CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN Cuando tenemos dos elementos que almacenan energรญa (distintos) o
en el caso que no se pueda determinar un equivalente, entre dos inductancias o dos capacitores.
C
L1 2
R
VsR C
IsL
1
2
C2
R
C1Is
1- 2-
3- 4-R1
L2
1
2
VsL1
1
2
R2
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Si derivamos y ordenamos nos queda
Ecuaciรณn diferencial de segundo orden
๐ แป๐ฟ(0 = ๐ผ0 ๐ฃ แป๐(0 = ๐0
๐ฟ๐2๐
๐๐ก2+ ๐
๐๐
๐๐ก+๐
๐ถ= 0
Proponemos como
soluciรณn una funciรณn
exponencial
๐ = ๐ด๐๐ ๐ก
๐๐
๐๐ก= ๐ ๐ด๐๐ ๐ก
๐2๐
๐๐ก2= ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก
๐ฟ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก + ๐ ๐ ๐ด๐๐ ๐ก +1
๐๐ด๐๐ ๐ก = 0
Para poder resolver esta ecuaciรณn es necesario
conocer el valor de i(0) y de su primer derivada ๐๐(0แป
๐๐ก
โ ๐ แป(0 = ๐ผ0
de (1) tenemos
๐ฟ. ๐. ๐พ โ ๐๐ + ๐ฟ๐๐
๐๐ก+1
๐เถฑโโ
๐ก
๐๐๐ก = 0 (1แป
๐ แป(0 ๐ + ๐ฟ๐๐ แป(0
๐๐ก+ ๐0 = 0
โ ๐๐ แป(0
๐๐ก= โ
1
๐ฟ(๐ แป(0 ๐ + ๐0แป
โข Para esta situaciรณn vamos a determinar la
corriente en el inductor.
aa
Io
-
R L1 2
i(t) CVo
aa
a
+
Figura 1
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
๐ 2๐ฟ + ๐ ๐ +1
๐ถ= 0
a b c
๐1โ2 =โ๐ ยฑ ๐2 โ 4๐๐
2๐โ ๐1โ2=
โ๐ ยฑ ๐ 2 โ 4๐ฟ/๐ถ
2๐ฟโ ๐1โ2=
โ๐
2๐ฟยฑ (
๐
2๐ฟแป2 โ
4 ๐ฟ
4 ๐ถ๐2
๐2 = โ๐
2๐ฟโ (
๐
2๐ฟแป2 โ
1
๐ฟ๐ถ
Ecuaciรณn caracterรญstica๐ด๐๐ ๐ก ๐ 2๐ฟ + ๐ ๐ +1
๐= 0 โ
๐1 = โ๐
2๐ฟ+ (
๐
2๐ฟแป2 โ
1
๐ฟ๐ถ๐1 = โ ฮฑ + ๐ผ2 โ ๐0
2
๐2 = โ ฮฑ โ ๐ผ2 โ ๐02
ฮฑ =๐
2๐ฟ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Los dos valores de โ S โ, indican que hay dos posibles valores para la corriente.
Respuesta natural del circuito
๐(๐แป = ๐จ๐๐๐๐๐ + ๐จ๐๐
๐๐๐
Discriminante
๐1โ2 = โ ฮฑ ยฑ ๐ผ2 โ ๐02
ฮฑ =๐
2๐ฟ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ
๐ผ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐๐๐๐๐๐ก๐ medida en (Np/s)
segundo.
๐0 se la conoce como frecuencia resonante o frecuencia natural
no amortiguada medida en (rad/s)
S1 y S2 se denominan frecuencias naturales en (Np/s) porque se
asocian a las respuestas naturales del circuito.
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
Analizando el Discriminante
RESPUESTA SOBREAMORTIGUADA
* Si el Discriminante es mayor que cero, se tiene dos raรญces reales y distintas.
