6.5 - 10.5 8.5 21
11 – 14 10.5 – 14.5 12.5 14
15 -18 14.5 – 18.5 16.5 8
19 – 22 18.5 – 22.5 20.5 3
23 -26 22.5 – 26.6 24.5 1
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47
La media aritmética es:
_____________________________
La mediana es:
_____________________________
La moda es:
_____________________________
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BIBLIOGRAFÍA 1. SEP. Acuerdo 592. Por el que se establece la Articulación de la Educación Básica. México 2011. 630 págs.
2. SEP. Programas de Estudio 2011. Guía para el Maestro. Matemáticas Tercero de Secundaria. México, 2011. 153 págs.
3. MIRO Ricardo. Números combinatorios y probabilidades. Ed. Limusa. Argentina 2006. 155 págs.
4. SPIEGEL R. Murray. Estadística. Ed. McGraw – Hill, serie de compendios Schaum. México 1981, 357 págs.
5. STEVENSON J. William, Estadística para administración y economía, Ed. Harla, México 1978, 585 págs.
6. ZUWAYLIF H. Fadil, Estadística general aplicada, Ed. Addison Wesley Iberoamericana, México 1990, 433 págs.
7. http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_961546552/Recta.html
8. BALDOR J. Aurelio, Geometría plana y del espacio: con una introducción a la trigonometría, Ed. Cultura Centroamericana, México 1947, Pp. 423
9. FIGUERAS M. Olimpia, Geometría Euclidiana II, Ed. Fondo educativo interamericano, México 1967, 11 págs.
10. FUENLABRADA DE LA VEGA TRUCIOS Samuel, Geometría y Trigonometría, Ed. Mc Graw Hill, 2ª edición, México 2000, 209 págs.
11. LANDAVERDE Felipe de Jesús, Curso de geometría para secundaria y preparatoria, Ed. Progreso, 6ª edición, México 1970, 390 págs.
12. STANLEY R. Clemens, Geometría, Versión en español de Addison Wesley Longman, Ed. Pearson Educación, México 1998, 600 págs.
13. http://mx.encarta.msn.com/encyclopedia_961546552/Recta.html
14. http://www.macrobar.com.ar/mensajes.php?idpost=8396#P8396
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