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AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB
Sebastián León S.
Julio 2015.
Universidad De Las Fuerzas Armadas “ESPE”
Departamento De Ciencias De La Energía Y Mecánica
Vibraciones
CONSULTA N. 2 2
AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB
Índice
AMORTIGUAMIENTO DE COULOMB 2
ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIENTO 2
Amortiguamiento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Oscilador libre con amortiguamiento de Coulomb 5
Oscilaciones lineales y angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Frecuencia de las oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Cese del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Estudio de casos 13
Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Índice de figuras
1. Ciclo elíptico carga-desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . 19
3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. figura del ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
ELEMENTOS DE AMORTIGUAMIENTO
El movimiento de las estructuras sometidas a fuerzas variables durante un periodo
de tiempo, dependen en particular, de las propiedades de amortiguamiento, es decir, de
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la disipación de la energía por los materiales constitutivos de la estructura, entre las
ligaduras de sus diferentes elementos, entre ellos y el medio circunvecino. De acuerdo a
los fenómenos físicos, se distinguen tres tipos de amortiguamiento:
• El amortiguamiento de Coulomb, que corresponde a un amortiguamiento de
fricción, con dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.
• El amortiguamiento viscoso, por el cual la fuerza de amortiguamiento es
proporcional a la velocidad.
• El amortiguamiento histerético, para el cual la fuerza de amortiguamiento es
proporcional al desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.
Los dos últimos tipos de amortiguamiento, son los más comúnmente encontrados.
Además, dos coeficientes relacionados con el amortiguamiento que serán utilizados
posteriormente se definen como sigue:
El coeficiente de pérdida, es un coeficiente adimensional característico del efecto
amortiguador, y está dado por la relación de la energía disipada durante un ciclo y la
energía potencial máxima multiplicada por 2π:
η = Energıadisipadaenunciclo
2π(energıapotencialmaxima)
En el caso particular de un ciclo de forma elíptica (figura 1), la expresión del
coeficiente de pérdida, en el espacio f-x, en donde la fuerza exterior aplicada es f, el
desplazamiento a cosθ, la fuerza aplicada ka ∗ cosθ y la fuerza de amortiguamiento
−ha ∗ senθ, el equilibrio de las fuerzas conduce a:
f = ka.cosθ − ha.cosθ (1)
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figura 1 Ciclo elíptico carga-desplazamiento
La energía disipada ocurrida en un ciclo es igual a:
2πˆ
0
[−ha.senθ] .d. [a.cosθ] = πha2 (2)
La energía potencial máxima es:
π/2ˆ
0
[ka.cosθ] .d. [a.cosθ] = ka2
2 (3)
Y el coeficiente de pérdida está dado por:
η = h
k(4)
Por definición, el amortiguamiento reducido es igual a la mitad del coeficiente de
pérdida:
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Amortiguamiento de Coulomb
Este tipo de amortiguamiento se presenta debido a la fricción en las conexiones o
puntos de apoyo. Es constante, independiente de la velocidad o cantidad del
desplazamiento, y usualmente se trata como amortiguamiento viscoso interno, cuando
el nivel de desplazamiento es pequeño, o como amortiguamiento histerético cuando es
alto. La fricción de cuerpo es grande en los muros de mampostería confinados cuando
estos se agrietan y proporcionan una resistencia sísmica muy efectiva. El
amortiguamiento de Coulomb, corresponde a un amortiguamiento de fricción, con
dirección del desplazamiento y de signo opuesto al de la velocidad.
Oscilador libre con amortiguamiento de Coulomb
Consideremos ahora al oscilador sometido a una fuerza disipativa constante,
independiente de la velocidad y de la posición, como es el caso de la fuerza de
rozamiento que surge al deslizar un cuerpo sobre una superficie seca. Es el
amortiguamiento de Coulomb. Tal modelo de fuerza disipativa corresponde a una
función de disipación proporcional a la velocidad (y no a su cuadrado, como en el
amortiguamiento viscoso).
Λ (q) = γq (5)
con γ una constante de amortiguamiento, positiva. La fuerza generalizada
disipativa es, por tanto,
Qd = −∂Λ (q)∂q
= −γ (6)
expresando el signo negativo la posición´ de tal fuerza al movimiento del oscilador.