๐1โ2 =โ๐
2๐ฟยฑ ๐ผ2 โ ๐0
2
Discriminante
ฮฑ > ๐0
๐(๐แป = ๐จ๐๐๐๐๐ + ๐จ๐๐
๐๐๐
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
RESPUESTA CRITICAMENTE AMORTIGUADA
* Si el Discriminante es igual a cero, se tienen dos raรญces reales, iguales y negativas.
tetAAti โ+= )()( 21
Analizando el Discriminante
๐1โ2 =โ๐
2๐ฟยฑ ๐ผ2 โ ๐0
2
Discriminante
ฮฑ = ๐0
Nota: determinar ๐(๐กแป, tener presente que para este caso, la propuesta de una funciรณn exponencial es incorrecta.
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente)
RESPUESTA SUBAMORTIGUADA
* Si el Discriminante es menor a cero, se obtienen dos raรญces complejas conjugadas.
)()( += โ tsenAeti d
t
๐ ๐ก = ๐โ๐ผ๐ก (๐ต1 ๐๐๐ ๐ค๐๐ก + ๐ต2 ๐ ๐๐ แป๐ค๐๐กAnalizando el Discriminante
๐1โ2 =โ๐
2๐ฟยฑ ๐ผ2 โ ๐0
2
Discriminante
ฮฑ < ๐0
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado
๐๐ frecuencia natural amortiguada
ฮฑ < ๐0 ฮฑ =๐
2๐ฟ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ
๐1 = โ ฮฑ + โ ๐02 โ ๐ผ2 = โ ฮฑ + ๐๐๐
๐2 = โ ฮฑ โ โ ๐02 โ ๐ผ2 = โ ฮฑ โ ๐๐๐
para lo cual ๐ = โ1 ๐ฆ ๐๐ = ๐02 โ ๐ผ2
๐1 โ2 = โ ฮฑ ยฑ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ง๐๐๐๐ ๐๐ ๐(๐แป = ๐จ๐๐๐๐๐ + ๐จ๐๐
๐๐๐
๐(๐กแป = ๐ด1๐(โ ฮฑ + ๐๐๐แป๐ก + ๐ด2๐
โ ฮฑ โ ๐๐๐ ๐ก
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก(๐ด1๐(๐๐๐แป๐ก + ๐ด2๐
โ ๐๐๐ ๐ก)
Formula de Euler
๐โ๐๐ = cos ๐ โ ๐ sin ๐
๐๐๐ = cos๐ + ๐ sin ๐
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก ๐ด1 cos๐๐๐ก + ๐ sin๐๐๐ก + ๐ด2 cos๐๐๐ก โ ๐ sin๐๐๐ก
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก (๐ด1cos๐๐๐ก + ๐ด2 cos๐๐๐กแป + (๐ด1๐ sin๐๐๐ก โ ๐ด2๐ sin๐๐๐กแป
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก (๐ด1+๐ด2แป cos๐๐๐ก + (๐ด1โ๐ด2แป๐ sin๐๐๐ก
๐ต1 ๐ต2๐๐๐๐๐ ๐ต1 y ๐ต2, ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐ฆ ๐๐ข๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ข๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ฅ๐๐ ๐ก๐, ๐๐๐๐๐๐๐ escribir lo siguiente:
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En serie ,sin Fuente) Caso Subamortiguado
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก ๐ต1 cos๐๐๐ก + ๐ต2 sin๐๐๐ก
๐ด sin ฮธ ๐ด co๐ ๐
Podemos expresar en una forma mas apropiada para ver mas simple la respuesta, haciendo lo siguiente:
๐(๐กแป = ๐โ ฮฑ๐ก (๐ด๐ ๐๐ฮธ โ cos๐๐๐กแป + (๐ด๐๐๐ ฮธ โ ๐ ๐๐๐๐๐กแป
๐(๐กแป = ๐ด ๐โ ฮฑ๐ก ๐ ๐๐(๐๐๐ก + ฮธ )
Suma y diferencia de รกngulos
Senosin(๐ฅ + ๐ฆแป = sin ๐ฅ โ cos ๐ฆ + cos ๐ฅ โ sin ๐ฆsin(๐ฅ โ ๐ฆแป = sin ๐ฅ โ cos ๐ฆ โ cos ๐ฅ โ sin ๐ฆ
Cosenoco๐ (๐ฅ + ๐ฆแป = cos ๐ฅ โ cos ๐ฆ โ sin ๐ฅ โ sin ๐ฆco๐ (๐ฅ โ ๐ฆแป = cos ๐ฅ โ cos ๐ฆ + sin ๐ฅ โ sin ๐ฆ
Tangente
tg(๐ฅ + ๐ฆแป =๐ก๐ ๐ฅ +๐ก๐ ๐ฆ
1โ (๐ก๐ ๐ฅ โ๐ก๐ ๐ฆแปtg(๐ฅ โ ๐ฆแป =
๐ก๐ ๐ฅ โ๐ก๐ ๐ฆ
1โ (๐ก๐ ๐ฅ โ๐ก๐ ๐ฆแป
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
๐ แป๐ฟ(0 = ๐ผ0 =1
๐ฟเถฑโ
0
๐ฃ ๐ก ๐๐ก
๐ฃ แป๐(0 = ๐0
โข Para esta situaciรณn vamos a determinar
la tensiรณn en el capacitor.
