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Caracterización de las densidades en AC
convencionales y AC con retardos
José Manuel Gómez SotoUniversidad La Salle
Dr. Harold V. McIntoshUniversidad de Puebla
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Contenido
• AC convencionales
• Caracterización de la densidad
• Polinomios de densidad
• Convergencia
• AC con retardos
• Conclusiones
• Trabajos futuros
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Autómata Celular unidimensional
Un automata celular unidimensional es un sistema dinamico discreto queconsiste de una quintupla, {�, ⇥, ⇤, �r(xi), c0}, donde:
• � es un conjunto finito de estados, a partir del cual las configuraciones dec celulas toman sus valores, c : Z⇥ �.
• �r(xi) = xi�r, . . . , xi, . . . , xi+r es la vecindad de xi de radio r, cuyo tamanoes ⇥ = |�r(xi)|.
• ⇤ : �� ⇥ �, una funcion local que mapea vecindades de tamano ⇥ a unconjunto de estados �.
• C0, una configuracion inicial inicial a patir de la cual se comienza laevolucion.
• ⇥ una funcion global que calcula transformaciones entre conjuntos de con-figuraciones.
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Regla local
�t+1i = ⇥(�t
i�r,�ti�r+1, . . . ,�
ti , . . . ,�
ti+r�1,�
ti+r)
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Autómata celular en una dimensión
∑= { r = 1},
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Ejemplos de evoluciones en AC
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Densidades en AC
Predicción de las densidades
.
.
.
81/100
43/100
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Caracterización de densidades en AC
• Statistical study in CA• Dresden, M. and Wong, D.,``Life games and statistical models,'' Proceedings of the National
Academy of Sciences, 72, 956-960 (1975).
• Mean field theory• Schulman, L.S. and Seiden P.E., ``Statistical mechanics of a dynamical system based on Conway's
game of life,'' Journal of Statistical Physics 19, 293-314 (1978).
• Wolfram, Stephen. ``Statistical mechanics of cellular automata,'' Review of Modern Physics, 55, No 3, 601-644 (1983).
• Local structure theory • Gutowitz, Howard A. , ``Local structure theory for cellular automata,'' Ph.D. thesis, Rockefeller
University (1987).
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Teoría del campo medio
xj(t + 1) =∑
(c1,...,cm)∈Am
W ((c1, . . . , cm) → cj)
m∏
i=1
|A|∑
k=1
(δci,ck)xk(t)
δci,ck= 0 si ci = ck
δci,ck= 1 si ci = ck
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ϕ(000) !→ 0
ϕ(001) !→ 1
ϕ(010) !→ 1
ϕ(011) !→ 0
ϕ(100) !→ 1
ϕ(101) !→ 0
ϕ(110) !→ 0
ϕ(111) !→ 0
p !→ 1
q !→ 0 ϕ(qqq) !→ q
ϕ(qqp) !→ p
ϕ(qpq) !→ p
ϕ(qpp) !→ q
ϕ(pqq) !→ p
ϕ(pqp) !→ q
ϕ(ppq) !→ q
ϕ(ppp) !→ q
f(p) = 3pq2
Teoría del campo medio
![Page 11: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/11.jpg)
Teoría del campo medio
f(p) = 3q2p
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f(p) = 3q2p
Teoría del campo medio
Ventajas: Conecta la regla local con el comportamienyo
global.
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Teoría del campo medio
f(p) = 3q2p
Ventajas: Conecta la regla local con el comportamienyo
global.
Desventajas: No es preciso.
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Pt+1b =
∑
B|ϕ(B) !→B
PtB
P t+1n (B′) =
∑
B∈Bn+2r
δ(ϕ(B), B′)P t
n(R2B)P tn(RLB)P t
n(L2B)
P tn(R2LB)P t
nL2RB
Teoría de estructura localGutowitz
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Pt+1b =
∑
B|ϕ(B) !→B
PtB
P t+1n (B′) =
∑
B∈Bn+2r
δ(ϕ(B), B′)P t
n(R2B)P tn(RLB)P t
n(L2B)
P tn(R2LB)P t
nL2RB
Ventaja: Es preciso.
Teoría de estructura localGutowitz
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Desventaja: se pierde la conección local con el comportamiento
colectivo.
Pt+1b =
∑
B|ϕ(B) !→B
PtB
P t+1n (B′) =
∑
B∈Bn+2r
δ(ϕ(B), B′)P t
n(R2B)P tn(RLB)P t
n(L2B)
P tn(R2LB)P t
nL2RB
Ventaja: Es preciso.
Teoría de estructura localGutowitz
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¿Es posible una tercer alternativa?
