Capítulo 6A.
AceleraciónPRESENTACIÓN POWERPOINT DE
PAUL E. TIPPENS, PROFESOR DE FÍSICA
SOUTHERN POLYTECHNIC STATE UNIVERSITY
© 2007
El cheetah (guepardo): Un gato diseñado para correr. Su
fortaleza y agilidad le permiten sostener una rapidez tope de
más de 100 km/h. Tales rapideces sólo se pueden mantener
durante unos diez segundos.Foto © Vol. 44 Photo Disk/Getty
Aceleración uniforme en una
dirección: El movimiento es a lo largo de una línea
recta (horizontal, vertical o inclinado).
Los cambios en el movimiento resultan de una fuerza CONSTANTE que produce aceleración uniforme.
La causa del movimiento se discutirá más tarde. Aquí sólo se tratan los cambios.
El objeto en movimiento se trata como si fuese una partícula puntual.
Distancia y desplazamiento
Distancia es la longitud de la trayectoria real que sigue el objeto. Considere el viaje del punto A al punto B en el siguiente diagrama:
A
Bs = 20 m
La distancia s es una
cantidad escalar (sin
dirección):
Sólo contiene magnitud
y consta de un número
y una unidad.
(20 m, 40 mi/h, 10 gal)
Distancia y desplazamiento
Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una dirección específica.
Una cantidad vectorial:
Contiene magnitud Y dirección, un
número, unidad y ángulo.
(12 m, 300; 8 km/h, N)
A
BD = 12 m, 20o
q
Desplazamiento =Δx = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖
Distancia y desplazamiento
Para movimiento a lo largo de los ejes x o y, el desplazamiento se determina por la coordenada x o y de su posición final. Ejemplo: Considere un auto que viaja 8 m al E, luego 12 m al O.
El desplazamiento es:Δx = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 8 – ( - 4)
¿Cuál es la
distancia
recorrida?
20 m !!12 m,O
D
D = 4 m, Oeste
x8 m,E
x = +8x = -4
Los signos del desplazamiento
El desplazamiento es positivo (+) o
negativo (-) con base en la UBICACIÓN.
2 m
-1 m
-2 m
El desplazamiento es la
coordenada y. Si el movimiento
es arriba o abajo, + o -, se basa
en la UBICACIÓN.
Ejemplos:
¡La dirección del movimiento no importa!
Definición de rapidez
Rapidez es la distancia recorrida por
unidad de tiempo (una cantidad escalar).
v = = s
t
20 m
4 s
v = 5 m/s
¡No depende de la
dirección!
A
Bs = 20 m
Tiempo t = 4 s
Definición de velocidad
Velocidad es el desplazamiento por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)
v = 3 m/s, 200 N del E
¡Requiere
dirección!
A
Bs = 20 m
Tiempo t = 4 s
D=12 m
20o
v=𝑥𝑓−𝑥𝑖
𝑡=
12𝑚
4𝑠
Ejemplo 1. Una corredora corre 200 m, este, luego cambia
dirección y corre 300 m, oeste. Si todo el viaje tarda 60 s, ¿cuál
es la rapidez promedio y cuál la velocidad promedio?
Recuerde que la rapidez
promedio es una función sólo
de la distancia total y del
tiempo total:
Distancia total: s = 200 m + 300 m = 500 m
Rapidez prom.
8.33 m/s
¡No importa la dirección!
inicio
s1 = 200 ms2 = 300 m
s 60
m 500
tiempo
a totaltrayectoriomedioRapidez pr
Ejemplo 1 (Cont.) Ahora encuentre la velocidad promedio,
que es el desplazamiento neto dividido por el tiempo. En
este caso, importa la dirección.
xo = 0
t = 60 s
x1= +200 mxf = -100 m0fx xv
t
x0 = 0 m; xf = -100 m
100 m 01.67 m/s
60 sv
La dirección del
desplazamiento final es hacia
la izquierda, como se muestra.
