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Control II Captulo 3: Diseo de Sistemas de Control en Espacio de Estado
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M. SC., Ing. Ral Benites Saravia
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Captulo 3
Diseo de Sistemas de Control en
Espacio de Estado
3.1 Introduccin
En la teora de control convencional o clsica, slo se consideran importantes las seales de
entrada, de salida y de error; el anlisis y diseo se efectan utilizando funciones de
transferencia, junto con una serie de tcnicas grficas como los diagramas del lugar de las
races y los de Bode.
La desventaja principal de la teora de control convencional, es que, en general, slo
se aplica a sistemas lineales, invariantes en el tiempo, con una entrada y una salida. Las
tcnicas convencionales no tienen aplicacin en sistemas de control ptimos o adaptables,
que en su mayora son variables en el tiempo y/o no lineales.
Un sistema complejo puede tener varias entradas y salidas (sistema multivariable)
relacionadas entre s. El anlisis de estos sistemas requiere reducir la complejidad de las
expresiones matemticas y recurrir a las computadoras para la solucin de los clculos
tediosos. El mtodo ms adecuado para el anlisis de estos sistemas, es el mtodo en el
espacio de estado. Sin embargo, para el diseo de controladores en Espacio de Estado, se
requiere que el modelo del proceso o planta sea completamente controlable y
completamente observable. En caso de que no fuera completamente observable, se debe
implementar observadores de estado, que permitan estimar las variables de estado, las
cuales estarn ahora s disponibles como entradas a cada uno de los elementos del
controlador.
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3.2 Controlabilidad
Se dice que un sistema de control es de estado completamente controlable, si es posible transferir el sistema de un estado inicial arbitrario a cualquier estado deseado, en un
periodo finito. Es decir, un sistema de control es controlable si todas las variables de
estado pueden ser controladas en un periodo finito, mediante alguna seal de control
restringida.
Para que un sistema sea completamente controlable se debe cumplir que el rango de la matriz de controlabilidad sea igual al orden del sistema, es decir:
)1.3(1
1
nBAABBMRango
BAABBM
n
n
Ejemplo 3.1 Considere el modelo de una determinada planta, definido por:
2
1
2
1
2
1
01
1
0
32
10
x
xy
ux
x
x
x
Verifique su controlabilidad.
Solucin
La matriz de controlabilidad es:
..231
10CCesnMRangoABBM
3.3 Observabilidad
Se dice que un sistema es totalmente observable, si cada estado x(to) se puede determinar a partir de la observacin de y(t) en un intervalo de tiempo finito to
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)2.3(;
11
n
CA
CA
C
Rango
CA
CA
C
N
nn
Ejemplo 3.2 Considere el modelo de una determinada planta, definido por:
2
1
2
1
2
1
01
1
0
32
10
x
xy
ux
x
x
x
Verifique su Observabilidad.
Solucin
La matriz de Observabilidad es:
..210
01OCesnNRango
CA
CN
3.4 Diseo de sistemas de control por el mtodo de Localizacin
de Polos
El diseo por Localizacin de Polos usa el esquema de control por realimentacin de
estados, que es ms verstil que el diseo de controladores de configuracin fija
convencionales, ya que se controla directamente la ecuacin caracterstica. Un sistema
inestable que es controlable, siempre se puede estabilizar mediante control por
realimentacin de estado.
La desventaja de este mtodo es que todos los estados deben detectarse y
realimentarse, lo cual puede no ser prctico; sin embargo, este inconveniente puede
resolverse utilizando un estimador de estados.
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En esta tcnica de Localizacin de Polos, pueden distinguirse dos configuraciones
principales, conocidas como sistemas de control de regulacin y sistemas de control de
seguimiento.
3.4.1 Diseo del Regulador por Localizacin de Polos
En este tipo de configuracin, la seal de control slo depende de la ganancia del
controlador y de las variables de estado, es decir, no est presente la referencia (r = 0), por
lo que, el sistema de control permite el ajuste de la salida del sistema en funcin de los
polos deseados.
En la figura 3.1 se presenta el sistema de control de lazo cerrado por realimentacin de
estado.
Sea el sistema de control:
)3.3(BuAxx
donde:
x = vector de estado (n x 1)
u = seal de control (escalar)
A = matriz de n x n constante
B = matriz de n x 1 constante
B
A
-K
u +
+
x
Figura 3.1: Sistema de control de lazo cerrado con u = - K x.
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Se elige como seal de control
)4.3(Kxu
donde K es de dimensin 1 x n , y u no est acotado.