Un método que tenga las ventajas de MFT y LST
La ventaja de la precisión y el mantener la conección entre la regla local y el
comportamiento global
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Polinomios de densidad
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Metáfora:
Para calcular la probabilidad de que ocurra el estado 1 necesitamos calcular la probabilidad de que ocurran sus
preimágenes.
Para calcular la probabilidad de que ocurran las preimágenes del estado 1, necesitamos calcular la probabilidad de que ocurran las preimágenes de las preimágenes del estado 1
y así en adelante...
Polinomios de densidad
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Polinomios de densidad en autómatas celulares en una dimensión.
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Polinomios de densidad
1
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1
001 010 100
Polinomios de densidad
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1
001 010 100
11100
00001
01100
11010 00011
10101
11000 00110
00111
01011
10000
Polinomios de densidad
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1
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11100
00001
01100
11010 00011
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11000 00110
00111
01011
10000
f(p) = 3pq2
Polinomios de densidad
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1
001 010 100
11100
00001
01100
11010 00011
10101
11000 00110
00111
01011
10000
f(p) = 3pq2
f(p) = 2q4p + 4q3p2 + 5q2p3
Polinomios de densidad
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1
001 010 100
11100
00001
01100
11010 00011
10101
11000 00110
00111
01011
10000
f(p) = 3pq2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
f(p) = 2q4p + 4q3p2 + 5q2p3
Polinomios de densidad
![Page 27: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/27.jpg)
x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))) . . .
Iteración de funciones
Polinomios de densidad
![Page 28: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/28.jpg)
x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))) . . .
1
Polinomios de densidad
Iteración de funciones
![Page 29: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/29.jpg)
x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))) . . .
1 001
010
100
Polinomios de densidad
Iteración de funciones
![Page 30: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/30.jpg)
x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), f(f(f(f(x)))) . . .
1 001
010
100
11100
00001
01100
11010
00011
1010111000
00110
00111
01011
10000
. . .
Polinomios de densidad
Iteración de funciones
![Page 31: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/31.jpg)
Preimágenes
Para calcular los polinomios de densidad se requiere calcular las preimágenes
![Page 32: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/32.jpg)
Preimágenes
Andrew WuenscheBurton Voorhees
McIntosh
Para calcular los polinomios de densidad se requiere calcular las preimágenes
![Page 33: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/33.jpg)
Cálculo de Preimágenes mediante el diagrama de “de
Bruijn”
![Page 34: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/34.jpg)
• En 1946, N.G. de Bruijn y Good crearon los diagramas para resolver un problema combinatorio.
• De Bruijn, N.G,.``A combinatorial problem,'' Akadamie van wetenschappen, Amsterdan, 8 (1946) 461-467. Good I. J., ¨Normal recurring decimals,'' Journal of the London Mathematical Society, 21, 167-169 (1946).
• En 1978, Nasu estudio de mapeos sobreyectivos.
• Nasu, M., ``Local maps inducing surjective local maps of one dimensional tessellation automata,'' Mathematical System Theory, 11 (1978) 327-351.
• En 1984, Wolfram los utilza en el contexto de teoría de la computación.
• Wolfram, S.``Computation theory of cellular automata,'' Communications in Mathematical Physics, 96, (1984) 15--57.
Los diagramas de “de Bruijn”
![Page 35: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/35.jpg)
• En 1989, Erica Jen. Para enumerar preimágenes
• Jen, E., ``Enumeration of Preimages of Cellular Automata,'' Complex Systems, 3(1989), 421-456.
• En 1991, McIntosh. Calcular la proliferación of preimágenes.
• McIntosh, H. V., ``Linear Cellular Automata via deBruijn Diagram,'' http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh/comun/cf/debruijn.pdf (1991).
• En 1991, Sutner. Estudiar AC reversibles.• Sutner K., ``De Bruijn Graphs and Linear Cellular Automata,'' Complex Systems, 5 (1991) 19-30.
Los diagramas de de Bruijn
![Page 36: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/36.jpg)
Los diagramas de ¨de Bruijn¨ en los AC.
Los diagramas de ¨de Bruijn¨ es una gráfica que representa la regla de evolución.
