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Congruencia de triángulos
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Dos figuras son congruentes si poseen idéntica forma y superficie, es decir si las sobreponemos coincidirían plenamente
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Al ser congruentes los triángulos, ABC y A'B'C', de la figura anterior, se llaman lados correspondientes u homólogos a los opuestos a ángulos iguales (a con a’ ; b con b’; c con c’) y ángulos correspondientes u homólogos a los opuestos a lados iguales ( con ’ ; con ’; con ’), cumpliéndose que los elementos homólogos de triángulos congruentes son iguales.
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Teorema a. l. a.: Si dos triángulos poseen dos ángulos consecutivos congruentes, como también el lado comprendido entre esos ángulos estos triángulos serán congruentes
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Teorema l. a. l.: Si dos triángulos poseen dos lados consecutivos congruentes, como también el ángulos comprendido entre estos ángulos, entonces estos triángulos serán congruentes
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Teorema l. l. l. : Si dos triángulos poseen tres lados congruentes, entonces estos triángulos son congruentes.
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Teorema l. l. a.: Si dos triángulos poseen dos pares de lados congruentes y el ángulo opuesto al mayor de los lados, estos triángulos son congruentes
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Ejercicios:
1) Entre los siguientes triángulos, escójanse los que sean congruentes y justifique con el teorema respectivo:
I III por teo. L.A.L. II III por teo. A.L.A.
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I II III por teo. L.L.L.
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2) Indique si son congruentes las siguientes parejas de triángulos:
110º
103º
45º
912
Por teorema A.L.A.
Por teorema L.A.L.L.L.L. o L.L.A.
El tener ángulos iguales no asegura la congruencia.
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Nota: Si dos triángulos tienen dos pares de ángulos iguales; los terceros ángulos son también iguales.
III) AHE BHD (...)
I) ADC BEC (...)A
D
C C
E
B
II) ABE BAD (...)
A B A B
E D E D
BA
H H
V
V V
• •• •• •
••
A.L.A.
A.L.A.
A.L.A.
3) ABC isósceles base; H ortocentro. Determine (V) o (F):
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4) Si AE ED y EAC EDB ; luego "x" e "y" valen:
E = E ()
AE = ED
A = D ()
AEC DEB
(Teorema A.L.A.)
Los lados homólogos son iguales; luego:
2x - 5 = 33 26 = 3y + 2
Nota: Los lados homólogos son los opuestos a ángulos iguales.
2x = 38 /:2
x = 19
24 = 3y
8 = y
/:3
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5) Si AB = AD y BC = DC ; luego "x" e "y" valen:
AB = ADBC = DCAC = AC
ABC ADC
(Teorema L.L.L.)
Los ángulos homólogos son iguales; luego:
26º = x + 20º y - 5º = 42º
y = 47º6º = x
Nota: ángulos homólogos son los que se oponen a lados iguales.
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6) Si AE = EB y DE = CE ; luego "x" e "y" valen:
AE = EBE = E ()
DE = CE
AED BEC
(Teorema L.A.L.)
Los ángulos homólogos son iguales; luego:
4y = x
3y + 6 = x - 6
3y + 6 = x - 6
3y + 6 = 4y - 6
12 = y
4y = x
4·12 = x
48 = x
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7) Si ABC isósceles base AB ; demostrar que la bisectriz del ángulo del vértice es transversal de gravedad y altura.
• •
C = C (•)
A = B ()
AC = BC ADC BDC
(Teorema A.L.A.)
Luego el ADC = BDC
=
pero + = 180º
2 = 180º /:2
= 90º
CD es altura.
(i)
CD es transversal.
D es punto medio AB
Luego AD = BD
(ii)
Lados homólogos iguales.
Angulos homólogos iguales.
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8) Si ABCD romboide, demostrar en este paralelogramo que sus diagonales se dimidian; es decir que AE = EC y BE = ED.
•
•
A = C (•)
D = B ()
AD = CB ADE CBE
(Teorema A.L.A.)
Los lados homólogos son iguales; luego:
(i) AE = EC
(ii) BE = ED