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1
FUNCIONES ELEMENTALES
1. FUNCION EXPONENCIAL:
Para z x iy se define la función exponencial exp : mediante
exp( ) (cos )xz e y i seny
Como se puede ver, esta definición generaliza la ya conocida función exponencial real,
pues cuando 0,y z x se tiene que exp exp .xz x e
Analiticidad: Las partes real e imaginaria de exp z son
Re( ) ( ) ( , ) cos
Im( ) ( ) ( , )
x
x
z u z u x y e y
z v z v x y e seny
y satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann para todo ( , )z x y :
( , ) cos ( , )
( , ) ( , )
x
x y
x
y x
u x y e y v x y
u x y e seny v x y
Si a lo anterior le agregamos que las derivadas parciales son continuas en todo el plano z,
entonces podemos afirmar que exp z es analítica en todo el plano z, es decir, es una
función analítica entera.
La Derivada: Sabemos que por ser exp z analítica entonces existe la derivada y esta viene
dada por la fórmula: ( ) ( ) ( )' x xf z u z i v z
por lo que, ( ) cos exp' x xf z e y i e seny z
Es decir, la función exponencial es su propia derivada tal como sucede en el análisis real
donde ( )x xde e
dx . Lo que hace más justificable la elección de exp z como la
generalización de xe .
Periodicidad: Aquí, la función exp z es bien diferente a la exponencial real xe la cual
como sabemos no es periódica.
La función exp z es periódica con período 2 :i
exp( 2 ) exp( ( 2 ))
(cos( 2 ) ( 2 ))
(cos )
exp
x
x
z i x i y
e y i sen y
e y i sen y
z
2
Repitiendo este mismo argumento se puede mostrar (ver figura1) que para una z fija y
cualquier entero k,
exp( 2 ) expz k i z
Figura 1. Periodicidad 2 i de la función exponencial compleja:
exp( ) exp( 2 ) exp( 4 ) ..... exp( 2 ) ,z z i z i z k i k .
Mostremos que sí
exp( ) exp para todoz b z z
entonces 2b k i para algún entero k. (Lo que significa que los puntos de la forma
2z k i tiene el mismo valor de imagen para toda z- fija, es decir exp z No es función
inyectiva o uno a uno ).
Solución: Por propiedades sabemos que exp( ) exp( )exp( )z b z b
entonces según la hipótesis exp( )exp( ) exp( )z b z lo que implica exp( ) 1b . Pero por otro
lado 21 i ke , luego 2 2 ,b i ke e b k i k .
Las figuras 2 y 3 implementadas en Matlab exhiben la periodicidad de la función exp z para
franjas de longitud 2π y 4π de ancho.
exp( )z
0
y
x
4 i
2 i
2 i
4 i
2z i
4z i
z
2z i
4z i
x
3
Figura 2. La acción de exp z como mapeo sobre una banda de longitud 2 de ancho. La franja izquierda
de /S z x iy y es mapeada hacia el disco unitario 1z , mientras la franja derecha
es mapeada al exterior del disco unitario. Lo anterior puede comprobarse con el punto 1 0.25 0z i y su
correspondiente imagen. En resumen la imagen de la figura a izquierda es el plano 0 .
Figura 3. Nótese que la franja azul 0y tiene como imagen la parte inferior del plano, mientras que
la franja roja 0 y se corresponde con la parte superior del plano, completándose así el plano punteado
0 . De igual forma, si la franja es 3y se obtiene como imagen otro plano punteado 0
Para comprobar lo anterior, se tomaron los puntos 1 0.25 0z i 2 0.25 2z i y sus
correspondientes imágenes. Si la banda horizontal fuera de longitud 10 se obtendría como imagen 5 planos
punteados 0 , uno por cada franja horizontal de longitud 2 .
Ante el interrogante de cómo visualizar la dinámica de la función exp(z) para una banda de
longitud 2 ,( ), y la ortogonalidad como invariante a través de ella, veamos las
figuras 4 y 5:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla a través de w = ez
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-2
0
2
4
6
8
10Malla de 80x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,3*pi]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2 -1 0 1 2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla [-1,1]x[-pi,pi]
Eje Real u
Eje
Im
agin
ario
v
-2 -1 0 1 2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla [-1,1]x[pi,3pi]a través de w = ez
Eje Real u
Eje
Im
agin
ario
v
4
Figura 4. Las figuras ilustran la forma como las imágenes se van formando para cada una de las siguientes
bandas: 2 2
[ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ]6 6 3 3 2 2 3 3
5 5
[ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] ( , ]6 6
. El proceso inverso lo realizará la función log z .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3
-2
-1
0
1
2
3Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
-2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
5
Figura 5. Un análisis local sobre la malla permite afirmar que la ortogonalidad (90 ) entre rectas verticales y
horizontales se mantiene invariante en sus imágenes a través de exp z . Nótese también que cada cuadrado
pequeño en la grilla es mapeado por exp z a un tipo de imagen que es aproximadamente cuadrada.
