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CONCEPTOS GENERALES
MECÁNICA DE MATERIALES
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INTRODUCCIÓN La Mecánica de Materiales es una rama de la Mecánica Aplicada que estudia elcomportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de cargas. Tambiénrecibe el nombre de Mecánica de Cuerpos Deformables o Resistencia de Materiales.
El objetivo principal de la Mecánica de Materiales es determinar los esfuerzos,deformaciones unitarias y desplazamientos en estructuras y sus componentes
debido a las cargas que actúan sobre ellas.La Mecánica se divide en:
Mecánica de Cuerpos Rígidos: establece que los cuerpos a considerar no sedeforman aunque estén sujetos a grandes fuerzas.
Mecánica de Cuerpos Deformables: se refiere a los objetos sólidos que no son
rígidos y se deforman en cierto grado aunque se le apliquen cargas pequeñasMecánica de Fluidos: se refiere al estudio del comportamiento de los líquidos y delos gases.
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RESEÑA HISTÓRICA El desarrollo histórico de la mecánica de materiales es una mezcla tanto de teoría como deexperimentación. La teoría ha señalado el camino para obtener resultados útiles enalgunos casos y la experimentación lo ha hecho en otros.
Algunos personajes famosos como Leonardo da Vinci (1452-1519) y Galileo Galilei (1564-
1642) realizaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas,aunque no desarrollaron teorías adecuadas (con respecto a las normas actuales) paraexplicar los resultados de sus pruebas.
En contraste, el famoso matemático Leonhard Euler (1707-1783) desarrolló la teoríamatemática de las columnas y en 1744 calculó la carga crítica de una columna, muchoantes que existiera alguna evidencia experimental que demostrara la importancia de susresultados.
Los resultados de Euler permanecieron sin usarse durante más de cien años, aunque en laactualidad constituyen la base del diseño y análisis de la mayoría de las columnas.
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RESEÑA HISTÓRICA El estudio teórico – experimental continuó en Francia con personajescomo Barre de Saint Venant (1797 – 1886), Simeon Denis Poisson (1781 – 1840), Louis Marie Henri-Navier (1785 – 1836), los cuales basaron susinvestigaciones en aplicaciones de la mecánica a los materiales y
llamaron a este estudio Resistencia de Materiales.
Actualmente se aplican matemáticas avanzadas y técnicas decomputación para resolver problemas más complejos, lo que extendióla Mecánica de Materiales a otras áreas tales como La Teoría de la
Elasticidad y Teoría de la Plasticidad.
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MIEMBROS ESTRUCTURALES
Barras y ejes prismáticos
Alambres y cablesArmaduras
Mecanismos
Vigas.
TIPOS DE CARGAS
Los tipos de cargas serán de lossiguientes tipos:
Puntuales: Axiales en ejes o barras
Transversales en vigas
Distribuidas uniformemente ovariables:• Axiales en ejes o barras
• Transversales en vigas
Pares flexionantes en vigas.
Pares torsionales puntuales enejes.
Pares torsionales distribuidos enejes.
Efectos de temperatura en ejes obarras.
Deformaciones inducidas en ejes obarras.
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ESFUERZOS
El esfuerzo es la fuerza por unidad de área. Estos puedenser: normales y cortantes.
ESFUERZOS NORMALES
El esfuerzo normal es el esfuerzo en dirección
perpendicular a la sección plana y se denota por la letragriega σ (sigma).
Donde
P es la fuerza axial que actúa en el centroide de la sección.A es el área nominal de la sección transversal de la barraprismática.
Las unidades comunes de esfuerzo son lb/plg2 o klb/plg2,para el sistema norteamericano y N/m2 o kN/m2 para elsistema internacional.
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DEFORMACIÓN NORMAL
Alargamiento o acortamientolongitudinal de un elemento recto,
definido por la letra griega delta (δ).
−
= deformación axial de la barra;puede ser de alargamiento o deacortamiento.
= longitud final de la barra, luegode aplicada la fuerza axial.
L = Longitud sin deformar de labarra.
DEFORMACIÓN UNITARIA AXIAL
La deformación unitaria puede darsepor tensión o por compresión.
ϵ = es la deformación unitaria.
Unidades: cantidad adimensional,
aunque puede usarse en mm/m,in/in, etc.
Condiciones:
Material homogéneo en toda labarra prismática: Debe tener lamisma composición (y enconsecuencia las mismaspropiedades elásticas) en cadapunto.
Carga aplicada en el centroide de lasección.
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Ejemplo
Un poste corto, construido con untubo circular hueco de aluminio,soporta una carga de compresión de26 klb.
Los diámetros interior y exterior deltubo son d 1 = 4.0 plg y d 2 = 4.5 plg,respectivamente, y su longitud es 16plg. El acortamiento del poste debidoa la carga es de 0.012 plg.