Para poder resolver esta ecuaciรณn es necesario
conocer el valor de v(0) y de su primer derivada ๐๐ฃ(0แป
๐๐ก
Derivamos y ordenamos nos queda
๐ฟ. C. ๐พ โ๐ฃ
๐ +1
๐ฟเถฑโโ
๐ก
๐ฃ๐๐ก + ๐ถ๐๐ฃ
๐๐ก= 0 (1แป
Ecuaciรณn diferencial de segundo orden
๐ถ๐2๐ฃ
๐๐ก2+
1
๐
๐๐ฃ
๐๐ก+๐ฃ
๐ฟ= 0
Proponemos como
soluciรณn una funciรณn
exponencial
๐ฃ = ๐ด๐๐ ๐ก
๐๐ฃ
๐๐ก= ๐ ๐ด๐๐ ๐ก
๐2๐ฃ
๐๐ก2= ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก
๐ถ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก +1
๐ ๐ ๐ด๐๐ ๐ก +
1
๐ฟ๐ด๐๐ ๐ก = 0
โ ๐ฃ แป(0 = ๐0
de (1) tenemos๐ฃ แป(0
๐ + ๐ถ
๐๐ฃ แป(0
๐๐ก+ ๐ผ0 = 0
โ ๐๐ฃ แป(0
๐๐ก= โ
1
๐ถ(๐ฃ แป(0
๐ + ๐ผ0แป
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
๐ แป๐ฟ(0 = ๐ผ0 =1
๐ฟเถฑโ
0
๐ฃ ๐ก ๐๐ก
๐ฃ แป๐(0 = ๐0
โข Para esta situaciรณn vamos a determinar
la tensiรณn en el capacitor.
Para poder resolver esta ecuaciรณn es necesario
conocer el valor de v(0) y de su primer derivada ๐๐ฃ(0แป
๐๐ก
Derivamos y ordenamos nos queda
๐ฟ. C. ๐พ โ๐ฃ
๐ +1
๐ฟเถฑโโ
๐ก
๐ฃ๐๐ก + ๐ถ๐๐ฃ
๐๐ก= 0 (1แป
Ecuaciรณn diferencial de segundo orden
๐ถ๐2๐ฃ
๐๐ก2+
1
๐
๐๐ฃ
๐๐ก+๐ฃ
๐ฟ= 0
Proponemos como
soluciรณn una funciรณn
exponencial
๐ฃ = ๐ด๐๐ ๐ก
๐๐ฃ
๐๐ก= ๐ ๐ด๐๐ ๐ก
๐2๐ฃ
๐๐ก2= ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก
๐ถ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก +1
๐ ๐ ๐ด๐๐ ๐ก +
1
๐ฟ๐ด๐๐ ๐ก = 0
โ ๐ฃ แป(0 = ๐0
de (1) tenemos๐ฃ แป(0
๐ + ๐ถ
๐๐ฃ แป(0
๐๐ก+ ๐ผ0 = 0
โ ๐๐ฃ แป(0
๐๐ก= โ
1
๐ถ(๐ฃ แป(0
๐ + ๐ผ0แป
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
๐ 2C + ๐ 1
๐ +1
๐ฟ= 0
๐1โ2 =โ๐ ยฑ ๐2 โ 4๐๐