La principal clase de mapeos que nos interesa son las analíticas(o diferenciables
complejas). Entre estas, la exp z cuyo efecto local sobre vectores infinitesimales es
expandirlos y rotarlos. Las transformaciones de este tipo juegan un papel fundamental en
adelante y diremos que tales transformaciones son localmente un “amplitwist”(amplitud
mas rotación) y por tanto automáticamente conforme (transformación que preserva
ángulos).Ver figura 6.
De lo anterior:
Los mapeos analíticos son precisamente aquellos cuyo efecto local es un amplitwist: todos
los números complejos infinitesimales que emanan de un solo punto son amplificados y
rotados la misma cantidad.
Figura 6. El efecto infinitesimal de un mapeo analítico puede verse en la figura. Nótese que la función
analítica es localmente isotrópica (un elemento de área infinitesimal es igualmente expandido en todas las
direcciones) y los ángulos infinitesimales son preservados. Para este tipo de mapeo la derivada existe, y es
simplemente el amplitwist o si se prefiere el número que representa el amplitwist.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Malla de 20x20 celdas sobre [-1,1] x [0,pi]
Eje x
Eje
y
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3Imagen de Malla a través de w = e
z
Eje u
Eje
v
z
Plano complejo z
Plano complejo w
( )f z
Función Analítica
6
La “amplificación” es el factor de expansión, y el “twist” es el ángulo de rotación. El efecto
local de f es completamente codificado en el número único ' ( )f z , la derivada de f , o
como se prefiere frecuentemente el amplitwist de f :
( )
[arg ( '( )) ]
' ( )
( )
'( )
i rotación
i f z
f z el amplitwist de f
amplificación e
f z e
Es importante afirmar que “diferenciar” no es lo mismo que “amplitwist” pues el primero
se refiere al acto de encontrar la derivada de una función, mientras el segundo se refiere al
acto de “amplificar y rotar” una figura geométrica infinitesimal. Recordemos que
“amplificar y rotar” es precisamente lo que significa la multiplicación por un número
complejo. Por ejemplo sí 3
( )4' ( ) 2
i
f z e
entonces la amplitud es 2 y la rotación es 3
4
.
Figura 7. Si la función es analítica, cada uno de los vectores infinitesimales que emanan del punto z tienen
una imagen que se obtiene del producto de estos por '( )f z . En la ilustración la expansión es 2 y el ángulo
de rotación es 3
4
. Si se cambia de punto z, el ángulo de rotación y la expansión varían.
Es posible encontrar otra caracterización de las funciones analíticas a través de la matriz
Jacobiana. Para tal propósito, basta considerar la matriz de la transformación lineal que
corresponde a la multiplicación por un número complejo. Esto es,
( ) ( ):
z x iy T z a ib zT
donde, ( ) ( )( )a b x
T z a ib x iyb a y
Recordemos que 2:
a a b
b b a
I
define una aplicación lineal inyectiva entre los puntos
del plano y las matrices en . De ahí que, a a b
a bib b a
.
f
z ( )f z
7
Como la transformación es lineal, el efecto local está completamente determinado por la
matriz Jacobiana:
x y
x y
u uJ
v v
.
Así, comparando la matriz de arriba con la Jacobiana y si lo que se pretende es que el
efecto de J se reduzca a un amplitwist, entonces
( ) ( )
x y
x y y
u a v
v b b u u
. Ecuaciones de Cauchy -Riemann
Lo que se resalta aquí, es que estas ecuaciones deben satisfacerse en alguna vecindad
infinitesimal de un punto con el objeto de que el mapeo sea analítico allí.
Como a ib juega el papel del amplitwist, comparando columnas de a b
b a
con
x y
x y
u u
v v
se obtienen las dos formulas de la derivada:
' x x xf u iv f
' y y yf v iu f
Nótese que las formas especiales de las funciones componentes u y v son las que aseguran
que el mapeo sea analítico.