Determine el esfuerzo de compresióny la deformación unitaria en el poste.
(Desprecie el peso propio del poste.)
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PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS
MATERIALESENSAYO DE TENSIÓN
Muestra calibrada de la ASTM:
L = 2.0 in, d = 0.505 in
ASTM = American Society of Testingand Material.
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ENSAYOS DE TENSIÓN
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ENSAYOS DE TENSIÓN
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Estricción de una barra de acero dulce en tensión.
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ENSAYOS DE TENSIÓN
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DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA
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DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA
Comportamiento Elástico: en la región lineal se puede obtener el módulode elasticidad o módulo de Young.
∆∆
Límite de proporcionalidad: punto donde el material deja de ser elástico.Esfuerzo de Cedencia: ( − ) aquel que hace que el material deja deser elástico y se adquiere deformaciones permanentes.
Esfuerzo ultimo: es el máximo esfuerzo que puede resistir el material.
Módulo de resiliencia: es el área bajo la curva en el tramo de la región
elástica y representa la capacidad del material de absorber energía sindeformarse.
Tenacidad: es el área bajo toda la curva de esfuerzo vs deformaciónunitaria y representa la capacidad del material de absorber y liberarenergía dentro del intervalo elástico.
MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN 14
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DIAGRAMA DE ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA
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MÉTODO DE DESPLAZAMIENTO PARA ESTABLECER EL
ESFUERZO DE FLUENCIA
Se aplica para gráficas demateriales sin punto de fluenciabien definido.
Se traza una línea recta paralelaal tramo inicial de la curva,desplazada hasta unadeformación unitaria de 0.002(0.2%).
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DEFINICIONES BÁSICAS
Resistencia: es un término que se refiere a la capacidad de una estructura para resistircargas.
Rigidez: se refiere a la capacidad de una estructura para resistir cambios de forma (porejemplo para resistir alargamiento, flexión o torsión.
Elasticidad: propiedad de un material de volver a sus dimensiones originales cuando sedescarga.
Plasticidad: característica de un material de sufrir deformaciones unitarias inelásticas,más allá de la deformación unitaria en el límite elástico.
Flujo plástico: deformación unitaria grande en la región plástica.
Termofluencia: deformación unitaria adicional de un material que es cargado duranteperiodos largos.
Material isotrópicos: material que tiene las mismas propiedades en todas lasdirecciones (ya sea axial, lateral o cualquier otra dirección).
Material anisotrópicos: Si las propiedades difieren en distintas direcciones.
La fatiga: se define como el deterioro de un material por acción de ciclos repetidos deesfuerzo y deformación, lo que resulta en un agrietamiento progresivo que finalmenteproduce la fractura.
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P (lb) (pulg)
0 0
1000 0.0002
2000 0.0006
6000 0.0019
10000 0.003312000 0.0040
12900 0.0043
13400 0.0047
13600 0.0054
13800 0.0063
14000 0.0090
14400 0.0102
15200 0.0130
16800 0.023018400 0.0336
20000 0.0507
22400 0.1108
22600 0.1200
s (psi) e (pulg/pulg) 0 0
4992.6 0.00010
9985.2 0.00030
29955.6 0.00095
49926.1 0.0016559911.3 0.00200
64404.6 0.00215
66900.9 0.00235
67899.5 0.00270
68898.0 0.00315
69896.5 0.00450
71893.5 0.00510
75887.6 0.00650
83875.8 0.0115091864.0 0.01680
99852.1 0.02535
111834.4 0.05540
112832.9 0.06000
Longitud = 2.000 pulg
Diámetro = 0.505 pulg
MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN 18
EJEMPLO 1
Datos GráficoCálculos
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MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN 19
EJEMPLO 2
s
(MPa)
e (m/m)
0.00 0.00000
8.00 0.00320
17.50 0.00730
25.60 0.01110
31.10 0.01290
39.80 0.01630
44.00 0.01840
48.20 0.02090
53.90 0.02600
58.10 0.03310
62.00 0.04290
62.10
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500
s (Mpa)
e
Datos L-1Gráfico L-2
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ENSAYO DE COMPRESIÓN DE CILINDROS DE CONCRETO.
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El espécimen de concreto para ensayos de compresión deberá tener lasdimensiones siguientes:
L = 12 plg, d = 6 plg (ASTM).
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LEY DE HOOKE Se le llamó así a esta ecuación en honor del famoso científico inglesRobert Hooke (1635-1703), quien fue la primera persona queinvestigo científicamente las propiedades elásticas de los materiales y
probo varios de ellos como metal, madera, piedra, hueso y tendones.Esta ecuación representa la relación lineal entre el esfuerzo y ladeformación unitaria para una barra en tensión o compresión simple.
