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Cinemática Relativista

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ANTECEDENTES:

Mecánica clásica. Más de dos siglos. Excelente aproximación. Invariancia frente a transformaciones de Galileo. No existe Sistema Inercial de Referencia (SIR) absoluto.

FORMULACIÓN DEL ELECTROMAGNETISMO:

James Clerk Maxwell, a mediados siglo XIX, unifica los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos. La luz es una onda electromagnética.

• ¿Son las ecuaciones del electromagnetismo invariantes frente a las transformaciones de Galileo?

• ¿Donde se propaga la luz? ETER. Medio material que llena el universo. Similar a un fluido, rígido, invisible y difícil de detectar.

Galileo, s. XVI-XVII

Isaac Newton, s. XVII-XVIII

James Clerk Maxwell, 1831-1879

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2 2 2 2

2 2 2 2

1

t

E E E E

x y z c

+ + = -

Las ecuaciones de Maxwell en espacio vacío sin fuentes son:

Usando transformaciones de Galileo y aplicando la regla de la cadena para derivar:

´

E E

x x

´ ´

E E Ev

t x t

X=X’ +vtV=V’+v

22

0 0 20 0

0 00

0 tt t

E BE

B BBE B

2 2 2

2 2 2

2 2

2

1´ ´ ´

2 1

´ ´ ´

( )E v E E

x c y z

v E E

c x t c t

NO ES INVARIANTE BAJO TRANSFORMACIONES DE GALILEO

E

2

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¡¡ LOS FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS NO SON INVARIANTES BAJO TRANSFORMACIONES DE

GALILEO !!

• El Principio de relatividad es válido sólo para mecánica pero no para el electromagnetismo

• Son incorrectas las ecuaciones de maxwell

Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría maxweliana.

• Existe un solo principio de relatividad y las ecuaciones de Maxwell son correctas, pero algo falla en la mecánica clásica (ecuciones de Newton y transformaciones de Galileo)

Mediante experimentos deberían encontrarse desviaciones de la teoría newtoniana y se debe reformular.

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BUSQUEMOS EL ETER

1887- Michelson- Morley

(Nobel 1907)

¿Qué se espera en el interferómetro?

Fuente

Espejo

EspejoSeparador

Interferómetro

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corrimiento de las franjas que depende de la velocidad v del interferómetro respecto del éter

Si los dos rayos llegan al tiempo al interferómetro:

patrón de interferencia constructiva.

Si los dos rayos NO llegan al tiempo al interferómetro:

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// 2

2 /

1 ( / )

L L L c

C v C v v Ct

Tiempo para recorrer 2L en dirección paralela:

2

2 2 /

´ 1 ( / )

L L c

V v Ct

Tiempo para recorrer 2L en dirección perpendicular:

Y se espera ver un corrimiento de las franjas que depende de v (velocidad relativa entre éter e interferómetro).

t t //>

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Características del Experimento Michelson-Morley

1-Loza de piedra flotando en Hg

2-Sensibilidad: 1/100 franja

3-Observaciones: día y noche

interferómetro girado 90º

diferentes épocas del año

diferentes alturas sobre el mar

4-Corrimiento esperado 1/25 franja

5-Corrimiento obtenido: 0

NO EXISTE EL ETER!!!!

C es igual en cualquier SIR

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Intentos por preservar el éter:

• Fitzgerald:1892- contracción de longitudes en dirección del movimiento.

Problema: teoría artificiosa con otras predicciones que no se comprobaron experimentalmente.

• Arrastre del éter: el éter está pegado a los cuerpos y se desplaza con ellos. Por eso no se puede medir velocidad relativa.

Problema: no explica aberración estelar.

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La situación después del experimento de Michelson-Morley:

- No existe el éter

- ¿Qué ocurre con las ecuaciones de transformación de Galileo y las ecuaciones de Maxwell?

- Nueva Teoría: Albert Einstein (1905) “Sobre la electrodinámica de los medios en movimiento”

Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad:

-Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los SIR

-La velocidad de la luz es la misma medida desde cualquier

SIR

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Consecuencias de los Postulados de la Teoría Especial de la

Relatividad:•Un observador pensará que el reloj de otro observador que se mueve respecto a él avanza más lentamente (dilatación del tiempo)

•Longitudes a lo largo del movimiento se contraen (contracción de Lorentz - Fitzgerald)

•El concepto de simultaneidad no es universal

•La velocidad está limitada por la velocidad de la luz

•Las longitudes en direcciones perpendiculares al movimiento se mantienen.