Un buen ejercicio consiste en calcular el Jacobiano para 2( )f z z y
3( )f z z y
analizar los efectos de estos mapeos, es decir que preservan ángulos entre vectores.
Retornando a los aspectos algebraicos de la función exponencial y aunque más adelante se
definirá za donde a y z son complejos, la operación más importante de este tipo de
números es la siguiente: si a e es la base usual para el logaritmo natural determinado por
ln 1e , y si z x i y es cualquier complejo, entonces elevar e a una potencia compleja
se define como expze z . (En adelante, usaremos cualquiera de las dos notaciones).
En el caso particular en que 0,x z i y y la convención anterior se convierte en la
conocida relación de Euler: exp( ) cosi ye i y y i sen y
8
La exponencial compleja ze se convierte en la raíz n-ésima positiva n e cuando 1
z =n
,
con 2,3,4,5...n , siendo ésta una excepción a la convención conocida, que consiste en
interpretar 1
ne como el conjunto de las raíces n-ésimas de e .
Las siguientes propiedades son una extensión análoga del cálculo real al complejo:
(a) 1 2 1 2z z z ze e e
(b) 1
1 2
2
zz z
z
ee
e
;
(c) 1 z
ze
e
;
(d) 0ze para todo z
(e) ( )z zde e
dx para toda z. ( función entera)
(f) ,z x i y x i y i xe e e e e donde e y lo que significa en coordenadas
polares z x i y xe e e e y arg( ) 2 ( 0, 1, 2, ... )ze y n n .
Nótese que arg ze no es un número real definido de manera única, sino más bien
cualquier número de la forma 2k que determina el mismo ángulo. Esto se hace
evidente al analizar la figura 3 de arriba.
Otras propiedades que no resultan análogas al análisis real son las siguientes:
(a) 2 2 2, donde 1z i z i z ie e e e e . De nuevo y como se vio arriba la función
( ) zf z e es periódica y su periodo es el complejo imaginario 2 i .
(b) ( ) xf x e siempre es positivo, mientras que ( ) zf z e puede ser negativo. Basta
recordar que 1ie . (famosa ecuación de Euler 1 0ie ). Y en general,
cuando la potencia es impar
(2 1) 2 (1)( 1) 1 0, 1, 2, 3,....i n i n ie e e n
Ejercicio # 8 (página 92) Encontrar todos los valores de z tal que 1 3ze i .
Ejercicio: Si 0z , ¿ existe w tal que ?wz e Sí, en efecto logw z .
9
2. LA FUNCION LOGARITMICA
Nos gustaría definir el logaritmo log z como la función inversa de la exponencial tal que
para todo complejo , 0a b con b ,
log exp , exp loga a b b
Pero estas fórmulas se cumplen para números reales a, b con 0b , donde logb significa
el logaritmo natural ln b y exp aa e .
Sin embargo, como sabemos, no es posible definir una inversa para la exponencial
compleja ya que esta función no es uno a uno. De nuevo, por lo visto arriba sabemos que
0 0exp( 2 ) exp 0, 1, 2,....z k i z k
para todo complejo 0z . Así, por ejemplo si
0 0z entonces exp0 exp2 exp4 1i i ,
y por tanto no es posible definir log1 de manera única (función multivaluada) ya que:
log1 0, log1 2 , log1 4 etci i
Examinemos de nuevo las propiedades del mapeo de la función exp z sobre una banda de
longitud 2 antes de la demostración del teorema 1 para una mejor interpretación de éste.
Figura 8. Nótese como la mitad izquierda ( 0x ) de la banda /S z x iy y es
mapeada uno a uno sobre el disco punteado azul 0 1w . Y la otra mitad es mapeada al exterior de
dicho disco. La recta horizontal y es mapeada al haz de recta (sin el origen) de ángulo que emana del
origen.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla a través de w = ez
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
10
Teorema 1. La función exponencial mapea la banda horizontal /S z x iy y
del plano z hacia el plano punteado w, 0 como una aplicación uno a uno. En
particular, la recta horizontal y es mapeada sobre el eje real negativo del plano w.