La lagrangiana viene dada, al igual que antes, por
L(q, q) = T − U = 1/2mq2 − 1/2kq2 (7)
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y la ecuación´ del movimiento es:
d
dt
(∂L(q, q)
∂q
)− ∂L(q, q)
∂q= Qd (8)
es decir,
mq + kq = Qd = −γ (9)
Al no figurar ˙ q en (9) al contrario de lo que ocurre en. el sentido del movimiento,
esto es, de la velocidad, no se refleja directamente en la ecuación dinámica, lo que
exige considerar las dos posibilidades independientemente. La figura 2 ilustra esta
circunstancia para el caso de un desplazamiento lineal −designado
figura 2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb.
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por x− positivo, en cuyo caso, si la velocidad es positiva las fuerzas recuperadora y
disipativa se refuerzan, mientras que si la velocidad es negativa ambas fuerzas se
contrarrestan.
Así, si q es positiva, como la fuerza disipativa se opone al movimiento, la ecuación
dinámica es
mq + kq = −γ (10)
o bien
q + ω2oq = − γ
m(11)
q > 0
con
ω2o =
√kmla frecuencia natural del oscilador. es valida siempre que se cumpla que
q es positiva, es decir, para todo el semiciclo en el que q > 0 tanto si q es positiva como
negativa.
La solución de es de la forma
q1 = qh + qp = a1cos(ωot + ϕ1) − γ
k, (12)
q > 0
valida para todo el semiciclo de velocidad positiva.
Para el medio ciclo en el que la velocidad es negativa, la ecuación´ del movimiento
es
q + ω2oq = γ
m(13)
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q < 0
siendo su solución
q2 = a2cos(ωot + ϕ2) + γ
k, (14)
q > 0
figura 3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb
Los términos ±γkcorresponden al alargamiento que originaria la fuerza de
rozamiento sobre el muelle si actuase estaticamente como fuerza activa. En cualquier
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caso, la acción de tal fuerza constante origina un cambio en la localización de la
posición de equilibrio en la cuantía γk(figura 2)
Para mejor analizar el movimiento, tomemos como condiciones iniciales
q(t = 0) = qo (15)
q(t = 0) = 0 (16)
es decir, se separa al cuerpo de su posición de equilibrio y se le deja libre sin
velocidad inicial. Como el desplazamiento se ha tomado como positivo, el sistema al
moverse hacia su posición de equilibrio lo hace con velocidad negativa q < 0 y la
solución´ a considerar es
q2 = a2cos(ωot + ϕ2) + γ
k
Derivándola respecto del tiempo resulta
q2 = −a2ωosen(ωot + ϕ2) (17)
y utilizando las condiciones iniciales
qo = a2cosϕ2 + γ
k
0 = −a2ωosenϕ2
resulta
ϕ2 = 0
y
a2 = qo − γ
k
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con lo que
q2 =(
qo − γ
k
)cosωot + γ
k(18)
y
q2 = −(
qo − γ
k
)ωosenωot (19)
expresiones validas para el semiciclo que corresponde −si la coordenada es
lineal− al movimiento de derecha a izquierda, y cuya duración es desde el inicio hasta
que la velocidad se anula (q = 0), es decir, t = πωo
El desplazamiento −en este instante
de tiempo− viene dado por, (fig. 3),
q2
(t = π
ωo
)= −
(qo − γ
k
)+ γ
k= −
(qo − 2γ
k
)(20)
Para el siguiente semiciclo, q2 > 0y la solución es
q1 = a1cos(ωot′ + ϕ1) − γ
k
Su derivada respecto del tiempo proporciona
q1 = a1ωosen(ωot′ + ϕ1) (21)
Las condiciones iniciales para este segundo semiciclo son
q(t′ = 0) = q2 (t = π/ωo) = −(
qo − 2γ
k
)
q(t′ = 0) = q2 (t = π/ωo) = 0
y
ϕ1 = 0
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a1 = −(
qo − 3γ
k
)
con lo que
q1 = −(
qo − 3γ
k
)cosωot
′ − γ
k(22)
q1 = −(
qo − 3γ
k
)ωocosωot
′(23)
El segundo medio ciclo finaliza cuando q1 vuelve a ser cero, esto es, en t′ = π/ωo;
en este instante el desplazamiento vale
q1(t
′ = π/ωo
)=(
qo − 3γ
k
)− γ
k=(
qo − 4γ
k
)(24)
iniciándose de nuevo el proceso.
