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Conocer y aplicar el método de integración u y du.
Analizar el concepto de suma de Rieman como base de
la integración definida.
Analizar el concepto de integral definida.
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Una vez analizado el termino integración como
operación inversa de la derivación y tenido en
cuenta las reglas de integración correspondiente
toca pasar a un segundo plano que consiste en el
análisis de la integral definida y su aplicación
directa en la ingeniería.
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ANTES …
Método de integración indefinida
𝒖 - 𝒅𝒖.
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MÉTODO 𝒖 − 𝒅𝒖
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Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖
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Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖
1. Se realiza la selección de 𝒖.
2. Se deriva 𝒖 en función de la
variable independiente para obtener
𝐝𝒖.
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Ejemplo: Uso del método 𝒖 − 𝒅𝒖
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INTEGRAL DEFINIDA
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Dos problemas, ambos de geometría, motivan
las dos ideas más importantes en cálculo.
El problema de encontrar la
recta tangente nos llevó a la
derivada.
El problema de encontrar el área
nos conducirá a la integral
definida.
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Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de
recta), el problema de encontrar el área apenas es un problema.
Comenzamos con la definición del área de un rectángulo como la
conocida fórmula de largo por ancho y, a partir de esto, de manera
sucesiva deducimos las fórmulas para el área de un paralelogramo,
un triángulo y cualquier polígono.
INTRODUCCIÓN AL ÁREA
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Incluso, en esta sencilla configuración es claro que el área
debe satisfacer cinco propiedades.
1. El área de una región plana es un número (real) no negativo.
2. El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho (ambos
medidos en las mismas unidades). El resultado está en unidades cuadradas;
por ejemplo, pies cuadrados o centímetros cuadrados.
3. Regiones congruentes tienen áreas iguales.
4. El área de la unión de dos regiones que se traslapan sólo en un segmento de
recta es la suma de las áreas de las dos regiones.
5. Si una región está contenida en una segunda región, entonces el área de la
primera es menor o igual que el de la segunda.
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¿CÓMO CALCULAR EL ÁREA SI LA
FUNCIÓN ES DESCONOCIDA?George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) quien nos dio la
definición moderna. La primera noción es la de una suma de Riemann.
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SUMA DE RIEMANN
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La siguiente función está definida
en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏(no es necesaria su continuidad).
Se divide el intervalo 𝑎, 𝑏 en
sub intervalos.
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SUMA DE RIEMANNSuma de Riemann para f correspondiente a la partición P
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EJEMPLO
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EJEMPLO
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¿QUÉ SUCEDE SI EL ÁREA ESTÁ
POR DEBAJO DEL EJE X?
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EJEMPLO
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EJEMPLO