Demostración: 0ze pues 0 , , cos 0z i z x ie e donde e e y e i sen
Los puntos de la recta horizontal y de la forma x i son mapeados a través de la
función exponencial así:
exp( ) (cos ) 0 0, 0 ( )x xx i e i sen e u u v eje real negativo
Mostremos que la exponencial exp z mapea S sobre 0 :
Sea 0w . Probemos que exp para algún z Sw z . Como w tiene coordenadas
polares ( , ) con 0, y definiendo , con ln ,z x i y x y , es
fácil ver qué z S . Para mostrar que expw z , basta con la relación:
lnexp (cos ) (cos ) (cos )xz e y i seny e i sen i sen w
lo que prueba que exp z mapea S sobre 0 .
Para probar que exp z es uno a uno cuando se restringe al conjunto S , basta probar que si
1 2,z z S y 1 2exp expz z entonces 1 2z z .
La hipótesis nos expresa que 1
2
(exp )1
(exp )
z
z de ahí que 1 2exp( ) 1z z . Pero la periodicidad
de la función exponencial implica que 1 2 2z z k i k . Ahora bien, como 1 2,z z S
entonces 1 2 2z z y por tanto 0k , esto es, 1 2 0z z y así 1 2z z . Así, la función
exponencial mapea la banda S de longitud 2 hacia 0 de forma inyectiva (o uno a
uno), lo que prueba el teorema.
Como exp exp( 2 ) exp( 4 ) ...z z i z i , entonces es posible extender el teorema 1
a otras bandas del plano z. Así, para cada b , se define
/ 2bS z x i y b y b
como la banda horizontal de altura 2 cuyo borde superior es la recta horizontal y b .
Por lo tanto, dicha generalización se puede establecer mediante:
11
Teorema 2. La función exponencial mapea toda banda horizontal bS del plano z hacia el
plano punteado w , 0 de forma inyectiva (o uno a uno). En particular, la recta
horizontal y b es mapeada hacia el rayo determinado por el ángulo b y que se extiende
desde el origen 0w . La figura 8 ilustra la interpretación del teorema 2.
Figura 9. La banda 9
4
9/
4 4S z x iy y
y su imagen inyectiva 9
4
exp( ) 0S
2. DEFINICION DE LOGARITMO
La definición se puede obtener a través del problema de resolver para w la ecuación we z donde z es un complejo NO nulo.
Sea w u iv , y iz re donde . La ecuación dada se transforma entonces
en:
u iv ie e r e , donde , 2 ( ) 2 ,ur e v n Arg z n n
Ahora bien, si sólosi lnur e u r , por lo tanto we z se satisface siempre que
ln ( 2 ) ln ( ( ) 2 ) ,w u iv r i n r i Arg z n n
Así, la función logarítmica de la variable compleja no nula iz re se define como:
log ln ( ( ) 2 ) ,z r i Arg z n n
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
6
7
8Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [pi/4,9pi/4]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla a través de w = ez
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
12
Nótese que la función log z es una función Multivaluada, ya que
( 2 ) ( 4 )i i iz re re re ,
y sus valores a través de log z son todos números complejos diferentes:
log ln log ln ( 2 ) log ln ( 4 )z r i z r i z r i
La razón anterior obedece a la definición de arg , 2 , 4 , 6 ,...z que es
de infinitos valores distintos.
Para obtener de log z una función univaluada, procederemos así: Sea S la banda
horizontal del plano w dada por
/S w u iv v
y tomemos 0z como
( 0, )iz re r
Ahora bien, ya con la restricción de arg z Arg z definimos
log log lniz re r i
Nótese que log z definido así, es una función univaluada para todo 0z y con valores en
la banda horizontal S, pues lnu r y v . Por lo tanto, podemos escribir
log : 0 S
Esta función, con la restricción es definida como la rama principal del
logaritmo (ver figura 10). Usualmente para propósitos de continuidad, se requiere una
restricción más fuerte sobre : . En la siguiente sección se analizará este hecho.
De manera más general, una rama de logaritmo se define mediante una banda horizontal
elegida bS en el plano w , luego de acuerdo con la restricción de que arg z satisfaga
2b b
se define log lnz r i de manera usual. Así, lo anterior nos define una función hacia
una banda en el plano w , en este caso la bandabS : log : 0 bS
Importante: bandas diferentes bS dan lugar a funciones o „ramas‟ log z distintas. La clave
en muchos problemas es elegir una rama apropiada del logaritmo.