2๐โ ๐1โ2=
โ1/๐ ยฑ (1/๐ แป2โ4๐ถ/๐ฟ
2๐ถโ ๐1โ2=
โ1
2๐ ๐ถยฑ (
1
2๐ ๐ถแป2 โ
1
๐ฟ๐ถ
Ecuaciรณn caracterรญstica
๐ด๐๐ ๐ก ๐ 2C + ๐ 1
๐ +1
๐ฟ= 0 โ
๐1 = โ1
2๐ ๐ถ+ (
1
2๐ ๐ถแป2 โ
1
๐ฟ๐ถ
๐1 = โ ฮฑ + ๐ผ2 โ ๐02
๐2 = โ ฮฑ โ ๐ผ2 โ ๐02
ฮฑ =1
2๐ ๐ถ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ
๐2 = โ1
2๐ ๐ถโ (
1
2๐ ๐ถแป2 โ
1
๐ฟ๐ถ
CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN (RLC En paralelo, sin Fuente)
Figura 4
โข Respuesta sobreamortiguada ฮฑ > ๐0
๐ฃ(๐กแป = ๐ด1๐๐ 1๐ก + ๐ด2๐
๐ 2๐ก
โข Respuesta crรญticamente amortiguada ฮฑ = ๐0
โข Respuesta sobamortiguada ฮฑ < ๐0
๐ฃ(๐กแป = (๐ด1 + ๐ด2๐กแป ๐โ๐ผ๐ก
๐ฃ ๐ก = ๐โ๐ผ๐ก (๐ต1 ๐๐๐ ๐ค๐๐ก + ๐ต2 ๐ ๐๐ แป๐ค๐๐ก
๐ฃ ๐ก = ๐ด๐โ๐ผ๐ก ๐ ๐๐(๐๐๐ก + ๐)
Ejemplo 8.1
Ejemplo 8.1
Interruptor cerrado mucho tiempo antes de t=0
Interruptor abierto en el tiempo t=0+
Para t > 0, t โ โ
Ejemplo 8.1, Problema de prรกctica
C2
0.4
Req
10
L1
2
1
2
+
-+
-
+
-
โข Condiciones iniciales , Circuito 1
Circuitos de Segundo orden sin fuentes
i(t)
Circuito 1, en estado estable
para t < 0 , S1 esta cerrado
y S2 abierto.
Circuito 2, en t = 0 , S1
se abre y S2 se cierra.
Ahora analizamos para t > 0
S2
1 2
-
Io
Vo
S1
1 2R
i(t)
R= 4 Ohm
aa
a
L1 2aa
R1
1k
-
L = 1 H
1
2
++
t = 0
aa
a
V
10Vdc
CC= 1/3 F
t = 0
๐ แป๐ฟ(0 = ๐ผ0 = 0 ๐ด ๐ฃ แป๐(0 = ๐0 = 10 ๐
๐ฟ. ๐. ๐พ โ ๐๐ + ๐ฟ๐๐
๐๐ก+1
๐เถฑโโ
๐ก
๐๐๐ก = 0
โข Para el Circuito 2
๐ฟ๐2๐
๐๐ก2+ ๐
๐๐
๐๐ก+๐
๐ถ= 0
๐ฟ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก + ๐ ๐ ๐ด๐๐ ๐ก +1
๐๐ด๐๐ ๐ก = 0
Ecuaciรณn diferencial de segundo orden
โ ๐1โ2=โ๐
2๐ฟยฑ (
๐
2๐ฟแป2 โ
