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Clase 3Funciones lineal y cuadrática
Instituto de Ciencias BásicasFacultad de Ingeniería
Universidad Diego Portales
Marzo de 2014
Funciones lineal y cuadrática
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Función lineal
Definición
Una relación de la formaf (x) = mx + n, dondem, n ∈ R, se llama función lineal
Gráfica de la función linealLa gráfica de esta función corresponde a unarecta en el plano.
Ejemplos
f (x) = 2x − 2 g(x) = −3x + 1
1
−1
−2
1 2−1−2
1
−1
−2
1 2−1−2
Funciones lineal y cuadrática
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Función lineal
Definición
Una relación de la formaf (x) = mx + n, dondem, n ∈ R, se llama función lineal
Gráfica de la función linealLa gráfica de esta función corresponde a unarecta en el plano.
Ejemplos
f (x) = 2x − 2 g(x) = −3x + 1
1
−1
−2
1 2−1−2
1
−1
−2
1 2−1−2
1 ¿Cuál es el dominio y recorrido de las funcionesf y g?.
Funciones lineal y cuadrática
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Función lineal
Definición
Una relación de la formaf (x) = mx + n, dondem, n ∈ R, se llama función lineal
Gráfica de la función linealLa gráfica de esta función corresponde a unarecta en el plano.
Ejemplos
f (x) = 2x − 2 g(x) = −3x + 1
1
−1
−2
1 2−1−2
1
−1
−2
1 2−1−2
1 ¿Cuál es el dominio y recorrido de las funcionesf y g?.2 f y g son funciones ¿crecientes?, ¿decrecientes?.
Funciones lineal y cuadrática
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Gráfica de una función lineal
Pendiente de la recta
La inclinación de rectay = mx + n respecto del ejeX, depende del coeficiente de lavariablex, este valor corresponde a lapendiente de la recta.
Funciones lineal y cuadrática
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Gráfica de una función lineal
Pendiente de la recta
La inclinación de rectay = mx + n respecto del ejeX, depende del coeficiente de lavariablex, este valor corresponde a lapendiente de la recta.
Según sea el signo del coeficientem (m 6= 0), tendremos una de las siguientessituaciones:
Pendiente positiva Pendiente negativa(m > 0) (m < 0)
Funciones lineal y cuadrática
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Gráfica de una función lineal
Pendiente de la recta
La inclinación de rectay = mx + n respecto del ejeX, depende del coeficiente de lavariablex, este valor corresponde a lapendiente de la recta.
Según sea el signo del coeficientem (m 6= 0), tendremos una de las siguientessituaciones:
Pendiente positiva Pendiente negativa(m > 0) (m < 0)
Notamos que sim > 0, la función lineal es creciente, mientras que sim < 0 lafunción es decreciente.
Funciones lineal y cuadrática
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Función constante
Si m = 0 entonces lafunción es constante, es decirf (x) = n para todox ∈ R y sugráfico corresponde a una recta paralela al ejeX.
y = n
Funciones lineal y cuadrática
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Función constante
Si m = 0 entonces lafunción es constante, es decirf (x) = n para todox ∈ R y sugráfico corresponde a una recta paralela al ejeX.
y = n
¿Cómo es el gráfico de la rectax = n?
Funciones lineal y cuadrática
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Función constante
Si m = 0 entonces lafunción es constante, es decirf (x) = n para todox ∈ R y sugráfico corresponde a una recta paralela al ejeX.
y = n
¿Cómo es el gráfico de la rectax = n?
¿La ecuaciónx = n respresenta una función?
Funciones lineal y cuadrática
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Intersección con los ejes coordenados
El punto de intersección de la gráfica de una función realf y el ejeY es(0, f (0)).
Los puntos de intersección con el ejeX, son de la forma(x, 0), tales valores dex, es decir aquellos valores para los cualesf (x) = 0, se llamancerosdef .
Coeficiente de posición de la recta
En el caso de la función linealf (x) = mx + n, el punto de intersección con el ejeYes(0, n), por lo cualn recibe el nombre decoeficiente de posición.
bn
Funciones lineal y cuadrática
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Ecuaciones lineales
Solución de una ecuación lineal
La solución de la ecuaciónmx + n = 0 (dondem 6= 0), corresponde al único cero dela función linealf (x) = mx + n.
Ejemplo: Resuelva la ecuación
43(x + 8) =
34(2x + 12)
Funciones lineal y cuadrática
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Ecuaciones lineales
Solución de una ecuación lineal
La solución de la ecuaciónmx + n = 0 (dondem 6= 0), corresponde al único cero dela función linealf (x) = mx + n.