13
Figura 10. Rama principal del logaritmo. log : 0z S . Nótese como una pequeña porción del
plano (figura de la izquierda) es mapeada a la banda de la derecha /S w u iv v . Las
coordenadas del sector circular son 0,r . Esta rama del logaritmo resulta ser la inversa de
la función exponencial dentro de la restricción impuesta al argumento ( arg( ) ( )z Arg z ).
Se pueden construir otras ramas como por ejemplo cuando 4b . Ver figura 11.
Reflexiónese sobre las infinitas ramas que se podrían construir por cada valor de b .
Figura 11. Rama de logaritmo 4log : 0z S . Esta rama es la inversa de la exponencial cuando
se restringe el argumento a 2 4 . Aquí 4 / 2 4S w u iv v .
¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cuadrada?
¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cúbica, o cuartica?
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Malla Sector Circular
Eje Real x
Eje
im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4Imagen de Malla Circular a través de w = logz
Eje Real u
Eje
im
ag
ina
rio
v
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Malla Sector Circular
Eje Real x
Eje
im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 16
7
8
9
10
11
12
13Imagen de Malla Circular a través de w = logz
Eje Real u
Eje
im
ag
ina
rio
v
14
LA SUPERFICIE DE RIEMANN PARA logw z
La superficie de Riemann para la función multivaluada logw z es similar a la de la raíz
cuadrada, cubica, o cuartica. Sin embargo, en este caso se requieren infinitas copias de
planos z, 0 sin el eje real negativo, que se rotularán como , .., 2, 1,0,1, 2,...kS k .
Ahora colocando o apilando los planos anteriores uno encima del otro tal que los puntos
correspondientes tengan la misma posición y uniendo kS con
1kS así: para cada entero k,
el borde del semiplano superior de la hoja kS se une con el borde del semiplano inferior de
la hoja1kS . La superficie de Riemann para el dominio de log z toma la forma de una
escalera en espiral que extiende hacia arriba las hojas 1 2 3, , ...S S S y hacia abajo las hojas
1 2 3, , ...S S S como se muestra en la figura 12. Usando coordenadas polares para cada kS ,
(cos sin )iz re r i donde r z y 2 2k k y tomando la rama de
log z sobre cada hoja:
log ln ( )z r i , donde r z y 2 2k k
se llega a la siguiente ilustración grafica
Figura 12. Superficie de Riemann para logw z
De igual forma como se operó con la función log z , se pueden construir otras ramas con la
función raíz cuadrada especificando un valor de argumento de z dado por arg( )z en el
intervalo 2 . La correspondiente rama, notada como f se define así:
1
2( ) cos sin2 2
f z r i
donde 0iz r e y 2
Cuando se tiene la rama raíz cuadrada principal:
1
2( ) cos sin2 2
f z r i
, , ( ) tal que <r z y Arg z
15
Ejemplos:
1. Sea 0 2 41 i iz e e e
Para la rama principal se tiene que log1 ln1 0 0i i
En otro sentido si elegimos la rama del logaritmo como la determinada por
3 , entonces debido a que 21 ie se tiene que log1 ln1 2 2i i .
Nótese que para esta rama 3log1 S .
2. Cuál es el valor de log i ? Para la rama principal arg2
i
, así que log2
i i
.
Para la rama determinada por 3 5 se tiene que 9
2i
, así que
9log
2i i
. El valor de log z depende de la rama elegida.
3. Si 1z i entonces para la principal de logaritmo
1log ln ln 2 ln 2
4 2 4z r i i i
4. 0Log no está definido.
Algunas Propiedades del Logaritmo.
De la ecuación original we z si reemplazamos logw z entonces:
log 0ze z z
Mostremos que en el caso en que se invierta el orden de las funciones exponencial y
logarítmica la ecuación anterior cambia a:
log( ) 2 0, 1, 2, 3,....ze z n i n
Demostración: sabemos que, log ln ( ( ) 2 ) ln arg( )z r i Arg z n z i z
Ahora cambiando zz por e se tiene log ln arg( )z z ze e i e .
Pero por la propiedad (d), z xe e y arg( ) 2 ( 0, 1, 2, 3.... )ze y n n con
z x iy . Ahora bien, reemplazando en la ecuación de arriba se llega a:
log ln ( 2 ) ( ) 2 2 , 0, 1, 2, 3,....z xe e i y n x iy n i z n i n
Así, log( ) 2 0, 1, 2, 3,....ze z n i n
Nótese, como el valor principal de log z se puede definir a partir de
log ln ( ( ) 2 ) ,z r i Arg z n n
16
cuando 0n :
Log ln ( ) ln ( ) ,z r i Arg z z i Arg z funcion univaluada
Cuando 0iz re es un real positivo entonces Log lnz r es decir Log lnr r lo que
significa que el logaritmo principal coincide con el logaritmo natural del cálculo real,
viéndose este como un caso especial del logaritmo complejo.
