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Cálculo diferencial Limites y Continuidad

Limites y Continuidad


• Presentación de la Unidad

• Definición de Limite – Forma intuitiva

• Calculo de Limites – Forma numérica

– Forma grafica

– Por medio de la definición formal

• Ejemplo de calculo de limites – Por medio de las propiedades de los limites

• Definición de Continuidad

• Ejemplos para determinar si una función es continua o discontinua. – De forma grafica

– Por la definición de continuidad

• Ejemplos de identificación de funciones continuas y discontinuas a partir de la representación grafica.

• Asíntota Vertical.


Presentación de la Unidad

Los conceptos de límite y continuidad son la base para iniciar el estudio de la derivada; de hecho, la derivada es un límite. En esta unidad, iniciaremos con la definición e interpretación intuitiva de límite y nos apoyaremos en la gráfica para mostrar lo que sucede con el límite de una función. La definición de límite nos ayudará a comprender el concepto de continuidad y este nos permitirá identificar qué situaciones de la vida cotidiana se pueden representar por medio de una función continua.


Definición de Limite

Cuando hablamos de límites, nos referimos al entorno de una función en un punto determinado. Por ejemplo, si deseamos calcular el límite de la función en el punto x1, tenemos que analizar los puntos que hay a su alrededor, tanto del lado izquierdo como del derecho del eje de las equis. Pero, por cada punto que tomemos en el eje de las equis, tenemos que analizar lo que sucede con la imagen del mismo. Conforme nos acercamos al punto x1 por el lado izquierdo, debemos analizar hacia dónde se acercan las imágenes; lo mismo debemos hacer por el lado derecho.

• Definición de limite. Cantidad fija a la que una variable trata de ser igual. Por ejemplo, el límite de 1/n cuando n tiende a infinito es 0.

• Definición de Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado, como es decir que el límite de f(x) cuando x-->a sea k.

• Definición de una secuencia. Numero al que se acerca sin llegar a él, con los términos de una

secuencia convergente infinita. Diccionario de matemáticas

Autor Javier Rosas Caval

Editores mexicano unidos, s.a.

• En conclusión, el limite es aquel punto tan cercano como uno lo desee a una ubicación determinada, desde cualquier posición.


• Calculo de Limites por medio de la forma gráfica y numérica.

La gráfica de la función y el cuadro anexo, permiten determinar de forma gráfica y numérica el límite de la función cuando x tiende a 2 La obtención del límite de forma numérica se hace a partir de la tabla de datos que aparece adjunta al gráfico, y que muestra valores cercanos a 2, menores y mayores. Se observa como en la medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de y se acercan a 3 De forma gráfica, el límite se obtiene al subir desde 2 hasta la gráfica y girar hacia el eje y en donde se obtiene el valor 3.


Calculo de Limites por medio de la forma gráfica y numérica.

• La expresión utilizada para límite es:

• Y se lee el límite de f(x) cuando x tiende a: a es L.

• La función debe tomar valores cada vez más cercanos a a, sin que lleguen a ser exactamente a.

• Tomando el ejemplo anterior decimos que la respuesta para el ejercicio planteado anteriormente utilizando la expresión para limite:

• Y se lee El límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 3.


Ejemplos de limites

Por medio de las propiedades de los limites

• lim𝑥→8

𝑥3 +2𝑥2−5𝑥

𝑥2−2=

lim𝑥→8

𝑥3+ lim𝑥→8

2𝑥2−lim𝑥→8

5𝑥

lim𝑥→8

𝑥2− lim𝑥→8

2=

8 3+2 8 2−5 8

8 2−2=

600

31=

300

31= 9.6774

• lim𝑥→8

3𝑥5 + 8𝑥3 = lim𝑥→8

3𝑥5 + lim𝑥→8

8𝑥3 = 3 8 5 + 8 8 3 = 102400

• lim𝑥→5

𝑥2 + 3𝑥 ∙ 𝑥 − 2 = (lim𝑥→5

𝑥2 + lim𝑥→8

3𝑥) ∙ (lim𝑥→8

𝑥 − lim𝑥→5

2) = 52 + 3 5 ∙ 5 − 2 = 120

• lim𝑥→10

1525 = 1525

• lim𝑥→ −1

𝑥3−5

𝑥−5=

lim𝑥→ −1

𝑥3− lim𝑥→ −1

5

lim𝑥→ −1

𝑥− lim𝑥→ −1

1=

−1 3−5

−1 −1=

−6

−2= 3


Ejemplo de limites especiales

• Elabora una cadena de secuencias para el cálculo de los siguientes Límites. Ejercicio 1.