Velocidad promedio: V= 1.67777 m/s al oeste
Ejemplo 2. Un paracaidista salta y cae 600 m en
14 s. Después se abre el paracaídas y cae otros
400 m en 150 s. ¿Cuál es la rapidez promedio de
toda la caída?
600 m
400 m
14 s
150 s
A
B
600 m + 400 m
14 s + 150 s
A B
A B
x xv
t t
1000 m
164 sv 6.10 m/sv
La rapidez promedio sólo es función de la
distancia total recorrida y el tiempo total
requerido.
Distancia total/tiempo total:
Ejemplos de rapidez
Luz = 3 x 108 m/s
Órbita
2 x 104 m/s
Jets = 300 m/s Automóvil = 25
m/s
Ejemplos de rapidez
(Cont.)
Corredora = 10
m/s
Caracol = 0.001
m/s
Glaciar = 1 x 10-5
m/s
Rapidez promedio y velocidad
instantánea
La velocidad instantánea es la magnitud y la dirección de la rapidez en un instante particular. (v en el punto C)
La rapidez promedio depende SÓLO de la distancia recorrida y el tiempo requerido.
A
Bs = 20 m
Tiempo t = 4 s
C
Los signos de la velocidad
Elija primero la dirección +;
entonces v es positiva si el
movimiento está en dicha
dirección, y negativa si es
contraria a esa dirección.
La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.
-+
-+
+
v promedio e instantánea
Dx
Dt
x2
x1
t2t1
2 1
2 1
avg
x x xv
t t t
D D
( 0)inst
xv t
t
D D D
Dx
Dt
Tiemp
o
pendien
te
De
spla
zam
ien
to,
x
Velocidad promedio: Velocidad instantánea:
Definición de aceleración
Una aceleración es el cambio en velocidad por unidad de tiempo. (Una cantidad vectorial.)
Un cambio en velocidad requiere la aplicación de un empuje o jalón (fuerza).
Más adelante se dará un tratamiento formal de fuerza y aceleración.
Por ahora, debe saber que:
• La dirección de la aceleración es la misma que la dirección de la fuerza.
• La aceleración es proporcional a la magnitud de la fuerza.
Jalar el carrito con el doble de fuerza produce el doble
de aceleración y la aceleración está en la dirección de
la fuerza.
Aceleración y fuerza
Fa
2F 2a
Ejemplo de aceleración
El viento cambia la rapidez de un
bote de 2 m/s a 8 m/s en 3 s. Cada
segundo cambia la rapidez por 2
m/s.La fuerza del viento es constante, por tanto la aceleración es constante.
+
vf = +8 m/sv0 = +2 m/s
t = 3 s
Fuerz
a
Los signos de la aceleración
La aceleración es positiva (+) o negativa
(-) con base en la dirección de la fuerza.
Primero elija la
dirección +. Entonces
la aceleración atendrá el mismo signo
que el de la fuerza F,
sin importar la
dirección de la
velocidad.
F
F
+a (-)
a(+)
a promedio e instantánea
Dv
Dt
v
2
v
1
t2t1
Dv
Dt
tiemp
o
pendient
e
2 1
2 1
avg
v v va
t t t
D D
( 0)inst
va t
t
D D D
Ejemplo 3 (sin cambio en dirección): Una fuerza constante
cambia la rapidez de un auto de 8 m/s a 20 m/s en 4 s.
¿Cuál es la aceleración promedio?
Paso 1. Dibuje un bosquejo burdo.
Paso 2. Elija una dirección positiva (derecha).
Paso 3. Etiquete la información dada con signos + y -
.Paso 4. Indique la dirección de la fuerza F.
+
v1 = +8 m/s
t = 4 s
v2 = +20 m/s
Fuerz
a
Ejemplo 3 (continuación): ¿Cuál es la aceleración
promedio del auto?
Paso 5. Recuerde la definición de
aceleración promedio.