La función logarítmica en términos del valor principal:
log ln ( ( ) 2 ) , 0, 1, 2, 3,...
Log ( ) ( ( ) 2 )
Log 2
z r i Arg z n n
z i Arg z i Arg z n
z n i
log Log 2 , 0, 1, 2, 3,...z z n i n
En el análisis real es imposible calcular el logaritmo de números reales negativos mientras
que aquí en el análisis complejo es posible hacer este cálculo (otra diferencia entre el
logaritmo del cálculo real y el del cálculo complejo):
log( 1) ln1 ( 2 ) (2 1) , 0, 1, 2, 3,...
log( 5) ln 5 ( 2 )
( 1) , ( 5) ln 5
i n n i n
i n
Log i Log i
Ejercicio 2(c) - pagina 97. Mostrar que 1
log( 1 3 ) ln 2 2 ,3
i n i n
3. MÁS SOBRE RAMAS Y DERIVADAS DE LOGARITMOS.
Si iz re es un complejo no nulo, donde toma valores del conjunto 2 /n n
con ( )Arg z . Entonces la definición de la función logarítmica multivaluada:
log ln ( 2 ) , 0, 1, 2, 3,....z r i n n
se puede reescribir como:
log ln con arg( )z r i z
Si se limita o restringe arg z a 2 con , la función
log ln , ( 0, 2 )z r i r
se convierte en una función univaluada y continua en el dominio especificado. Nótese como
en los puntos del haz la función deja de ser continua. Ver figura 13.
17
El haz se definirá más adelante como corte de rama o de ramificación de la función
logarítmica.
Figura 13. La exclusión de para la continuidad de log z obedece a que lim(log )z
z
no existe.
La función log ln , ( 0, 2 )z r i r no sólo es continua sino también
analítica en su dominio dado, pues basta ver que las derivadas parciales de primer orden
son continuas y satisfacen la forma polar de las ecuaciones de Cauchy – Riemann:
r
r
ru v
u rv
, de fácil comprobación a través de
1( , ) ln , 0
( , ) 0, 1
r
r
u r r u ur
v r v v
Una rama de una función multivaluada f es cualquier función univaluada F que es
analítica en cada punto z para el cual el valor ( )F z es igual a uno de los valores de f . El
requerimiento de analiticidad, evita que F tome de manera aleatoria los valores de f .
Importante:
Para cada fijo, la función univaluada log ln , ( 0, 2 )z r i r es
una rama de la función multivaluada
log ln 2 , 0, 1, 2, 3,....z r i donde n n
En particular, cuando 0 , ,n y , la función
Log ln , ( 0, )z r i r
se denomina la rama principal de la función multivaluada log z .
Un corte de rama o de ramificación es una porción de línea o curva que se introduce con el
propósito de definir una rama F de una función multivaluada f . Los puntos sobre el corte
de rama F son puntos singulares de F , y cualquier punto que sea común a todos los cortes
de rama de f se denomina punto de rama. El origen y el rayo constituyen el corte
de ramificación para la rama de la función logarítmica:
log ln , ( 0, 2 )z r i r
y
x
v
( , ) ln
( , )
u r r
v r
u
1( )f z
ln r
24
4
( ) ln4
f z r i
4
z
1z
18
El corte de ramificación para la rama principal Log ln , ( 0, )z r i r
consiste en el origen y el rayo . El origen evidentemente es un punto de ramificación
para las ramas de la función logarítmica multivaluada.
Cuando se usan las ramas de la función logarítmica, se debe tener precaución en su manejo,
especialmente con identidades que involucren logaritmos debido a que no siempre operan
como en el análisis real. El siguiente ejemplo es una muestra de lo anterior.
