CAPITULO IX.SERIES NUMERICAS
SECCIONES
A. Series de terminos no negativos.
B. Ejercicios propuestos.
401
A. SERIES DE TERMINOS NO NEGATIVOS.
Dada una sucesion {a1, a2, . . . , an, . . . }, se llama serie de termino generalan, y que representaremos por
∑n≥1
an, a la sucesion de sumas parciales {Sn}
definida por S1 = a1, S2 = a1 + a2, . . . , Sn = a1 + a2 + · · ·+ an, . . . .
Si existe S = lımn→∞
Sn, la serie∑n≥1
an se dice convergente y tiene suma S y
se escribe∑n≥1
an = S.
Si dicho lımite es infinito o no existe, la serie∑n≥1
an es divergente.
Enunciaremos a continuacion los criterios generales para estudiar el caracter(convergente o divergente) de una serie. Nos limitaremos a las series determinos no negativos (an ≥ 0) aunque el primer criterio es valido paraseries generales.
1. Condicion del resto.
Si una serie∑n≥1
an es convergente, entonces lımn→∞
an = 0.
De aquı se deduce que si el termino general de una serie no convergea cero, dicha serie es divergente.
2. Criterio de comparacion.
Dadas dos series∑n≥1
an y∑n≥1
bn, si an ≤ bn, ∀n y∑n≥1
bn converge,
entonces∑n≥1
an converge.
Recıprocamente, si una serie es divergente y todos sus terminos sonmayores o iguales que los de otra serie, esta ultima es tambien diver-gente.
3. Criterio de comparacion por paso al lımite.
a) Si lımn→∞
an
bn= L (L finito y L 6= 0), entonces
∑n≥1
an converge ⇐⇒∑n≥1
bn converge.
b) Si lımn→∞
an
bn= 0, entonces
∑n≥1
bn converge =⇒∑n≥1
an converge.
402
c) Si lımn→∞
an
bn= ∞, entonces
∑n≥1
an converge =⇒∑n≥1
bn converge.
Para utilizar los criterios de comparacion es conveniente conocer laconvergencia de las siguientes series:
- Serie armonica: La serie∑n≥1
1/np es convergente cuando p > 1 y
divergente cuando p ≤ 1.
-Serie geometrica: La serie∑n≥1
a · rn es convergente cuando |r| < 1
y divergente cuando |r| ≥ 1.
4. Criterio del cociente (D’Alembert).
Sea L = lımn→∞
an+1
an. Entonces,
a) si L < 1,∑n≥1
an converge;
b) si L > 1,∑n≥1
an diverge.
5. Criterio de la raız (Cauchy).
Sea L = lımn→∞
n√
an. Entonces,
a) si L < 1,∑n≥1
an converge;
b) si L > 1,∑n≥1
an diverge.
6. Criterio de Raabe.
a) Si lım n ·(
1− an+1
an
)> 1, entonces
∑an converge.
b) Si lım n ·(
1− an+1
an
)< 1, entonces
∑an diverge.
Nota: Este criterio puede ser conveniente en los casos en que los cri-terios del cociente o de la raız no son concluyentes.
7. Criterio de la integral.
Sea f : [1,∞) → R una funcion decreciente y f(x) > 0, ∀x. Entonces∑n≥1
f(n) converge ⇐⇒∫ ∞
1f(x)dx converge.
403
8. Criterio del producto (Pringsheim).
a) Si lım npan = L ≥ 0, para algun p > 1, entonces∑
an converge.
b) Si lım npan = L > 0, para algun p ≤ 1, entonces∑
an diverge.
9. Criterio logarıtmico.
Si lımlog 1/an
log n= L, entonces
a)∑
an converge cuando L > 1.
b)∑
an diverge cuando L < 1.
PROBLEMA 9.1.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =n(n + 1)n2 + 2n
.
Solucion
Como lımn(n + 1)n2 + 2n
= 1 6= 0, la serie es divergente.
PROBLEMA 9.2.
Sabiendo que la suma de los n primeros terminos de una seriees
Sn =5n2 − 3n + 2
n2 − 1,
hallar el termino general y estudiar su naturaleza.
Solucion
Aplicamos la formula an = Sn − Sn−1 y obtenemos:
an =5n2 − 3n + 2
n2 − 1− 5(n− 1)2 − 3(n− 1) + 2
(n− 1)2 − 1=
3n2 − 17n + 10n4 − 2n3 − n2 + 2n
.
404
Como ademas lım Sn = lım5n2 − 3n + 2
n2 − 1= 5, la serie es convergente.