2 1
2 1
avg
v v va
t t t
D D
20 m/s - 8 m/s3 m/s
4 sa
+
v1 = +8 m/s
t = 4 s
v2 = +20 m/s
Fuerz
a
a = + 3 m/s, a la derecha
Signos para el desplazamiento
Tiempo t = 0 en el punto A. ¿Cuáles son los signos (+ o -) del
desplazamiento en B, C y D?
En B, x es positivo, derecha del origen
En C, x es positivo, derecha del origen
En D, x es negativo, izquierda del origen
+ Fuerz
a
vo = +20 m/svf = -5 m/s
E
a = - 5 m/s2
A BC
D
Signos para velocidad
¿Cuáles son los signos (+ o -) de la velocidad en los puntos B,
C y D?
En B, v es cero - no necesita signo.
En C, v es positiva de ida y negativa de vuelta.
En D, v es negativa, va a la izquierda.
+ Fuerz
a
vo = +20 m/svf = -5 m/s
E
a = - 5 m/s2
A B
CD
x = 0
¿Cuáles son los signos (+ o -) de la aceleración en los puntos
B, C y D?
La fuerza es constante y siempre se dirige a la izquierda, de modo que la aceleración no cambia.
En B, C y D, a = -5 m/s, negativa en todos los puntos.
Signos para aceleración
+ Fuerz
a
vo = +20 m/svf = -5 m/s
E
a = - 5 m/s2
A BC
D
Definiciones
Velocidad promedio:
Aceleración promedio:
2 1
2 1
avg
x x xv
t t t
D D
2 1
2 1
avg
v v va
t t t
D D
Velocidad para a
constanteVelocidad promedio: Velocidad promedio:
Al hacer to = 0 y combinar lo que se tiene:
0
0
f
avg
f
x xxv
t t t
D D
0
2
f
avg
v vv
0
02
fv vx x t
Fórmulas basadas en definiciones:
Fórmulas derivadas:
Sólo para aceleración constante
210 0 2
x x v t at 21
0 2fx x v t at
0
02
fv vx x t
0fv v at
2 2
0 02 ( ) fa x x v v
Uso de posición inicial x0 en
problemas.
Si elige el origen de sus ejes
x,y en el punto de la
posición inicial, puede hacer
x0 = 0 y simplificar estas
ecuaciones.
210 0 2
x x v t at
210 2fx x v t at
0
02
fv vx x t
2 2
0 02 ( ) fa x x v v
0fv v at
El término xo es muy útil para
estudiar problemas que
involucran movimiento de dos
cuerpos.
0
0
0
0
Repaso de símbolos y unidades
Desplazamiento (x, xo); metros (m)
Velocidad (v, vo); metros por segundo (m/s)
Aceleración (a); metros por s2 (m/s2)
Tiempo (t); segundos (s)
Repase la convención de signos para
cada símbolo
Los signos del desplazamiento
El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN.
El desplazamiento
es la coordenada
y. Si el movimiento
es arriba o abajo, +
o -, se basa en la
UBICACIÓN.
2 m
-1 m
-2 m
Los signos de la velocidad
La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la
dirección de movimiento.
Elija primero la dirección +; entonces
la velocidad v es positiva si el
movimiento está en la dirección +, y
negativa si está contraria a esa
dirección.
+
-
-
+
+
Aceleración producida por una fuerza
La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (NO con base en v).
Se necesita un empujón o
jalón (fuerza) para
cambiar la velocidad, por tanto el signo de a es igual
al signo de F.
F a(-)
F a(+) Después se hablará
más de la relación entre F y a.
Ejemplo 6: Un avión que inicialmente vuela a 400 ft/s aterriza
en la cubierta de un portaaviones y se detiene en una
distancia de 300 ft. ¿Cuál es la aceleración?
300 ft
+400 ft/s
vo
v = 0
+ F
Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.
Paso 2. Indique la dirección + y la dirección
de F.
X0 = 0
Ejemplo:
(Cont.)