Ejemplo. Usando la rama principal se puede ver que: 3Log( ) 3Log( )i i
3Log( ) Log( ) ln12 2
i i i i
,y, 3
3Log( ) 3(ln1 )2 2
i i i
Por lo tanto, 3Log( ) 3Log( )i i
4. IDENTIDADES QUE INVOLUCRAN LOGARITMOS.
(a) 1 2 1 2log(z z ) = log(z ) log(z )
(b) 11 2
2
zlog = log(z ) log(z )
z
(c) log 0, 1, 2, 3,...n n zz e n
(d)
11 log
1,2,3,... , 0z
nnz e n z
5. EXPONENTES COMPLEJOS
Cuando 0z y el exponente c es cualquier complejo, la función cz se define así:
logc c zz e
donde log z es la función logarítmica multivaluada. La definición es consistente con los
resultados dados arriba en (c) y (d) cuando , 0, 1, 2, 3,...c n n ,y, cuando
11, 2, 3,...c n
n
Ejemplo. Calcular 2ii : Por definición 2 ( 2 log )i i ii e .
Pero, 1
log ln1 2 2 , 0, 1, 2, 3,....2 2
i i n n i n
19
Entonces 1
2 log 2 2 4 1 , 0, 1, 2, 3,....2
i i i n i n n
Y por lo tanto 4 12 ( 2 log ) , 0, 1, 2, 3,....ni i ii e e n
. ( valores multivaluados).
Si iz re y es cualquier real, la rama log ln , ( 0, 2 )z r i r
de la función logarítmica es univaluada y analítica en el dominio indicado. Cuando esta
rama es usada, entonces la función logc c zz e resulta univaluada y analítica en el mismo
dominio. La derivada de tal rama de la función cz se puede obtener mediante regla de
cadena así:
log( 1)
log log log ( 1) log log 1
log log
c zc
c c z c z c z c z z c
z z
d d c c ez e e e c ce c e cz
dz dz z e e
Así, 1 , ( 0, 2 )c cdz cz z
dz
El valor principal de cz se obtiene cuando log z se reemplaza por Log z en logc c zz e :
Esto es, valor principal de Logc c zz e
La rama principal de la función cz se define como
Logc ze donde ( 0, ( ) )z Arg z
Cuando la Base es constante:
Cuando c es un complejo no nulo y además constante la función exponencial con base c se
define como
logz z cc e
Nótese que la interpretación usual de ze ocurre cuando el valor principal del logaritmo es
considerado en la expresión de arriba , así , Log Log log 1z z ee e e e .
log log log logz z c z c zd dc e e c c c
dz dz
logz zdc c c
dz
20
6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Por las fórmulas de Euler se sabe que:
cos sin , cos sin ,i x i xe x i x e x i x x
Sumando y restando se puede ver que: cos ; sin2 2
i x i x i x i xe e e ex x
i
Para el caso de la variable compleja z las funciones coseno y seno se definen de forma
natural como: cos ; sin2 2
i z i z i z i ze e e ez z
i
Figura 14. La acción de la función ( )sen z sobre una malla rectangular. Nótese como ( ) 1sen z .
Como las derivadas de i z i z i z i zd de ie y e ie
dz dz
entonces es fácil ver que
sin cos cos sind d
z z y z zdz dz
Igualmente se puede ver que las funciones seno y coseno siguen siendo pares e impares
sin( ) sinz z cos( ) cosy z z
IDENTIDADES: 1 2 1 2 1 2( ) cos cossen z z senz z z senz
1 2 1 2 1 2cos( ) cos cosz z z z senz senz
2 2 cossen z senz z , 2 2cos2 cosz z sen z
2 2cos 1sen z z
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3
-2
-1
0
1
2
3Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-3,3]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla a través de w = sin z
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
21
Las funciones , cossenz z son de periodo 2 (ver figura 15):
( 2 )sen z senz
cos( 2 ) cosz z
Figura 15. La acción de la función senz por cada segmento de longitud 2 repite la figura anterior.
Otras identidades: ( )
cos( ) cos
sen z senz
z z
Cuando y las funciones hiperbólicas se definen así:
; cos2 2
y y y ye e e esenhy hy
Relaciones entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas reales:
( ) ; cos( ) coshsen iy i senhy iy y
Las ecuaciones anteriores permiten establecer:
cosh cos
cos cos cosh
senz senx y i x senh y
z x y i senxsenh y
( ) cos( ) cos ( ) cosh( ) cos ( )senz sen x iy senx iy xsen iy senx y i xsenh y
cos cos( ) cos cos( ) ( ) cos cosh( ) ( )z x iy x iy senxsen iy x y i senxsenh y
Módulos: 2 22 2 2 2; cos cossen z sen x senh y z x senh y
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
Malla de 40x40 celdas sobre [-,] x [-3,3]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Imagen de Malla a través de w = sin z
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
22
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
cosh cos
cosh (1 )
(cosh )
senz sen x y x senh y
sen x y sen x senh y
sen x y senh y senh y sen x senh y
Así, 2 2 2sen z sen x senh y .
