Cosmología
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Papel de la RG en cosmología A la escala más grande, la gravedad gobierna la estructura y evolución del
universo. Se trata de explicar las siguientes OBSERVACIONES:
COMPOSICIÓN DEL UNIVERSO Estrellas, gas y polvo en estructuras ligadas gravitatoriamente (galaxias,
cúmulos). Materia oscura (¿hecha de neutralinos o de otras cosas?) Radiación difusa (fondo en diferentes dominios espectrales) Energía de vacío (energía oscura, quintaesencia, ...)Llamaremos [materia] radiación a las partículas con masa en reposo [no] nula
(fotones, gravitones, a veces incluiremos neutrinos)
EXPANSIÓN DEL UNIVERSO
MAPA DEL UNIVERSO A GRAN ESCALAUniverso isótropo y homogéneo (densidades uniformes de galaxias, radiación y
energía de vació)
Composición del universo Galaxias (estrellas, gas y polvo)
~1011 estrellas, ~1012 Msol, ~1011 galaxias en nuestro universo visible
densidad de materia visible hoy (t0) ~ 10- 31 g/cm3
Radiación difusa (no agrupada en grumos ligados gravitatoriamente) CBR:cuerpo negro con T=2.725K, evidencia del Big Bang Otros fondos menos densos
Materia oscura (la mayor parte de la materia)Velocidad radial esperada
V(r) medidas implican halo de materia oscura ~10 MvisPosible localización: BH, estrellas débiles, nuevos tipos de
partículas: WIMPs, neutralino, ... Energía de vacío (energía oscura)
Incluso el espacio vacío puede tener densidad de EConstante aditiva: no cambia Newton pero curva ET en RGCurvatura resultante detectable por su efecto en expansión
mvis t 0~10−31 g/cm3
CBR t0~10−34 g /cm3
G M r
r2=
V 2r
r⇒V r ~r−1 /2 r≥Rvis
Expansión del universo Redshift cosmológico de galaxias fuera del Grupo Local
se puede interpretar como “efecto Doppler en ET plano”
Para galaxias: suficientemente cercanas para que efecto de curvatura
ET no sea importante y el universo no se haya expandido significativamente durante viaje de luz
y suficientemente lejanas para que la velocidad de expansión domine velocidades locales adquiridas por atracción gravitatoria con galaxias vecinas
Se observa (Práctica 1) que:
Pero ley (relación fenomenológica) de Hubble no implica que la Vía Láctea sea el centro del universo (pastel pasas)
Se puede usar para medir las distancias más lejanas Suponiendo v=cte: pero las
velocidades de las galxias han debido cambiar por dinámica gravitatoria (y no había galaxias al principio)
z≡
=vc
v≪c
V ∝d , V =H 0dH0=72±7km / s/ Mpc
t H≡1 / H0~14×109años
La escalera de distancias
108años-luz1010109107106
100000100 1000 1000010
Universo observable
Vía Láctea
Grupo local de galaxias
Supercúmulo local de galaxias
Paralaje
candelas Cefeidas
Supernovas
ley de Hubble
Usamos candelas estándar hasta ~350 Mpc para hallar H0. Después usamos Ley de Hubble con el H0 conocido para hallar distancias
cosmológicas, que hará falta corregir de la curvatura del ET y su evolución en el tiempo.
Mapas del universo (radiación) Estructura a gran escala:
ISOTROPÍA y HOMOGENEIDAD Mapas D,T vs posición angular
ISOTROPÍA (mapa de radiación)t ~ 300 000 años: recombinación da materia neutra
y transparente (H, He)T~ 3000 K CBR enfriado hoy hasta 2.73 KCOBE, WMAP: la imagen más cercana al Big Bang anisotropía mK: movimiento del sistema solar
respecto del SR en el que la radiación es casi perfectamente isótropa
anisotropía microK: radiación de nuestra propia Galaxia
anisotropía 10-7K: fluctuaciones que hicieron posible la formación de cúmulos y galaxias
Mapas del universo (materia) HOMOGENEIDAD (mapa de galaxias) Rastreos SDSS, 2dF: posición y espectro
de muchas galaxias
Se observa (Práctica 2) estructura de vacíos (voids), filamentos y paredes pero a una escala mayor el universo se muestra homogéneo (no parece que estemos en un lugar especial)
z≥0.02
Modelos cosmológicos
Métricas de espacio-tiempos isótropos y homogéneos (FRW) z cosmológico, factor de escala y constante de Hubble Densidades de materia, radiación y energía oscura Evolución para modelos FRW espacialmente planos Big Bang, edad y tamaño del universo Evolución para modelos FRW con curvatura espacial (abiertos o cerrados) Dinámica del universo: densidad crítica, soluciones y parámetros cosmológicos
Métricas FRW Modelos cosmológicos más simples: materia y radiación como fluído con
distribución de densidad uniforme en el espacio. Isotropía y homogeneidad son simetrías del espacio (no del ET): familia de
proyecciones (rodajas) espaciales tridimensionales cuya peculiaridad es tener una geometría espacial isótropa y homogénea.