Al sustituir la ecuacin (3.4) en (3.3), se tiene:
)5.3()()()( txBKAtx
La solucin de la ecuacin (3.5) est dada por:
)6.3()0()( )( xetx tBKA
La estabilidad y las caractersticas de respuesta transitoria se determinan a partir de los
valores propios de la matriz A-BK. Escogiendo adecuadamente la matriz K, se puede hacer
que la matriz A-BK sea asintticamente estable.
Pasos de diseo:
Sea el sistema descrito por:
BuAxx
con la seal de control:
Kxu
los pasos de diseo son:
1. Verificar la condicin de controlabilidad. Si es completamente controlable continuar con
el paso siguiente.
2. Determine los valores de a1, a2, a3, ..., an del polinomio caracterstico de A:
3. Determine la matriz de transformacin T, a partir de:
donde M y W estn dadas por:
0 AsI
)7.3(MWT
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donde las ia son los coeficientes del polinomio caracterstico
Definiendo un nuevo vector de estado x como: xTx
)10.3(11 uBTxTATx
donde:
Entonces la ecuacin (3.10) es la forma cannica controlable de la ecuacin (3.3). Si la
ecuacin (3.3) ya estuviera en la forma cannica controlable, entonces se debe
cumplir que T = I; en caso contrario, todo lo que se necesita es hallar la matriz T.
4. Utilizando los valores propios deseados, halle el polinomio caracterstico deseado:
)8.3(1BAABBM n
)9.3(
0001
001
01
1
1
32
121
a
aa
aaa
W
nn
nn
0 AsI
nn
nn
n
asss
sss
1
1
1
21 )())((
1
0
0
0
;
1000
0100
0010
1
121
1
BT
aaaa
ATT
nnn
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Por lo que los valores de n ,,, 21 son conocidos.
5. Determinar K a partir de:
Nota: Si el sistema es de orden bajo (n 3), la matriz K puede ser sustituida en el
polinomio caracterstico en forma sencilla. Por ejemplo, si n = 3, la matriz de ganancia de
retroalimentacin de estado K se puede escribir as:
]321[ kkkK
Esta matriz K se reemplaza en el polinomio caracterstico deseado
Ejemplo 3.3 Considere el sistema definido por:
donde
Disear el sistema de control por realimentacin de estado, tal que los polos de lazo
cerrado se localicen en s = -1.8 j2.4 (que vienen a ser los valores propios de
A BK: 1 = - 1.8 + j2.4 y 2 = - 1.8 j2.4).
.
Solucin
Determinemos la solucin aplicando el mtodo prctico.
1. Verifiquemos la controlabilidad del proceso:
Entonces: Rango M = n = 2, entonces el sistema es completamente controlable.
)11.3(1112211
TaaaaK nnnn
BuAxx
01
10ABBM
1
0,
06.20
10BA
-
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2. Determinemos la ecuacin caracterstica deseada del sistema el lazo cerrado:
Es de la forma: 0212 ss , entonces: 9,6.3 21
3. Determinemos la ecuacin caracterstica del sistema de control (lazo cerrado):
4. Determinemos la ganancia del controlador
Igualando coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), se obtiene:
Entonces
Luego, la seal de control u es:
3.4.2 Diseo del Servocontrolador por Localizacin de polos Tipo 1
cuando la planta tiene un integrador
Considere una planta definida por:
)13.3(
)12.3(
Cxy
BuAxx
donde:
12
2
21
21
6.20
6.20
1
1
0
06.20
10
0
0
ksks
ksk
s
kks
sBKAsI
96.3
)4.28.1)(4.28.1())((
2
21
ss
jsjsss
6.36.2921 kkK
(I)
(II)
6.3,6.29 21 kk
2
16.36.29
x
xu
-
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x = vector de estado (n x 1)
u = seal de control (escalar)
y = seal de salida (escalar)
A = matriz de n x n constante
B = matriz de n x 1 constante
C = matriz de 1 x n constante
Donde el controlador est determinado por la matriz ganancia K, que contiene n elementos,
tal como se muestra en la figura 3.2. Se ha supuesto que la salida a controlar es la variable
x1, pudiendo entonces determinarse la ecuacin del controlador por localizacin de polos,
as:
)14.3(
)(
1
13
2
1
321
1332211
113322
rkKxu
rk
x
x
x
x
kkkk
rkxkxkxkxk
xrkxkxkxku
n
n
nn
nn
donde
nkkkkK 321
Suponiendo que la entrada de referencia (funcin escaln), se aplica en t = 0, entonces
reemplazando la ecuacin (3.14) en (3.12), obtenemos la ecuacin de estado en lazo
cerrado, as:
)15.3()(
)(
1
1
rBkxBKAx
rkKxBAxBuAxx
Suponiendo que se tiene determinado la ganancia del controlador K, entonces los polos de
la ecuacin caracterstica del sistema de lazo cerrado, dada por:
-
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)16.3(0)( BKAI
Tendrn parte real negativa, incluido el origen.