Un cero de ( )f z se define como aquel numero 0z tal que 0( ) 0f z
No es difícil mostrar que ( ) 0 ,f z senz z n n
2 20 0senz sen x senh y
0 , , 0senx y senh y
, 0x n y
,z n n
Ahora mostremos que
( ) cos 0 ,2
f z z z n n
2 2cos 0 cos 0
cos 0 , , 0
cos 0 , , 0
, 02
,2
z x senh y
x y senh y
x y senh y
x n y
z n n
Otras funciones trigonométricas de variable compleja z:
sin cos 1 1tan , cot , sec , csc
cos sin cos sin
z zz z z z
z z z z
2 2tan sec , cot csc ,
sec sec tan , csc csc cot
d dz z z z
dz dz
d dz z z z z z
dz dz
23
Figura 16. La acción de la función tangente sobre una malla rectangular.
LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS: cosh ; sinh2 2
z z z ze e e ez z
cosh sinh ; sinh coshd d
z z z zdz dz
; 2tanh sechd
z zdz
Relaciones de las trigonométricas con las funciones hiperbólicas caso complejo:
( ) ; cosh( ) cos
( ) ; cos( ) cosh
isenh iz senz iz z
isen iz senhz iz z
Par e impar:
( ) , cosh( ) coshsenh z senhz z z .
Identidades fundamentales:
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
cosh 1
( ) cosh cosh
cos ( ) cos cosh
z senh z
senh z z senhz z z senhz
h z z hz z senhz senhz
Módulos: 2 22 2 2 2, cos cossenhz senh x sen y hz senh x y
2 2tanh sech ; coth csch
sech sech tanh ; csch csch coth
d dz z z z
dz dz
d dz z z z z z
dz dz
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-3
-2
-1
0
1
2
3
Malla de 40x40 celdas sobre [-/2,/2] x [-3,3]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Imagen de Malla a través de w = tan z
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
24
INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS
w arcsenz z senw . Pero por definición, 2
iw iwe esenw
i
entonces
2 22 2 ( 1) 2 12
iw iwiw iw iw i w iw i we e
z iz e e iz e e ize ei
luego, 2( ) 2 ( ) 1 0iw iwe iz e entonces
2 1/22 1/22 ( 4 4)
(1 )2
iw iz ze iz z
donde 2 1/2(1 )z se refiere a las dos raíces de
21 z .
2 1/2 2 1/2 2 1/2(1 ) log[ (1 ) ] log[ (1 ) ]iwe iz z iw iz z w i iz z
Así , 2 1/2log[ (1 ) ]arcsen z i iz z
A continuación, una ilustración de la función multivaluada arcsenz.
Figura 17. La acción de la función ( )arcsen z sobre una malla rectangular.
De forma análoga al procedimiento de arriba se puede mostrar que:
2 1/2arccos log[ (1 ) ]z i z i z
arctan log2
i i zz
i z
Cuando se especifican las ramas para la raíz cuadrada y el logaritmo, las tres inversas
definidas anteriormente se convierten en funciones univaluadas y analíticas.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Malla de 40x40 celdas sobre [-10,10] x [0,10]
Eje Real x
Eje
Im
ag
ina
rio
y
-1 -0.5 0 0.5 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Imagen de Malla a través de w = arcsin z
Eje Real u
Eje
Im
ag
ina
rio
v
25
Como ejercicio final mostrar que:
2 1/2
1
(1 )
darcsenz
dz z
,
2 1/2
1arccos
(1 )
dz
dz z
,
2
1arctan
1
dz
dz z
1 1arctanh z log
2 1
z
z
.
Figura 18. Ilustración de 1/2( )f z z ,
1/3( )f z z y 1/4( )f z z usando el eje z como
( ( ))real f z y el color como la ( ( ))imag f z .
-1-0.5 0
0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Eje y
Eje x
f(z) = z1/2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
Eje x
f(z) = z1/3
Eje y
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
Eje x
f(z) = z1/4
Eje y