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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 1 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Convolucion discretaConvolucion discreta
Setiembre de 2010
Procesamiento Digital de Señales
Licenciatura en Bioinformática
FI-UNER
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 2 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Organización
1 Convolución
2 Deconvolución
3 Autocorrelación
2
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 3 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
y[n]x[n]h[n]
x[n]: entrada al sistema.
h[n]: respuesta al impulso del sistema.
y[n]: salida del sistema a la entrada x[n].
Sistema LTI
DefiniciónDefinición
Convolucion
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AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
x1[n] → y1[n]
x2[n] → y2[n]
a.x1[n] + b.x2[n] → a.y1[n] + b.y2[n] Linealidad
x[n]→ y[n]
x[n-k] → y[n-k]Invariancia temporal
DefiniciónDefinición
Convolucion
Propiedades de sistemas LTIPropiedades de sistemas LTI
3
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 5 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
x[n]
n
∑∞
−∞=
−δ=k
]kn[].k[x]n[x
DefiniciónDefinición
Convolucion
Sumatoria de impulsosSumatoria de impulsos
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 6 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
∑−
=
−=1
0
)][()()(N
k
knhkxny
DefiniciónDefinición
Convolucion
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 7 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
• Conmutativa
si existe x ∗ y → x ∗ y = y ∗ x
• Asociativa
si existe (x ∗ y) ∗ z → (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)
• Distributiva
si existen x ∗ y y x ∗ z → x ∗(y+z) = x ∗ y + x ∗ z
• Conmutativa con respecto al producto por un escalar
si existe x ∗ y → a.(x ∗ y) = (a.x) ∗ y = (a.y) ∗ x
PropiedadesPropiedades
Convolucion
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 8 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Sistema: y[n] = 0,5. y[n-1] +2. x[n]
Entrada: x[n] = [1, 2, 2]
x[n]h[n]
1
2 2 2
1
0,5
n n
CálculoCálculo
Convolucion
n
5
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AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
• Multiplicación término a término
• Sumatoria de convolución
• Matricialmente
CálculoCálculo
Convolucion
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 10 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
CálculoCálculo
h[n]
h1[n] = h[n-1].x[1] = [0, 4, 2, 1, 0]
h2[n] = h[n-2].x[2] = [0, 0, 4, 2, 1]
x[n]
x [1].δ[n-1]
x[2].δ[n-2]
x [0].δ[n]
y[n] = h0[n] + h1[n] + h2[n]
y[n] = [2, 5, 6.5, 3, 1]
h0[n] = h[n].x[0] = [2, 1, 0.5, 0, 0]
Convolucion
Multiplicación término a términoMultiplicación término a término
6
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 11 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
CálculoCálculo
y[-2] = x[-n-2] . h[n] = 0
y[-1] = x[-n-1] . h[n] = 0
y[0] = x[-n] . h[n] = 2
y[1] = x[1-n] . h[n] = 5
y[2] = x[2-n] . h[n] = 6.5
y[3] = x[3-n] . h[n] = 3
y[4] = x[4-n] . h[n] = 1
y[5] = x[5-n] . h[n] = 0
y[6] = x[6-n] . h[n] = 0
x[-n]
x[1-n]
x[2-n]
x[3-n]
x[4-n]
h[n]
Convolucion
Sumatoria de convoluciónSumatoria de convolución
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 12 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
y[0] = h[0].x[0]
y[1] = h[1].x[0] + h[0].x[1]
y[2] = h[2].x[0] + h[1].x[1] + h[0].x[2]
y[3] = h [3].x[0] + h[2].x[1] + h[1].x[2] + h[0].x[3]
...
(0) (0) 0 0 0 .. (0)
(1) (1) (0) 0 0 .. (1)•
(2) (2) (1) (0) 0 .. (2)
...... ................................. .......
y h x
y h h x
y h h h x
=
y = H.x
CálculoCálculo
Convolucion
MatricialMatricial
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 13 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
TF
x(t) ∗ y(t) → X(f) . Y(f)
TDF
x[n] ∗ y [n] → X [k] . Y[k]x
Convolucion circularConvolucion circular
Convolucion
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 14 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
h[n]xp[-n]
n
xp[1-n]
n
xp[2-n]
xp[3-n]
y[-2] = xp[-n-2] . h[n] = 6.5
y[-1] = xp[-n-1] . h[n] = 3
y[0] = xp[-n] . h[n] = 3
y[1] = xp[1-n] . h[n] = 5
y[2] = xp[2-n] . h[n] = 6.5
y[3] = xp[3-n] . h[n] = 3
y[4] = xp[4-n] . h[n] = 3
y[5] = xp[5-n] . h[n] = 5
y[6] = xp[6-n] . h[n] = 6.5n
n n
Convolucion circularConvolucion circular
Convolucion
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 15 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
x1[n] → N muestras
x2[n] → N muestras
x1m[n] → N+(N-1) ceros
x2m[n] → N+(N-1) ceros
x1[n] → x1m[n] → X1m[k]
→ X1m[k].X2m[k] → x1m[n] x2m[n] → x1[n] ∗ x2[n]
x2[n] → x2m[n] → X2m[k]
Convolucion circularConvolucion circular
Convolucion
Convolucion lineal vía TDFConvolucion lineal vía TDF
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 16 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Problema inverso
Identificación
Control
h [n] ?y [n]x [n]
h [n]y [n]x [n] ?