Su métrica más general contiene un subespacio 3D puramente espacial (iso+homo, con o sin curvatura) independiente del tiempo:
El factor de escala depende únicamente del tiempo (es creciente si el universo se expande). Si obedece a la Ecuación de Einstein, tenemos un modelo de Friedman-Robertson-Walker.
La métrica más simple no tiene curvatura (RW espacialmente plana):
Coordenadas comóviles (x,y,z): toda galaxia las mantiene invariables porque si no habría direcciones privilegiadas; para la radiación, este sistema en reposo es aquél en el que la temperatura del CBR no muestra anisotropía dipolar.
Distancia comóvil entre dos galaxias: Distancia física:
ds2=−dt 2a2 t d 2
d 2=dX 2dY2dZ2
dco= x2 y2 z2
d t =a t dco
Relación z, a(t), H(t) Redshift cosmológico: cambio en la energía de un fotón (quieto en SR comóvil)
debido a la dependencia temporal a(t). Ej.: emisor en r=R y receptor en r=0
Luz propagada radialmente:
Pulso corto respecto tiempo de viaje:
Galaxia cercana (recepción en t0)Su luz tarda en llegarnos
Ley de Hubble (galaxias cercanas)
Tiempo de Hubble es cota inferior de edad univ. si A menudo se usa
ds2=−dt 2a2 t [dr2r2d 2sen2 d
2]
0=−dt2a
2t dr
2⇒ dr =
dtat
⇒ R=∫t e
t o dta t
e=2/dt e , dt e≪t e , dto≈dt e
∫t edt e
t odto dta t
≈∫t e
t o dtat
=R ⇒dt o
at o−
dt e
at e=0 ⇒
e
o
=at o
at e =
o
e
=1z
d t 0=a t 0 dco
t 2≈a2t 0dco2 ... d= t=t 0−t e
e
0=
at e
at 0=
a t0−d
at 0≃1−
at 0
at 0d
a t 0−d ≃a t 0− at 0d
z=a t0
a t0d H0≡H t0≡
a t0
a t0
a t0h≡ H 0/100
Primera ley termodinámica Materia y radiación interaccionaron en el origen del universo pero después han
evolucionado de manera independiente. El fluido de galaxias se puede modelizar como un gas sin presión puesto que su
energía térmica (movs. aleatorios ~ 100 km/s) es despreciable frente a su masa en reposo.
Por homogeneidad, sólo dependen del tiempo, relación con a(t).
PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICANo hay flujo espacial de calor (por homogeneidad)
m ,r ,
dE=d V =dQ− pdV =− pdVV =a3t V co
x , y , z V co≠ f t
d a3V co
dt=−p
d a3V co
dt⇒
ddt
[t a3t ]=− pt ddt
[a3t ]
Densidades de energía MATERIA (pm=0)
RADIACIÓNGas cuerpo negro ( ) fuerza/área = energía/volumen
Como sabemos (Stefan-Boltzmann-Planck) que QQ Calcular cuándo estuvo el universo dominado por radiación
ENERGÍA OSCURA (la única que no decrece con expansión)Ni signo ni valor conocidos. La suponemos constante en espacio y tiempo.
