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Matemática III Ingeniería Civil
Mg.Mat. Edinson Idrogo Burga
Agosto – 2015.
Mg. Edinson Idrogo Burga 1
Definición: Una ecuación diferencial es una ecuación que
relaciona una función f con una o mas de las derivadas de la
función.
Ejemplos:
(Vibraciones mecánicas, circuitos eléctricos, sismología)
(Deflexión de una Viga)
(Ecuación de Laplace, teoría del potencial, electricidad, calor)
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txdt
dx
dt
xd3cos2925 )1
2
2
)1(8 )24
4
xxdx
yd
0 )32
2
2
2
y
u
x
u
Ecuación Diferencial Ordinaria (E. D. O)
Es aquella ecuación diferencial, en la cual intervienen una
función de una sola variable independiente, así como las
derivadas ordinarias de dicha función.
Ejemplos:
(Velocidades de las reacciones químicas)
(Aerodinámica, análisis de esfuerzo)
(Movimiento armónico simple)
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ctekxxkdt
dx ),1)(4( )1
0 )22
2
xydx
dy
dx
ydx
kxdt
xdm
2
2
)3
Ecuación Diferencial Parcial (E. D. P)
Es aquella ecuación diferencial, en la cual intervienen una
función de dos o mas variables independientes, así como
las derivadas parciales de dicha función.
Ejemplos:
(Vibraciones de una viga)
(Ecuación del calor)
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2
22
2
2
)1x
ya
t
y
2
2
)2x
uk
t
u
Ejemplos: Determina el orden y grado de las siguientes
ecuacion.es diferenciales
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0 )12
2
C
Q
dt
dQR
t
Qd
0 )2
5
2
24
3
3
y
dx
yd
dx
yd
xyy cos )3
0)()( )4 43 yyyx
SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de enésimo orden se
puede expresar en la forma general
Donde F es una función de la variable independiente “x”, la variable
dependiente “y”, y las derivadas de y hasta de orden n.
SOLUCIÓN EXPLICITA
Se llama solución explicita de la ecuación (1) en un intervalo I a la
función que, al sustituirse por y en la ecuación, la satisface para
todo valor x del intervalo I
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)1( 0,,,,
n
n
dx
yd
dx
dyyxF
)(x
Ejemplos:
1) Demuestre que: es una solución explicita de
2) Verificar que la función: es una
solución explicita de la ecuación diferencial:
3) Comprobar que la función:
Satisface a la ecuación diferencial:
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12)( xxx
0)(2
)(2
xyx
xy
senxxexx x 2cos221)(
senxdx
yd
dx
yd4
2
2
3
3
x
xtx cedteey0
2
2xxeydx
dy
SOLUCIÓN IMPLÍCITA:
Se dice que una función G(x,y) = 0 es una solución implícita de la
ecuación (1) en el intervalo I, si define una o mas soluciones explicitas
en I.
Ejemplos:
1) Demuestre que es una solución implícita de la
ecuación diferencial no lineal
2) Demuestre que es solución implícita de
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yxexyxy )(
022 22 yxyedx
dyxxye yxyx
0 xyeyx
01)1( xyxy yedx
dyxe
Origen de las Ecuaciones Diferenciales
Las ecuaciones diferenciales aparecen no solo a partir delas familias de curvas geométricas, sino también delintento de describir en términos matemáticos problemasfísicos en ciencias e ingeniería.
Ecuación Diferencial de una Familia de Curvas
Se obtiene mediante la eliminación de las constantes (oparámetros) y esto se obtiene aislando la constante enun miembro de la ecuación y derivando.
13Mg. Edinson Idrogo Burga
Ejemplos:
1) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es:
2) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución general es:
3) Determina la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que
pasan por el origen y cuyos centros están en el eje x.
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xecxcy 21
)cos()(cos xxsenxBxsenxxAy
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE UNA SOLUCION
Dado el problema de valor inicial
Supóngase que y son funciones continuas en un rectángulo
Que contienen al punto . Entonces, el problema de valor inicial
tiene una solución única en algún intervalo
Donde h es un numero positivo.
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00 )(
),(
yxy
yxfdx
dy
f yf /
} ,:),{( dycbxayxR
),( 00 yx)(x ,00 hxxhx
Ejemplo: Demuestre que:
es una solución del problema de valor inicial
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xsenxx cos)(
1)0( ;02
2
yydx
yd
TRABAJO EN EQUIPO (25 MIN)1) Determina el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales
2) Verifica que la función
es solución de la ecuación diferencial.
3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es:
4) Obtenga la ecuación diferencial de la familia de parábolas cuyos vértices
y focos están en el eje x.
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1)()(cos ) 42 ysenxyxa 4
2
2
2
)
dx
dyy
dx
ydb
x
xtx edteexy0
222
)(
xx ececxy 2
21
2
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1) Eduardo Espinoza Ramos. (2010). Ecuaciones Diferenciales y sus
Aplicaciones. Lima – Perú.
2) Dennis Zill. Ecuaciones Diferenciales con modelado. México: Ed.
Grupo editorial Iberoamérica.
3) R. Kent Nagle, Edward B. Salf. Fundamentos de Ecuaciones
Diferenciales. Ed. Addison – Wesley Iberoamericana.
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