111 → 0
110 → 1
101 → 1
100 → 0
011 → 1
010 → 1
000 → 0
Regla 110
01
001 → 1
![Page 37: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/37.jpg)
Cálculo de preimágenes mediante diagramas ¨de Bruijn¨.
| 00 01 10 11
00 | {“000”} {“001”} ∅ ∅01 | ∅ ∅ {“010”} {“011”}10 | {“100”} {“101”} ∅ ∅11 | ∅ ∅ {“110”} {“111”}
Matriz de preimágenes
Matriz de preimágenes del estado 0
M0 =
⎛
⎜
⎜
⎝
{“000”} ∅ − −− − ∅ ∅
{“100”} ∅ − −− − ∅ {“111”}
⎞
⎟
⎟
⎠
M1 =
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ {“001”} − −− − {“010”} {“011”}∅ {“101”} − −− − {“110”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
Matriz de preimágenes del estado 1
![Page 38: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/38.jpg)
Operador sobre las matrices de preimágenes
C = A ⊙ B
ci,j =
n⋃
k=1
aik ⊗ bkj
![Page 39: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/39.jpg)
⊙
⎛
⎜
⎜
⎝
{“000”} ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅
{“100”} ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ {“111”}
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ {“001”} ∅ ∅∅ ∅ {“010”} {“011”}∅ {“101”} ∅ ∅∅ ∅ {“110”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
M01 = M0 ⊙ M1
M0 M1
M01
Ejemplo:
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ {“0001”} ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅∅ {“1001”} ∅ ∅∅ ∅ {“1110”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
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⊙
⎛
⎜
⎜
⎝
{“000”} ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅
{“100”} ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ {“111”}
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ {“001”} ∅ ∅∅ ∅ {“010”} {“011”}∅ {“101”} ∅ ∅∅ ∅ {“110”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
M01 = M0 ⊙ M1
M0 M1
M01
Ejemplo:
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ {“0001”} ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅∅ {“1001”} ∅ ∅∅ ∅ {“1110”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
![Page 41: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/41.jpg)
Cálculo de preimágenes
a1a2a3 . . . aw
Ma1a2a3...ak= ((((Ma1
⊙ Ma2) ⊙ Ma3
) ⊙ . . .) ⊙ Maw).
![Page 42: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplo:Preimágenes of “01001”
M01001 =
⎛
⎜
⎜
⎝
∅ ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅∅ ∅ ∅ ∅∅ ∅ {“1110001”} ∅
⎞
⎟
⎟
⎠
M01001 = ((((M0 ⊙ M1) ⊙ M0) ⊙ M0) ⊙ M1)
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Una vez que sabemos como calcular preimágenes podemos calcular los polinomios de densidad
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1
001 010 100
11100
00001
01100
11010 00011
10101
11000 00110
00111
01011
10000
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Polinomios de densidad
M001,M010,M100.
M11100
M01100
M11010
M11100
M11000
M10101
M00011
M00110
M00111
M01011
M10000
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Polinomios de densidad
Rule 110
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
![Page 46: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/46.jpg)
Rule 110
(1)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
Polinomios de densidad
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Rule 110
(1)
(2)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
Polinomios de densidad
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Rule 110
(1)
(2)
(3)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
Polinomios de densidad
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Rule 110
(1)
(2)
(3)
(4)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
Polinomios de densidad
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Rule 110
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
Polinomios de densidad
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Rule 110
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
f(p) = 6qp12+44q2p11+163q3p10+388q4p9+670q5p8+899q6p7+929q7p6+710q8p5+394q9p4+156q10p3+40q11p2+5q12p
Polinomios de densidad
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Rule 110
.
.
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
f(p) = 6qp12+44q2p11+163q3p10+388q4p9+670q5p8+899q6p7+929q7p6+710q8p5+394q9p4+156q10p3+40q11p2+5q12p
¿Cuando detenerse?
Polinomios de densidad
![Page 53: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/53.jpg)
Rule 110
.
.
.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ϕ : {111 → 0, 110 → 1, 101 → 1, 100 → 0, 011 → 1, 010 → 1, 001 → 1, 000 → 0}
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
f(p) = 6qp12+44q2p11+163q3p10+388q4p9+670q5p8+899q6p7+929q7p6+710q8p5+394q9p4+156q10p3+40q11p2+5q12p
¿Qué polinomio caracteriza el comportamiento?
Polinomios de densidad
![Page 54: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/54.jpg)
Convergencia en los Polinomios de Densidad
![Page 55: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/55.jpg)
Criterio de convergencia
|
∫ 1
0
pt(x) −
∫ 1
0
pt+i(x)| < ϵ
para i � 1.
![Page 56: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/56.jpg)
Bi,n =
(
n
i
)
piqn−i
Polinomios de Bernstein
para i = 0, 1, . . . , n.
Con Bi,n = 0 si i < 0 , i > n.
![Page 57: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/57.jpg)
Propiedades de los Polinomios de Bernstein
n∑
i=0
Bi,n(p) =n−1∑
i=0
Bi,n−1(p) =n−2∑
i=0
Bi,n−2(p) = . . .
=1∑
i=0
Bi,1(p) = (1 − p) + p = 1.
k∑
i=0
Bi,n(p) =k−1∑
i=0
Bi,n−1(p)1)
2)
![Page 58: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/58.jpg)
Polinomios de BernsteinLos binomiales de los polinomios son los
coeficientes del triángulo de Pascal.
