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1
MECÁNICA COMPUTACIONAL I
Capítulo 3Sistemas de Ecuaciones
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2
Capitulo 3Solución numérica de sistemas de ecuaciones
Introducción
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
Eliminación de Gauss
Eliminación de Gauss-Jordan.
Determinación de la matriz inversa.
Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de las sustituciones sucesivas
Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales: método de Newton-Raphson.
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3Introducción
( )( )
( ) 0,...,,,.....
0,...,,,0,...,,,
321
3212
3211
=
==
nn
n
n
xxxxf
xxxxfxxxxf
En el caso general, estas ecuaciones son no lineales. El sistema (1) se simplifica grandemente si las
Muchos problemas se expresan como un sistema de n ecuaciones simultáneas con n variables
ecuaciones son lineales, pudiendo escribirse
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
=++++
=++++=++++
..........
......
332211
22323222121
11313212111
(1)
(2)
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4Introducción
[ ]{ } { }bxA =
ó, menos formalmente,
(3)
(4)
bAx =donde A, x y b son expresados como
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnnn
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
........
...
...
321
2232221
1131211
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
x.2
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nb
bb
b.2
1
De manera mas concisa (2) se escribe como
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5Introducción
Si el error de redondeo es despreciable, estos sistemas pueden ser resueltos numéricamente de manera exacta. Para ello se utilizan dos tipos de métodos: directos e iterativos.Los métodos directos se utilizan cuando el número de ecuaciones no es muy grande (típicamente 40 o menos).
Aunque es posible resolver estos sistemas de manera analítica, cuando el número de ecuaciones o la cantidad de veces que hay que hallar la solución es grande, la solución analítica es poco práctica.
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6Introducción
Los métodos iterativos se utilizan tanto para un gran número de ecuaciones (generalmente mas de 100) ócuando la matriz A tiene ciertas características.Antes de iniciar el estudio de estos métodos es conveniente revisar algunos conceptos básicos del álgebra matricial.
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7
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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8
Matriz mxn: arreglo del tipo
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
mnmm
n
n
ij
aaa
aaaaaa
aA
.......
...
...
21
22221
11211
(5)
Suma:
ijij cbCBA +=+=
Diferencia:
ijij cbCBA −=−=
(6)
(7)
Si las dimensiones lo permiten tendremos:
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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9
Producto:
Propiedades:
ijfABF ==
( ) ACABCBA
En general
+=+
∑=
=n
kkjikij baf
1
( ) CDBDDCB +=+
BAAB ≠Si
BAAB =entonces A y B conmutan.
(10)
(8)
(9)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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10
Matriz nula:
Ejemplos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
243121
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
301231
B
Entonces,⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
421321
C
jiaij ,,0 ∀=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=+
722150
CB ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+
37024
CBA ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=+
123223565
102015ACB
(11)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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11
Si
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=214102
131A
Entonces,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
714140520411
2A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
18711411
1154AB
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
611130777916
BA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−−−
=−001315221
BA⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=+
427111443
BA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
213213312
B
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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12
Sea
la matriz compleja conjugada de A. Entonces se cumple que
ijaA =
BABA +=+BAAB =
La matriz traspuesta de A se define como
( ) ( )jiijt agA ==
Se verifica además que( ) ttt BABA +=+( ) tttt ABCABC =
(12a)(12b)
(13)
(14a)(14b)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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13
La matriz traspuesta conjugada de A es
verificandose que
( ) ( )tt AAA ==*
Una matriz es Hermitiana si y solo si
AA =*
Una matriz es simétrica sitAA =
Una matriz real es Hermitiana si y solo si es simétrica.
(18)
( ) *** ABAB =
(15)
(16)
(17)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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14
Ejemplos:Sea
Entonces
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+−+−
+−−−+=
iiiii
iiiA
1123223
3122
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−+−−−
−−+−−=
iiiii
iiiA
1123223
3122
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−+−+−−
=ii
iiiiii
A t
12311232
232
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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15
Una matriz H es diagonal si es n x n y verifica que
jihjih
ij
ij
≠→=
=→≠
0
0
Una matriz H es escalar si y solo si H es diagonal y hhh iii ==
La matriz identidad I se define como aquella que es escalar con
cumpliendose que1=== iii iii
AAIIA == (22)
(21)
(19)
(20)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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16
Si la matriz A es cuadrada se define la matriz inversade A, a la matriz K, que cumple que
IKAAK ==
Esta matriz se denota como K=A-1.
La matriz A es no singular si su inversa existe.Si las matrices inversas de A y B (del mismo orden) existen, entonces
Una matriz cuadrada es unitaria si y solo si1* −= AA
( ) 111 −−− = ABAB
Una matriz cuadrada es ortogonal si y solo sitAAA == −1* (26)
(25)
(23)
(24)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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17
Ejemplo: Si la matriz A se define como
( )( ) ( )
( ) ( ) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−=
3/623/313/55/15/5/1
15/15/315/2
iiiiii
iiA
entonces se cumple que
IAA =*
y, en consecuencia A es unitaria.
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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18
La diagonal principal de una matriz de orden n esta constituida por los elementos
niaii ≤≤1/Si todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero, A es una matriz triangular superior. Si además, todos los elementos de la diagonal también son nulos A es una matriz triangular superior estricta.De manera similar se definen las matrices triangular inferior y triangular inferior estricta.