Observacion: No confundir con la condicion necesaria de convergencia en laque debe ser cero el lımite del termino general de la serie an, no del terminogeneral de la sucesion de sumas parciales Sn. En este caso, como lım Sn = 5,quiere decir que la suma de la serie es precisamente 5.
PROBLEMA 9.3.
Hallar el mayor valor entero que debe tomar k para que la serie∑an de termino general an =
nk
(n + 1)(n + 2)(n + 3)sea convergen-
te.
Solucion
Aplicando el criterio logarıtmico,
lımlog(1/an)
log n= lım
log (n+1)(n+2)(n+3)nk
log n= lım
log(n + 1)(n + 2)(n + 3)− log nk
log n
= lımlog(n3 + 6n2 + 11n + 6)− k log n
log n
= lımlog(n3)(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3)− k log n
log n
= lım3 log n + log(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3)− k log n
log n
= lım[3− k +
log(1 + 6/n + 11/n2 + 6/n3)log n
]= 3− k.
Para que sea convergente, debe ser 3− k > 1, y como k debe ser entero, elmayor valor que hace la serie convergente es k = 1.
PROBLEMA 9.4.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1√
n− 1− 1√
n + 1.
405
Solucion
Tenemos que
1√n− 1
− 1√n + 1
=√
n + 1−√
n + 1n− 1
=2
n− 1.
Por el criterio de comparacion, como lım2/(n− 1)
1/n= 2 y la serie
∑1/n es
divergente, la serie dada es divergente.
PROBLEMA 9.5.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =n√
2n3 + 1.
Solucion
Aplicamos el criterio de Prinsgheim, y tenemos:
lım nα n√2n3 + 1
= lımnα+1
√2n3 + 1
.
Para que dicho lımite sea real debe ser el grado del numerador igual al gradodel denominador. En este caso α + 1 = 3/2 =⇒ α = 1/2. Como α < 1, laserie es divergente.
PROBLEMA 9.6.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =√
n
n4 + 1.
Solucion
Aplicando el criterio de Pringsheim, tenemos:
lım nα
√n
n4 + 1= lım
nα+1/2
√n4 + 1
.
406
Dicho lımite es un numero real no nulo cuando α = 3/2. Como es mayorque uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.7.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1
1 + np.
Solucion
Segun el criterio de Pringsheim, si α = p, lım nα 11 + np
= 1. De este modo,
cuando p > 1, la serie es convergente y cuando p ≤ 1, la serie es divergente.
PROBLEMA 9.8.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =√
x + n− 1√x2 + n2 + 1
.
Solucion
Aplicamos nuevamente el criterio de Pringsheim y debemos determinar elvalor de α para que lım nαan sea un numero real no nulo. Tenemos que
lım nα
√x + n− 1√
x2 + n2 + 1= 1 cuando α = 1/2.
Como es un valor menor que uno, se deduce que la serie es divergente.
PROBLEMA 9.9.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =√
n + 1−√
n.
407
Solucion
Aplicamos en este caso el criterio de Pringsheim:
lım nα(√
n + 1−√
n) = lımnα
√n + 1 +
√n
.
Este lımite es finito cuando α = 1/2 por lo que la serie es divergente.
PROBLEMA 9.10.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1
n√
n + 1.
Solucion
Como
lım an = lım1
n√
n + 1= lım
1n+1
n
= lımn
n + 1= 1 6= 0,
la serie es divergente.
PROBLEMA 9.11.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an = lnn + 1
n.
Solucion
Debido a la equivalencia de los infinitesimos lnn + 1
n∼ n + 1
n− 1 =
1n
y
como la serie∑
1/n es divergente, la serie dada tambien diverge.
408
PROBLEMA 9.12.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =n!n2
.
Solucion
Si calculamos el lımite del termino general se obtiene que lımn!n2
= ∞ porlo que la serie es divergente.
PROBLEMA 9.13.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =5 · loga n
3 · logb n.
Solucion
Aplicando la formula del cambio de base de logaritmos, podemos escri-bir
an =5 · (lnn/ ln a)3 · (lnn/ ln b)
=53· ln b
ln a.
Como el termino general es constante, no tiende a cero, por lo que la seriees divergente.
PROBLEMA 9.14.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =lnn
n.
409
Solucion
Por el criterio de comparacion, comolnn
n>
1n
y la serie armonica∑
1/n esdivergente, la serie dada tambien es divergente.
PROBLEMA 9.15.