La ecuacin (3.15) en estado estacionario es:
)17.3()()()()( 1 rBkxBKAx
Considerando que la referencia rrtr )()( , y restando la ecuacin (3.17) de la (3.15),
se obtiene:
)18.3()()()()()( xtxBKAxtx
Definiendo
)()()( textx
Entonces, la ecuacin (3.18) se convierte en:
)19.3()()()( teBKAte
que describe la dinmica del error.
-
x3
x2
u r
+ k1 BuAxx
k2
k3
+
- -
y = x1
Figura 3.2: Servosistema tipo 1 cuando la planta tiene integrador.
-
kn
xn
+
C
-
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Por consiguiente, el diseo del servosistema tipo 1, se convierte en el diseo de un
regulador asintticamente estable, tal que e(t) tiende a cero, para cualquier condicin inicial
e(0).
La ecuacin (3.17) que es la correspondiente a tiempo estacionario ser nula, as:
0)()()( 1 rBkxBKAx
Entonces, suponiendo diseado K, y que los valores propios deseados de (A-BK) estn en
el semiplano izquierdo del plano s, la matriz (A-BK) tiene inversa, luego se puede
determinar )(x , as:
rBkBKAx 11)()(
Igualmente, la seal de control generado por el servocontrolador en tiempo estacionario
ser:
0)()( 1 rkKxu
Los pasos de diseo son los mismos que para el caso regulador.
Ejemplo 3.4 Considere el sistema definido por:
001
1
0
0
240
100
010
3
2
1
3
2
1
y
u
x
x
x
x
x
x
Disee un servocontrolador por localizacin de polos, tal que los polos de lazo cerrado sean
10,11 32,1 j . El diagrama de bloques del sistema de control se muestra en la
figura 3.3. Considere una referencia escaln unitario.
e x1 x2 x3
y = x1 u +
- -
r + k1
BuAxx
C
k2
Figura 3.3: Servosistema tipo 1.
-
k3
-
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Solucin
Pasos de diseo:
1. Verificar controlabilidad
..3021
210
1002 CCesnMRangoBAABBM
2. Verificar si el sistema tiene integrador
0)42(
240
10
012
AI
Entonces, los valores propios del sistema en lazo abierto contienen un integrador,
por lo que es conveniente disear el servocontrolador de tipo proporcional que
estamos tratando en esta seccin; es decir no es necesario incluir un integrador en el
controlador.
3. Considerando los polos deseados, determinar la ecuacin caracterstica deseada de
lazo cerrado
)(0202212
0)10)(11)(11())()((
23
321
I
jj
4. Determinar la ecuacin caracterstica del sistema de control de lazo cerrado
)(0)4()2()(
)2()4(
100
010
;0)(
12
2
3
3
321
IIkkkBKAI
kkk
BKABKAI
5. Determinar la matriz ganancia del servocontrolador
Comparando los coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), se obtiene:
10122
18224
20
33
22
1
kk
kk
k
Luego, la matriz ganancia del controlador ser:
101820K
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Adicionalmente, verifiquemos que la seal de control generada por el controlador es
cero.
0)()( 1 rkKxu
Calculemos previamente )(x :
0
0
1
20
0
0
05.0
20
1
0
0
010
001
05.06.01.1
)(
010
001
05.06.01.1
)(
122220
100
010
)(
)()(
1
1
1
x
BKABKA
rBkBKAx
Luego, la seal de control generada en tiempo estacionario ser:
02020)(
)1)(20(
0
0
1
101820
)()( 1
u
rkKxu
3.4.3 Diseo del Servocontrolador por Localizacin de polos Tipo 1
cuando la planta no tiene integrador
En este caso, estamos frente a una planta que no tiene integrador, es decir una planta tipo 0;
por lo que se hace necesario agregar un integrador en la trayectoria directa entre el
comparador de error y la planta, con la finalidad de que el error en estado estacionario sea
cero. El diagrama de bloques correspondiente se observa en la figura 3.4, y del cual se
pueden obtener las ecuaciones de la planta, controlador, e integrador.