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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19
El determinante de una matriz cuadrada de define como
nnpppn aaapppAA ...)...sgn()det(21 2121∑==
donde cada producto incluye uno y solo un número de cada fila y columna y la suma se extiende sobre todas las posibles permutaciones p1p2...pn. Además, sgn(p1p2...pn) es 1 o -1 dependiendo de la cantidad de permutaciones necesarias para transformar la secuencia a su orden “natural”. Si el número de permutaciones es impar entonces sgn es 1 y si es par sgn será -1.
132 -> par 1342 -> impar
(27)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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20
Algunas propiedades útiles son:
)det()det( AAt =)det(/1)det( 1 AA =−
)det()det( * AA =
)det()det()det( BAAB =
)det()det( AA =
(28a)(28b)
(28d)
(28c)
(28e)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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21
Un vector puede ser definido como una matriz nx1.El producto escalar entre dos vectores u y v se define como( ) vuvu *, =
Ejemplo: para n=3 y
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+
=iii
u43
32
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
=2
11
ii
v ( ) [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−+
−+−=2
11
4332, ii
iiivu
( ) ( )( ) ( )( ) ( )2413132, iiiiivu −+−+++−=
( ) ivu 517, −=
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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22
Una matriz elemental nxn de primer tipo es obtenida reemplazando el i-ésimoelemento de la diagonal de la matriz identidad nxn por una constante no nula
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100000000100001
qQ (29)
Una matriz elemental nxn de segundo tipo es obtenida intercambiando dos filas de la matriz identidad nxn ⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000000100100100
R (30)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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23
Una matriz elemental nxn de tercer tipo es obtenida insertando un elemento no nulo fuera de la diagonal de la matriz identidad nxn
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
100001000100001
sS (31)
La multiplicación de una matriz arbitraria A (nxp) por las matrices elementales produce una transformación elemental sobre A. Por ejemplo, si A y Q son dadas por
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaa
A⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10000001
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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24
El producto QA lleva a
la multiplicación de la i-ésima (2 en este caso) fila de A por q.Si R es dado por (2<-->3)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
34333231
24232221
14131211
34333231
24232221
14131211
10000001
aaaaqaqaqaqaaaaa
aaaaaaaaaaaa
qQA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
010100001
R
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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25
el producto RA lleva a
que corresponde al intercambio de filas.Si S es dada por (s colocado en i=2,j=3)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
24232221
34333231
14131211
34333231
24232221
14131211
010100001
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaa
RA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
10010
001sS
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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26
el producto SA lleva a
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
34333231
24232221
14131211
10010
001
aaaaaaaaaaaa
sSA
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡++++=
34333231
3424332332223121
14131211
aaaasaasaasaasaa
aaaaSA
que añade a la segunda fila (i en general) el producto de la constante s por la tercera fila (j en general).
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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27
Si la matriz obtenida luego de estos productos por matrices elementales se denomina como T; T y A se dicen que son matrices equivalentes. En ese caso tenemos que
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )AASSA
AARRAAqAQQA
detdetdetdetdetdetdetdetdetdetdetdet
==−==
== (32a)(32b)
(32c)
Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
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28
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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29Eliminación de Gauss
La resolución de un sistema de ecuaciones lineales se explica fácilmente con un ejemplo. Supongamos que deseamos resolver el sistema
4 3232 3
1 2 43
4321
4321
4321
421
=−++−−=+−−
=+−+=++
xxxxxxxxxxxxxxx
::::
4
3
2
1
EEEE
Realizando las operaciones, obtenemos
( ) ( )( ) ( )( ) ( )414
313
212
32
EEEEEEEEE
→+→−→−
8233 157 475
43
432
432
432
421
=++−=−−−−=−−−
=++
xxxxxxxxxxxx
::::
4
3
2
1
EEEE
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30Eliminación de Gauss
( ) ( )( ) ( )424
323
34
EEEEEE
→+→−
Usamos ahora E2 para eliminar x2 de E3 y E4. Para ello hacemos
::::
4
3
2
1
EEEE
para obtener
131313133
75 43
4
43
432
421
−=−=+−=−−−
=++
xxxxxxxxx
8233 157 475
43
432
432
432
421
=++−=−−−−=−−−
=++
xxxxxxxxxxxx
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31Eliminación de Gauss
Este sistema puede resolverse por sustitución hacia atrás :
El procedimiento anterior se simplifica utilizando notación matricial. Para ello construimos la matriz ampliada y operamos directamente sobre los coeficientes de la misma.
1)1(32434 421 −=−−=−−= xxx
11313
4 =−−
=x
( ) 03/1313 43 =−= xx
2)1(50757 432 =−−=−−= xxx
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32Eliminación de Gauss
En el caso del sistema anterior escribimos
y realizamos las operaciones sobre las filas de la matriz, para obtener en cada paso las matrices
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−
4132132113
1111243011
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
8233015714075110
43011
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
13130001313300
7511043011
y
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33Eliminación de Gauss
En el caso general, el sistema lineal
se expresa utilizando las matrices A y b bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
nnnnnnn
nn
nn
=++++
=++++
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnnn
n
n
aaaa
aaaaaaaa
A
........
...
...
321
2232221
1131211
=++++
..........
......