300 ft
+400 ft/s
vo
v = 0
+ F
Paso 3. Mencione lo
conocido; encuentre
información con signos.
Dado: vo = +400 ft/s
v = 0
x = +300 ft
Encontrar: a =
¿?; t = ¿?
Mencione t = ¿?, aun cuando
no se pida el tiempo.
X0 = 0
Paso 4. Seleccione la ecuación que contiene a y
no t.
300 ft
+400 ft/s
vo
v = 0
+ F
x
2a(x -xo) = v2 - vo2
0 0
a = = -vo
2
2x
-(400 ft/s)2
2(300 ft) a = - 267 ft/s2
¿Por qué la aceleración es
negativa?
Continúa . . .
La posición inicial y la velocidad
final son cero.
X0 = 0
¡Porque la fuerza está en una dirección
negativa!
Aceleración debida a la
gravedad
Todo objeto sobre la Tierra experimenta una fuerza común: la fuerza debida a la gravedad.
Esta fuerza siempre se dirige hacia el centro de la Tierra (hacia abajo).
La aceleración debida a la gravedad es relativamente constante cerca de la superficie terrestre. Tierra
Wg
Aceleración gravitacional
En un vacío, todos los objetos caen con la misma aceleración.
Las ecuaciones para aceleración constante se aplican como es usual.
Cerca de la superficie de la Tierra:
a = g = 9.80 m/s2 o 32 ft/s2
Dirigida hacia abajo (por lo general
negativa).
Convención de signos:
Bola que se lanza
verticalmente hacia
arriba
• La velocidad es positiva (+) o negativa (-) con base en la dirección de movimiento.
• El desplazamiento es positivo (+) o negativo (-) con base en la UBICACIÓN.
Punto de
liberación
ARRIBA = +
Tippens
• La aceleración es (+) o (-) con base en la dirección de la fuerza (peso).
y = 0
y = +
y = +
y = +
y = 0
y = -
Negativa
v = +
v = 0
v = -
v = -
v= -
Negativa
a = -
a = -
a = -
a = -
a = -
Misma estrategia de resolución de problemas, excepto a = g:
Dibuje y etiquete bosquejo del problema.
Indique la dirección + y la dirección de la fuerza.
Mencione la información dada y establezca la que se tiene que encontrar.
Dado: ____, _____, a = - 9.8 m/s2
Encontrar: ____, _____
Seleccione la ecuación que contenga una y no las otras cantidades desconocidas, y resuelva para la incógnita.
Ejemplo 7: Una bola se lanza verticalmente hacia arriba
con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Cuáles son su
posición y velocidad después de 2 s, 4 s y 7 s?
Paso 1. Dibuje y etiquete un bosquejo.
a = g
+
vo = +30 m/s
Paso 2. Indique la dirección + y la
dirección de la fuerza.
Paso 3. Información dada/encontrar.
a = -9.8 ft/s2 t = 2, 4, 7 s
vo = + 30 m/s y = ¿? v = ¿?
Encontrar desplazamiento:
a = g
+
vo = 30 m/s
0
y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
La sustitución de t = 2, 4 y 7 s
dará los siguientes valores:
y = 40.4 m; y = 41.6 m; y = -30.1 m
210 0 2
y y v t at
Paso 4. Seleccione ecuación que
contenga y y no v.
Encontrar velocidad:
Paso 5. Encuentre v a partir de
la ecuación que contenga v y
no x:
Sustituya t = 2, 4 y 7 s:
v = +10.4 m/s; v = -9.20 m/s; v = -38.6 m/s
a = g
+
vo = 30 m/s
0fv v at
230 m/s ( 9.8 m/s )fv t
Ejemplo 7: (Cont.) Ahora encuentre la
altura máxima alcanzada:
El desplazamiento es máximo
cuando la velocidad vf es
cero.a = g
+
vo = +96 ft/s
230 m/s ( 9.8 m/s ) 0fv t
2
30 m/s; 3.06 s
9.8 m/st t
Para encontrar ymax
sustituya t = 3.06 s en la
ecuación general del
desplazamiento.
