Tema 02
Análisis de prestaciones e introducción al dimensionamiento en redes de conmutación de paquetes
Tema 02
Análisis de prestaciones e introducción al dimensionamiento en redes de conmutación de paquetes
Rafael Estepa AlonsoUniversidad de Sevilla
Índice del Tema 02Índice del Tema 022.1 Introducción a las Prestaciones en las redes de Ordenadores
2.1.1 Introducción a los indicadores de prestaciones y los SLA
2.1.2 Modelo simple del retardo en una red de conmutación de paquetes
2.1.3 Enfoques para la evaluación de prestaciones
2.2 Modelos de Colas2.2.1 Modelos de Colas
2.2.2 Fórmula de Little
2.3 El proceso de Poisson2.3.1 Propiedades básicas
2.3.2 Caracterización
2.3.3 Adición y división de procesos de Poisson
2.3.4 propiedad PASTA
2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor
2
2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor2.4.1 El sistema M/G/12.4.2 Clases y Prioridades
2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M/1 y M/M/1/L
2.6 Introducción a las redes de colas: redes de Jackson
2.7 Fuentes on-off e introducción al modelo de Fluidos2.7.1 Modelo de una fuente on-off
2.7.2 Introducción a la multiplexión de fuentes on-off
2.7.3 Solución para colas de tamaño finito
2.7.4 Solución para colas de tamaño infinito
2.8 Dimensionamiento 2.8.1 Dimensionamiento con el modelo de fluidos
2.8.3 Dimensionamiento con el modelo del ancho equivalente de Guerin
El Proceso de PoissonEl Proceso de Poisson
Definición: si los {Xn,n > 1} es una secuencia de v.a. i.i.d. exp(λ) el
proceso contador N(t) es un Proceso de Poisson con parámetro λ y
se denota por PP(λ).
La variable N(t) es un proceso de Poisson si cumple con:
N(0) = 0
El número de eventos que ocurren en un subintervalo de tiempo es
3
independiente del número de eventos que ocurren en otro subintervalo
de tiempo disjunto
La probabilidad de que ocurra un evento en un subintervalo es
proporcional a su longitud (temporal o espacial) y es la misma para
todos los subintervalos
limt�0P(N(t)=1) / t = λ
limt�0P(N(t)>1) / t = 0
1
2
3
N(t)
tS0 S1 S2 S3
Propiedades del Proceso de Poisson (PP)Propiedades del Proceso de Poisson (PP)
Propiedad importante de los procesos de Poisson
La unión o separación de PP es también un PP
PASTA: la distribución del número de clientes en el sistema (Pn)
que es observada por los clientes que llegan al sistema es una
media temporal perfectamente aleatoria del estado real del sistema
Pn
Los instantes de llegadas de un proceso de posisson son instantes de
muestreo independientes y perfectamente aleatorios para observar la
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muestreo independientes y perfectamente aleatorios para observar la
distribución de probabilidad a lo largo del tiempo.
t
Pi
t
123
Es un proceso SIN memoriaEs un proceso SIN memoria
El comportamiento no depende del pasado ni de mi punto de
observación.
R = vida residual de una variable (X)� E( R) = E(X)/2 + Var(X)/(2*E(X))
Si X es exponencial (llegadas de Poisson)� E( R) = E(X), pero además F( R) = F(X)
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X
Observador en
Instante aleatorio
i R
Introducción a las Redes de OrdenadoresIntroducción a las Redes de Ordenadores
2.4 Sistemas sin pérdida M/G/1: modelo básico de multiplexor
2.4.1 El Sistema M/G/1
2.4.2 Clases y Prioridades2.4.2 Clases y Prioridades
El sistema M/G/1El sistema M/G/1
Hasta ahora tenemos tres relaciones
N=λT , Q= λW , T= W+1/µ Cuarta ecuación
W=W0+W1
� W0 = ρ E[R] = λ E[S^2]/2 , lo que le falta a la tarea en el servidor
� W1 = Q/µ , lo que debo esperar por la cola (disciplina FCFS)
Reordenando: W = λE[S^2]/2 + ρW� Relación entre media y varianza: E[S^2] = E[S]^2 + Var[S]
Para solucionar un sistema M/G/1 necesitaré
Entradas: E[X], E[S], Var[S]
Salidas: N,T,W,Q (son valores medios)
Contexto: No saturación (Little), disciplina FCFS, llegadas Pois.