332211
22323222121
11313212111
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nb
bb
b.2
1
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34Eliminación de Gauss
para escribir la matriz ampliada
El primer paso consiste en “eliminar” el coeficiente de la primera columna en las ecuaciones 2...n. Para ello cada fila Ej se transforma de manera que
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
nnnnnn
n
n
baaaa
baaaabaaaa
bAA
.....................
...
...
,
321
22232221
11131211
( )jj
j EEaa
E →⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 1
11
1
0,...,3,2
11 ≠=
anj
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35Eliminación de Gauss
La matriz ampliada se escribe ahora como
en la que, en general, todos los coeficientes de las filas (j>=2) han sido modificados (para simplificar, las primas serán eliminadas en lo que sigue). El paso siguiente corresponde a modificar la matriz de manera que
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
′′′′
′′′′=
nnnnn
n
n
baaa
baaabaaaa
A
...0...............0
...0
...
ˆ
32
222322
11131211
( )jj
j EEaa
E →⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
22
2
0,...,4,3
22 ≠=
anj
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36Eliminación de Gauss
quedando la matriz ampliada expresada como
El procedimiento continúa de manera que, en el paso i-ésimo utilizamos
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
nnnn
n
n
baa
baaabaaaa
bAA
...00............00
...0
...
,
3
222322
11131211
( )jiii
jij EE
aa
E →⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
0,...,2,1
≠++=
iianiij
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37Eliminación de Gauss
para llegar a la matriz triangular
Resolviendo directamente la n-ésima ecuación
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnn
n
n
ba
baaabaaaa
A
0000............00
...0
...
~ 222322
11131211
nn
nn a
bx =
La incógnita que sigue se obtiene de
1,1
,111
−−
−−−
−=
nn
nnnnn a
xabx
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38Eliminación de Gauss
De manera semejante obtenemos que cada incógnita se obtiene de
escribiendo
1, += nii ab
tendremos, a efectos de la programación
ii
n
ijjiji
i a
xabx
∑+=
−= 1
ii
n
ijjijni
i a
xaax
∑+=
+ −= 1
1,
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39Eliminación de Gauss
El punto débil de este método es la necesidad de garantizar que en cada paso el pivote akk≠0. En ese paso, podemos sin embargo intercambiar ecuaciones escogiendo una ecuación l, con l>k de manera que el elemento de la columna k de El no sea nulo.Ejemplo, partiendo del sistema
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
4343120111
20332281211
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40Eliminación de Gauss
Realizamos las operaciones
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
4343120111
20332281211
( ) ( )( ) ( )( ) ( )414
313
212 2
EEEEEE
EEE
→−→−→−
Para pasar de a
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
124240611204110081211
Pivote
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41Eliminación de Gauss
El proceso se detiene ya que a22 es nulo y la operación
no puede ser realizada.Sin embargo, E3 puede ser intercambiada con E2para obtener la nueva matriz ampliada
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
12424041100
6112081211
( )jj
j EEaa
E →⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− 2
22
2
04,3
22 ==
aj
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
124240611204110081211
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42Eliminación de Gauss
Ya E3 tiene su 2do elemento nulo así que se continúa con E4 haciendo la operación
para obtener
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
0240041100
6112081211
( )4222
424 EE
aaE →⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
12424041100
6112081211
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43Eliminación de Gauss
Finalmente realizamos la operación
para obtener
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−
16200041100
6112081211
( )4333
434 EE
aaE →⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
La sustitución hacia atrás nos dará los valores buscados.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−
0240041100
6112081211
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44Eliminación de Gauss
Si no es posible obtener un pivote no nulo, dos posibilidades existen ya que el sistema tiene (a) infinitas soluciones ó, (b) ninguna solución.Los algoritmos deben tener en cuenta estos posibles casos y dar opciones de salida que indiquen lo que está ocurriendo.
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45Eliminación de Gauss
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46Eliminación de Gauss
ii
n
ijjijni
i a
xaax
∑+=
+ −= 1
1,
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47Uso de MatLab
Hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando MATLAB es muy sencillo. Introduciendo la matriz A y el vector de términos independientes b tenemos que la solución del sistema de ecuaciones lineales es:
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48
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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49Eliminación de Gauss-Jordan
Una variante del procedimiento anterior es conocida como el método de Gauss-Jordan. Veamos un ejemplo. Resolvamos el sistema
Construyamos la matriz ampliada
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
658316919472
6583169 9472
321
321
321
=++−=−+=+−
xxxxxxxxx
:::
3
2
1
EEE
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50Eliminación de Gauss-Jordan
Realizando la operación
obtenemos la matriz ampliada
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
65831691
2/922/71
( )( ) ( )112/1 EE →
( )( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧
→−−→−
313
212
)3(1
EEEEEE
Luego, realizamos las operaciones
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
2/39112/502/782/250
2/922/71
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51Eliminación de Gauss-Jordan
Normalice la segunda fila haciendo
( ) ( )22
225
1 EE →⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
para obtener
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
2/39112/502/782/250
2/922/71
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
2/39112/5025/725/16102/922/71
Ahora, y aquí está la variación de Gauss-Jordan, realice las operaciones
( )( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧
→−−→−−
323
121
)2/5(2/7
EEEEEE
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52Eliminación de Gauss-Jordan
Obtenemos el resultado
Continúe el procedimiento realizando
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
2/39112/5025/125/16102/922/71
( )
( )( ) (( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
→−−→−−
→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
232
131
33
)25/16(25/6
5/471
EEEEEE
EE
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
−
5/945/470025/725/161025/8825/601
)
Normalización de E3
Nueva E3
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53Eliminación de Gauss-Jordan
Llegamos entonces a
La sustitución hacia atrás ahora da directamente
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
210010104001
41 =x
23 =x12 =x
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54Eliminación de Gauss-Jordan
En general, los pasos dados en la Eliminación de Gauss-Jordan son:(1) Normalizar la fila i haciendo
(2) Sustraer, para todas las filas distintas de la i
( )iiii
EEa
→⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ 1
( ) ( )jijij EEaE →−
Nota: revisar el pivote para garantizar que no es nulo. En ese caso, proceder como con la Eliminación de Gauss clásica.