Ecuaciones de la planta:
)21.3(
)20.3(
Cxy
BuAxx
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Ecuacin del controlador:
)22.3(
2
1
21
2211
i
i
n
n
inn
kKxu
k
x
x
x
kkku
kxkxkxku
Ecuacin del integrador:
)23.3(Cxr
yr
donde:
: salida del integrador (variable de estado del sistema, escalar)
r : seal de entrada de referencia (funcin escaln, escalar)
+
-
x3
x2
u r
+ ki BuAxx
k2
+
- -
y
Figura 3.4: Servosistema tipo 1 cuando la planta no tiene integrador.
-
kn
xn
+
C
k3
x1
k2
-
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Para evitar que el integrador insertado sea cancelado por un cero en el origen de la planta,
se supone que la planta no tiene cero en el origen.
La combinacin de las ecuaciones (3.20) y (3.23) nos genera una nueva ecuacin, as:
)24.3()(1
0)(
0)(
)(
0
0
)(
)(trtu
B
t
tx
C
A
t
tx
Se disea un sistema asintticamente estable tal que )(x , )( , y )(u tiendan a valores
constantes, entonces 0)(
, ry )( .
La ecuacin (3.24) en estado estacionario es:
)25.3()(1
0)(
0)(
)(
0
0
)(
)(
ruBx
C
Ax
La referencia r(t) es una entrada escaln, por lo que rrtr )()( . Restando la ecuacin
(3.25) de la (3.24), se obtiene:
)26.3()]()([0)()(
)()(
0
0
)()(
)()(
utuB
t
xtx
C
A
t
xtx
Se define
)()()(
)()()(
)()()(
tuutu
tt
txxtx
e
e
e
Luego, la ecuacin (3.26) se puede reescribir como:
)27.3()(0)(
)(
0
0
)(
)(tu
B
t
tx
C
A
t
txe
e
e
e
e
Definiendo un vector de error e(t) de dimensin (n+1), una matriz A y B ampliadas, como:
0;
0
0;
)(
)()(
BB
C
AA
t
txte
e
e
Entonces, la ecuacin (3.27) se puede reescribir como:
)28.3()()()( tuBteAte e
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Efectuando de la misma manera para la ecuacin del controlador, se puede determinar que:
)29.3()()(
)(
)()(
)()()(
teKtu
t
txkKtu
tktKxtu
e
e
e
ie
eiee
Las ecuaciones (3.28) y (3.29) representan las ecuaciones del error para el proceso
ampliado y el controlador, respectivamente.
Si reemplazamos la ecuacin (3.29) en la (3.28), se obtiene la ecuacin del error de estado
en lazo cerrado:
)30.3()()(
)()()(
teKBAte
teKBteAte
Cuando se disee el controlador, se deber tener presente que la matriz de controlabilidad
ser ahora de rango (n+1), por la presencia del integrador.
Ejemplo 3.5 Considere un sistema de horno tubular mostrado en la figura 3.5, definido por:
)(25.0)(
)(2)(5.0)(
)()(2)(
ttv
tqtt
ttqtq
Fuel
v(t)
q
(t)
Sensor de
Temperatura
Horno tubular
Figura 3.5: Sistema de Horno tubular.
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Donde:
(t) : Desplazamiento angular
q(t) : Flujo del caudal de combustible
(t) : Temperatura del horno
v(t) : Lectura del transductor de temperatura
Se pide, disear un Controlador por Localizacin de Polos, de acuerdo al esquema
mostrado en la figura 3.5, de tal manera que la respuesta y(t) presente aproximadamente las
siguientes especificaciones: MP 5 %, ts = 2 seg. ante entradas de referencia tipo escaln.
Considere u = (variable de entrada o de control), y = v (variable de salida), y las
siguientes variables de estado: x1 = ; x2 = q . El diagrama de bloques del
sistema de control se muestra en la figura 3.6.
Sugerencia: ubicar la tercera raz a 10 veces la parte real de las races dominantes.
Solucin
El modelo en espacio de estado del sistema horno tubular viene dado por:
)(25.0)(
)(2)(
)(25.0)(
1
22
211
txty
tuxtx
txxtx
x
y(t) u(t)
-
+
+
r(t)
s
k i DuCxy
BuAxx
K
-
Figura 3.6: Diagrama de bloques del
sistema de control
-
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74
Ordenando matricialmente, tendremos:
)(
)(025.0)(
)(1
0
)(
)(
20
25.0
)(
)(
2
1
2
1
2
1
tx
txty
tutx
tx
tx
tx
Antes de abordar el diseo, calculemos si el modelo del sistema tiene integrador.