Ejemplo: Resuelva la ecuación
43(x + 8) =
34(2x + 12)
Solución:
16(x + 8) = 9(2x + 12)
16x + 128= 18x + 108
−2x = −20
x = 10
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
Notamos que:
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
y = x + 1
Notamos que:
El lado izquierdo de la ecuaciónrepresenta la rectay = 3x − 3
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
y = x + 1
b P(2, 3)
Notamos que:
El lado izquierdo de la ecuaciónrepresenta la rectay = 3x − 3
El lado derecho de la ecuaciónrepresenta la rectay = x + 1
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
y = x + 1
b P(2, 3)
Notamos que:
El lado izquierdo de la ecuaciónrepresenta la rectay = 3x − 3
El lado derecho de la ecuaciónrepresenta la rectay = x + 1
Resolviendo algebraicamente laecuación, obtenemos la soluciónx = 2.
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
y = x + 1
b P(2, 3)
Notamos que:
El lado izquierdo de la ecuaciónrepresenta la rectay = 3x − 3
El lado derecho de la ecuaciónrepresenta la rectay = x + 1
Resolviendo algebraicamente laecuación, obtenemos la soluciónx = 2.
La solución corresponde a la primera coordenada del punto de intersección entreambas rectas.
Funciones lineal y cuadrática
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Interpretación geométrica
¿ Qué representa, geométricamente, la solución de la ecuación 3x − 3 = x + 1?.
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
1 2 3 4 5−1−2−3
y = 3x − 3
y = x + 1
b P(2, 3)
Notamos que:
El lado izquierdo de la ecuaciónrepresenta la rectay = 3x − 3
El lado derecho de la ecuaciónrepresenta la rectay = x + 1
Resolviendo algebraicamente laecuación, obtenemos la soluciónx = 2.
La solución corresponde a la primera coordenada del punto de intersección entreambas rectas.
Observación
¿ Cuál es la solución de 3x − 3 < x + 1 ?
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 1:Resuelva la ecuación
2−[
−2(x + 1)− x − 32
]
=2x3
− 5x − 312
+ 3x
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 1:Resuelva la ecuación
2−[
−2(x + 1)− x − 32
]
=2x3
− 5x − 312
+ 3x
Solución :
2+ 2(x + 1) +x − 3
2=
233
− 5x − 312
+ 3x
24+ 24(x + 1) + 6(x − 3) = 8x − (5x − 3) + 36x
−9x = −27
x = 3
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 2:Determine los valores dex que satisfacen la ecuación
3(a − x)b
− 2(b − x)a
=2b2 − 6a2
aba 6= 0 , b 6= 0
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 2:Determine los valores dex que satisfacen la ecuación
3(a − x)b
− 2(b − x)a
=2b2 − 6a2
aba 6= 0 , b 6= 0
Solución :
3a(a − x)− 2b(b − x) = 2b2 − 6a2
3a2 − 3ax − 2b2 + 2bx = 2b2 − 6a2
−(3a − 2b)x = 4b2 − 9a2
x = − (2b − 3a)(2b + 3a)3a − 2b
x = 3a + 2b , siempre quea 6= 23
b.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 2:Determine los valores dex que satisfacen la ecuación
3(a − x)b
− 2(b − x)a
=2b2 − 6a2
aba 6= 0 , b 6= 0
Solución :
3a(a − x)− 2b(b − x) = 2b2 − 6a2
3a2 − 3ax − 2b2 + 2bx = 2b2 − 6a2
−(3a − 2b)x = 4b2 − 9a2
x = − (2b − 3a)(2b + 3a)3a − 2b
x = 3a + 2b , siempre quea 6= 23
b.
Observación
¿Cuál es el recíproco de la afirmación(a 6= 0∧ b 6= 0) ⇒ ab 6= 0 ?
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba lasotras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba lasotras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
Haga un resumen de la información dada.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba lasotras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
Haga un resumen de la información dada.
Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas.
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba lasotras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
Haga un resumen de la información dada.
Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas.
Resuelva la ecuación.
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Resolución de problemas
Para la resolución de problemas, considere los siguientes pasos:
Lea cuidadosamente el problema, reiteradas veces si es necesario.
Represente una de las cantidades desconocidas con una variable y escriba lasotras cantidades conocidas en términos de la variable escogida.
Haga un resumen de la información dada.
Escriba ecuaciones que relacionen las cantidades conocidas con las incógnitas.