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55
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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56Determinación de la matriz inversa
La matriz inversa se define como aquella que verifica que
Retomemos el procedimiento de Gauss-Jordan con nuestro ejemplo:
IAAAA == −− 11
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−==
658316919472
bAC6583169 9472
321
321
321
=++−=−+=+−
xxxxxxxxx
:::
3
2
1
EEE
El primer paso correspondió a la transformación
( )( ) ( )112/1 EE →
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57Determinación de la matriz inversa
que se expresa en término de matrices elementales como
con11 CCQ =
Los pasos siguientes en términos de operaciones por matrices elementales nos llevan a
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010002/1
1Q⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
65831691
2/922/71
1C
( )( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧
→−−→−
313
212
)3(1
EEEEEE
322
211
CCSCCS
==
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58Determinación de la matriz inversa
con S1 dado por
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
65831691
2/922/71
1C
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
65831691
2/922/71
100011001
11CS
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
65832/782/250
2/922/71
11CS
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
100011001
1S
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59Determinación de la matriz inversa
y S2 dado por
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
65832/782/250
2/922/71
103010001
22CS
322
2/39112/502/782/250
2/922/71CCS =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
103010001
2S⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
65832/782/250
2/922/71
2C
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60Determinación de la matriz inversa
El procedimiento seguido hasta ahora se puede resumir como una combinación de operaciones sucesivas con matrices elementales de primer y tercer tipo
3112 CCQSS =
( ) ( )22
225
1 EE →⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
( )( ) ( )( ) ( )⎩⎨⎧
→−−→−−
323
121
)2/5(2/7
EEEEEE
Los pasos siguientes se expresarán como
432 CCQ =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100025/20001
2Q
543 CCS =
654 CCS =
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61Determinación de la matriz inversa
Para llegar a
6112234 CCQSSQSS =
De manera similar los pasos siguientes se expresarán como
[ ]xICCQSSQSSQSS 210010104001
9112234356 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
Escrito en notación compacta
[ ] [ ]xIbAEEC ==Teniendo entonces que E es la matriz inversa de A con
112234356 QSSQSSQSSE =
IEA =
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62Determinación de la matriz inversa
Luego, para calcular la inversa podemos proceder calculando el producto
Esto se realiza fácilmente construyendo la matriz ampliada de la forma
IQSSQSSQSSEIEA 1122343561 ===−
Al hacer el producto por E obtendremos
[ ]IbAC =
[ ] [ ] [ ]1 −=== AxIEIxIIbAEEC
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63Determinación de la matriz inversa
En nuestro ejemplo tendremos que la nueva matriz ampliada será
y realizando exactamente las mismas operaciones sobre las filas que en el caso de la eliminación de Gauss-Jordan obtenemos
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−==
100658301016910019472
IbAC
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
47/547/147/72100235/16235/22235/131010235/6235/67235/934001
1AxI
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64Determinación de la matriz inversa
Luego, la matriz inversa viene dada por
Desde un punto de vista práctico, a la hora de hacer los cálculos deben tomarse en cuenta los siguientes aspectos:•Seguir los mismos pasos del método de eliminación de Gauss-Jordan con la nueva matriz ampliada incluyendo la identidad•Construir la subrutina de manera que considere si se desea calcular o no la inversa (índice de control)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
47/547/147/7235/16235/22235/13235/6235/67235/93
1A
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65Determinación de la matriz inversaPor otra parte, el determinante puede calcularse a partir de
ya que
IQSSQSSQSSEIEA 1122343561 ===−
Utilizando las propiedades de las matrices elementales obtenemos
( ) ( ) ( )IQSSQSSQSSEIA 1122343561 detdetdet ==−
( ) 1231det qqqA =−
que corresponde a los factores de normalización. Luego, el determinante de la matriz A es
( )123
1detqqq
A =
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66Determinación de la matriz inversaEn nuestro ejemplo anterior
( ) 235
475
252
21
1det =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=A
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67
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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68Métodos Iterativos
En el caso de grandes sistemas de ecuaciones, tales como los que aparecen en la resolución por diferencias finitas de EDO y de Ecuaciones en derivadas parciales los métodos directos pueden ser poco eficientes (tiempo, almacenamiento y cantidad de elementos nulos).Los métodos iterativos consisten en generar, a partir de una “adivinanza” inicial, una sucesión de aproximaciones a la solución.En el método de Jacobi, del sistema de ecuaciones
bAx =se despeja cada variable xi de la ecuación i de manera que
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69Métodos Iterativos
nia
xab
xii
n
ijj
jiji
i ,...,2,1 1
=
−
=
∑≠=
Luego, partiendo de una aproximación inicial “adivinada”
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)0(
)0(2
)0(1
)0(
.