)2)(5.0(20
25.0
20
25.0
0
0
ss
s
s
s
sAsI
El sistema no tiene integrador, por lo que se justifica el diseo de un servocontrolador, con
inclusin de un integrador, que nos permita obtener error estacionario nulo.
Pasos de diseo (mtodo prctico):
1. Verificar controlabilidad
..221
20CCesnMrangoM
2. Determinar los valores propios deseados de lazo cerrado a partir de las
especificaciones dadas
srad
Segt
eMP
nd
nns
/21
83.22.24
707.05100
2
1 2
Las races dominantes sern:
222,1 jjs d
La tercera raz ser:
20)2(103 s
3. Determinar la ecuacin caracterstica deseada
Habindose determinado los polos deseados, entonces la ecuacin caracterstica
deseada en lazo cerrado ser:
)(01608824
0)20)(22)(22(
23 Isss
sjsjs
-
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4. Determinar la ecuacin caracterstica del sistema de control de lazo cerrado
)(05.0)5.021()5.2()(
)0025.0
)2(
025.0
0
1
0
)0025.0
020
025.0
;0)(
21
2
2
3
21
21
IIkskksksKBAsI
kkkKBA
kkkKBAKBAsI
i
i
i
5. Determinar la matriz ganancia del controlador
Igualando los coeficientes de las ecuaciones (I) y (II), tenemos:
125.381)5.21(5.0882
5.21245.2
885.021
3201605.0
11
22
21
kk
kk
kk
kk ii
Entonces, la matriz ganancia del controlador es:
3205.21125.38 K
3.5 Diseo de Sistemas de Control ptimo Cuadrtico
El diseo de sistemas de control ptimo cuadrtico, se basan en ndices de desempeo
cuadrtico. El sistema de control que se considera en esta seccin, corresponde a sistemas
en tiempo continuo, definido por:
)32.3(
)31.3(
Cxy
BuAxx
donde
x = vector de estado (n x 1)
u = seal de control (escalar)
y = seal de salida (escalar)
A = matriz de n x n constante
B = matriz de n x 1 constante
C = matriz de 1 x n constante
-
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Los sistemas de control analizados, pueden ser sistemas reguladores o sistemas de
seguimiento.
El objetivo de la optimizacin, es el de elegir el vector de control u(t) de modo que se
minimice el ndice de desempeo J.
3.5.1 Diseo del Regulador ptimo
Para un sistema regulador, la seal de control u(t) viene dada por:
)33.3()()( txKtu
donde K es una matriz de r x n.
El diagrama de bloques del sistema de control ptimo, se muestra en la figura (3.6).
El ndice de desempeo, rendimiento o costo a ser minimizado viene dado por
)34.3()(0
dtuRuQxxJ
En caso que se traten de vectores y matrices reales, la ecuacin (3.11) estar expresada por
)35.3()(0
dtuRuxQxJ TT
Donde:
Q : es una matriz hermtica o real simtrica definida positiva (o semidefinida positiva), que
pondera al vector de estados x
R : es una matriz hermtica o real simtrica definida positiva, que pondera a la seal de
control u, y
u : seal de control no acotado.
-K
uBxAx
u x
Figura 3.6 Sistema de Control ptimo.
-
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_____________________________________________________________________
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77
Si reemplazamos la ecuacin (3.33) en la (3.31), se obtiene:
)36.3()( xKBAxKBxAx
que viene a ser la ecuacin de estado de lazo cerrado, asumiendo que (A BK) es estable,
es decir los valores propios de (A BK) son negativos.
Reemplazando la ecuacin (3.33) en la ecuacin (3.35), se obtiene el siguiente ndice de
costo:
)37.3()(0
dtxKRKQxJ TT
Establecindose asimismo que:
)()( xPxdt
dxKRKQx TTT
donde P es una matriz hermtica definida positiva o real simtrica.