Demostrar que las series u1 +u2 + · · ·+un + . . . y ln(1+u1)+ ln(1+u2) + · · · + ln(1 + un) + . . . tienen el mismo caracter si un > 0 ylım
n→∞un = 0.
Solucion
Utilizando el criterio de comparacion tenemos:
lımln(1 + un)
un= lım ln(1 + un)1/un = ln lım(1 + un)1/un = ln e = 1 6= 0.
Esto asegura que ambas series tienen el mismo caracter.
PROBLEMA 9.16.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an = arc sen(1/√
n).
Solucion
Debido a que lımarc sen(1/
√n)
1/√
n= 1, la serie dada es equivalente a la serie
armonica∑
1/√
n, la cual es divergente.
PROBLEMA 9.17.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1 + sen2 n
n2.
410
Solucion
Como 0 ≤ 1 + sen2 n
n2≤ 2
n2y la serie
∑2/n2 es convergente, por el criterio
de comparacion se deduce la convergencia de la serie dada.
PROBLEMA 9.18.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =n!nn
.
Solucion
Aplicamos el criterio del cociente de D’Alembert:
lımn!/nn
(n− 1)!/(n− 1)n−1= lım
n!(n− 1)n−1
nn(n− 1)!= lım
(n− 1
n
)n−1
= e−1.
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.19.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =nn
3n · n!.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente:
lıman
an−1= lım
nn
3n · n!· 3n−1 · (n− 1)!
(n− 1)n−1= lım
13· nn−1
(n− 1)n−1
=13
lım(
n
n− 1
)n−1
=13
lım(
1 +1
n− 1
)n−1
=e
3< 1.
411
Por tanto la serie dada es convergente.
PROBLEMA 9.20.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =12n
tga
2n.
Solucion
Aplicando el criterio de D’Alembert:
lıman+1
an= lım
tg(a/2n+1)2n+1
· 2n
tg(a/2n)=
12
lım tga
2n+1· cotg
a
2n
=12
lıma
2n+1· 2n
a=
14
< 1.
Esto prueba que la serie es convergente.
PROBLEMA 9.21.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =2nx2n
1 + x2nrespecto a los diversos valores de x.
Solucion
En primer lugar, si x2 = 1 =⇒ an =2n
1 + 1→ ∞ y la serie sera divergen-
te.
Si x2 > 1 =⇒ lım an = lım 2n · lımx2n
1 + x2n= ∞ · 1 = ∞. La serie es
divergente.
Para x2 < 1 aplicamos el criterio de D’Alembert:
lıman
an−1= lım
2nx2n
1 + x2n· 1 + x2(n−1)
2n−1x2(n−1)= lım
2x2(1 + x2n−2)1 + x2n
= 2x2,
412
pues x2n → 0 y x2n−2 → 0 cuando x2 < 1.
La serie es convergente cuando 2x2 < 1, es decir cuando |x| <√
2/2 ydivergente cuando 2x2 > 1, es decir cuando |x| >
√2/2.
Para el caso en que 2x2 = 1 tenemos x2 = 1/2, de donde:
an =2n(1/2n)
1 + (1/2n)=
11 + (1/2n)
→ 1
con lo que la serie es tambien es divergente cuando |x| =√
2/2.
PROBLEMA 9.22.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an = lnn2 + 2n + 2n2 − 2n + 2
.
Solucion
Si aplicamos el criterio de Pringsheim resulta:
lım nα lnn2 + 2n + 2n2 − 2n + 2
= lım nα
(n2 + 2n + 2n2 − 2n + 2
− 1)
= lım nα 4n
n2 − 2n + 2.
Si hacemos α = 1, el lımite da como resultado 4. De aquı se concluye que laserie es divergente.
PROBLEMA 9.23.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =2n− 1(√
2)n.
Solucion
Por el criterio de la raız:
lım n
√2n− 1(√
2)n= lım
1√2
n√
2n− 1 =1√2
lım2n− 12n− 3
=1√2.
413
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.24.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1
(lnn)ln n.
Solucion
Aplicando el criterio logarıtmico tenemos:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln((lnn)ln n
)lnn
= lımlnn ln(lnn)
lnn= lım ln(lnn) = ∞ > 1.
Esto indica que la serie es convergente.
PROBLEMA 9.25.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =(
lnn + 1n− 1
)a
.
Solucion
Comparamos esta serie con la de termino general bn =(
2n− 1
)a
, con lo
que tenemos:
lıman
bn= lım
[ln(1 + 2
n−1
)]a(2
n−1
)a = lım
ln(1 + 2
n−1
)2
n−1
a
= lım
[ln(
1 +2
n− 1
)n−12
]a
= (ln e)a = 1a = 1.