nx
xx
x
construimos la secuencia
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70Métodos Iterativos
nia
xab
xii
n
ijj
iji
i
j
,...,2,1 1
)0(
)1( =
−
=
∑≠=
El procedimiento se repite de manera secuencial
nia
xab
xii
n
ijj
kiji
ki
j
,...,2,1 1
)(
)1( =
−
=
∑≠=
+
hasta verificar algún criterio de convergencia. Un criterio usual lo constituye la norma L2
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71Métodos Iterativos
∑
∑
=
+
=
+ −= n
i
ki
n
i
ki
ki
x
xxL
1
2)1(
1
2)()1(
exigiendole una cota máxima a L.Ejemplo. Resolver utilizando el método de Jacobi el sistema
158311102
25311- 6210
432
4321
4321
321
=+−−=−+−
=+−+=+−
xxxxxxxxxxxxxx
::::
4
3
2
1
EEEE
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72Métodos Iterativos
Las incógnitas se despejan para dar
8315
1021111
32510
26
324
4213
4312
321
xxx
xxxx
xxxx
xxx
+−=
++−−=
−++=
−+=
Escojamos como aproximación inicial a
[ ]tx 0,0,0,0)0( =
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73Métodos Iterativos
Luego, la primera aproximación será
815
8315
1011
10211
1125
11325
53
106
1026
32)1(4
)0(4
)0(2
)0(1)1(
3
)0(4
)0(3
)0(1)1(
2
)0(3
)0(2)1(
1
=+−
=
−=++−−
=
=−++
=
==−+
=
xxx
xxxx
xxxx
xxx
Continuando el proceso de manera iterativa obtenemos
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74Métodos Iterativos
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 0 0,6000 1,0473 0,9360 1,0167 0,9913 1,0050 1,0001 1,0025 1,0016 1,00202 0 2,2727 1,7159 2,0518 1,9539 2,0106 1,9920 2,0018 1,9983 2,0000 1,99943 0 -1,1000 -0,8223 -1,0574 -0,9794 -1,0195 -1,0045 -1,0115 -1,0087 -1,0099 -1,00944 0 1,8750 0,8852 1,1288 0,9734 1,0199 0,9936 1,0024 0,9979 0,9995 0,9988
Dif = 1,00E+00 2,85E-01 3,21E-02 6,85E-03 1,07E-03 2,08E-04 3,50E-05 6,57E-06 1,14E-06 2,10E-07
Diferencia
1,00E-071,00E-061,00E-051,00E-041,00E-031,00E-021,00E-01
1,00E+001 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Iteración
Nor
ma
L2
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75Métodos Iterativos
El método de Gauss-Seidel, las aproximaciones se van utilizando a medida que se generan. Esto es, una vez calculados los valores de las aproximaciones )1( +k
ixen la ecuación i+1 se sustituyen estos valores junto con los de la iteración anterior
)(kix
para obtener como aproximación
nia
xaxabx
ii
i
j
n
ij
kij
kiji
ki
jj
,...,2,1
1
1 1
)()1(
)1( =−−
=∑ ∑−
= +=
+
+
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76Métodos Iterativos
Ejemplo: Resuelva, utilizando el método de Gauss-Seidel el sistema
158311102
25311- 6210
432
4321
4321
321
=+−−=−+−
=+−+=+−
xxxxxxxxxxxxxx
::::
4
3
2
1
EEEE
Nuevamente expresamos cada incógnita como
11325
1026
4312
321
xxxx
xxx
−++=
−+=
8315
10211
324
4213
xxx
xxxx
+−=
++−−=
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77Métodos Iterativos
Hallamos la 1era aproximación a x1, partiendo de x(0)=(0,0,0,0)t
106
1026
)0(3
)0(2)1(
1 =−+
=xxx
Para el cálculo de x2 usamos
110256
110010/625
11325 )0(
4)0(
3)1(
12 =
−++=
−++=
xxxx
De manera similar( )
( )8
60468
)100/134(10/2563158
31510
)0()10/256(10/621110
211
)1(3
)1(2)1(
4
)0(4
)1(2
)1(1)1(
3
−=
+−=
+−=
++−−=
++−−=
xxx
xxxx
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78Métodos Iterativos
Continuando obtenemosk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 0 0,6000 1,0302 1,0082 1,0027 1,0020 1,0019 1,0019 1,0019 1,0019 1,00192 0 2,3273 2,0369 2,0032 1,9999 1,9996 1,9996 1,9996 1,9996 1,9996 1,99963 0 -0,9873 -1,0224 -1,0119 -1,0099 -1,0096 -1,0096 -1,0096 -1,0096 -1,0096 -1,00964 0 0,8789 0,9833 0,9973 0,9988 0,9989 0,9990 0,9990 0,9990 0,9990 0,9990
Dif = 1,00E+00 3,90E-02 2,73E-04 6,77E-06 1,03E-07 1,12E-09 9,61E-12 6,59E-14 3,51E-16 1,32E-18
Diferencia
1,00E-18
1,00E-15
1,00E-12
1,00E-09
1,00E-06
1,00E-03
1,00E+001 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Iteración
Norm
a L2
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79Métodos Iterativos
No siempre el método de Gauss-Seidel converge mas rápido que el de Jacobi, pero en general, si lo hace. Es posible probar que si el valor absoluto del elemento de la diagonal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos fuera de la diagonal (matriz diagonalmente dominante) esto serásuficiente para garantizar la convergencia.Esto debe ser tomado en cuenta a la hora de preparar programas de cálculo.