El módulo de elasticidad con frecuencia se llama módulo de Young,en honor de otro científico ingles, Thomas Young (1773-1829), quien
introdujo la idea de un “modulo de la elasticidad” en conexión conuna investigación de tensión y compresión de barras prismáticas.
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RELACIÓN DE POISSON La deformación unitaria lateral ϵ’ encualquier punto en una barra esproporcional a la deformación unitariaaxial ϵ en el mismo punto, si el materiales linealmente elástico. La relación deesas deformaciones unitarias es unapropiedad del material conocida como
relación de Poisson.ν − ′
La relación de Poisson recibe su nombreen honor del matemático francés
Simeon Denis Poisson (1781-1840)Condiciones. Material linealmenteelástico, homogéneo e isotrópico.
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Ejemplo:
Un tubo de acero con longitud L = 4.0 ft,diámetro exterior d 2 = 6.0 in y diámetro interiord 1 = 4.5 in, se comprime mediante una fuerzaaxial P = 140 k. El material tiene un módulo deelasticidad E = 30 000 ksi y una relación dePoisson ν = 0.30.
Determine las siguientes cantidades para eltubo:
(a) Su acortamiento δ.
(b) La deformación unitaria lateral ϵ’.
(c) El aumento Δd 2 del diámetro exterior y elaumento Δd 1 del diámetro interior.
(d) El aumento Δt en el espesor de la pared.
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ESFUERZO CORTANTE
El esfuerzo cortante es el queactúa de manera tangencial a la
superficie del material.Esfuerzo cortante promedio: sedenota con la letra griega τ (tau).
A
Donde
V es la fuerza cortante otangencial a la superficie y
A es el área de la sección.
Conexión con perno en la que esteestá sometido a cortante doble.
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ESFUERZO DE SOPORTE PROMEDIO
Es el esfuerzo que resiste el perno cuando esaplastado por las placas.
σb es el esfuerzo de aplastamiento. F b es la fuerza de aplastamiento.
Ab es el área aplastada en el perno proyectada
ortogonalmente.
LEY DE HOOKE EN CORTANTE
τ Gγ G es el módulo de elasticidad en cortante
γ es la deformación unitaria cortante.
G E2 1 + ν
Conexión con perno en la que el pernoesta sometido a cortante simple.
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Ejemplo:En la fi gura se muestra un punzónpara hacer agujeros en placas deacero. Suponga que se utiliza unpunzón con un diámetro d = 20 mmpara hacer un agujero en una placade 8 mm de espesor, como semuestra en la vista transversalcorrespondiente.
Si se requiere de una fuerza P = 110kN para hacer el agujero, cuál es el
esfuerzo cortante promedio en laplaca y el esfuerzo de compresiónpromedio en el punzón?
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Ejemplo:Para la conexión mostradaen la figura determine elesfuerzo cortante y elesfuerzo de aplastamientoen cada perno si P = 60 klb.
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FACTOR DE SEGURIDAD
El factor de seguridad tiene una base probabilística y considera la incertidumbre en larespuesta del material cuando cumple su función. considera también:
La resistencia y servicio de la estructura a diseñar.
La probabilidad de sobrecarga, tipos de cargas, fatiga, corrosión, mala construcción, etc.
El factor de seguridad se expresa como
Donde
n es el factor de seguridad.La resistencia verdadera en el mayor de los casos es el esfuerzo de cedencia del material.
La resistencia requerida el máximo esfuerzo que se espera resista el material. También se le denominaesfuerzo permisible o de trabajo.
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ESFUERZO PERMISIBLE
Para tensión Para cortante
Para acero dúctil en tensión n = 1.67. Si el material no tiene un esfuerzo de cedencia bien definido sepuede utilizar el esfuerzo último.
CARGAS PERMISIBLES
× á
Para tensión y compresión pura × Para cortante directo × Para aplastamiento ×
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DISEÑO POR CARGAS AXIALES Y CORTANTE DIRECTO
El diseño es la selección de las dimensiones de un miembro estructural,conociendo las propiedades del material con la cual es fabricado y considerandoaspectos de resistencia, servicio, rigidez y estabilidad.
◦ Servicio es la capacidad del miembro diseñado de funcionar de acuerdo al propósito delmismo.
◦ Estabilidad es la capacidad del miembro de resistir pandeo bajo cargas de compresión.
Es importantes optimizar el diseño en términos de peso y costos.
Para el diseño lo mas común es determinar el área de la sección al esfuerzo
En el caso por tensión sería
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Ejemplo:1. Para la conexión mostrada
determine el diámetro mínimo quedeben tener los pernos si P = 60 klb.