Resuelva la ecuación.
Responda todas las preguntas planteadas en el problema y verifique lassoluciones.
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Problema de planteamiento
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número deniños que de hombres y mujeres juntos. Si en la reunión hay 96 personas, ¿ Cuántoshombres, mujeres y niños hay?.
Funciones lineal y cuadrática
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Problema de planteamiento
En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número deniños que de hombres y mujeres juntos. Si en la reunión hay 96 personas, ¿ Cuántoshombres, mujeres y niños hay?.
Solución:
Seax el número de hombres en la reunión, entonces
x + 2x + 3(x + 2x) = 96,
de dondex = 8 y por lo tanto en la reunión hay 8 hombres, 16 mujeres y 72 niños.
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática
Definición
Una relación de la formaf (x) = ax2 + bx + c, dondea 6= 0 y b, c ∈ R, se llamafunción cuadrática.
Gráfica de la función cuadrática
La gráfica de esta función corresponde a una curva llamadaparábola.
Ejemplosf (x) = x2 + 4x + 4 g(x) = −x2 − 3x
1
2
3
4
5
−11−1−2−3−4−5
1
2
−1
−2
1−1−2−3−4
Funciones lineal y cuadrática
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Concavidad y convexidad
Según sea el signo del coeficiente que acompaña ax2, la gráfica de la funcióncuadráticaf (x) = ax2 + bx + c, puede ser:
Cóncava: la parábola “abre hacia abajo”.
Convexa: la parábola “abre hacia arriba”.
Cóncava (a < 0) Convexa (a > 0)
Funciones lineal y cuadrática
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Ceros de la función cuadrática
Ceros de una función
Se llamancerosde una funciónf (x) a aquellos valoresx ∈ R para los cualesf (x) = 0, es decir corresponden a la primera coordenada de los puntos en que lagráfica de la función corta al ejeX.
En el caso de la función cuadrática, existena lo más dosceros, o puntos deintersección de la gráfica con el ejeX.
Ecuación cuadrática
Para encontrar los ceros de la función cuadrática debemos resolver laecuaciónf (x) = 0, es decir
ax2 + bx + c = 0
Funciones lineal y cuadrática
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Soluciones de la ecuación cuadrática
Resolveremos de modo general la ecuaciónax2 + bx + c = 0, dondea 6= 0.
Funciones lineal y cuadrática
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Soluciones de la ecuación cuadrática
Resolveremos de modo general la ecuaciónax2 + bx + c = 0, dondea 6= 0.Notamos que:
ax2 + bx + c = a
(
x2 +ba
x +ca
)
= a
(
x2 + 2 · b2a
x +ca+
(
b2a
)2
−(
b2a
)2)
= a
(
x +b2a
)2
+ c − b2
4a,
Funciones lineal y cuadrática
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Soluciones de la ecuación cuadrática
Resolveremos de modo general la ecuaciónax2 + bx + c = 0, dondea 6= 0.Notamos que:
ax2 + bx + c = a
(
x2 +ba
x +ca
)
= a
(
x2 + 2 · b2a
x +ca+
(
b2a
)2
−(
b2a
)2)
= a
(
x +b2a
)2
+ c − b2
4a,
de modo queax2 + bx + c = 0 si y solo sia
(
x +b2a
)2
+4ac − b2
4a= 0,
Funciones lineal y cuadrática
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Soluciones de la ecuación cuadrática
Resolveremos de modo general la ecuaciónax2 + bx + c = 0, dondea 6= 0.Notamos que:
ax2 + bx + c = a
(
x2 +ba
x +ca
)
= a
(
x2 + 2 · b2a
x +ca+
(
b2a
)2
−(
b2a
)2)
= a
(
x +b2a
)2
+ c − b2
4a,
de modo queax2 + bx + c = 0 si y solo sia
(
x +b2a
)2
+4ac − b2
4a= 0,
despejandox en esta última ecuación, obtnemos:
(
x +b2a
)2
=b2 − 4ac
4a2
⇔∣
∣
∣
∣
x +b2a
∣
∣
∣
∣
=
√
b2 − 4ac4a2
⇔ x = − b2a
±√
b2 − 4ac2a
Funciones lineal y cuadrática
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Soluciones de la ecuación cuadrática
Hemos visto que las raíces de la ecuaciónax2 + bx + c = 0, cona 6= 0, están dadaspor la expresión
x =−b ±
√b2 − 4ac
2a(1)
Discriminante
Se define el discriminante de la funciónf (x) = ax2 + bx + c, como la expresión
∆ = b2 − 4ac
Dependiendo del signo del discrimiante se tiene que:
Si ∆ > 0, las dos raíces son reales y distintas, esto es; la parábola corta al ejeXen dos puntos.