414
Esto quiere decir que las dos series tienen el mismo caracter y como la serie
de termino general bn =(
2n− 1
)a
es una serie armonica, es convergente
cuando a > 1 y divergente cuando a ≤ 1.
PROBLEMA 9.26.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =logn a
loga n.
Solucion
Aplicando la formula del cambio de base en los logaritmos podemos escri-bir
an =ln a/ lnn
lnn/ ln a=(
ln a
lnn
)2
.
Aplicando el criterio logarıtmico:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln(
ln nln a
)2lnn
= lım2 ln(lnn)− 2 ln(ln a)
lnn
= 2 lımln(lnn)
lnn− 2 lım
ln(ln a)lnn
.
El segundo lımite da como resultado cero y para calcular el primero, aplica-mos el criterio de Stolz:
lımln(lnn)
lnn= lım
ln(lnn)− ln[ln(n− 1)]lnn− ln(n− 1)
= lımln ln n
ln(n−1)
ln(
nn−1
)= lım
1
ln(
nn−1
) [ lnn
ln(n− 1)− 1]
= lım1
ln(
nn−1
) · lnn− ln(n− 1)ln(n− 1)
= lım1
ln(
nn−1
) · ln(
nn−1
)ln(n− 1)
= lım1
ln(n− 1)= 0.
415
Como el lımite es menor que uno, la serie es divergente.
PROBLEMA 9.27.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =(
n
3n− 1
)2n−1
.
Solucion
Por el criterio de la raız de Cauchy:
lım n
√(n
3n− 1
)2n−1
= lım(
n
3n− 1
) 2n−1n
= (1/3)2 = 1/9.
Como el lımite es menor que uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.28.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =(
n + 12n− 1
)n
.
Solucion
Aplicamos nuevamente el criterio de la raız:
lım n
√(n + 12n− 1
)n
= lımn + 12n− 1
=12
< 1.
Se deduce que la serie es convergente.
PROBLEMA 9.29.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =(sen a
n
)n(a fijo).
416
Solucion
Por el criterio de Raabe,
lım n
1−(
sen an
)n(sen an−1
)n−1
= lım n
(1− (n− 1)n sen a
nn(n− 1)
)
= lım n
[1−
(n− 1
n
)n sen a
n− 1
]= ∞ · 1 = ∞.
Como el lımite es mayor que uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.30.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an = tg n
(a +
b
n
)con 0 < a < π/2.
Solucion
Aplicamos el criterio de la raız:
lım n√
an = lım tg(
a +b
n
)= tg a.
De aquı se deduce que si 0 < a < π/4, la serie es convergente pues el lımiteanterior es menor que uno.
Si π/4 < a < π/2, el citado lımite es mayor que uno por lo que la serie esdivergente.
Para a = π/4 se tiene:
lım an = lım tgn
(π
4+
b
n
)= lım
(tg(π/4) + tg(b/n)
1− tg(π/4) tg(b/n)
)n
= lım(
1 + tg(b/n)1− tg(b/n)
)n
= eL,
donde
L = lım n
(1 + tg(b/n)1− tg(b/n)
− 1)
= lım n · 2 tg(b/n)1− tg(b/n)
= lım n tg(b/n) · lım 21− tg(b/n)
= 2b.
417
Por lo tanto, lım an = e2b 6= 0 y la serie es divergente.
PROBLEMA 9.31.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =nln n
(lnn)n.
Solucion
Aplicamos el criterio de Cauchy o de la raız:
lım n√
an = lımnln n/n
lnn.
Tomando logaritmos resulta:
lım ln n√
an = lım[lnn
nlnn− ln(lnn)
]= lım
[(lnn)2
n− ln(lnn)
].
Utilizamos el criterio de Stolz para calcular el lımite del primer suman-do:
lım(lnn)2
n= lım
(lnn)2 − [ln(n− 1)]2
n− (n− 1)= lım[lnn + ln(n− 1)][lnn− ln(n− 1)]
= lım ln n(n− 1) lnn
n− 1
= lım ln(n2 − n)(
n
n− 1− 1)
= lımln(n2 − n)
n− 1
= lımln(n2 − n)− ln[(n− 1)2 − (n− 1)]
n− 1− (n− 1− 1)
= lım lnn2 − n
n2 − 3n + 2= ln 1 = 0.
Como el lımite del segundo sumando es lım ln(lnn) = +∞, resulta que
lım ln n√
an = −∞ =⇒ lım n√
an = 0 < 1,
de modo que la serie es convergente.