Page 12: Cinemática Relativista

Dilatación del tiempo

(c t)2 = (c t´) 2 + (v t)2

(c2-v2 ) t 2 = c t´ 2

t = t´/ (1-v2 /c2 )1/2

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Contracción de longitudes paralela al movimiento

t´= 2L´/c

En S´L´

c ti= L + v tiLEn S

L c tr= L - v tr

t = ti + tr = 2Lc/ (c2- v2)

t = t’

L = L’/

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Demostración:

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Dos eventos 1 y 2, que ocurren en X1 y X2 son simultáneos EN UN SISTEMA S si una señal luminosa emitida en el punto medio entre X1 y X1, llega a X1 en t1 y a X2 en t2 siendo t1 = t2

X1 X2

t1 t2

t1 = t2

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C1 O C2

Durante el tiempo t que la luz va de C1 a O, el sistema S’ se desplaza una distancia vt

O’ C’2 C’1vt

O’ recibe primero el destello que viene de C2 ya que O´ se acerca al punto de donde salió el destello.En S´ estos dos eventos NO son

simultáneos.

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Dilatación del tiempo y contracción de longitudes

Desintegración de los mesones µ

Se producen en la alta atmósfera (8-10 Km) y se detectan al nivel del mar. Se desintegran en 2× 10-6 s y tienen una velocidad media de 2.994× 108 m/s,

Por que se pueden observar si en t = 2× 10-6 s y teniendo una v= 2.994× 108 m/s, sólo recorren

h = v . t = 600 m ?

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¿Desde el sistema fijo al mesón µ, a que distancia se ve la tierra?

Para el mesón, la tierra se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que para el, la distancia entre la alta atmosfera y el nivel del mar se verá contraída (longitud propia).

Tiempo propio = Tµ= 2× 10-6 sLongitud propia = Lµ =600 m

Distancia que alcanza a recorrer en su tiempo de vida

L = Lt /

= 15.87

L = 9500/15.87 590 m

Page 19: Cinemática Relativista

¿Desde el sistema fijo a la tierra: Cuanto tiempo vive el mesón?

Desde la tierra, el mesón se ‘acerca’ con v = 2.994× 108 m/s, así que el tiempo de vida del mesón se dilatará: (tiempo propio)

En este tiempo y con v= 2.994× 108 m/s, alcanza a recorrer 9500 m y se explica que se detecte al nivel del mar.

Tt = T = 15.87Tt = 15.87*2× 10-6 s 31.74* 10 -6 s m

Page 20: Cinemática Relativista

Ambas interpretaciones conducen a una interpretación correcta desde el punto de vista experimental, pero que son radicalmente diferentes en cuanto al razonamiento empleado:

El mesón tiene una percepción de su tiempo propio de vida, y si logra llegar a la Tierra sólo puede interpretarlo diciendo que la distancia a recorrer se ha acortado.

El observador terrestre tiene una percepción de la distancia a recorrer, y si ve llegar al mesón al suelo sólo puede interpretarlo diciendo que éste ha alargado su tiempo de vida.

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Busquemos nuevas Transformaciones

Características:

-Para 1 deben aproximarse a las de Galileo

-Deben ser consecuentes con los postulados de la TER

-A partir de ellas deben deducirse la contracción de longitudes y la dilatación del tiempo.

Page 22: Cinemática Relativista

Tomemos una onda esférica de luz (cuando O=O’ t = t’ =0)

Para ser consecuentes con TER proponemos nuevas transformaciones:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

:

' : ' ' ' '

S x y z c t

S x y z c t

' ' ' '

' '

x vt y y z z

t t Bx

x A

A

Se demuestran la transformación de Lorentz:

2

' '

''' '

x x vt

y yz z

vt t xc

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Ejercicio:

A partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz, obtener las expresiones para la contracción de longitudes y dilatación del tiempo.

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Suma relativista de velocidades

2

' ' '

' ' '

x x vt y yvt t x z zc

2

''

1

xx

x

v vvv

c

v 2

'

'1

yy

x

v

vv

c

v

2

''

1

zz

x

vvv

c

v

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Velocidad máxima

c=Velocidad máxima

v(Km/s)

¿Qué sucede si v ≥ c?

2

21 1vc

0 1si v

si v c

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C + C = 2 C ?En un sistema S´ que se mueve con v = C, se envía un haz de luz (Vx´= C). Con que velocidad Vx se vé el haz en un sistema S?

21

x

C CV C

CC

C

2

''

1

xx

x

v vvv

c

v

Page 27: Cinemática Relativista

Una nave N1 se mueve a una velocidad V1= 0.6C. Otra nave N2, la quiere adelantar con una velocidad relativa entre ellas v= 0.6C. Que velocidad V2 debe adquirir N2?

Clásicamente:V2 = V1 + v = 0.6C + 0.6C = 1.2C

En T.E.R

2 2

V1+V 0.6C+0.6CV2= 0.882

V1*V 0.6C*0.6c1+ 1+

C C

C

Con sólo 0.882C, N2 aventaja a N1 en 0.6c

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Cinemática Clásica Vs. Cinemática Relativista

Clásica RelativistaEcuaciones de Transformación

Galileo Lorentz

Espacio – Tiempo

Absolutos velocidad relativa

Longitudes (v) Iguales Se contraenIntervalos de tiempo (t)

Iguales Se dilatan

Velocidad límite Ninguna CAplicabilidad V pequeñas V grandes

Page 29: Cinemática Relativista

La paradoja de los gemelos


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