Download - Control Moderno y Sus Aplicaciones
-
CONTROL MODERNO Y
SUS APLICACIONES Tercer evaluacin.-Exposicin de la resolucin del problema B
12.9
Pndulo invertido
Integrantes:
Carrasco Lpez Abigail
Carreo Ramrez Pablo
Cruz Velzquez Marco A.
De la Luz Gonzlez Eder
-
ESTUDIO DEL PNDULO INVERTIDO Un pndulo es uno de los juguetes ms bsicos para experimentar los conceptos de periodo y gravedad. Qu sucede si la masa se une a una barra rgida y se pone al revs? Entonces se obtiene un pndulo invertido, un sistema aparentemente inestable que es un ejemplo clsico para el control automtico.
-
Una de las claves del pndulo invertido es intentar controlar el movimiento de la masa moviendo el otro extremo de la barra. En el ejemplo del carrito se demuestra que la barra se puede mantener en posicin vertical para una perturbacin dada lo suficientemente pequea.
Existe otra posibilidad, la de mantener la barra en posicin vertical moviendo la base del pndulo tambin con una trayectoria vertical como se muestra en la figura siguiente
Esquema de un pndulo invertido con
movimiento vertical.
-
En este caso, la masa tiene la siguiente posicin:
, +
Y la siguiente velocidad:
( , + )
La lagrangiana del sistema es entonces:
=1
2( 2 + 2 + ^2^2) ( + )
-
Y la ecuacin del movimiento:
El paso siguiente es suponer que el ngulo se mantiene
pequeo en cualquier instante.
Supuesto un movimiento armnico de la base del pndulo
,obtener el valor del parmetro para el que el pndulo deja
de ser estable.
-
Nota
Las condiciones iniciales del problema son importantes.
Este sistema se encuentra en una posicin de equilibrio
inestable en , esto significa que si el sistema no se
perturba en absoluto seguir indefinidamente en dicha
posicin. En este caso cualquier perturbacin, tanto en
velocidad como en desplazamiento, ser suficiente para
sacar el sistema de su equilibrio pero podra suceder que
fuera tan pequea que no lo notara.
El sistema puede atenuar, mantener o amplificar la
perturbacin dependiendo de su propia naturaleza pero
debemos tener muy en cuenta que la solucin final
depender de las condiciones iniciales y de la perturbacin
elegida.
-
SISTEMAS MECNICOS
PROBLEMA B-12.9
-
Sea el sistema del pndulo invertido que se muestra. Suponga que
M= 2kg m=0.5kg l=1m
Defina las variables de estado como
x1 =0, x2 = , x3 =x, x4 = Y las variables de salida como:
y1 =0=x1 , y2 =x =x3
Obtenga las ecuaciones en el espacio de estados para este sistema.
Se quiere tener polos en lazo cerrado en:
S=-4+j4, s=-4-j4, s=-20, s=-20
Determine la matriz de ganancias de realimentacin del estado K.
Usando la matriz de ganancias de realimentacin del estado K determinada de este modo, examine el comportamiento del sistema mediante una simulacin en computador. Escriba el programa en MATLAB para obtener la respuesta del sistema a una condicin inicial arbitraria.
Obtenga las curvas de respuesta x1 (t) respecto a t,x2 (t) respecto de t,x3 (t) respecto de t y x4 (t) respecto a t para el siguiente conjunto de condiciones iniciales:
x1(0)=0, x2 (0)=0, x3 (0)=0, x4 (0)=1m/s
-
La ley fundamental que controla los sistemas mecnicos
es la segunda ley de Newton(F=ma),que se aplica a cualquier
sistema mecnico.
Considere el sistema de control del pndulo invertido. En este
ejemplo se est interesado en los movimientos del pndulo y en
el movimiento del carro en el plano de la pgina.
Se desea mantener el pndulo invertido lo ms cercano posible
a la vertical y al mismo tiempo controlar la posicin del carro; por
ejemplo, moverlo sbitamente de un punto a otro.
-
Para controlar la posicin del carro es necesario construir
un servosistema de tipo 1.El sistema del pndulo invertido
montado en un carro no tiene un integrador. Por lo tanto
,se realimenta la seal de posicin y ( que indica la
posicin del carro) a la entrada y se inserta un integrador
en el camino directo.