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Clases y PrioridadesClases y Prioridades
Supongamos un sistema con P clases de tráfico (cada una ρ i =λi/ µi)
Donde: λi / λ es la proporción de individuos de clase i
Tendremos que:
� T = λ1 / λ * T1 + λ2 / λ * T2 + --- (donde Ti * λi = Ni) y N = N1+N2+ …
� W = λ1 / λ * W1 + λ2 / λ * W2 + --- (donde Wi * λi = Qi) y Q = Q1+Q2+ …
A cada clase de tráfico se le asocia una prioridad� En la misma clase se aplica el orden de llegadas (FCFS)
Teorema de la conservaciónTeorema de la conservación ρ1 W1+ ρ1W2 +… = cte = ρWo/(1-ρ)
(donde Wo= ρ1E[R1]+ ρ2E[R2]+… = (λ1E[S1^2]+λ2E[S2^2]+ … )/2
8
1 2
3
…
P
λ2
λ1
λ = λ1+ λ2…+ λP
λ3
λP
Disciplina HOL (priorización estricta)Disciplina HOL (priorización estricta)
Asignamos prioridades: clase 1 -> máx prio, clase P-> mín prio
Busco calcular: Wi (tiempo de espera en cola para clase i)
Wi= Wo+Wi1+Wi
2
Wi1 espera por trabajos de mayor prioridad que estaban en cola
�Wi1=Q1/µ1 +Q2/µ2 +… + Qi/µi
Wi2 espera por trabajos de mayor prioridad que llegarán en Wi
�W 1=W ρ +W ρ +… + W ρ�Wi1=Wiρ1 +Wiρ2 +… + Wiρi-1
Solución Final (fórmula de Cobham para M/G/1 y HOL sin apropiación)
Wi= Wo / [(1- ρ1 -ρ2 -…ρi-1 )*(1- ρ1 -ρ2 -…ρi )]
Ahora puedo calcular W y T para el sistema.
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Introducción a las Redes de OrdenadoresIntroducción a las Redes de Ordenadores
2.5 Sistemas con pérdidas y procesos de nacimiento y muerte: M/M1 y M/M/1/L
2.5.1 Procesos de nacimiento y muerte
2.5.2 Prestaciones en un sistema M/M/12.5.2 Prestaciones en un sistema M/M/1
2.5.3 Prestaciones en un sistema M/M/1/L y M/M/m/m
Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte
Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la transición entre estados adyascentes (pij = 0 , j ≠i±1).
t
123
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Nos permiten averiguar el estado del sistema (número de usuarios
en el sistema) además de otras variables de interés
Sea N(t) = A(t) – D(t)
A(t) es el número de tareas llegadas al sistemas hasta el instante t
(nacimientos) (A(0) = 0)
D(t) es el número de tareas que han salido del sistema hasta el instante
t (muertes)
Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte
Si A(t) y D(t) son Procesos de Poisson entonces N(t) es un proceso
de nacimiento y muerte (* y †) que cumple lo siguiente:
Sin memoria: la evolucion temporal del proceso en un instante t es
independiente del estado del sistema en los instantes anteriores
Homogeneidad: las probabilidades de transicion son estacionarias
(independientes del instante t). Luego N(t) es un proceso de Markov
homogeneo
� Probabilidad de transición entre estados
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� Probabilidad de transición entre estados
Nacimientos y muertes individuales: durante un intervalo de tiempo
∆t suficientemente pequeño sólo es posible cambiar a un estado
adyascente
n n+1n-1
Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte
Como consecuencia de las propiedades anteriores, el proceso
estocástico de de nacimiento y muerte cumplirá que:
qm,m+1 = λm∆t , donde λm se llama tasa de nacimientos del estado m
qm,m-1 = µm∆t , donde µm se llama tasa de muertes del estado m
qm,m = 1- (λm + µm) ∆t
Queremos obtener las probabilidades a largo plazo de Pn
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n
Para ello observo la evolución temporal pn(t)
A largo plazo se cumple que …
m m+1m-1
qm,m+1
qm,m-1
Procesos de Nacimiento y MuerteProcesos de Nacimiento y Muerte
En general
pi
Sum pi = 1
Estadísticos de utilidadqm,m+1
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m m+1m-1
qm,m-1
EjercicioEjercicio
En la cola de salida de un router, se desea conocer el número
medio de paquetes en la cola del enlace. La cola sólo tiene 3
posiciones . Para ello se ha medido experimentalmente y se
observa que los procesos de entrada y salida del sistema son
Poissonianos con tasa (4,3,2,1,1) y (0,4,3,2,2) en función del estado
del sistema averiguar:
Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado.
Calcular la probabilidad de que la cola este llena.
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Calcular la probabilidad de que la cola este llena.
Calcular numero medio de paquetes en el sistema
Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema
¿cómo cambiaría si las tasas fueran independientes del estado del
sistema? (p.e 2 y 4)
Sistema M/M/1Sistema M/M/1
Aplicación de lo anterior a un sistema de colas M/M/1
A(t) Poisson , D(t) Poisson
Suponemos que A(t) y D(t) no dependen del estado del sistema
� Tasa de nacimiento constante: λi = λ , para cualquier estado
� Tasa de muerte: µi = µ , para cualquier estado
Sustituyendo en la expresión de p0 tenemos
p0 = 1- ρ
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pi
Resto de estadísticos
EjercicioEjercicio
En la cola de salida de un router, se desea conocer el número
medio de paquetes en la cola del enlace. La cola tiene infinitas
posiciones . Para ello se ha medido experimentalmente y se
observa que los procesos de entrada y salida del sistema son
Poissonianos con tasa 2 y 4 independientemente del estado del
sistema averiguar:
Calcular la probabilidad de que el sistema este ocupado.