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80
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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81Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
En el caso de sistemas no lineales, deseamos encontrar la solución de
el cual consiste en n funciones reales de n variables reales.Uno de los métodos mas utilizados es el de las sustituciones sucesivas (tipo punto fijo). En este método, las funciones fi se reescriben de manera que
( )( )
( ) 0,...,,,.....
0,...,,,0,...,,,
321
3212
3211
=
==
nn
n
n
xxxxf
xxxxfxxxxf
( ) 0,...,,, 321 =ni xxxxf ( )nii xxxxFx ,...,,, 321=
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82Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
para utilizar luego un esquema de iteraciones tal como el utilizado en los métodos de Jacobi o Gauss-Seidel para sistemas lineales. Ejemplo: Considere la solución del sistema no lineal
Las funciones fi se reescriben de manera que
( )( )
03
31020
006.1)(1.081
021cos3
3
32
221
321
21 =−
++
=+++−
=−−
− πxe
xsinxx
xxx
xx
( )
1.09
06.1)(6
13
cos
321
2
321
−++
=
+=
xsinxx
xxx
60310
201
213
−−−= − πxxex
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83Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
Luego, iteramos sobre las ecuaciones
Si partimos de la aproximación inicial x(0)=(0,0,0) tenemos
( )
( )
60310
201
1.09
06.1)(
61
3cos
)(2
)(1)1(
3
)(3
2)(1)1(
2
)(3
)(2)1(
1
−−−=
−++
=
+=
−+
+
+
πkk xxk
kkk
kkk
ex
xsinxx
xxx
k 0 1 2 3 4 5 6 71 0 0,50000000 0,49999053 0,50000000 0,50000000 0,50000000 0,50000000 0,500000002 0 0,01439589 0,00000000 0,00001859 0,00000000 0,00000002 0,00000000 0,000000003 0 -0,52359878 -0,52324017 -0,52359878 -0,52359831 -0,52359878 -0,52359877 -0,52359878
Dif= 0,52436292 0,00020737 1,2903E-07 3,4566E-10 2,1652E-13 6,1734E-16 3,867E-19Norma L2 = 1 0,00039592 2,4617E-07 6,5946E-10 4,1308E-13 1,1778E-15 7,3775E-19
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84Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
En la variante de Gauss-Seidel obtenemos
Si partimos de la aproximación inicial x(0)=(0,0,0) tenemos
( )
( )
60310
201
1.09
06.1)(
61
3cos
)1(2
)1(1)1(
3
)(3
2)1(1)1(
2
)(3
)(2)1(
1
−−−=
−++
=
+=
++−+
++
+
πkk xxk
kkk
kkk
ex
xsinxx
xxx
k 0 1 2 3 4 5 6 71 0 0,50000000 0,49996635 0,50000000 0,50000000 0,50000000 0,50000000 0,500000002 0 0,02717248 0,00003399 0,00000005 0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,000000003 0 -0,52292406 -0,52359793 -0,52359877 -0,52359878 -0,52359878 -0,52359878 -0,52359878
Dif= 0,52418791 0,00073695 2,2855E-09 2,0591E-15 3,6779E-21 6,568E-27 1,2326E-32Norma L2 = 1 0,00140607 4,3603E-09 3,9285E-15 7,0167E-21 1,2531E-26 2,3516E-32
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85Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
Comparando ambas versiones del método tenemosComportamiento del Error
1E-271E-251E-231E-211E-191E-171E-151E-131E-111E-091E-071E-050,001
0,110
1 2 3 4 5 6
Iteración
Dife
renc
ia, L
2
Jacobi (Dif)
Jacobi (L2)
Gauss-Seidel(Dif)Gauss-Seidell(L2)
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86Métodos Iterativos para Ec. No lineales: MSS
Las condiciones que garantizan la convergencia de estos métodos están ligadas con la naturaleza de las funciones Fi. Si éstas son continúas en una región del sub-espacio de vectores (x1,x2,...,xn) donde los xipertenecen a un intervalo definido (ai,bi) y las derivadas parciales de las Fi también son continuas y acotadas en ese sub espacio, entonces las funciones Fi tienen un punto fijo en dicho sub-espacio.
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87
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson.
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88Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
No siempre es posible despejar la variable de cada ecuación de manera que el método de las sustituciones sucesivas converja a la solución. Una opción distinta la constituye el método de Newton-Rawson.En el caso de ecuaciones de una variable, este método se expresa como
pudiendo ser reescrito como
( )( ))(
)()()1(
n
nnn
xfxfxx′
−=+
( ) ( )( )xfxfxxg′
−=
y el problema se remite a conseguir los puntos fijos de la función g(x).