DefiniciónDefinición
Deconvolucion
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 17 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
h [n]
x [n]
h-1 [n]
DefiniciónDefinición
Deconvolucion
y[n] = x[n] ∗ h[n] x[n] = y[n] ∗ h-1[n]
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 18 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
• Matricialmente
• División término a término
• Vía Transformada Discreta de Fourier
CálculoCálculo
Deconvolucion
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 19 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Identificación: y[n] = X[n].h [n] → h [n] = X [n] -1..y[n]
Control: y[n] = H[n].x[n] → x[n] = H[n] -1.y[n]
CálculoCálculo
Deconvolucion
MatricialMatricial
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 20 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
2 5 6.5 3 1 2 1 0.5
2 5 6.5 3 1 2 1 0.5
Derecha a izquierda:
Izquierda a derecha:
y[n] h[n]
y[n] h[n]
CálculoCálculo
Deconvolucion
División término a términoDivisión término a término
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 21 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
x[n] N muestras ⇒ X[k] N muestras
h[n] M muestras ⇒ H[k] M muestras
y[n] N+M-1muestras ⇒ Y[k] N+M-1 muestras
Convolucion circular
CálculoCálculo
Deconvolucion
Vía TDFVía TDF
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 22 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Paso 1: calcular la respuesta al impulso del sistema inverso h-1[n]
Paso 2: modificar h-1[n] agregando N-1 ceros
Paso 4: multiplicar Y[k] con H-1[k]
Paso 3: calcular H-1[k]
Paso 5: antitransformar con TDFI
CálculoCálculo
Deconvolucion
Vía TDFVía TDF
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 23 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
h [n]
y[n] = -0,8231.y[n-2] + 1,7959.y[n-1] + 0,0272.x[n]
y [n]x [n]
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 24 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
x[n]
h[n]
y[n]
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 25 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 26 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
r[n]
x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
Ruido en la entradaRuido en la entrada
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 27 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
r[n]
x[n] y[n] xd[n]h[n] -1h[n]
r[n]= sin(2.π.1.T)
r[n]= sin(2.π.5.T)
r[n]= sin(2.π.10.T)
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
Ruido en la salidaRuido en la salida
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 28 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Efectos del ruidoEfectos del ruido
Deconvolucion
Ruido en la salidaRuido en la salida
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 29 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Electroencefalograma
Electromiograma
Potenciales evocados
auditivos
DefiniciónDefinición
Autocorrelación
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 30 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Proceso aleatorio
)]2t(X)1t(X[E)(xx =τγ , τ = t2 - t1
t1 t2
X1[n]
X2[n]
XM[n]
DefiniciónDefinición
Autocorrelación
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 31 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Asumiendo que X(n) es estacionario y ergódico
∫∞
∞−
∗ τ+=τ dt)t(x)t(x)(Rxx
[ ] [ ]∑∞
−∞=
∗+=
nxx knx.nx)k(r
Función de autocorrelación
[ ] [ ]∑∞
−∞=
∗+=
n
xy kny.nx)k(r
∫∞
∞−
∗ τ+=τ dt)t(y)t(x)(R xy
Función de correlación cruzada
DefiniciónDefinición
Autocorrelación
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 32 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Espacio de señales + Producto interno
[ ] [ ]∑−−
=
+=1mN
0n
knxnxN
1)k(xxr , para 0 ≤ k ≤ N-1
[ ] [ ]∑∞
−∞=
+=
n
knxnx)k(xxr , para -∞ ≤ k ≤ ∞
InterpretaciónInterpretación
Autocorrelación
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 33 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
• x[n], y[n] son reales ⇒ rxx(k), ryy(k), rxy(k) son reales.
• |rxx(k)| ≤ rxx(0)
• si x[n] = x[n+T], T ∈ N ⇒ rxx(k) = rxx(k+T)
• rxx(k) = rxx(-k)
• rxy(k) = ryx(-k)
PropiedadesPropiedades
Autocorrelación
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 34 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
Medición de tiemposMedición de tiempos
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 35 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
Detección de señalesDetección de señales
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 36 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 37 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
0 0 . 0 2
0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 1 1 . 2 1 . 4
T i e m p o ( s e g )
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
2
2 . 5
3
Am
pli
tud (
mV
)
Artefacto del estímulo Onda MSEMG voluntario
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
Detección de señalesDetección de señales
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 38 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
Extracción de señalesExtracción de señales
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 39 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
2
22
2
1τ=ττ= π−
−
π−
−∫∫ d.e).t(x
Td.e).(R)f(P ftj
To
Too
ftjTo
To
xxxx
Teorema de Wiener – Khintchine
Método de Bartlett
Método de Welch
Método de Blackman - Tukey
[ ]∑−
−−=
π−=1
1
2N
)N(m
mfjxxxx e.mr)f(P
AplicacionesAplicaciones
Autocorrelación
Estimación espectralEstimación espectral
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 40 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
[ ] [ ]∑∞
−∞=
+=
n
xy kny.nx)k(r Correlación cruzada de y[n] y x[n].
∑∞
−∞=
−=
k
xy ]kn[y].k[x]n[conv Convolución lineal de y[n] y x[n].
Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion
Autocorrelación
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Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 41 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Paso 1: desplazamiento de una secuencia.
Paso 2: producto de las secuencias.
Paso 3: suma de la secuencia producto.
Correlación
Paso 1: reflejar una de las secuencias.
Paso 2: desplazamiento de una secuencia.
Paso 3: producto de las secuencias.
Paso 4: suma de la secuencia producto.
Convolución
rxy(k) = x(k)∗y(-k)
Correlación - ConvolucionCorrelación - Convolucion
Autocorrelación
Procesamiento Digital de Señales Convolucion discreta Septiembre de 2010 42 / 42
AutocorrelaciónConvolución Deconvolución
Fin de la claseFin de la clase