418
PROBLEMA 9.32.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1
(1 + 1/√
n)n .
Solucion
Aplicamos el criterio logarıtmico:
lımln(1/an)
lnn= lım
ln(1 + 1√
n
)n
lnn= lım
ln[(
1 + 1√n
)√n]√n
lnn
= lım
√n ln
(1 + 1√
n
)√n
lnn= lım
√n
lnnlım ln
(1 +
1√n
)√n
.
Es evidente que el lımite del segundo factor es 1. Utilizaremos el criterio deStolz para calcular el lımite del primer factor:
lım√
n
lnn= lım
√n−
√n− 1
lnn− ln(n− 1)= lım
n− (n− 1)√
n +√
n− 1· 1ln n
n−1
= lım1
(√
n +√
n− 1)(
nn−1 − 1
) = lımn− 1
√n +
√n− 1
= +∞.
En definitiva, lımln(1/an)
lnn= +∞ > 1 y la serie es convergente.
PROBLEMA 9.33.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =
[(n + 1
n
)n+1
− n + 1n
]−n
.
Solucion
Por el criterio de la raız:
lım n
√√√√[(n + 1n
)n+1
− n + 1n
]−n
= lım1(
n+1n
)n+1 − n+1n
=1
e− 1< 1.
419
Esto muestra que la serie es convergente.
PROBLEMA 9.34.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =[(
n + 1n
)n
+2n + 1
n
]−n
.
Solucion
Aplicando el criterio de la raız:
lım n√
an = lım1(
n+1n
)n + 2n+1n
= lım1(
1 + 1n
)n + 2n+1n
=1
e + 2< 1.
La serie es convergente.
PROBLEMA 9.35.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =nn
1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)(2n− 1).
Solucion
Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert:
lıman
an−1= lım
nn
1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)(2n− 1)· 1 · 3 · 5 · . . . (2n− 3)
(n− 1)n−1
= lım1
2n− 1· nn
(n− 1)n−1= lım
n
2n− 1· nn−1
(n− 1)n−1
= lımn
2n− 1lım(
n
n− 1
)n−1
=12· e > 1.
Por tanto la serie es divergente.
420
PROBLEMA 9.36.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =ln 2 · ln 3 . . . lnn
n!.
Solucion
Aplicando el criterio del cociente de D’Alembert:
lıman
an−1= lım
ln 2 · ln 3 . . . lnn
n!· (n− 1)!ln 2 · ln 3 . . . ln(n− 1)
= lımlnn
n= 0 < 1.
Entonces se trata de una serie convergente.
PROBLEMA 9.37.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =n!
(a + 1)(a + 2) . . . (a + n).
Solucion
Aplicamos el criterio del cociente:
lımn!
(a + 1)(a + 2) . . . (a + n)·(a + 1)(a + 2) . . . (a + n− 1)
(n− 1)!= lım
n
a + n= 1.
El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo queaplicamos el criterio de Raabe:
lım n
[1− n
a + n
]= lım
an
a + n= a.
Resulta que si a < 1, la serie es divergente; si a > 1, la serie es convergen-te.
421
Cuando a = 1, sustituimos este valor en la serie y obtenemos∑ n!2 · 3 · · · · · (n + 1)
=∑ 1
n + 1
la cual es evidentemente divergente.
PROBLEMA 9.38.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =1 · 3 · 5 · · · · · (2n− 1)2 · 4 · 6 · · · · · (2n + 2)
.
Solucion
Aplicaremos el criterio de D’Alembert:
lıman
an−1= lım
1·3·5·····(2n−1)2·4·6·····(2n+2)
1·3·5·····(2n−3)2·4·6·····(2n)
= lım2n− 12n + 2
= 1.
Como este criterio no decide el caracter de la serie, aplicamos el criterio deRaabe:
lım n
(1− an
an−1
)= lım n
(1− 2n− 1
2n + 2
)= lım
3n
2n + 2=
32.
Como el lımite es mayor que uno, la serie es convergente.
PROBLEMA 9.39.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an = e−n2x segun los valores de x.
Solucion
Por el criterio de Raabe, tenemos:
lım n
(1− e−n2x
e−(n−1)2x
)= lım n
(1− e−n2x+n2x+x−2nx
)= lım n
(1− ex(1−2n)
).
422
Cuando x = 0, la serie dada es∑
1 que es evidentemente divergente.
Cuando x < 0, lım n(1− ex(1−2n)
)= −∞ < 1 por lo que la serie es diver-
gente.