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89Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Este método puede aún escribirse como
donde la nueva función se expresa como ( ) ( )
( ) ( )[ ] 1−′= xfxφ
( )xfxxxg φ−=
En el caso de un problema de varias incógnitas, este se podría expresar como
( ){ } { } ( )[ ] ( ){ }xFxAxxG 1−−=
siendo ahora( ){ } ( ){ }nxxxGxG ,...,, 21=
( ){ } ( ) nixfxfxfFxF inii ,...,2,1 )(),...,(),( t21 ==
( )[ ] [ ]l
kij x
fbxA∂∂
∝=−1
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90Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Es posible mostrar que la matriz A puede escogerse igual a la matriz Jacobiana definida como
en perfecta correspondencia con el método de punto fijo para una variable.
( ){ } { } ( )[ ] ( ){ }xFxJxxG 1−−=
Luego, la función G(x) se puede definir como
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
nnn
n
n
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xJ
...............
...
....
)(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
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91Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Entonces, el procedimiento de iteración se realizarásegún
Este es el método de Newton para sistemas no lineales.En general, el 2do término de la derecha se estima a partir de la resolución del sistema lineal
{ } ( ){ } { } ( )[ ] ( ){ })(1)()()()1( kkkkk xFxJxxGx −+ −==
( )[ ]{ } ( ){ })()()( kkk xFyxJ =
para obtener luego{ } { } { } )()()1( kkk yxx −=+
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92Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Ejemplo: Resolver utilizando el método de Newton el sistema de ecuaciones
Las funciones fi vienen dadas por
( )( )
03
31020
006.1)(1.081
021cos3
3
32
221
321
21 =−
++
=+++−
=−−
− πxe
xsinxx
xxx
xx
( ) ( )( ) ( )
( )3
31020
06.1)(1.0812
1cos3
33
32
2212
3211
21−
++=
+++−=
−−=
− πxexf
xsinxxxf
xxxxf
xx
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93Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Luego, el vector F(x) se construye como( )
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++
+++−
−−
=−
331020
06.1)(1.0812
1cos3)(
3
32
221
321
21πxe
xsinxxxxx
xFxx
La matriz Jacobiana se construye a partir de
( )
( )3223
1
3232
1
1
1 3
xxsinxxf
xxsinxxfxf
=∂∂
=∂∂
=∂∂
( )
)cos(
1.0162
2
33
2
22
2
11
2
xxf
xxf
xxf
=∂∂
+−=∂∂
=∂∂
203
3
12
3
21
3
21
21
=∂∂
−=∂∂
−=∂∂
−
−
xf
exxf
exxf
xx
xx
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94Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
quedando expresada como( ) ( )
( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−=
−− 20)cos(1.01622
3
212112
321
322323
xxxx exexxxx
xxsinxxxsinxJ
Las iteraciones se realizan a partir de
( ) ( )( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−=
−− 20)cos(1.01622
3
)0(21
)0(21 )0(
1)0(
2
)0(3
)0(2
)0(1
)0(3
)0(2
)0(2
)0(3
)0(2
)0(3
)0(
xxxx exexxxx
xxsinxxxsinxJ
( )( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++
+++−
−−
=−
331020
06.1)(1.0812
1cos3
)()0(
3
)0(3
2)0(2
2)0(1
)0(3
)0(2
)0(1
)0(
)0(2
)0(1
πxe
xsinxx
xxx
xFxx
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95Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Si como aproximación inicial de x tomamos (0,0,0) tendremos
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
200012.160003
)0(J
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−++
++−−−
=
33100106.1081.00
2110
)()0(
πxF
Luego, la primera iteración la obtendremos al hacer{ } { } )0()0()1( yxx −=
3.00000 0.00000 0.00000 -1.500000.00000 -16.20000 1.00000 0.250000.00000 0.00000 20.00000 10.47198
( ){ } ( ))0()0()0( xFyxJ =
con y solución de
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96Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
x1 x2 x3 Dif Iter Anterior0.50000000 -0.01688882 -0.52359877 1.00000000
Continuando las iteraciones obtenemos
x1 x2 x3 Dif Iter Anterior0.50000000 -0.01688882 -0.52359877 1.00000000
0.50001569 0.00172003 -0.52355365 0.000660700.50000013 0.00001456 -0.52359841 0.000005550.50000000 0.00000000 -0.52359879 0.00000000
0.50000000 -0.00000001 -0.52359879 0.00000000
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97Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
n=3x1=0.x2=0.x3=0.
x(1)=x1x(2)=x2x(3)=x3
niter=5
do k=1,niter
! ... Construyendo el vector F(x) ...f(1)=f1(x1,x2,x3)f(2)=f2(x1,x2,x3)f(3)=f3(x1,x2,x3)
Algunos detalles computacionales
Entrada de aproximación inicial
Cálculo de las componentes de f
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98Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
! ... Construyendo la matriz JacobianaJ(1,1)= df1dx1(x1,x2,x3)J(1,2)= df1dx2(x1,x2,x3)J(1,3)= df1dx3(x1,x2,x3)J(2,1)= df2dx1(x1,x2,x3)J(2,2)= df2dx2(x1,x2,x3)J(2,3)= df2dx3(x1,x2,x3)J(3,1)= df3dx1(x1,x2,x3)J(3,2)= df3dx2(x1,x2,x3)J(3,3)= df3dx3(x1,x2,x3)
! ... Matriz ampliadaJ(1,4)=f(1)J(2,4)=f(2)J(3,4)=f(3)
!... Resolviendo J*y=Fcall GaussJordan(n,J,y)
!... Iteración ...