𝐋𝐢𝐦𝒙→𝟎

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙

𝟑𝒙

lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 4𝑥

3𝑥=

4

4 ∙ lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 4𝑥

3𝑥= lim

𝑥→0

4 ∙ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥

3 ∙ 4𝑥= lim

𝑥→0

4

3∙ lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 4𝑥

4𝑥=

4

3 ∙ 1 =

𝟒

𝟑

Ejercicio 2.

𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟎

𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟑𝒙−𝟏

𝟓𝒙

lim𝑥→0

𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑥 − 1

5𝑥= lim

𝑥→0

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 3𝑥

5𝑥=

−1

−1 ∙ lim

𝑥→0

cos 𝑥 − 1 + 3𝑥

5𝑥= lim

𝑥→0

−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 3𝑥

−5𝑥

= lim𝑥→0

−𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

−5𝑥+

−3𝑥

−5𝑥= lim

𝑥→0

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

−5𝑥+

3

5= −

1

5∙ lim

𝑥→0

1 − cos 𝑥

𝑥+

3

5= 0 +

3

5=

𝟑

𝟓


Definición de Continuidad

Establece si las siguientes funciones son continuas o discontinuas y menciona qué condición no satisfacen al ser discontinuas.

sen x = Tiene continuidad, ya que para cualquier valor de “y” habrá un valor para “x”.

cos x = Tiene continuidad, ya que para cualquier valor de “y” habrá un valor para “x”.

tang x= Tiene continuidad, pero es discontinua en los ángulos de 90° y 270°.

𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑥= Tiene continuidad, para cada valor de y" hay un valor en 𝐱, pero es discontinua cuando

x𝐯𝐚𝐥𝐞 𝐜𝐞𝐫𝐨

|x| = Tiene continuidad, para cualquier valor de “y” habrá un valor para “x”.

F (x)= 𝑥2−4

𝑥−2

4

si “x” ≠ ; si “x” = 2 Es continua en ambas funciones, tanto para “x” ≠ 0,

solamente en la función 𝑥2 − 4 se indetermina cuando “x” = 2

Definición de continuidad.

General. La continuidad es la unión que presentan entre sí las partes de un todo continuo. Pagina de consulta:

http://www.definicionabc.com/general/continuidad.php


Puedo concluir que la continuidad es la trayectoria que tiene un cuerpo de un extremo a otro sin ser interrumpida.

En matemáticas.

Se dice que una función “f” es continua en “c” si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1.- f(c) está definida, (o sea, “c” pertenece al dominio de “f”).

2.- lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) existe.

3.- lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = f(c).

La función “f” sería discontinua en “c” si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.


Teorema de Weiertrass Toda función f continua en un intervalo cerrado [a, b] admite un máximo y un mínimo absoluto. Teorema de Bolzano Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y en los extremos la función toma valores de signo contrario, dicha función se anula en un punto del interior del intervalo. Ejemplo de Funciones Continuas en la vida diaria. A mi punto de ver una función Continua esta delimitada tanto como uno quiera, dado que se pueden delimitar los intervalos en los cuales se quiere saber si una función es continua. Un ejemplo de una función continua es lo que utiliza el Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática (INEGI), para calcular el porcentaje de población en una región se utiliza la siguiente formula:

𝑇𝐶 = 100 𝑛𝑃𝑓

𝑃𝑖− 1

Donde: TC= Tasa de Crecimiento

𝑃𝑓= Población Final 𝑃𝑖= Población Inicial 𝑛 = Periodo de análisis en año


Veamos un caso práctico. El Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática (INEGI), necesita saber el comportamiento de crecimiento en el estado de Morelos en porcentaje, entre los años 2000, 2005, 2010, los datos que se tienen son: el número de habitantes en 2000 fue de 1 555 296; para 2005 fue de 1612899 y para el año 2010 fue de 1 777 227. Para obtener esta información nos basamos en la siguiente formula:

𝑇𝐶 =

100 𝑛𝑃𝑓

𝑃𝑖−1

100 o 𝑇𝐶 = 100 𝑛

𝑃𝑓

𝑃𝑖− 1 − 100

Sustituyendo Valores. (2005 al 2010)