Entonces se obtiene:
)38.3()()()(
)]()[(
)()(
)(
KRKQBKAPPBKA
xBKAPPBKAx
xBKAPxPxxBKA
xPxxPxxKRKQx
TT
TT
TTT
TTTT
luego, el ndice de rendimiento o performance puede ser evaluada como:
)0()0()()()( 00
xPxxPxxPxdtxRKKQxJ TTTTT
Asumiendo que todos los valores propios de A BK tienen parte real negativa, entonces
x() 0, luego:
)39.3()0()0( xPxJ T
Asumiendo
gularnomatrizTTTR T sin:;
entonces la ecuacin (3.38) puede ser reescrita como:
-
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78
0])([])([
0)()(
111
QPBPBRPBTTKPBTTKPAPA
KTTKQBKAPPBKA
TTTTTTT
TTTTT
La minimizacin de J con respecto a K, requiere la minimizacin de
xPBTTKPBTTKx TTTTTT ])([])([ 1 con respecto a K, obtenindose:
)40.3()( 111 PBRPBTTK TTT
Luego, la ley de control ptimo estar dada por la siguiente ecuacin lineal:
)41.3()()(
)()(
1 txPBRtu
tKxtu
T
La matriz P debe satisfacer la ecuacin de la matriz reducida de Riccati, dada por:
)42.3(01 QPBPBRPAPA TT
Finalmente, podemos indicar los siguientes pasos para el diseo del regulador:
1. Verificar controlabilidad
2. Elegir matrices de ponderacin deseadas Q y R
3. Resolver la ecuacin de Riccati (3.42) para la matriz P. Si la matriz P 0, entonces
el sistema es estable o la matriz [A BK ] es estable.
4. Determinar la matriz ganancia K del regulador ptimo, considerando la matriz P
hallada en el paso (2)
Ejemplo 3.6 Considere el sistema definido por:
ux
x
x
x
1
0
10
10
2
1
2
1
Determinar las matrices P, K y la seal de control ptima u.
Solucin
-
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79
Pasos de Diseo:
1. Verificar controlabilidad del modelo del sistema:
..211
10CCesnMRangoABBM
2. Elegir las siguientes matrices de ponderacin:
]1[;10
01
RQ
3. Resolver la ecuacin de Riccati 01 QPBPBRPAPA TT para la matriz P.
1;10;11
001
RBA TT
El resultado es
11
12P . Como la matriz P 0 entonces el sistema es estable.
4. Determinar la matriz ganancia ptima K, a partir de:
1111
12101
1
K
PBRK T
Entonces la seal de control ptima, est dada por:
212
111 xx
x
xxKu
3.5.2 Diseo del Controlador ptimo Proporcional
El diseo de un Controlador ptimo Proporcional es aconsejable cuando la planta contiene
un integrador, y asumiendo que la referencia es una seal escaln.
Considere una planta definida por:
)44.3(
)43.3(
Cxy
BuAxx
donde:
-
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80
x = vector de estado (n x 1)
u = seal de control (escalar)
y = seal de salida (escalar)
A = matriz de n x n constante
B = matriz de n x 1 constante
C = matriz de 1 x n constante
De la misma manera que para el caso del controlador por Localizacin de Polos, la matriz
ganancia K contiene n elementos, y la estructura del sistema de control es la misma, tal
como se muestra en la figura 3.7. Se ha supuesto que la salida a controlar es la variable x1,
pudiendo entonces determinarse la ecuacin del Controlador ptimo Proporcional:
)45.3(1rkKxu
donde
nkkkkK 321
Los pasos de diseo son los mismos que para el regulador, que se pasa a reescribir:
-
x3
x2
u r
+ k1 BuAxx
k2
k3
+
- -
y = x1
Figura 3.7: Sistema de Control ptimo Proporcional.
-
kn
xn
+
C
-
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81
1. Verificar controlabilidad
2. Elegir matrices de ponderacin deseadas Q y R
3. Resolver la ecuacin de Riccati (3.42) para la matriz P. Si la matriz P 0, entonces
el sistema es estable o la matriz [A BK ] es estable.
4. Determinar la matriz ganancia K del regulador ptimo, considerando la matriz P
hallada en el paso (2)
La diferencia resultante entre el caso Regulador y el caso Controlador ptimo
Proporcional, es que en el primero todos los estados regulados tienden a cero, debido a que
no est presente la referencia, es decir la referencia es nula. En el segundo caso, el estado
seleccionado como salida (de acuerdo al esquema sera la variable x1), sigue a la referencia,
es decir, se hace igual a la referencia en tiempo estacionario. Cmo verificar esta
afirmacin? Veamos:
Idnticamente como en el Controlador por Localizacin de Polos visto en la subseccin
3.4.2, la ecuacin de estado del sistema de control en lazo cerrado viene dada por:
)46.3()( 1rBkxBKAx
Si aplicamos transformada de Laplace a la ecuacin (3.46) considerando condiciones
iniciales nulas, obtendremos la solucin del vector de estados en el plano S, dada por:
)47.3()()()( 11
sRBkBKAsIsX
Ahora, aplicando Transformada de Laplace a la ecuacin (3.44) obtendremos:
)48.3()()( sCXsY
Reemplazando la ecuacin (3.47) en la (3.48) se obtiene:
)49.3()()()( 11
sRBkBKAsICsy
Para obtener el valor estacionario de la salida, aplicamos el teorema del valor final:
)50.3()()(lim)(lim 11
00sRBkBKAsIsCsyy
ssss
El resultado de la evaluacin de la ecuacin (3.50) nos dar el valor de la magnitud de la
referencia escaln asumido. Con el ejemplo 3.8 se puede corroborar lo dicho.