Si ∆ = 0, las dos raíces son reales e iguales, es decir la parábola corta al ejeXen un único punto.
Si ∆ < 0, las dos raíces son complejas conjugadas y en tal caso no existeintersección entre la parábola y el ejeX.
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ > 0
La función cuadráticaf (x) = −x2 + 2x + 3, corta al ejex en dos puntos, pues∆ = 4− 4 · (−1) · 3 = 16> 0.
1
2
3
4
−1
1 2 3 4−1−2−3
y = −x2 + 2x + 3
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ > 0
La función cuadráticaf (x) = −x2 + 2x + 3, corta al ejex en dos puntos, pues∆ = 4− 4 · (−1) · 3 = 16> 0.
1
2
3
4
−1
1 2 3 4−1−2−3
y = −x2 + 2x + 3
Observamos que los puntos de intersección de la gráfica y el ejeX son(−1, 0) y(3, 0), cuyas primeras coordenadas son las soluciones de la ecuación−x2 + 2x + 3 = 0
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ = 0
La función cuadráticaf (x) = x2 + 2x + 1, corta al ejex en un único punto, pues∆ = 4− 4 · 1 · 1 = 0.
1
2
3
4
−1
1−1−2−3
y = x2 + 2x
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ = 0
La función cuadráticaf (x) = x2 + 2x + 1, corta al ejex en un único punto, pues∆ = 4− 4 · 1 · 1 = 0.
1
2
3
4
−1
1−1−2−3
y = x2 + 2x
El único punto de intersección entre la gráfica def y el ejeX se encuentra en elvértice de la parábola y corresponde al punto(−1, 0), cuya primera coordenada seobtiene resolviendo la ecuaciónx2 + 2x + 1 = 0, o bien(x + 1)2 = 0.
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ < 0
La función cuadráticaf (x) = x2 + 2x + 2 no corta al ejex, pues∆ = 4− 4 · 1 · 2 = −4 < 0,
1
2
3
4
−1
1 2−1−2−3
y = x2 + 2x + 2
Funciones lineal y cuadrática
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Función cuadrática con∆ < 0
La función cuadráticaf (x) = x2 + 2x + 2 no corta al ejex, pues∆ = 4− 4 · 1 · 2 = −4 < 0,
1
2
3
4
−1
1 2−1−2−3
y = x2 + 2x + 2
Observamos que la gráfica se encuentra siempre por sobre el ejeX lo que indica quela ecuaciónx2 + 2x + 2 = 0, no tiene raíces reales.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
Observación
Para resolver una ecuación cuadrática, no es necesario recurrir a lafórmula (1)
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
Observación
Para resolver una ecuación cuadrática, no es necesario recurrir a lafórmula (1)
Ejemplo: Resuelva la ecuación 4x = x2.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
Observación
Para resolver una ecuación cuadrática, no es necesario recurrir a lafórmula (1)
Ejemplo: Resuelva la ecuación 4x = x2.
Solución:
4x = 4x2 ⇔ x2 − 4x = 0
⇔ x(x − 4) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 4
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
Observación
Para resolver una ecuación cuadrática, no es necesario recurrir a lafórmula (1)
Ejemplo: Resuelva la ecuación 4x = x2.
Solución:
4x = 4x2 ⇔ x2 − 4x = 0
⇔ x(x − 4) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 4
Observación
Un error frecuente es dividir porx, perdiendo así la soluciónx = 0.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
El siguiente desarrollo conlleva un grave error,
x2 + 3x − 10= 0 ⇒ x2 + 3x = 10
⇔ x(x + 3) = 10
⇒ x = 0 ∨ x + 3 = 10
⇒ x = 0 ∨ x = 7
Observación
Para resolver esta ecuación basta notar quex2 + 3x − 10= (x − 2)(x + 5) = 0,obteniendo asíx = 2 o x = −5.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
La ecuación(x + 1)2 − x = x2 + x − 4 no tiene solución, pues
x2 + 2x + 1− x = x2 + x − 4
1 = −4
Observación
Lo mismo ocurre con 4x(x + 5) = 5(4x − 5), ¿por qué?.
