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Propiedad Intelectual Cpech

Álgebra2010

Clase N° 2Conjuntos numéricos II

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APRENDIZAJES ESPERADOS

• Utilizar y clasificar los distintos conjuntosnuméricos en sus diversas formas de expresión,tanto en las ciencias exactas como en las cienciassociales y en el ámbito cotidiano.

• Aplicar la operatoria básica en los númerosnaturales y enteros.


APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).


1. Números racionales (Q)1.1 Propiedades de los racionales1.2 Operatoria en los racionales1.3 Transformaciones de números racionales1.4 Comparación de fracciones

2. Números irracionales (Q*)

Contenidos

3. Números reales ( IR )

4. Números imaginarios ( II )

5. Números complejos ( C )

1.5 Secuencia numérica


1.Números Racionales (Q)Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

ab

/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =

Ejemplos:

2; 17; 0; -6; -45; -2;7

0,489; 2,18; -0,647-1;8

14;3

15,0

NO es racional

a: numerador y b: denominador


Por ejemplo:

3 es Natural (3 IN),

3 es Cardinal (3 IN0), y como

3 = , 3 es racional (3 Q). 31

IN IN0 Z Q

Todo número entero es racional.

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Diagrama representativo:


1.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)

• Amplificar y simplificar fracciones

Ejemplo:

2∙3∙

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

66

Al amplificar la fracción por 6 resulta:23

= 1218

• Las fracciones se pueden clasificar en:Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.


Ejemplo:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto elnumerador como el denominador por un mismonúmero.

33

= 915

Al simplificar la fracción por 3 resulta:2745

27 :45 :

• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

El inverso multiplicativo, o recíproco de 29

es: 92

Ejemplo:


1.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)

• Suma y restaEjemplos:

1. Si los denominadores son iguales:

415

+ 715

= 1115

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

215

+ 745

= 2∙3 + 7∙145

= 6 + 745

= 1345

415

- 715

= -315

y


3. Si los denominadores son primos entre sí:

512

+ 718

= 5∙3 + 7∙236

15 + 1436

= = 2936

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

45

+ 78

= 4∙8 + 5∙740

32 + 3540

= = 6740


-45 ∙ 8

7= -32

35=

• Multiplicación:Ejemplo:

-45

78

= ∙ -2840

= 2840

-

• División:Ejemplo:

-45

: 78

= 3235

-

• Número Mixto:Ejemplo:

8 35 = 8∙5 + 3

5= 43

5

3


1.3 Transformación de números racionales (pág. 24 del libro)

• De fracción a decimal:

Ejemplo:

Se divide el numerador por el denominador.

74 = 1,75

• De decimal finito a fracción:

Ejemplo:

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

100175 =1,75 = 7

425∙725∙4

=


• De un número decimal periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99

Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.


3,21 = 321-32 = 2899090

• De un número decimal semi periódico a fracción:

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

Ejemplo:


1.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)

• Multiplicación cruzada:Ejemplo:Al comparar (Multiplicando cruzado)13

159

10y

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9130 y 135

Como 130 < 135, entonces: 1315

910

<


• Igualar denominadores:

Ejemplo:1315

712

Al comparar y (Igualando denominadores)

13∙415∙4

7∙512∙5

y

5260

3560

y

Como 52 > 35, entonces 1315

712

>


• Transformar a decimal:Ejemplo:

1315

712

Al comparar (Transformando a decimal)y

1315

= 0,86666666…

712

= 0,58333333…

1315

712

>Como 0,86 > 0,583 , entonces

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Ejemplo:En la secuencia: 6 ,

516 ,5

26 ,5

36 , ...5

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

1 ,5

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .

5

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

655

1 ,5

65 = 135

Es decir:

Respuesta:

1.5 Secuencia Numérica


Observación:La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

1 + 1 ,5

1 + 3 ,5

1 + 5 ,5

1 + 7 , 5

1 + 13…5

... ,

1° 2° 3° 4° ... , 7°…

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Respuesta:

Es , más un número impar, lo que se expresa como: 15

1 + (2n - 1)5

(Con n = posición del término)


Son aquellos que NO se pueden escribir comouna fracción (decimales infinitos NO periódicos).

2. Números Irracionales (Q*)

,....,,2,3..... Q* =

Q

U

Q*=


3. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

IR = Q U Q*

Ejemplos:


3, -89, -2;7

2,18; ;2 23,491002

IN IN0 Z Q IR

Q* IR


4. Números imaginarios (II)

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

IR

U

II = O

Ejemplo:Raíces de índice par y parte subradical negativa:

,26 ,4 4 16,25


5. Números complejos (C)

Es el conjunto formado por el producto cartesianoentre los números reales y los números imaginarios.


IN IN0 Z Q IR C

II C

IR x II = C

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Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 23 a la 28.


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Equipo Editorial: Patricia ValdésOlga OrchardPablo Espinosa

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