-
Las ecuaciones del
movimiento para el
sistema
Simplificando se
obtiene
Tomando la
transformad
a de Laplace
con C.I
nulas
-
Si se resuelve la ecuacin. Para x1
se obtiene
De donde
se sigue:
Funcin de transferencia
X1
-
De las ecuaciones
anteriores se obtiene
Funcin de transferencia
X2
-
RESOLUCIN
Se supone que el ngulo del pndulo y la velocidad
angular son pequeos, por lo que
Cos 1
^2 0
Tambin se supondr que los valores numricos para M,m
y l estn dados por:
M=2kg, m=0.5kg, L=1m
-
RESOLUCIN
Ecuacin 1 umlxmM )(
Ecuacin 2 mglxmlml 2
lgx
ml
mlmglx
mlmglxml
mglxmlml
2
2
2Despejamos ecuacin 2
-
Sustituimos en 1
Ml
ugmM
ugmMMl
gmMuMl
uMlgmM
uMlmgMg
umlmlMlmgMg
umllgmM
umlxmM
)(
)(
)(
)(
))((
)(
-
Sustituimos nuevamente en 2
M
mgux
M
mgMguMgx
M
gmMuMgx
M
gmMugx
M
ugmMgx
Ml
ugmMlgx
)(
)(
)(
)(
-
Acomodamos en la ecuacin caracterstica tal que las matrices estn en su
forma cannica controlable
4
3
2
1
2
1
1
1
4
3
2
1
4
3
2
1
0100
0001
0
0
00081.9
1000
00081.9
0010
x
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
x
x
x
x
BuAxx
M
Ml
Mm
mlmM
-
Sustituimos los valores de las masas, la longitud y la gravedad
4
3
2
1
2
1
21
)1)(5.0(1
4
3
2
1
25.0
)1)(5.0(5.02
4
3
2
1
0100
0001
0
0
000
1000
000
0010
x
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
g
g
x
x
x
x
BuAxx
-
4
3
2
1
2
1
21
)1)(2(1
4
3
2
1
25.0
)1)(2(5.02
4
3
2
1
0100
0001
0
0
00081.9
1000
00081.9
0010
x
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
x
x
x
x
BuAxx
-
ux
x
x
x
x
x
x
x
5.0
0
5.0
0
0004525.2
1000
0002625.12
0010
4
3
2
1
4
3
2
1
-
Por lo tanto obtenemos las matrices A y B de la siguiente manera
5.0
0
5.0
0
0004525.2
1000
0002625.12
0010
B
A
-
Ahora obtenemos la matriz de ganancias K a partir de los polos deseados
utilizando el siguiente programa en matlab
A=[0 1 0 0; 12.2625 0 0 0; 0 0 0 1; -2.4525 0 0 0];
B=[0; -0.5; 0; 0.5];
J=[-4+j*4 -4-j*4 -20 -20];
K = acker(A,B,J)
Obtenemos K
K =
1.0e+03 *
-4.1381 -1.0094 -2.6096 -0.9134
-
Para obtener la respuesta del sistema, debemos obtener
Kxu
De la siguiente manera
4567.03048.15047.03835.0
0000
4567.03048.15047.01935.10
0010
4567.03048.15047.00690.2
1000
4567.03048.15047.00690.2
0000
0004525.2
1000
0002625.12
0010
9134.06096.20094.11381.4
5.0
0
5.0
0
0004525.2
1000
0002625.12
0010
)(
x
x
x
xBKAx
BuAxx
-
% Respuesta a condicin inicial
% este programa obtiene las respuestas del sistema
% dot = (Ahat)x da la condicin inicial x(0)
%88 ingresamos las matrices A,B and K to produce matrix
A = [0 1 0 0; 12.2625 0 0 0;0 0 0 1;-2.4525 0 0 0];
B = [0; -0.5; 0; 0.5];
K = [-4138.1 -1009.4 -2609.6 -913.4];
AA = A-B*K;
% ingresamos la condicin inicial de la matriz BB = Bhat
BB = [0; 0; 0; 1];
[x,y,t] = step(AA, BB, AA, BB);
x1 = [1 0 0 0]*x';
x2 = [0 1 0 0]*x';
x3 = [0 0 1 0]*x';
x4 = [0 0 0 1]*x';
-
% plot respuesta a curvas x1 contra t , x2 contra t , x3
a t y x4 a t en un diagrama
subplot (2,2,1);
plot(t,x1);grid
title('x1(theta) contra tiempo')
xlabel('t sec')
ylabel('x1 = theta')
subplot(2,2,2);
plot(t,x2);grid
title('x2(theta punto) contra tiempo')
xlabel('t Sec')
ylabel('x2 = Theta punto')
-
subplot(2,2,3);
plot(t,x3);grid
title('x3 (theta punto) contra tiempo')
xlabel('t Sec')
ylabel('x3 = Desplazamiento del carro')
subplot(2,2,4);
plot(t,x4);grid
title('x4(Velocidad de carro) contra tiempo')
xlabel('t Sec')
ylabel('x4 = Velocidad de carro')
-
G r a c i a s p o r s u a t e n c i n