Cuando x > 0, lım n(1− ex(1−2n)
)= +∞ > 1 por lo que la serie es conver-
gente.
PROBLEMA 9.40.
Estudiar el caracter de la serie∑
an de termino general
an =
√α(α + 1) . . . (α + n− 1)β(β + 1) . . . (β + n− 1)
segun los valores de α y β.
Solucion
Por el criterio de Raabe:
lım n
[1− an
an−1
]= lım n
1−
√α(α+1)...(α+n−1)β(β+1)...(β+n−1)√α(α+1)...(α+n−2)β(β+1)...(β+n−2)
= lım n
(1−
√α + n− 1β + n− 1
)
= lım n
(√β + n− 1−
√α + n− 1√
β + n− 1
)= lım n · β + n− 1− α− n + 1√
β + n− 1(√
β + n− 1 +√
α + n− 1)
= lımn(β − α)
β + n− 1 +√
n2 + . . .=
β − α
2.
De aquı se deduce que si β −α > 2, la serie es convergente. Si β −α < 2, laserie es divergente.
En el caso en que β−α = 2, es decir β = α+2, al sustituir en la serie original
resulta∑√
α(α + 1)(α + n)(α + n + 1)
. Aplicando ahora el criterio de Pringsheim,
resulta que lım np
√α(α + 1)
(α + n)(α + n + 1)es finito y no nulo cuando p = 1 lo
que hace que la serie sea divergente.
En definitiva, la serie es convergente si y solo si β − α > 2.
423
PROBLEMA 9.41.
Calcular la suma de la serie∞∑
n=1
1n2 − 2
√2n + 1
.
Solucion
Si descomponemos el termino general en fracciones simples, obtenemos:
1n2 − 2
√2n + 1
=A
n−√
2− 1+
B
n−√
2 + 1.
Esto implica que 1 = A(n−√
2 + 1) + B(n−√
2− 1) por lo que A = 1/2 yB = −1/2.
Sumando ahora los n primeros terminos de la sucesion tenemos:
an =1/2
n−√
2− 1− 1/2
n−√
2 + 1
an−1 =1/2
n−√
2− 2− 1/2
n−√
2
an−2 =1/2
n−√
2− 3− 1/2
n−√
2− 1. . .
a2 =1/2
1−√
2− 1/2
3−√
2
a1 =1/2−√
2− 1/2
2−√
2
Sn =12
[1
1−√
2+
1−√
2− 1
n−√
2 + 1− 1
n−√
2
].
En definitiva, S =∑
an = lım Sn =12
[1
1−√
2+
1−√
2
].
PROBLEMA 9.42.
Dada la serie de termino general an =n + 12
n3 + 5n2 + 6n, demostrar
que es convergente y sumarla.
424
Solucion
Por el criterio de Pringsheim, lım npan = lımnp(n + 12)
n3 + 5n2 + 6n= 1 cuando p =
2 > 1, por lo que la serie es convergente.
Para sumar la serie descomponemos el termino general en fracciones sim-ples:
an =n + 12
n3 + 5n2 + 6n=
A
n+
B
n + 2+
C
n + 3
=A(n + 2)(n + 3) + Bn(n + 3) + Cn(n + 2)
n(n + 2)(n + 3)=⇒ n + 12 = A(n + 2)(n + 3) + Bn(n + 3) + Cn(n + 2).
Para n = 0, 12 = 6A =⇒ A = 2.
Para n = −2, 10 = −2B =⇒ B = −5.
Para n = −3, 9 = 3C =⇒ C = 3.
De aquı obtenemos:
an =2n− 5
n + 2+
3n + 3
an−1 =2
n− 1− 5
n + 1+
3n + 2
an−2 =2
n− 2− 5
n+
3n + 1
an−3 =2
n− 3− 5
n− 1+
3n
. . .
a4 =24− 5
6+
37
a3 =23− 5
5+
36
a2 =22− 5
4+
35
a1 =21− 5
3+
34
Sn = − 2n + 1
− 2n + 2
+3
n + 3− 3
3+
22
+21
=⇒ S = lım Sn = −1+1+2 = 2.
PROBLEMA 9.43.
Sumar la serie1
1 · 3 · 5+
13 · 5 · 7
+1
5 · 7 · 9+ . . ..
425
Solucion
El termino general de la serie es an =1
(2n− 1)(2n + 1)(2n + 3). Al descom-
ponerlo en fracciones simples resulta:
an =A
2n− 1+
B
2n + 1+
C
2n + 3
=A(2n + 1)(2n + 3) + B(2n− 1)(2n + 3) + C(2n− 1)(2n + 1)
(2n− 1)(2n + 1)(2n + 3)=⇒ A(2n + 1)(2n + 3) + B(2n− 1)(2n + 3) + C(2n− 1)(2n + 1) = 1=⇒ A = 1/8, B = −1/4, C = 1/8.