Funciones lineal y cuadrática
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Resolución de ecuaciones cuadráticas
Para la ecuación(x − 4)2 = 36, tenemos:
(x − 4)2 = 36=⇒ x − 4 = 6 ∨ x − 4 = −6
=⇒ x = 10 ∨ x = −2
Observación
Desarrollando el cuadrado de binomio y utilizando la fórmula (1), obtenemos elmismo resultado.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 1:Resuelva la ecuación
3x − 1
=8x
2x − 1
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 1:Resuelva la ecuación
3x − 1
=8x
2x − 1
Solución:Suponiendo quex 6= 1 y x 6= 12
, la ecuación equivale a
3(2x − 1) = 8x(x − 1)
8x2 − 14x + 3 = 0
Por la fórmula (1), tenemos:
x =14±
√196− 9616
=14± 10
16
obteniendox =32
o x =14
.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 2:Demuestre que para todop, q ∈ R, la ecuación
x2 + 2(p + q)x + 2pq = 0,
tiene raíces reales.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 2:Demuestre que para todop, q ∈ R, la ecuación
x2 + 2(p + q)x + 2pq = 0,
tiene raíces reales.
Solución :Basta estudiar el discriminante de la ecuación cuadrática,
∆ = (2(p + q))2 − 4(2pq)
= 4(p2 + 2pq + q2)− 8pq
= 4p2 + 4q2
= 4(p2 + q2) ≥ 0, ∀p, q ∈ R,
luego, las raíces de la ecuación son reales.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 3:Estudie la ecuación
px2 − (p2 + 1)x + p = 0
parap ∈ R.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas resueltos
Problema 3:Estudie la ecuación
px2 − (p2 + 1)x + p = 0
parap ∈ R.
Solución:
1 Si p = 0, la ecuación se reduce a−x = 0, en dondex = 0.2 Si p 6= 0, la ecuación es de segundo grado y sus soluciones están dadas por:
x =(p2 + 1)±
√
(p2 + 1)2 − 4p2
2p=
(p2 + 1)±√
(p2 − 1)2
2p
=(p2 + 1± (p2 − 1))
2p
obteniendox = p o x =1p
.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas propuestos
Problema 1:Resuelva parax, las siguientes ecuaciones:
1 6
(
x + 18
− 2x − 316
)
= 3
(
3x4
− 14
)
− 38(3x − 2)
2 (x − 3)2 = (x + 3)(x − 3)
3 2(2x − 1)2 − (3x + 4)2 = 1− (x − 5)2
423x
− 5x=
710
− 32x
+12
51
3x − 3+
14x + 4
=1
12x − 12
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas propuestos
6x + 1x − 1
− x − 11+ x
+1
x2 − 1= 0
75
x + 3=
72x + 3
82x
x − 12
=2x − 5
x − 13
9 (x + m)2 − (x + n)2 = (m − n)2
10x − ax − b
+x − bx + a
= 2
1134
( xb+
xa
)
=13
( xb− x
a
)
+5a + 13b
12a
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas propuestos
Problema 2:Despeje
a) R en la ecuaciónF = mv2
R.
b) m en la ecuaciónT = 2k
√
mk
.
c) t en la ecuaciónQ = c(t − s).
Problema 3:¿Para qué valores dem las siguientes ecuaciones no tienen solución?.
a) 5mx + 2 = 3m + x
b)m(x − 2)
4− 2(mx − 1)
3= m − 1.
c) 3(x − m)− 4(mx − 1) = 12
Problema 4:Se han consumido78
de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros, el
bidón queda lleno hasta sus35
partes, ¿Cuál es la capacidad del bidón?.
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas propuestos
Problema 5:Resuelva parax las siguientes ecuaciones:
a) x +1x=
265
.
b) (2x)2 + (2x + 1)2 + (2x + 3)2 = 390.
c) 4x(x + 1) = 5x3.
d)x
x − 1=
7x − 2
− xx2 − 3x + 2
.
Funciones lineal y cuadrática
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e) 2x4 + 3x2 + 2 = 0.
f )x − 2x + 1
− x + 1x + 2
= − 514
.
g) abx2 + (a2 − 2b2)x = 2ab.
h)ax2
4+
x2=
2a
.
i) x3 − 7x + 6 = 0
Funciones lineal y cuadrática
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Problemas propuestos
Problema 6:Encuentre todos los valores dek ∈ R de modo que una solución de laecuación
(k2 + 2)x2 − 7x − 2k = 1
seax = −12
.
Problema 7:Para cerrar un terreno rectangular de 750m2 se usaron 110m de cerca.Calcule las dimensiones del terreno.
Funciones lineal y cuadrática