4 ๐ฟ
4 ๐ถ๐2
๐1 = โ ฮฑ + ๐ผ2 โ ๐02 = โ1
๐2 = โ ฮฑ โ ๐ผ2 โ ๐02 = โ3
ฮฑ =๐
2๐ฟ= 2 ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ= 3
๐ 2๐ฟ + ๐ ๐ +1
๐ถ= 0
โข Determino las raรญces y el tipo de respuesta
ฮฑ > ๐0 ๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐๐๐
โข La respuesta en este caso de corriente es
๐(๐กแป = ๐ด1๐โ๐ก + ๐ด2๐
โ3๐ก (1)
โข Para determinar las constante, partimos de la condiciรณn inicial y evaluamos la funciรณn en t=0
๐(0แป = 0 = ๐ด1๐0 + ๐ด2๐
0 ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ โ 0 = ๐ด1+ ๐ด2 (2)
โข Derivo la ecuaciรณn (1)๐๐
๐๐ก= โ๐ด1๐
โ๐ก -3 ๐ด2๐โ3๐ก (3)
โข Derivo la ecuaciรณn (1) ๐๐
๐๐ก= โ๐ด1๐
โ๐ก -3 ๐ด2๐โ3๐ก (3)
โ ๐๐ แป(0
๐๐ก= โ
1
๐ฟ(๐ แป(0 ๐ + ๐0แป = 10 V Reemplazo en (3) y evaluamos para t=0โข Determino
10 = โ๐ด1๐0 -3 ๐ด2๐
0 โ 10 = โA1 - 3A2 (4)
0 = ๐ด1+ ๐ด2 (2)
10 = โA1 - 3A2 (4)
โข Teniendo en cuenta las ecuaciones (2) y (4), determino los valores de las constantes
๐ด1 = 5 , ๐ด2 = โ5
๐(๐กแป = 5๐โ๐ก - 5๐โ3๐กโข Respuesta
๐(๐กแป = 5๐โ๐ก - 5๐โ3๐ก
โข Condiciones iniciales , Circuito 1
Circuitos de Segundo orden sin fuentes
๐ แป๐ฟ(0 = ๐ผ0 = 0 ๐ด ๐ฃ แป๐(0 = ๐0 = 10 ๐
๐ฟ. ๐. ๐พ โ ๐๐ + ๐ฟ๐๐
๐๐ก+1
๐เถฑโโ
๐ก
๐๐๐ก = 0
โข Para el Circuito 2
๐ฟ๐2๐
๐๐ก2+ ๐
๐๐
๐๐ก+๐
๐ถ= 0
๐ฟ๐ 2๐ด๐๐ ๐ก + ๐ ๐ ๐ด๐๐ ๐ก +1
๐๐ด๐๐ ๐ก = 0
Ecuaciรณn diferencial de segundo orden
Circuito 2, en t = 0 , S1
se abre y S2 se cierra.
Ahora analizamos para t > 0
R
S1
1 2L
1 2
Io
Vo
i(t)i(t)
aa
a
C
-
aa
+
-
Circuito 1, en estado estable
para t < 0 , S1 esta cerrado
y S2 abierto.