Por tanto,
an =18
(1
2n− 1− 2
2n + 1+
12n + 3
)an−1 =
18
(1
2n− 3− 2
2n− 1+
12n + 1
)an−2 =
18
(1
2n− 5− 2
2n− 3+
12n− 1
). . .
a2 =18
(13− 2
5+
17
)a1 =
18
(11− 2
3+
15
)Sn =
18
(1
2n + 3− 1
2n + 1+ 1− 1
3
).
Tenemos entonces que S = lım Sn =18
(1− 1
3
)=
112
.
PROBLEMA 9.44.
Sumar la serie∞∑
n=1
1(n+3
3
) .
426
Solucion
Escribimos el termino general en la forma an =3!
(n + 3)(n + 2)(n + 1)y lo
descomponemos en fracciones simples:
6(n + 3)(n + 2)(n + 1)
=A
n + 3+
B
n + 2+
C
n + 1.
Esto implica que 6 = A(n+2)(n+1)+B(n+3)(n+1)+C(n+3)(n+2) loque al resolver produce los valores A = 3, B = −6, C = 3. Sumando ahoralos n primeros terminos de la sucesion:
an =3
n + 3− 6
n + 2+
3n + 1
an−1 =3
n + 2− 6
n + 1+
3n
an−2 =3
n + 1− 6
n+
3n− 1
. . .
a2 =35− 6
4+
33
a1 =34− 6
3+
32
Sn =3
n + 3− 6
n + 2+
3n + 2
+33− 6
3+
32.
Entonces S = lım Sn = 1/2.
PROBLEMA 9.45.
Sumar la serie∞∑
n=2
ln n+1n
lnn ln(n + 1).
Solucion
Escribimos el termino general como
an =ln(n + 1)− lnn
lnn · ln(n + 1)=
1lnn
− 1ln(n + 1)
.
427
Sumando los primeros terminos de la sucesion resulta:
an =1
lnn− 1
ln(n + 1)
an−1 =1
ln(n− 1)− 1
lnn. . .
a3 =1
ln 3− 1
ln 4
a2 =1
ln 2− 1
ln 3
Sn =1
ln 2− 1
ln(n + 1).
Entonces S = lım Sn = 1/ ln 2.
PROBLEMA 9.46.
Sumar la serie∑n≥2
ln(
1− 1n2
).
Solucion
Escribimos el termino general de la forma:
an = lnn2 − 1
n2= ln
(n + 1)(n− 1)n2
= ln(n + 1)− 2 ln n + ln(n− 1).
Dando valores decrecientes a n tenemos:
an = ln(n + 1)− 2 ln n + ln(n− 1)an−1 = lnn− 2 ln(n− 1) + ln(n− 2)an−2 = ln(n− 1)− 2 ln(n− 2) + ln(n− 3)
. . .
a4 = ln 5− 2 ln 4 + ln 3a3 = ln 4− 2 ln 3 + ln 2a2 = ln 3− 2 ln 2 + ln 1.
Sn = ln(n + 1)− lnn− ln 2 = lnn + 1
n− ln 2.
La suma de la serie es S = lım Sn = ln 1− ln 2 = − ln 2.
428
PROBLEMA 9.47.
Estudiar el caracter y hallar la suma de la serie∑n≥1
2n + 17n
.
Solucion
Aplicando el criterio de D’Alembert,
lıman
an−1= lım
2n + 17n
· 7n−1
2(n− 1) + 1= lım
17· 2n + 12n− 1
=17
< 1.
La serie es convergente.
Para hallar su suma escribimos Sn =37
+572
+ · · ·+ 2n + 17n
. Los terminosde la serie resultan de multiplicar los terminos de la progresion aritmetica3, 5, . . . 2n+1 por los correspondientes de la progresion geometrica 1/7, 1/72, . . . 1/7n.Estas series, llamadas aritmetico-geometricas, se suman de la siguiente for-ma:
Sn =37
+572
+ · · ·+ 2n− 17n−1
+2n + 1
7n
17Sn =
372
+573
+ · · ·+ 2n− 17n
+2n + 17n+1
Restando:67Sn =
37
+272
+273
+ · · ·+ 27n− 2n + 1
7n+1
=37
+2
7n+1 − 272
17 − 1
− 2n + 17n+1
.