![Page 59: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/59.jpg)
Los polinomios de densidad estan inmersos en los polinomios de Bernstein
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
f(p) = 6qp12+44q2p11+163q3p10+388q4p9+670q5p8+899q6p7+929q7p6+710q8p5+394q9p4+156q10p3+40q11p2+5q12p
![Page 60: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/60.jpg)
Los polinomios de densidad estan inmersos en los polinomios de Bernstein
f(p) = 3qp2 + 2q2p
f(p) = 3qp4 + 5q2p3 + 6q3p2 + 3q4p
f(p) = 5qp6 + 11q2p5 + 15q3p4 + 19q4p3 + 13q5p2 + 3q6p
f(p) = 3qp8 + 20q2p7 + 45q3p6 + 64q4p5 + 67q5p4 + 48q6p3 + 22q7p2 + 5q8p
f(p) = 5qp10+33q2p9+94q3p8+165q4p7+216q5p6+233q6p5+188q7p4+95q8p3+26q9p2+3q10p
f(p) = 6qp12+44q2p11+163q3p10+388q4p9+670q5p8+899q6p7+929q7p6+710q8p5+394q9p4+156q10p3+40q11p2+5q12p
![Page 61: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/61.jpg)
Convergencia △I
10, 12 y 34
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=1
(
n−2
r−1
)
(
n
r
)
]
= 0.5
![Page 62: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/62.jpg)
Convergencia △II
170, 184 y 204.
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=0
(
n−1
r
)
(
n
r
)
]
= 0.166
![Page 63: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/63.jpg)
Convergencia △III
2 y 4.
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=2
(
n−3
r−2
)
(
n
r
)
]
= 0.083
![Page 64: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/64.jpg)
Convergencia △V I
15, 29 y 51.
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=0
(
n−1
r
)
(
n
r
)
]
= 0.5
![Page 65: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/65.jpg)
Convergencia △V
1, 3 y 5.
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=0
(
n−1
r
)
+(
n−3
r−1
)
(
n
r
)
]
= 0.583
![Page 66: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/66.jpg)
AC con retardos
�t+1i = ⇥(�t�r�1
i�r ,�t�1i�r+1, . . . ,�
ti , . . . ,�
t�ri+r�1,�
t�r�1i+r )
Dr. Jörg Noack.Max Plank Institute, Leipzig
Dr. Thimo RohlfSanta Fe Institute, EU.
![Page 67: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/67.jpg)
AC con retardos
![Page 68: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/68.jpg)
Regla 30
AC Convencional AC con Retardo t − 1
![Page 69: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/69.jpg)
Regla 90
AC Convencional AC con Retardo t − 1
![Page 70: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/70.jpg)
Regla 110
AC Convencional AC con Retardo t − 1
![Page 71: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/71.jpg)
Preimágenes en AC con retardos
Gen: 0
![Page 72: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/72.jpg)
preimágenes en AC con retardos
Gen: 1
![Page 73: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/73.jpg)
Preimágenes en AC con retardos
Gen: 2
![Page 74: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/74.jpg)
Preimágenes en AC con retardos
Gen: 3
![Page 75: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/75.jpg)
Preimágenes en AC con retardos
Regla 170
![Page 76: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/76.jpg)
Convergencia △I
10, 12 y 34
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=1
(
n−2
r−1
)
(
n
r
)
]
= 0.5
3
4
5
![Page 77: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/77.jpg)
Convergencia △II
170, 184 y 204.
p =1
n + 1
[
n−1∑
r=0
(
n−1
r
)
(
n
r
)
]
= 0.166
3
4
5
![Page 78: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/78.jpg)
Conclusiones
• La evolución de los AC con retardo tiende a alargarse pero converge a la misma densidad que los AC convencionales
![Page 79: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/79.jpg)
Trabajos futuros
• ¿El hecho de que AC con retardo y convencionales implica que las propiedades de los AC convencionales se mantienen pero en otro ciclo de tiempo? Es decir la regla 110 hace computación universal en los AC con retardo pero en un desfase de ?
• ¿Se cumple esto para cualquier retardo?
• ¿Se pueden consisderar los AC con retado AC fractales?
t − 1
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GraciasAnatoli Fomenko
![Page 81: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/81.jpg)
Contacto
José Manuel Gómez SotoPosgrado e Investigación
Universidad la SalleMéxico
www.ci.ulsa.mx/[email protected]
http://cellular.ci.ulsa.mx/
![Page 82: Caracterización de las densidades en AC convencionales y](https://reader036.vdocuments.co/reader036/viewer/2022072308/62dabeee94d7a848b1304467/html5/thumbnails/82.jpg)
preimágenes en AC con retardos