-
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82
Ejemplo 3.7 Dada una planta con las siguientes ecuaciones de estado y de salida:
2
1
2
1
2
1
01
1
0
101
10
x
xy
ux
x
x
x
Determinar la ganancia del Controlador ptimo proporcional, considerando el diagrama de
bloques de la figura 3.8, y asumiendo las siguientes matrices de ponderacin:
10;10
010
RQ
Solucin
Pasos de diseo:
1. Verificar controlabilidad de la planta
..2101
10CCesnMRangoABBM
2. Considerar las matrices de ponderacin dadas en el enunciado
10;10
010
RQ
3. Resolver la ecuacin de Riccati
e x1 x2
y = x1 u +
- -
r + k1
BuAxx
C
k2
Figura 3.8: Sistema de Control ptimo Proporcional.
-
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83
10
010
1.0)10(21.010
1.0101.02
:
10
010101.0
1
0
101
10
101
10
0
2
2222122212221211
2212221211
2
1212
2212
1211
2212
1211
2212
1211
2212
1211
1
pppppppp
ppppppp
operando
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
QPBPBRPAPA TT
Entonces, resolviendo:
14.4
14.24101.02
12
12
2
1212
p
ppp
46.0
46.20011.0)10(2
22
22
2
222212
p
pppp
05.4201.010 112212221211 pppppp
Por consiguiente, la matriz P, solucin de la ecuacin de Riccati es:
46.014.4
14.405.42P
Podemos apreciar que P es una matriz definida positiva, por lo que cumple con los
requerimientos para esta matriz.
4. Determinar la matriz ganancia del controlador
046.0414.046.014.4
14.405.42101.0
1
K
PBRK T
En este ejemplo, directamente hemos atacado el diseo de un Controlador ptimo
Proporcional sin antes haber verificado si el modelo de la planta tiene integrador. Veamos
si lo tiene.
-
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84
110101
12
ssAsI
s
sAsI
Como se podr apreciar la planta no tiene integrador; por lo que la salida controlada nunca
llegar a la referencia.
Calculemos entonces el valor de la salida en tiempo estacionario, usando la ecuacin (3.50).
Calculemos primero la inversa de la ecuacin caracterstica de lazo cerrado:
)1()10(
)1(
1)10(
)]([
)10(1
1)]([
)10()1(
10
1
0
101
10)(
22
2
2
2
1
22
21
21
ksks
sk
ks
BKAsI
ksk
sBKAsI
kkkkBKA
Calculemos ahora la salida en tiempo estacionario yss, suponiendo una referencia
escaln unitario:
3957.0
046.1
414.0
)1()10(
414.0
01)10(
lim
1
)1()10(
)414.0(1
0
)1(
1)10(
01lim
)()(lim)(lim
22
2
2
0
22
2
2
2
0
1
1
00
ksks
ks
y
sksks
sk
ks
s
sRBkBKAsIsCsyy
sss
s
ssss
Como se puede apreciar, la salida llega aproximadamente al 40% de la referencia; sin
embargo, el diseo del controlador es vlido, recomendando que no debe suceder semejante
error. Una forma de resolver este inconveniente es usar un esquema de regulador con una
ganancia de ajuste fuera del bucle de control. Dicho esquema se muestra en la figura 3.9.
-
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85
Calculemos la salida en tiempo estacionario para la estructura mostrada en la figura 3.9.
La ecuacin de estado de lazo cerrado ser:
rBkxBKAx 0)(
La salida en tiempo estacionario ser:
046.1
1046.1)1()10(
01)10(
lim
1
)1()10(
)(1
0
)1(
1)10(
01lim
)()(lim)(lim
0
0
22
2
0
2
0
22
2
0
2
2
0
0
1
00
k
k
ksks
kks
y
sksks
ksk
ks
sy
sRBkBKAsIsCsyy
sss
sss
ssss
Entonces, utilizando una ganancia fuera de bucle de 1.046 logramos que la salida
sea igual a la referencia.
Ejemplo 3.8 Dada una planta con las siguientes ecuaciones de estado y de salida:
2
1
2
1
2
1
01
1
0
30
20
x
xy
ux
x
x
x
-
x1 x2
y = x1 u +
-
r
k1
BuAxx
C
k2
Figura 3.9: Sistema de Control ptimo Proporcional
modificado.
