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Mg. Samuel Oporto Díaz
Cinemática Directa
INTELIGENCIA ARTIFICIAL
22/44/44
Mapa Conceptual del Curso
Inteligencia y Conocimiento
Patrones
Agentes
Coordinación y
Sincronización
Robótica de Manipuladores
Robótica Móvil
Procesamiento de Imágenes
Redes Neuronales
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Tabla de Contenido
1. REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN
2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
3. Parámetros Denavit-Hartenber
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ObjetivosAl final del curso el alumnos estará en capacidad de:• Describir y analizar movimientos rígidos.• Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y
operar con los resultados de las ecuaciones.• Resolver problemas de cinemática inversa
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REPRESENTACION DE POSICION Y ORIENTACION EN
EL ESPACIO
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Orientación de los ejes en 3-D
Regla de la mano derecha
Z+
Y+
X+
Z+
Y+
X+
X
Z
Y
ZY
X
Z
YX
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Ejercicio 1• Para los siguientes sistemas de referencia, indique la
orientación de los ejes (el lado positivo).
X
Y
Z
Y X
Z
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Sistema de Referencia• Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se
realizan los cálculos.• Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas.
x
yz
xy
z
β
Pi
Pf
Px
x
X’
Xi
Y’
Yi
I x
{A}
{B}
{C}
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Movimiento del efector final• La manipulación de piezas mediante un robot implica
conocer la posición del efector final y la orientación que tiene, con respecto a la base del robot.
x
y
z
x
y
z
POSICION ORIENTACION
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POSICION• Una vez que se establece un sistema de coordenadas,
podemos localizar cualquier punto en el espacio con un vector de posición (3x1).
• Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido.
AP =
px
py
pz
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ORIENTACION• Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un
sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas.
• Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia.
• Existen varios métodos para representar la orientación:– Matriz de Rotación.– Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ)– Roll, pitch y yaw.– Vector -ángulo (o par de rotación).– Cuaternios.
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Giro en ángulo positivo
Eje +
θ +
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ORIENTACION
1414/44/44
ORIENTACION
La orientación de B con respecto a A es representado por:
θ
θ
Y
Z
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Coordenadas Homogéneas• Las matrices que indican la posición y orientación de un
espacio no es suficiente para describir un espacio.• Por lo que es necesario incluir algunos conceptos
adicionales.• La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala.
• T = =R3x3 p3x1
f1x3 w1x1
Rotación Traslación
Perspectiva Escalado
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TRANSFORMACION DE COORDENADAS
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TRASLACION• Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas:• Sea el espacio {B} que se desplaza PP con respecto al
espacio {A}
XA
YA
ZA{A}
XB
YB
ZB{B}
PP
AB T =
1 0 0 px
0 1 0 py
0 0 1 pz
0 0 0 1
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Ejercicio 2
Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T.
1. Indique la matriz de transformación para trasladar el espacio {A} en una distancia dada por el ventor P.
Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio {B} hacia el espacio {A}.
2. Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}.
[1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T
3. Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}.
[1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T
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Ejercicio 2• Matriz de transformación de
B hacia A.
AB
T =
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
3451
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
5791
=
1231
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
3571
=
3211
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
5551
=
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Ejercicio 2• Matriz de transformación de
A hacia B.
BA
T =
1 0 0 -20 1 0 -30 0 1 -40 0 0 1
3451
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
5791
=
1231
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
3571
=
3211
1 0 0 20 1 0 30 0 1 40 0 0 1
5551
=
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Ejercicio 3
• Cierto sistema, se traslada en P1, luego se traslada en P2 y luego en P3, para obtener finalmente el sistema {B}.
P1 = [-3, 3, 2]T, P2 = [2, 4 -1]T, P3 = [0, -2, 4]T
• Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes puntos dados en el espacio {B}.
[1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T
• Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes puntos dados en el espacio {A}.
[-1 2 3]T, [2 2 2]T, [3 -2 1]T
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ROTACION• Cómo expresar la rotación de coordenadas.• Se implementará la función R( eje, ángulo)
• La función indica la orientación del nuevo sistema de referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto eje en cierto ángulo.
• La rotación positiva se considera tomando en consideración la regla de la mano derecha.
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Rotación en el eje X• Definir las matrices de
rotación para los ejes X, Y, Z
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Ejercicio 4• El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la
ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}
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Ejercicio 4
60º 60º X
Y
X
Z
Y
cπ/3 -sπ/3 0 0cπ/3 cπ/3 0 00 0 1 00 0 0 1
Rot(z, π/3) =
cπ/3 -sπ/3 0 0cπ/3 cπ/3 0 00 0 1 00 0 0 1
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Ejercicio 5• El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º
alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en el sistema {B}
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Parámetros Denavit-Hartenber
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Conceptos de robótica• Cadena cinemática abierta formada por eslabones y
articulaciones:– Rotación– Prismáticas
• Estudio cinemático
• Estudio dinámico
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Conceptos de geometría espacial• Consideraremos como sistemas de referencia los formados
por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z):
– Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)– Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de
cada eje son iguales)– Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los
otros 2)
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Conceptos de geometría espacial• Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las
proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje.
• Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:
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Traslaciones y Rotaciones
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Matriz de Transformación T
• Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro.
• relaciona el sistema de referencia solidario al punto terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).
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Cinemática directa
• Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de posiciones/orientaciones.
(x, y, z, α, β, γ) = f (q1,q2,...,qn)
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Resolución cinemática directa
Sn = T . S0
• Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del robot (pinza) en coordenadas generalizadas
• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.
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Cinemática inversa
• Consiste en determinar la configuración que debe adoptar un robot para una posición y orientación del extremo conocidas.
• No existe solución única.
(q1,q2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)
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Obtención de la matriz T
• Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier número de grados de libertad, pero complejo para el caso de cadenas cinemáticas cerradas.
• Parámetros de D-H.
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Algoritmo
• Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0, Y0, Z0) asociado a la base del robot
• Localizar el eje de cada articulación Z:
• Si la articulación es rotativa, el eje será el propio eje de giro.
• Si es prismática, el eje lleva a dirección de deslizamiento.
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Algoritmo• Situar los ejes X el la
línea normal común a Zi-1 y Zi.
• Si estos son paralelos, se elige la línea normal que corta ambos ejes
• El eje Yi debe completar el triedro dextrógiro
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Algoritmo• Parámetros de D-H:
• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).
• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.
• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.
• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.
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Algoritmo
• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).
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Algoritmo
• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo lo define el sentido de Xi.
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Algoritmo
• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.
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Algoritmo
• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En el caso de articulaciones prismáticas será la variable de desplazamiento.
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Ejemplo
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Obtención de T• Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.
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Resolución cinemática directa
• Resolución cinemática directa Sn = T . S0
• Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en coordenadas generalizadas
• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del robot.
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Puma 560
4848/44/44
Bibliografía• John Craig, “Introduction to robotics,” Addison Wesley.• G. Dudek and M. Jenkin, “Computational Principles of
Mobile Robotics,” Cambridge University Press.
4949/44/44
PREGUNTAS