Como lım2n + 17n+1
= 0, resulta que la suma de la serie es:
67S =
37
+2/496/7
=1021
=⇒ S =59.
PROBLEMA 9.48.
Sumar la serie∑n≥1
n2xn, 0 < x < 1.
429
Solucion
El proceso que seguiremos es el siguiente:
Sn = x + 4x2 + 9x3 + · · ·+ (n− 1)2xn−1 + n2xn
xSn = x2 + 4x3 + · · ·+ (n− 2)2xn−1 + (n− 1)2xn + n2xn+1.
Restando miembro a miembro:
(1− x)Sn = x + 3x2 + 5x3 + · · ·+ (2n− 1)xn − n2xn+1
x(1− x)Sn = x2 + 3x3 + · · ·+ (2n− 3)xn + (2n− 1)xn+1 − n2xn+2.
Restando nuevamente las dos ultimas igualdades:
(1− x)2Sn = x + 2x2 + 2x3 + · · ·+ 2xn − (n2 + 2n− 1)xn+1 + n2xn+2
= x + 2 · xn+1 − x2
x− 1− (n2 + 2n− 1)xn+1 + n2xn+2.
Como 0 < x < 1, (n2 + 2n − 1)xn+1 → 0 y n2xn+2 → 0 cuando n →∞. Resulta entonces que si llamamos S = lım Sn a la suma de la serie,tenemos:
(1− x)2S = x− 2x2
x− 1=⇒ S =
x2 + x
(1− x)3.
430
B. EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.- Estudiar la convergencia de las siguientes series:
a)∑ nn
(2n + 1)n.
Resp.: Convergente (raız).
b)∑ 24n−3
(4n− 3)!.
Resp.: Convergente (cociente).
c)∑ n
en.
Resp.: Convergente (cociente).
d)∑ 2n
1 · 3 · 5 . . . (2n + 1).
Resp.: Convergente (cociente).
e)∑ cos2 n
n2.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
f)∑ 3
√n + 2
n3 + 1.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n8/3).
g)∑ n2
n!.
Resp.: Convergente (cociente).
h)∑ nn · n!
(3n)!.
Resp.: Convergente (cociente).
i)∑ (2n)!
(n!)2.
431
Resp.: Divergente (cociente).
j)∑ 1
(lnn!) + n2.
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
k)13
+1 · 33 · 6
+1 · 3 · 53 · 6 · 9
+ . . .
Resp.: Convergente (cociente).
l)∑ 1 · 3 . . . (2n− 1)
2 · 4 . . . 2n.
Resp.: Divergente (Raabe).
m)∑ 1√
n(n + 1).
Resp.: Divergente (comparacion con∑
1/n).
n)∑ 2n
n.
Resp.: Divergente (cociente).
o)∑ 2 · 5 · 8 . . . (3n− 1)
1 · 5 · 9 . . . (4n− 3).
Resp.: Convergente (cociente).
p)∑ nn/2 · 5n
n!.
Resp.: Convergente (raız).
q)∑ 1
(3n− 2)(3n + 1).
Resp.: Convergente (comparacion con∑
1/n2).
r)∑ 1
n ln(1 + 1
n
) .Resp.: Divergente (lım an 6= 0).
432
s)∑ 1 · 11 · 21 . . . (10n− 9)
(2n− 1)!.
Resp.: Divergente (cociente).
t)∑ n!
nn.
Resp.: Convergente (raız).
u)∑ 2n senn
√3
enn2.
Resp.: Convergente (raız).
v)∑ 1
n lnn.
Resp.: Divergente (integral).
2.- Calcular la suma de las siguientes series:
a)∑n≥1
3n + 52n
.
Resp.: S = 11.
b)∑n≥1
n(n− 1)xn para |x| < 1.
Resp.: S =2x2
(1− x)3.
c)∑n≥1
√n + 1−
√n√
n2 + n.
Resp.: S = 1.
d)∑n≥1
1(3n + 2)(3n + 8)
.
Resp.: S = 13/240.
e)∑n≥2
(n− 1
en
)2
.
433
Resp.: S =e2 + 1
(e2 − 1)3.
f)∑n≥2
2n + 3(n− 1)n(n + 2)
.
Resp.: S = 65/36.
g)∑n≥1
n
(4n2 − 1)2.
Resp.: S = 1/8.
h)∑n≥1
nen.
Resp.: S = ∞.
i)∑n≥1
2n2 + n− 1en
.
Resp.: S =2e2 − 2e + 9
(e− 1)3.
434