Calcular la probabilidad de que la cola este llena.
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Calcular la probabilidad de que la cola este llena.
Calcular numero medio de paquetes en el sistema
Calcular el número medio de paquetes en la cola
Calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema
Sistema M/M/1Sistema M/M/1
Distribución del retardo (no es posible que haya pérdidas)
Uso de la propiedad PASTA del proceso de llegadas
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Uso como Modelo ideal de un multiplexor de paquetes
Estimación de tiempo medio de espera en cola
Uso como estimación grosera de probabilidad de pérdidas (ρL)
EjemploEjemplo
Supongamos una aplicacion de VoIP que se ejecuta en 46
ordenadores que estan conectados en una LAN (enlace punto-
multipunto donde suponemos que no hay colision) y que sale hacia
el destino a traves de un router que tiene un enlace de conexion con
Internet de 1 Mb/s. Suponga que los paquetes que generan las
aplicaciones de VoIP consituyen un PP y se generan con un patron
de tiempo entre paquetes exponencial de media 30ms. Suponga
tambien que el tiempo de servicio (tamaño del paquete) requerido
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tambien que el tiempo de servicio (tamaño del paquete) requerido
por cada paquete tambien es exponencialmente distribuido con una
media de 80B.
Los paquetes deben sufrir un retardo máximo < 70ms al atravesar el
router para que la calidad sea aceptable …. ¿qué probabilidad hay
de que tengan una calidad aceptable?
ResumenResumen
Procesos de Nacimiento y Muerte
Son un caso especial de cadenas de Markov donde sólo es posible la
transición entre estados adyascentes
Propiedades: sin memoria, homogéneos, nacimientos y muertes
individuales
Solución en estado estable (estado del sistema)
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Sistema M/M/1
Proceso de nacimiento y muerte donde las tasas de nacimiento y
muerte no dependen del estado del sistema
Solución
Distribución del retardo en la cola
p0 = 1- ρ
El sistema M/M/1/L y M/M/m/mEl sistema M/M/1/L y M/M/m/m
Buffer de tamaño finito: pérdidas de paquetes.
En este caso:
� Tasa de nacimiento: λi = λ si i<L; λi = 0 para i>=L
– Implica que pn =0 para n>L (pues no hay sitio en el sistema)
� Tasa de muerte: µi = µ , para cualquier estado
Sustituyendo en las ecuaciones:
Estadísticos de interés: Prob de pérdidas (que una llegada encuentre el
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Estadísticos de interés: Prob de pérdidas (que una llegada encuentre el
sistema lleno)
El sistema: M/M/m/m (Aplicado en Telefonia –Erlang-)
� Tasa de nacimiento: λi = λ si i<m; λi = 0 para i>=m
� Tasa de muerte: µi = iµ , para i<=m
– Solución: p0 = (1+I+ I2/2!+ I3/3!+…+ Im/m!)-1 , BLL=Im/m! * p0
Redes de ColasRedes de Colas
Redes Abiertas
Supondremos N nodos tipo M/M/m
Las tareas llegan a la red con una tasa λ* y la probabilidad de saltar del
nodo i al j será qij.
Teorema de Jackson:
� Si λ* no depende del estado de la red:
– Pn = P1(n1)*P2(n2)*P3(n3)* … *PN(nN)
� Además cada nodo se calcula de forma independiente: M/M/m
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� Además cada nodo se calcula de forma independiente: M/M/m
Estadísticos:
T=N/ λ* , donde N=N1+N2+N3+…+NN. T=1/λ*(λ1T1+ λ2T2+ … + λ1T1)
Otros parámetros de interés:
Nº medio de visitas al nodo i = λ1/ λ*
Tiempo medio y servicio demandado en el nodo i
Para ampliarPara ampliar
Lecturas recomendadas
Libros de la biliografía
� Hayes: sección 1.2 (approaches to performance evaluation)
� Peterson: sección 1.5 (Performance)
� León-García: Apéndice A (retardo y pérdida de prestaciones), 7.7.1 y 7.7.2
(colas FIFO y equitativas)
� Kumar: 2.1, 2.2.1
Próxima Clase
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Próxima Clase
Sistemas M/M/1
Cuestiones para revisar lo aprendidoCuestiones para revisar lo aprendido
Deduzca la ecuación de equilibrio de los procesos de nacimiento y
muerte
¿Cómo se resuelve el sistema M/M/1 partiendo de la ecuación
anterior?
Indique cómo averiguar parámetros de utilidad en los sistemas de
colas partiendo del conocimiento del estado del sistema a largo
plazo.
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FIN DE LA CLASEFIN DE LA CLASE
Preguntas ?
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