+
V
10Vdc
aa
a
C= 1/17 F
R1
1k
R= 2 Ohmt = 0
L = 1 H
1
2
S2
1 2
t = 0
โ ๐1โ2=โ๐
2๐ฟยฑ (
๐
2๐ฟแป2 โ
4 ๐ฟ
4 ๐ถ๐2
ฮฑ =๐
2๐ฟ= 1 ; ๐0 =
1
๐ฟ๐ถ= 17
๐ 2๐ฟ + ๐ ๐ +1
๐ถ= 0
โข Determino las raรญces y el tipo de respuesta
ฮฑ < ๐0 ๐ ๐๐๐ข๐๐ ๐ก๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐ก๐๐๐ข๐๐๐
โข La respuesta en este caso de corriente es
โข Para determinar las constante, partimos de la condiciรณn inicial y evaluamos la funciรณn en t=0
๐ 0 = 0 = ๐ด ๐โ 0 sin(4 โ 0 + ๐ ) ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ โ 0 = ๐ด๐ ๐๐(๐ ) (2)
Aโ 0 โ ๐ ๐๐(๐ ) = 0 โ
๐1 = โ ฮฑ + โ ๐02 โ ๐ผ2 = โ ฮฑ + ๐๐๐
๐2 = โ ฮฑ โ โ ๐02 โ ๐ผ2 = โ ฮฑ โ ๐๐๐
para lo cual ๐ = โ1 ๐ฆ ๐๐ = ๐02 โ ๐ผ2
๐1 โ2 = โ ฮฑ ยฑ ๐๐๐ = โ1 ยฑ ๐4
๐(๐กแป = ๐ด ๐โ ๐ก ๐ ๐๐(4๐ก + ฮธ ) (1)
๐ = 0
โข Derivo la ecuaciรณn (1)
๐๐
๐๐ก= ๐ด ๐โ ๐ก ๐ ๐๐(4๐ก + ฮธ ) = โ๐ด ๐โ ๐ก ๐ ๐๐(4๐ก + ฮธ ) + ๐ด ๐โ ๐ก 4 ๐๐๐ (4๐ก + ฮธ )
โ ๐๐ แป(0
๐๐ก= โ
1
๐ฟ(๐ แป(0 ๐ + ๐0แป = 10 V Reemplazo en (1) y evaluamos para t=0โข Determino Es - ๐0
10= โ๐ด ๐โ 0 ๐ ๐๐(4 โ 0 + 0 ) + ๐ด ๐โ 0 4 ๐๐๐ (4 โ 0 + 0 ) = 0 + 4 ๐ด โ 10 = 4 ๐ด A =5
2
๐(๐กแป =5
2๐โ๐ก๐ ๐๐(4๐ก ) โข Respuesta
๐๐ = 4 = 2๐๐ โ ๐ =1
๐
๐ =2๐
4= 1,5708 ๐
๐(๐กแป = ๐ด ๐โ ๐ก ๐ ๐๐(4๐ก + ฮธ ) (1)
๐๐ = 4 = 2๐๐ โ ๐ =1
๐
๐ =2๐
4= 1,5708 ๐
๐
๐(๐กแป =5
2๐โ๐ก๐ ๐๐(4๐ก )
๐ฟ๐ข๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ 5 ๐ , ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐Se lo considera extinguido.
Respuesta completa CD
โข La respuesta completa en un circuito, es la suma de la respuesta Forzada mรกs la Natural
โข Respuesta Forzada : Es la que perdura en el tiempo.
i(t)
L
1
2
S1
TCLOSE = 0
1 2R
Corriente a travรฉs del
Inductor
Circuito RL
V
aa V v(t)
R
Tensiรณn a bornes del
capacitor
S1
TCLOSE = 0
1 2
Circuito RC
+
-
C1
๐๐ =๐
๐ ๐ฃ๐ = ๐
aaaaa
R1 =10
V1
20VdcS2
TOPEN = 0
1 2
aa
V1
20Vdc
L3
2
1
2
S1
TCLOSE = 0
1 2
aa
V3
10Vdc
Io Io
R1 =10
L3
2
1
2
i(t)
R3
5
EjemploDeterminar la respuesta completa ๐(๐กแป = ๐๐ + ๐๐ )
๐ผ0 =๐3๐ 3
=10
5= 2 ๐ด
โข Para t = 0, S1 se cierra y S2 se abre
๐๐ + ๐ฟ๐๐
๐๐ก= 0
๐๐ =๐1๐ 1
=20
10= 2 ๐ด
aaaaa
L3
2
1
2
i(t)
Io
aa
R1 =10
๐๐ = ๐ด๐ โ๐ ๐ฟ๐ก = ๐ด๐ โ5๐ก
๐(๐กแป = ๐๐ + ๐๐ = 2 + ๐ด๐ โ5๐ก ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ "A" ๐๐ฃ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐ ๐ก = 0
โข Completa
โข Forzada
โข Natural
๐(0แป = โ2 = 2 + ๐ด โ ๐ด = โ4
๐(๐กแป = 2 โ 4๐ โ5๐ก
Periodo Transitorio Estado Estable
๐ =1
๐๐ด =
1
5= 0,2 ๐ ๐๐2๐
๐(๐กแป = 2 โ 4๐ โ5๐ก