(hace falta trabajo para expandir)
ddt
m a3=0 m a3=cte ⇒ m t =mt 0[ at 0
a t ]3
pr=13
r
ddt
r a3=−r
3ddt
a3 ⇒43
rda3
dta3
d r
dt=0 ⇒4r a3
dadt
a4d r
dt=0=
d r a4
dt
r a4=cte ⇒ r t =r t0[ at 0
a t ]4
r ∝T 4 ⇒ T t =T t 0at 0
a t a t 0/a t
=cte ⇒ p=−
Evolución en modelos planos Partimos, sin deducirla, de una consecuencia de la Ec. Einstein:
Ecuación de Friedman para universos espacialmente planos
Evaluándola en el momento actual se obtiene la densidad crítica:
Las fracciones relativas actuales serán:
Y para los modelos planos ( ): Soluciones a(t), k a(t) indistinguibles. Normalizaremos eligiendo:
que deja la ecuación de Friedman en una forma que recuerda a la de una partícula de energía nula en un potencial newtoniano unidimensional:
R −12
g R=8G T ⇒ a2−8
3a2=0
H 02−8
3=0 ⇒ cr≡
3H02
8=1.88×10−29h2 g /cm3
m≡m0
cr
; r≡r0
cr
; ≡0
cr
≡mr=1=cr
a t 0≡1 ⇒ a=cr m
a3
r
a4
12H0
2 a2U ef a=0 , U ef a≡−12 m
a
r
a2a2
Soluciones Caso
Dom-Mat
Dom-Rad
Dom-Vac
Ilustrativo
QQ Comprobar y representar Rad decae más rápidamente que Mat
[m ,r , ;a t ]
[0,1,0; tt 0
1 /2
][0,0,1; e
H t −t0 ]
[1,0,0 ; tt 0
2 /3
]
[ 13 ,13
,13 ]
Edad y tamaño del universo Big Bang a(t)=0: singularidad , explosión en todo el espacio en un
instante dado (t=0). Edad (t0) del orden del tiempo de Hubble (con corrección por aceleración) Tamaño: infinito si universo FRW plano. Volumen de rodaja espacial plana con
t=cte es infinito. Radio espacial del universo observable (región de la que podemos recibir info)
Coordenadas ET en las que luz se mueve en ldm de pendiente unidad (conformal)
Para luz radial Máximo radio comóvil visible desde : Distancia al horizonte cosmológico:
Dom-Mat
Dom-rad
m=∞=r
R≈d H≡c t H=2998 h−1 Mpc
dt=at d ⇒ ds2=a2[−d 2dr2r2d
2sen2 d
2]
ds2=a2−d 2dr2=0
rhor t =∫0
t0 dt 'a t '
dhor t =a t rhor t =at∫0
t dt 'at '
a t = tt 0
2 /3
⇒ dhor t =3t
a t = tt 0
1 /2
⇒ dhor t =2t
dhor t 0≃14Gpc
Espacios FRW curvados
d 2=d2sen2d 2sen2d 2
d 2=dx2dy2dz2
d 2=d2senh2d 2sen2d 2
X =sen sencosY =sen sen sen Z =sen cos
W=cos
ds2=dW 2dX 2dY 2dZ 2
X =senh sen cosY =senh sen sen Z =senh cos
T =cosh
ds2=−dT 2dX 2
dY 2dZ2
W 2 X2
Y 2Z2=1
−T 2 X2Y 2Z2=−1
0≤≤
ds2=−dt 2a2 t [ d2 2 d 2sen2d 2 ]sen2
senh2
sen
senh r≡
1
−1K= 0ds2=−dt 2a2 t [ dr2
1− Kr2r2d
2sen2 d
2]
Extensión de 2-esfera a 3-esfera (pasando de 2 a 3 ángulos polares)
CPA
CPA
C
P
A
Generalizamos Ec. Friedman (conexión evolución temp. con geometría esp.)
Los parámetros (cosmológicos) determinan si el universo es cerrado, plano o abierto.
no se puede medir localmente
Renormalización a variables adimensionales:
Evolución en modelos curvados a2−8
3a2=−K
H 02−8 03
=−Ka02 ⇒
3H02
8−0=
−38a0
2 K
0cr =3H0
2
8 ⇒ K0
0cr =3H0
2
8 ⇒ K0H 0 ,0
≡0/cr ⇒ = 1 1
1
a0≡a t 0 ⇒ a t ≡a t a0
=11z
t ≡t
t H
=t H 0 r t =r t 0[ at 0
a t ]4
=r cr
a4t
cur≡−K
H0a02 ⇒ 1−
80
3H02 =
−KH 0a0
2=cur
1=8 0
3H02 cur=
0cr
⇒ mrcur=1
12 d a
d t 2
U ef a=cur
2, U ef a≡
−12 m
a
r
a2 a2
C
A
Ecuación de Friedman renormalizada
Secuencia de soluciónH 0 ,m ,r ,
∫d a
cur−2 U ef
=∫ d t
H 0 t ta0 cur=
−K
H 0a02
a t =1
H 0∣cur∣aH 0 t
a=1
t 0=t 0H0
t 0
a t =a t
a t 0=1 si t=t 0
1) Especificar los 4 parámetros cosmológicos: 2) Resolver (numéricamente) la Ecuación de Friedman renormalizada con las 3
omegas:
3) Deshacer la renormalización usando para pasar de y hallando gracias a:
con lo que hemos obtenido la evolución a(t).
4) Hallar nuestra localización temporal buscando cuándo ya que:
Pasamos al momento no renormalizado
Es decir, los 4 parámetros determinan la edad actual del universo y su evolución.