2. Determine la carga máxima P quepuede aplicarse a la conexión si eldiámetro de cada perno es de ½pulgadas.
Considere que los esfuerzos permisiblesson
30 20
Solución
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Elementos cargados
axialmente MECÁNICA DE MATERIALES
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CAMBIOS DE LONGITUD DE ELEMENTOS CARGADOS AXIALMENTE
Si
y Entonces
y
Donde
es la constante de rigidez o fuerza requeridapara producir un alargamiento unitario.
es la constante de flexibilidad o alargamientodebido a una fuerza unitaria.De lo anterior resulta que
y
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BARRAS PRISMÁTICAS
Si y se obtiene
Con se obtiene
Despejando de la ecuación anterior queda
Es la fórmula para obtener el alargamiento o acortamiento de una barraprismática, debido a una carga axial P.
Como entonces
Si el miembro consta de dos o mas secciones prismáticas como lo muestra lafigura, entonces la deformación se puede obtener como
=
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Ejemplo 2.
La barra rígida abc está sostenida por unalambre en a y tiene una carga P aplicada en el punto c, tal como semuestra en la figura. Determine eldesplazamiento del punto c debido a laacción de la carga P .
Ejemplo 1. Determinar la deformación axial en los siguientes casos.
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ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS
Una estructura se considera indeterminada estáticamente cuando no es posibledeterminar sus reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio, es decir,
0 ; 0 ; 0
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ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS:
MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
El propósito del método es transformar la estructuraindeterminada en estructuras determinadas, paraanalizarlas individualmente.
El método de superposición suma los efectos porseparado, de las cargas y efectos externos, más elefecto de la redundante (ver figura).
Se consideran las relaciones geométricas asociadas ala redundante, y se expresan mediante una ecuacióndenominada de compatibilidad.
Para la figura se selecciona a la reacción en A como laredundante y dado que se suelta ese extremo, sedetermina el desplazamiento o deformación de esepunto para cada caso por separado.
+ 0 Lo que procede es determinar el desplazamiento delpunto A para cada caso y despejar el término RA.
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EjemplosPara cada barra indeterminada determine la deformación de cadatramo, si se sabe que E = 29000 ksi.
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EjemplosLa barra rígida abcd está sostenida por alambres en a y en c y tiene unacarga P aplicada en el punto d , tal como se muestra en la figura.Determine el desplazamiento del punto d debido a la carga P .
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EFECTOS TÉRMICOS
Ecuación de deformación unitaria portemperatura
∆
deformación unitario por temperatura. coeficiente de dilatación térmica.∆ cambio de temperatura.
∆
∆
Donde es la deformación por efectostérmicos.
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DESAJUSTES Y DEFORMACIONES PREVIAS
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CARGA DE IMPACTO Las cargas se pueden clasificar como estáticas odinámicas, dependiendo de si permanecenconstantes o varían con el tiempo.
Carga estática: se aplica lentamente para que nocause efectos vibratorios o dinámicos en laestructura. La carga aumenta gradualmente de
cero a su valor máximo y después permanececonstante.
Carga dinámica: puede adoptar muchas formas,algunas cargas se aplican y se remuevenrepentinamente (cargas de impacto), otraspersisten durante periodos largos y varíancontinuamente de intensidad (cargas fluctuantes).
Las cargas de impacto se producen cuando dosobjetos colisionan o cuando un objeto en caídagolpea una estructura. Las cargas fluctuantes seproducen por maquinaria rotatoria, transito,rachas de viento, olas de agua, sismos y procesosde manufactura.
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CARGA DE IMPACTO: ALARGAMIENTO MÁXIMO DE LA BARRA
+ + + +
ℎ 12
ℎ ℎ + á
á
ℎ + á á
2
á +
+ 2ℎ
á + +2ℎ
á 1 + 1 + 2ℎ
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CARGA DE IMPACTO: ESFUERZO MÁXIMO DE LA BARRA
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Ejemplo:Una barra prismática redonda deacero (E = 210 GPa), longitud L = 2.0m y diámetro d = 15 mm cuelgaverticalmente de un soporte en suextremo superior. Un collarín
deslizante con masa M = 20 kg caedesde una altura h = 150 mm sobreuna brida en el extremo inferior dela barra sin rebotar.
a) Calcule el alargamiento máximo
de la barra debida al impacto.b) Calcule el esfuerzo de tensión
máximo en la barra.
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Ejemplo:Una barra horizontal AB con longitud L recibe un impacto en su extremolibre por un bloque pesado con masa M que se mueve horizontalmente convelocidad v .
(a) Determine el acortamiento máximo δmáx de la barra debido al impacto.
(b) Determine el esfuerzo de compresión máximo σ máx de la barra. (Sea EAla rigidez axial de la barra).