y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
Ejemplo 7: (Cont.) Encuentre la altura
máxima:
y = (30 m/s)t + ½(-9.8 m/s2)t2
a = g
+
vo =+30 m/s
t = 3.06 s
212
(30)(3.06) ( 9.8)(3.06)y
y = 91.8 m - 45.9 m
Al omitir unidades se obtiene:
ymax = 45.9 m
Resumen de fórmulas
Fórmulas derivadas:
Sólo para aceleración constante
210 0 2
x x v t at 21
0 2fx x v t at
0
02
fv vx x t
0fv v at
2 2
0 02 ( ) fa x x v v
MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES
Movimiento de proyectiles
Un proyectil es una partícula que se mueve cerca de la superficie de la
Tierra sólo bajo la influencia de su peso (dirigido hacia abajo).
a = g
W
W
W
Movimiento vertical y horizontal
Simultáneamente suelte
una bola amarilla y
proyecte la bola roja
horizontalmente.
¿Por qué golpean el suelo al mismo
tiempo?
Una vez comienza el movimiento, el peso
hacia abajo es la única fuerza sobre cada
bola.
W W
Considere por separado los
movimientos horizontal y vertical:Compare desplazamientos y velocidades
0 s0 s
1 svox2 s 3 s
1 svy
2 svx
vy
3 svx
vy
La velocidad
horizontal no
cambia.
Velocidad vertical
tal como caída
libre.
vx
Cálculo de desplazamiento para
proyección horizontal:
Para cualquier aceleración
constante:
Desplazamiento
horizontal :oxx v t
Desplazamiento vertical: 212
y gt
212ox v t at
Para el caso especial de proyección horizontal:
0; 0; x y oy ox oa a g v v v
Cálculo de velocidad para
proyección horizontal (Cont.):
Para cualquier aceleración
constante:
Velocidad horizontal:
x oxv v
Velocidad vertical:y ov v gt
f ov v at
Para el caso especial de un proyectil:
0; 0; x y oy ox oa a g v v v
Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea con una
rapidez horizontal de 25 m/s. ¿Cuál es su posición y
velocidad después de 2 s?
Primero encuentre los desplazamientos horizontal y vertical :
(25 m/s)(2 s)oxx v t
2 2 21 12 2
( 9.8 m/s )(2 s)y gt
x = 50.0 m
y = -19.6 m
25 m/s
x
y-19.6 m
+50 m
Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los componentes de
la velocidad después de 2 s?
25 m/s
Encuentre la velocidad horizontal y vertical después
de 2 s:(25 m/s)x oxv v
20 ( 9.8 m/s )(2 s)y oyv v at
vx = 25.0 m/s
vy = -19.6 m/s
vx
vy
v0x = 25 m/s
v0y = 0
Considere proyectil a un
ángulo:Una bola roja se proyecta a un ángulo q. Al mismo
tiempo, una bola amarilla se lanza verticalmente
hacia arriba y una bola verde rueda horizontalmente
(sin fricción).
Note los movimientos vertical y horizontal de las
bolas
q
voy
vox
vo
vx = vox = constante
y oyv v at 29.8 m/sa
Cálculos de desplazamiento
para proyección general:Los componentes del desplazamiento en el tiempo t
son: 21
2ox xx v t a t
Para
proyectiles:0; ; 0; x y oy ox oa a g v v v
212oy yy v t a t
Por tanto, los componentes x y y
para proyectiles son:
212
ox
oy
x v t
y v t gt
Cálculos de velocidad para
proyección general:
Los componentes de la velocidad en el tiempo t
son:
x ox xv v a t
Para
proyectiles:0; ; 0; x y oy ox oa a g v v v
y oy yv v a t
Por tanto, los
componentes de
velocidad vx y vy para
proyectiles son:
vx = v0x
vy = v0y + gt