𝑃𝑖− 1 − 100 = 100 5

1777227

1612899− 1 − 100

= 100 5 1.101883627 − 1 − 100 = 100 1.019593706 − 1 − 100= 101.9593706 − 1 − 100 = 100.593706 − 100 = 𝟎. 𝟓𝟗𝟑𝟕𝟎𝟔𝟐𝟏𝟕

Resultado. 𝟎. 𝟓𝟗𝟑𝟕𝟎𝟔𝟐𝟏𝟕


(2000-2005)


𝑃𝑖− 1 − 100 = 100 5

1612899

1555296− 1 − 100

= 100 5 1.03703668 − 1 − 100 = 100 1.007299976 − 1 − 100

= 100.7199976 − 1 − 100 = 99.72999758 − 100 = −𝟎. 𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒= −𝟏 𝟎. 𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒

Resultado. Se multiplica por (-1) ya que al ser porcentaje los valores son positivos.

Periodo

cada 5 años

Crecimiento de

población cada 5 años

2000-2005 0.28.00024

2005-2010 0.593706217

Tabla de valores


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Crecimiento de poblacion cada 5 años

Crecimiento de poblacion cada 5 años


Ejemplos para determinar si una función es continua o discontinua.

Ejemplo 1

Sea f la función definida por 𝑓 𝑥 = {𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2

−𝑥 𝑥 < −2

Su representación gráfica es la siguiente:

-2 -13, -13

-1 -3, -3 0 1, 1

1 5, 5

2 15, 15

-3, 8

-4, 15

-5, 24

-6, 35

-7, 48

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Eje

de

f(x

)

Eje de las X

Título del gráfico

𝑥^3+3𝑥+1

𝑥^2-1


Por la definición de continuidad

Ahora observa si f cumple las tres condiciones de continuidad en el punto x =1

f debe estar definida en 1. f(1)=2 , esto se debe a que así está definida la función.

El límite debe existir.

= 2

Por lo tanto , lo cual implica

que el límite sí existe y así f

cumple con la segunda

condición de continuidad.

La tercera condición que se debe de cumplir es Ya que: Además, f(1)=2 Por lo que f también cumple con la tercera condición de continuidad. Entonces, se tiene que la función f es continua en todo su dominio.


La representación numérica y grafica del ejemplo anterior es:

Para la ecuación 𝑓 𝑥 = {𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −2

−𝑥 𝑥 < −2

si x ≥ -2

x -2 -1 0 1 2

f(x)= -13 -3 1 5 15

x < -2

x -3 -4 -5 -6 -7

f(x)= 8 15 24 35 48

-2 -13, -13

-1 -3, -3 0 1, 1

1 5, 5

2 15, 15

-3, 8

-4, 15

-5, 24

-6, 35

-7, 48

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Eje

de

f(x

)

Eje de las X

Título del gráfico

𝑥^3+3𝑥+1

𝑥^2-1


ASINTOTA VERTICAL

Si f(x) tiende a infinito positivo o negativo cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x = c es una asíntota vertical de la gráfica de f.

Para entender claramente lo que son las asíntotas verticales, se analizará la gráfica de la siguiente función:

Sea la función , encontrar su asíntota vertical

Observa la grafica de f(x): A medida que te acercas al 0 por la derecha f(x) tiende al infinito positivo, esto quiere decir que f(x) seguirá creciendo mientras x se siga acercando al 0. Pero siempre sucede que x ≠ 0, es decir, que f(x) nunca tocará la línea x=0. Por lo tanto, la recta x = 0 es una asíntota vertical de la función f(x).


Ejemplo.

Para poder obtener la asíntota hay que igualar a cero la ecuación del denominador, por lo que se realiza lo siguiente: 𝟎 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟖 = 𝒙 + 𝟕 𝒙 − 𝟒 =

En este punto donde tenemos como resultado la factorización de la ecuación original, despejamos las x para obtener el siguiente resultado.

X= -7 y X= 4 x= -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(x)

= -1.917 #¡DIV/0! 1.5 0.611 0.292 0.107 -0.033 -0.17 -0.3 -0.542 -0.94 -2.1 #¡DIV/0! 2.417

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Eje de f(x)

Eje de las X

f(x)=(4x+9)/(x²+3x-28)

f(x)=(4x+9)/(x²+3x-28)

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