0k
-
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86
Determine:
a) La matriz ganancia del Controlador ptimo Proporcional, usando el esquema
mostrado en la figura 3.8, considerando las siguientes matrices de ponderacin:
)1(;10
01
RQ
b) La salida controlada en tiempo estacionario yss para una entrada escaln unitario.
Solucin
a) Determinacin de K.
Pasos de diseo:
Verifiquemos controlabilidad
..231
20CCesnMRangoABBM
Verifiquemos si la planta tiene integrador
)3(30
2)(
ssAsI
s
sAsI
El modelo de la planta s presenta integrador, entonces s puede aplicar el
presente diseo.
Resolvamos la ecuacin de Riccati
74.01
187.1
:
10
01101.0
1
0
30
20
32
00
0
2212
1211
2212
1211
2212
1211
2212
1211
1
P
obtenemosoperando
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
QPBPBRPAPA TT
Determinemos la matriz ganancia del controlador
-
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87
074.01.074.01
187.1101.0
1
K
PBRK T
b) Determinacin de la salida en tiempo estacionario
1
2.0
2.0
)2)3(
1.0
02)3(
lim
1
2)3(
)1.0(1
02)3(
01lim
)()(lim)(lim
12
2
2
0
12
2
1
2
0
1
1
00
ksks
ks
y
sksks
sk
ks
s
sRBkBKAsIsCsyy
sss
s
ssss
Como se puede ver, ahora s la salida es igual a la referencia.
3.5.3 Diseo del Controlador ptimo Proporcional Integral
El diseo del Controlador ptimo Proporcional Integral es una tarea obligada en los casos
en los que la planta no incluye integrador, y la referencia es una seal escaln. La inclusin
del integrador har que el error estacionario sea nulo. Sin embargo, el inconveniente de que
la planta no tiene integrador se puede resolver usando la estructura del regulador con
ganancia de ajuste fuera de bucle, tal como se trat en la subseccin 3.5.2, ejemplo 3.7.
Considere una planta de una entrada y una salida (SISO), definida por las ecuaciones (3.43)
y (3.44) , la matriz ganancia del controlador ser de dimensin (n+1) debido a la inclusin
del integrador.
El diagrama de bloques del sistema de Control ptimo Proporcional Integral es el
mismo que para el Servosistema tipo 1 cuando la planta no tiene integrador, que se presenta
en la figura 3.10.
-
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88
Idnticamente como en el caso del Controlador por Localizacin de Polos cuando la planta
no tiene integrador, las ecuaciones del error del sistema de lazo cerrado viene dada por:
)51.3()()( teKBAte
Donde:
ie
ekkkK
BB
C
AA
t
txte
21;
0;
0
0;
)(
)()(
Los pasos de diseo son los mismos que para el Controlador Proporcional, considerando
que las matrices involucradas ya no son las del proceso o planta; sino las matrices
ampliadas KBA ,, , y la matriz de controlabilidad ser una matriz de rango (n+1)
+
-
x3
x2
u r
+ ki BuAxx
k2
+
- -
y
Figura 3.10: Sistema de Control ptimo Proporcional Integral.
-
kn
xn
+
C
k3
x1
k2
-
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89
Ejemplo 3.9 Dada una planta con las siguientes ecuaciones de estado y de salida:
2
1
2
1
2
1
01
1
0
101
10
x
xy
ux
x
x
x
Determinar la ganancia del Controlador ptimo Proporcional Integral, considerando la
estructura de la figura 3.10, y asumiendo las siguientes matrices de ponderacin:
10;100
010
0010
RQ
Solucin
Pasos de diseo:
1. Verificar controlabilidad de la planta
..)1(3100
99101
1010
2 CCesnMRangoBABABM
2. Considerar las matrices de ponderacin dadas en el enunciado
10;100
010
0010
RQ
3. Resolver la ecuacin de Riccati
0 1 QPBRBPAPPA TT
Reemplazando y operando se obtiene:
9.19083.1623-32.2355-
3.1623-1.937619.0639
32.2355-19.0639193.1082
P
4. Determinar la matriz ganancia ampliada del controlador
-
Control II Captulo 3: Diseo de Sistemas de Control en Espacio de Estado
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90
0.3162-0.19381.9064
21
1
i
T
kkkK
PBRK
Nota:
Si consideramos que la salida a controlar es la variable 1x , entonces la expresin de
la salida en tiempo estacionario, vendr dada por:
)()(lim)(lim 11
00sRkBKBAsICssyy
ssss
Siendo:
0 CC