Cálculo de la matriz Jacobiana
Matriz ampliada
Solución del sistema Jy=F
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99Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
!... Iteración ...
do i=1,nx(i) = x(i) - y(i)
enddo
suma1=0.suma2=0.do i=1,n
suma1=suma1+(x1-x(1))**2.+(x2-x(2))**2.+(x3-x(3))**2.suma2=suma2+(x(1))**2.+(x(2))**2.+(x(3))**2.
enddodif=suma1/suma2
x1=x(1)x2=x(2)x3=x(3)
enddo
Probando la convergencia
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100Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
function f1(x1,x2,x3)double precision x1,x2,x3f1=3.*x1-cos(x2*x3)-0.5end
function df1dx1(x1,x2,x3)double precision x1,x2,x3df1dx1=3.end
Definiendo las funciones paracada matriz
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101Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
MATLAB posee un comando para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Para ello debe crear un archivo .m con las funciones no lineales y luego usar el comando fzero. Veamos la secuencia de pasos.En nuestro ejemplo:
function F = myfun(x)F = [3*x(1) - cos(x(2)*x(3)) - 1/2;
x(1)^2 - 81*((x(2)+0.1)^2) + sin(x(3)) + 1.06 ;exp(-x(1)*x(2))+ 20*x(3)+(10*pi-3)/3];
Luego define el punto de partida>> x0 = [0; 0; 0]; >> [x,fval] = fsolve(@myfun,x0)Para obtenerx =
0.50000.0000-0.5236
fval =1.0e-007 *
0.0003-0.17210.0003
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102
Solución numérica de sistemas de ecuaciones 2.1 Introducción
2.2 Notación, Matrices y Conceptos Preliminares
2.3 Eliminación de Gauss
2.4 Eliminación de Gauss-Jordan.
2.5 Determinación de la matriz inversa.
2.6 Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
2.7 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de las sustituciones sucesivas
2.8 Métodos iterativos para ecuaciones no-lineales:
método de Newton-Raphson (Apéndice)
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103Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
La expresión de G(x) en los términos expuestos requiere del siguiente teorema.Teorema: Supongamos que p es una solución de G(x)=x para alguna función G=(g1,g2,...,gn)t que mapea Rn en Rn. Si existe un número δ>0 con la propiedad de que(i) ∂gi/∂xj sea continua en Nδ={x/|x-p |< δ} para toda i=1,2,...,n;(ii) ∂2gi/∂xj∂xk sea continua y |∂2gi/∂xj∂xk|≤ M para alguna constante M siempre que x ∈ Nδ para toda i,j,k=1,2,...,n(iii) ∂gi/∂xk (p) =0 para toda i,k=1,2,...,nentonces existe un número δ’≤ δ tal que la sucesión generada por
( ))()1( kk xGx =+
converge cuadráticamente a p para cualquier elección de x(0) a condición que |x(0)-p | < δ’ .
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104Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
p
δxx-p
δ’
x1
x2
Representación de las condiciones del teorema anterior para n=2
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105Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Puesto que x es un vector con n componentes, la ecuación
( ) ( )[ ] ( ){ }iii xFxAxxg 1−−=
siendo ahora( ) ( )xfbxxg j
n
jijii ∑
=
−=1
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂−
=∂∂
∑
∑
=
=
n
jij
k
jj
k
ij
n
jij
k
jj
k
ij
k
i
kixbx
xfxf
xxb
kixbx
xfxf
xxb
xxg
1
1
1
La condición (iii) expresada como( ) 0=
∂∂
k
i
xpg
( ) { } ( )[ ] ( )xFxAxxG 1−−=
corresponde a n ecuaciones del tipo
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106Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
nos lleva a
Pero como p es la solución de fj(x)=0, entonces fj(p)=0, luego la ec. anterior se reduce a las ecuaciones
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−=
∂∂
=
∑
∑
=
=
n
jij
k
jj
k
ij
n
jij
k
jj
k
ij
k
i
kipbx
pfpf
xpb
kipbx
pfpf
xpb
xpg
1
1
10
( ) ( )∑=
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
n
jij
k
j kipbx
pf
1 01
( ) ( )∑=
≠=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂n
jij
k
j kipbx
pf
1 0
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107Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
que se reducen a
Definiendo la matriz Jacobiana J como( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
nnn
n
n
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
xJ
...............
...
....
)(
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
( ) ( )∑=
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂n
jij
k
j kipbx
pf
1 1
( ) ( )∑=
≠=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂n
jij
k
j kipbx
pf
1 0
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108Métodos Iterativos para Ec. No lineales: NR
Con esta definición las ecuaciones se escriben como
donde se ha utilizado la delta de Kronecker δij (0 para i≠j, 1 si i=j).
( )( )∑=
==n
jikjkij kiJpb
1 δ
Luego,
IpJpA =− )()( 1
Podemos concluir entonces que)()( pJpA =
En consecuencia una elección adecuada de A viene dada por
)()( xJxA =
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109
ALGORITMOS
Eliminación Gaussiana
Eliminación de Gauss-Jordan (con cálculo de matriz inversa)
Métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
Métodos de las sustituciones sucesivas para ecuaciones no-lineales
Métodos de Newton-Rawson para ecuaciones no-lineales
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110
MECÁNICA COMPUTACIONAL I
Capítulo 3Sistemas de Ecuaciones