Oscilaciones lineales y angulares
Si la coordenada propia es lineal la fuerza disipativa constante corresponde a la
fuerza de rozamiento
γ = µN
siendo µ el coeficiente de rozamiento y N la fuerza normal a las superficies en el
punto de contacto.
Si la coordenada propia es angular la fuerza generalizada disipativa corresponde
al momento de fricción´ −constante− Mr
γ = Mr
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Frecuencia de las oscilaciones
La frecuencia de las oscilaciones es la natural del oscilador, ωo, a diferencia de lo
que ocurre con el amortiguamiento viscoso. El amortiguamiento de Coulomb, pues, no
modifica la frecuencia de vibracion del sistema.
Amplitud
Como la amplitud se reduce en cada ciclo en 4γ/k, siendo el tiempo transcurrido el
periodo 2π/ωo, los máximos de las oscilaciones están limitados por la recta de pendiente
tgϕ = 4γ/k
2π/ωo
= 2γωo
πk
y su simétrica respecto del eje de tiempos (figura 3).
Cese del movimiento
El movimiento cesa cuando, en algún estado de velocidad nula, la fuerza
recuperadora es igual o menor que la de fricción,
q ≤ γ/k
Por tanto, el numero de semiciclos, n, que transcurren hasta que cesa el
movimiento viene determinado por la relación
(qo − 2n
γ
k
)≤ γ/k
de donde
n ≥ qo − γ/k
2γ/k
Al contrario, pues, de lo que según el modelo utilizado ocurre en el
amortiguamiento viscoso, en el amortiguamiento de Coulomb el movimiento cesa
después de transcurrido un tiempo finito.
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Estudio de casos
Ejemplo 1.
Un pequeño edificio consiste en cuatro marcos de acero, cada uno con un
dispositivo friccional, soportando una losa de hormigón armado como se muestra en la
figura a) y b). La fuerza normal a través de cada uno de los pad friccionales ha sido
ajustada para ser igual al 2.5% del peso de la losa (figura b) y c)). Un registro del
movimiento del edificio en vibración libre a través del eje x se muestra en la figura d).
Determine el coeficiente de roce efectivo.
figura 4. figura del ejemplo 1
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Solución:
Se supone que el peso de los marcos es despreciable al comprarlo con el peso de
la losa y que los mecanismos de disipación de energía distintos a los friccionales
también son despreciables. Esto último es razonable, debido a que la amplitud del
movimiento decae en forma lineal como se ve en la figura d).
La fricción a los largo de cada barra es µ(0,025W ), siendo W el peso de la losa, y
su componente en la dirección lateral (horizontal), como se muestra en la figura a) y b),
es µ(0,025W ) cosα. La fuerza total de fricción en la dirección lateral debida a las cuatro
barras es:
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ejemplo 2
Calcular el tiempo que tarda en pararse una partícula por efecto del rozamiento de
Coulomb si su velocidad inicial es 0 V , y la distancia recorrida.
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ejemplo 3
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BIBLIOGRAFÍA
Rao, S. S. (1990): Mechanical Vibrations, Addison Wesley, Nueva York.
Thomson,W. T. (1982): Teoría de vibraciones, Prentice-Hall, México.
Víctor M Rodríguez F. (2001): IDENTIFICACIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO
HISTERÉTICO EFECTIVO DE ALGUNOS MODELOS CÍCLICOS EN VARIABLES
GENERALIZADAS. Trabajo: TI/UEN-12/091
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Figura 1. Ciclo elíptico carga-desplazamiento
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Figura 2. Sistema de resorte y masa con amortiguamiento de Coulomb.
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Figura 3. Movimiento de la masa con amortiguamiento de Coulomb
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Figura 4. figura del ejemplo 1